Näherung einer Wechselspannung

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Lothar Morgenstern
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1 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 1 von 1 Nieros Bernhard bernhard.nieros@hl-seyr.ac.a Näherung einer Wechselspannung Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Polynomfunkion, allgemeine Sinusschwingung, Inegralmielwere, Seigkei, Fourieranalyse Kurzzusammenfassung Anwendung der Differenial- und Inegralrechnung auf ein elekroechnisches Problem Didakische Überlegungen / Zeiaufwand: [opional] Kompeenzorienieres Übungsbeispiel; auch als Vorbereiungsbeispiel für die eilzenrale Reifeprüfung (srdp) im Fach angewane Mahemaik für den HL Cluser einsezbar. Zu jedem Aufgabeneil sind im Lösungseil die Kompeenzen und die Inhale ensprechend dem Kompeenzkaalog für die srdp angeführ. Die einzelnen eile des Beispiels sind aufeinander aufbauend (nich unabhängig im Vergleich zu den Aufgaben der srdp). Bei den Fragesellungen werden weigehend die Schlüsselwörer der srdp verwende. Lehrplanbezug (bzw. Gegensand / Abeilung / Jahrgang): Angewane Mahemaik, 4. Jahrgang, höhere Abeilungen für Mecharonik, Elekronik, Informaik,... Mahcad-Version: Mahcad 15 Lieraurangaben: [opional; sehr erwünsch] (Kompeenzkaaloge, Schlüsselwörer, Modellmaura, weiere Übungsaufgaben (ÜA)...) Mahcad 15 13

2 HL Seyr Wechselsromparabel Seie von 1 Näherung einer Wechselspannung durch Parabelbögen Eine Periode einer Wechselspannung mi Spizenwer U S 1 mv und Frequenz f Hz soll sückweise durch zwei quadraische Parabelbögen beschrieben werden. Der erse Parabelbogen soll den Sinus im Bereich von bis /, der zweie im Bereich von / bis beschreiben. Als Süzsellen sind die Nullsellen und das Maximum bzw. Minimum zu verwenden. 1. Gib die Funkionsgleichungen für die beiden Parabelsücke an.. Veranschauliche die Wechselspannung und die Näherung durch die beiden Parabelbögen in einem Diagramm über eine Periode mi Hilfe einer Graphik. 3. Vergleiche den Mielwer, den Gleichrichwer und den Effekivwer der Sinusfunkion mi den ensprechenden Weren der Näherung durch die Parabel. Erkläre warum ewaige Abweichungen aufreen. Gib jeweils den relaiven Fehler für den Mielwer, den Gleichrichwer und den Effekivwer an, der sich bei die Verwendung der Näherung durch die Parabel gegenüber dem Sinus ergib. 4. An der Übergangsselle (bei /) haben beide Parabelbögen gleiche y Were. Überprüfe ob der Übergang zwischen den Parabelbögen auch bezüglich der Seigung und der Krümmung seig (ohne Sprung) erfolg. 5. Besimme die Fourierkoeffizienen der Näherung durch die Parabelbögen (Erkläre welche Fourierkoeffizienen nich berechne werden müssen!) Vergleiche das Ampliudenspekrum der Parabelbögen (Darsellung als Sabdiagramm) mi dem Ampliudenspekrum der Wechselspannung. Mahcad 15 13

3 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 3 von 1 Lösung 1. Gib die Funkionsgleichungen für die beiden Parabelsücke an. Inhal: Modellieren einer quadraischen Polynomfunkion Kompeenzen: Modellieren und Operieren/echnologieeinsaz Deskriporen: B_3. und B_3.3 Die Parabelbögen können mi Hilfe der allgemeinen Form (y = a x b x c), der Scheielform ( y = a ( x m) n) oder der Nullsellenform (y = a x n 1 ( x n) ) einer quadraischen Funkion berechne werden. Die Süzsellen sind für den ersen Parabelbogen (/), ( 4 / U S ) und ( /), und für den zweien Parabelbogen ( /), ( 3 4 / U S ) und (/) 1. Bogen y a x 1 = b x c.5 f c is beim ersen Bogen Null, da dieser durch den Ursprung geh. Vorgabe U S a b = = a b 4 4 a1 b1 Suchen( a b) Koeffizienen a und b der ersen Parabel y 1 ( ) a1 b1 Definiion der ersen Parabel Mahcad 15 13

4 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 4 von 1. Bogen y = a x b x c Vorgabe = a b c a 3 = b c U S = a b c a b c Suchen( a b c) y ( ) a b c Koeffizienen a,b und c der zweien Parabel Definiion der zweien Parabel Die beiden Parabelbögen lauen daher. y 1 ( ) y ( ) Veranschauliche die Wechselspannung und die Näherung durch die beiden Parabelbögen in einem Diagramm über eine Periode mi Hilfe einer Graphik. Inhal: Die in Punk 1 besimmen Funkionen und die Wechselspannung müssen in eine graphische Darsellung umgesez werden (Wahl des Darsellungsbereichs, sückweise seige Darsellung der Parabelbögen) Kompeenzen: Modellieren/ransferieren und Operieren/echnologieeinsaz Deskriporen: B_3., B_3.4 y p () y 1 () Φ y () Φ sückweise Definiion mi Heavysidefunkion. Definiion der Wechselspannung und des Zeichenbereichs y () U S sin( π f ).1 Mahcad 15 13

5 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 5 von 1 1 Vergleich Wechselspannung Parabel 5 u in V y () y p () Sinus Parabel in s Aus der Graphik is zu erkennen, dass die Parabelbögen die Schwingung gu approximieren aber zwischen den Süzsellen die y-were beragsmäßig ewas zu groß sind. 3. Vergleiche den Mielwer, den Gleichrichwer und den Effekivwer der Sinusfunkion mi den ensprechenden Weren der Näherung durch die Parabel. Erkläre warum ewaige Abweichungen aufreen. Gib jeweils den relaiven Fehler für den Mielwer, den Gleichrichwer und den Effekivwer an, der sich bei die Verwendung der Näherung durch die Parabel gegenüber dem Sinus ergib. Inhal: Berechnung der ensprechenden Mielwere mi Hilfe der Inegralrechnung (sückweise Formulierung von Inegralen, Inegraionsgrenzen) und anschließender Vergleich der Ergebnisse (beim Mielwer is keine Berechnung erforderlich): Kompeenzen: Modellieren, Operieren/echnologieeinsaz, Inerpreieren, Argumenieren Deskriporen: B_4.6, B_1.1 Mielwer: Da über und uner der Zeiachse sowohl beim Sinus als auch bei der Näherung durch die Parabel die Flächen gleich sind, is das Ergebnis immer Null und daher kein Unerschied Mahcad 15 13

6 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 6 von 1 Gleichrichwer: GWsin GWpar 1 y () y 1 () y () RF GW GWpar GWsin % Der Gleichrichwer der Parabelnäherung (GWpar mv) is um fas 5% (= relaiver Fehler) größer als jener der Sinusschwingung (GWsin mv), da die Parabel beragsmäßig eine ewas größere Fläche mi der Zeiachse einschließ. Effekivwer: EWsin 1 y () 7.71 EWpar 1 y 1 () y () 73.3 RF EW EWpar EWsin % Auch der Effekivwer der Parabelnäherung ( EWpar 73.3 mv) is um ewas mehr als 3% größer als jener der Sinusschwingung (EWsin 7.71 mv). 4. An der Übergangsselle (bei /) haben beide Parabelbögen gleiche y Were. Überprüfe ob der Übergang zwischen den Parabelbögen auch bezüglich der Seigung und der Krümmung seig (ohne Sprung) erfolg. Inhal: Unersuchung der Seigkei an der Übergangsselle Kompeenzen: Operieren/echnologieeinsaz, Inerpreieren, Argumenieren Deskripor: B_4.3, B_4.5, A4.4 Mahcad 15 13

7 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 7 von 1 Überprüfung der Seigkei von Seigung und Krümmung Überprüfung der Seigung y1 1 () d y 1 () y1 () d y () y y Die Parabelbögen haben an der Übergangsselle (bei /) die gleiche Seigung und daher is der Übergang der Seigung seig. Überprüfung der Krümmung y 1 () d y1 1 () 18 y () d y1 () 18 Die Parabelbögen haben an der Übergangsselle (bei /) eine unerschiedliche Seigung (Vorzeichen!!!) und daher is der Übergang der Krümmung nich seig. 5. Besimme die Fourierkoeffizienen der Näherung durch die Parabelbögen (Erkläre welche Fourierkoeffizienen nich berechne werden müssen!) Vergleiche das Ampliudenspekrum der Parabelbögen (Darsellung als Sabdiagramm) mi dem Ampliudenspekrum der Wechselspannung. Inhal: Besimmung der Fourierkoeffizienen enweder durch Berechnung (b n der Parabel) oder durch eine ensprechende Erklärung (a n der Parabel, Spekrum einer Sinusschwingung.) Vergleichende Darsellung im Sabdiagramm. Kompeenzen: Operieren/echnologieeinsaz, Inerpreieren, Argumenieren Inhale: B_4.6, B_4.9, A5.1 Das Spekrum der Sinusfunkion beseh aus einem einzigen Ampliudenwer ( U S ) Die sückweisen Parabelbögen sind punksymmerisch und müssen daher nich berechne werden (Alle Were a n sind Null). Besonders is naürlich auch a =, da kein Gleichaneil vorlieg. Mahcad 15 13

8 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 8 von 1 Berechnung des Spekrums der Parabel: n 1 6 ω π f bpar n y 1 ( ) sin n ω y ( ) sin n ω Spekrum der Parabel in abellenform und als Sabdiagramm bpar Ampliude Ampliudenspekrum im Vergleich Harmonische Das Spekrum der Sinusschwingung beseh nur aus der Grundschwingung mi der Ampliude U S = 1 mv. Die Parabel ha eine dominane und leich größere 1.Harmonische (= Grundschwingung) und bereis deulich abfallend die ungeraden Harmonischen. Der geringe Aneil an Oberschwingungen erklär auch warum die Parabel eine gue Näherung für die allgemeine Sinusfunkion liefer. Zu beachen is auch, dass durch die numerische Berechnung die Ampliudenwere der geraden Harmonischen nich Null sondern nur sehr kleine Were ergeben. Mahcad 15 13

9 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 9 von 1 yf() 3 i 1 bpar i sin( π f i ) Vergleich Wechselspannung Parabel 1 y () y 1 () yf() 5.1. Mahcad 15 13

10 HL Seyr Wechselsromparabel Seie 1 von 1 Vergleich Wechselspannung Parabel 1 y 1 ( ) yf().1. 1 Mahcad 15 13

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