Fouerierreihen - eine Einführung

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1 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 1 von 19 Roland Pichler roland.pichler@hl-kapfenberg.ac.a Fouerierreihen - eine Einführung Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Inegralrechnung, Summenbildung, Fourierreihe Kurzzusammenfassung In ersen eil des Beirages wird gezeig, dass man beliebige periodische Funkionen (auch mi endlichen Unseigkeissellen) durch Summen von periodischen Sinusfunkionen unerschiedlicher Frequenz darsellen kann; dies führ zur Fourierreihe. Anschließend folg mi Hilfe von Mahcad die allgemeine Berechnung der Koeffizienen der Fourierreiehe. Als lezes wird nun diese Werkzeug auf einige Beispiele angewende. Didakische Überlegungen / Zeiaufwand Wesenlich an diesem Besipiel is die Erkennnis, dass periodische, aber nich sinusförmige Zusammenhänge sehr of durch eine Summe von Sinusfunkionen mi unerschiedlichen Frequenzen fargesell werden können. Dies kannn man mi Hilfe von Mahcad sehr schön zeigen. Auch die Herleiung der Fourierkoeffizienen geling mi Mahcad ausgezeichne. Der Einsaz von Mahcad is eine wesnliche Voraussezungfür das Gelingen. Lehrplanbezug (bzw. Gegensand / Abeilung / Jahrgang): Angewane Mahemaik,.Jahrgang bzw. 5. Jahrgang Elekroechnik, Nachrichenechnik Mahcad-Version: Mahcad 11 Inhalsübersich 1. Grundlagen. Fourierkoeffizienen 3. Fouriereihen - einige Beispiele Roland Pichler 6

2 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie von 19 Fourier-Reihen Wenn wir ein Konzer hören, so riff auf unser Ohr ein gewaliger Schwingungsmix in Form einer sehr komplizieren Schalldruckfunkion. Dennoch hören wir einzelne Insrumene und öne heraus. Unsere Ohren nehmen nämlich eine Fourieranalyse der einreffenden Schalldruckfunkion vor. Die Enwicklung der Fourieranalyse ha eine lange Geschiche und beruh auf zahlreichen Unersuchungen von physikalischen Erscheinungen. Für die Beschreibung von periodischen Vorgängen eignen sich die am Einheiskreis abgeleieen Sinus- und Kosinusfunkionen ganz besonders. Duch Summen von gewicheen Sinus- und Kosinussignalen lassen sich beliebige, periodische Signale beschreiben. Bei einer schwingenden Saie lassen sich zum Beipiel verschiedene Schwingungsmoden fessellen. Außer der Schwingung der Saie über die gesame Länge, schwing die Saie um Knoenpunke herum mi der halben Länge, einem Driel, einem Vierel... Daraus ergeben sich harmonisch verwane eilschwingungen deren Frequenzen idealisier ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung sind. Wenn es also geling die Schwingung der Saie zu einem besimmen Zeipunk durch eine Linearkombinaion von Sinusschwingungen zu beschreiben, kann der Zusand der Saie auch zu jedem anderen Zeipunk besimm werden, indem die Koeffizienen des früheren Zeipunkes ausgewere werden. Es gib auch andere physikalische Syseme, die eine vorgegebene Funkion in Sinus- oder Kosinusfunkionen zerlegen: - Ein opischer Filer läss nur sinusförmige Lichwllen in besiommer Frquenz durch - Ein Prisma lenk sinusförmige Lichwellen je nach Frquenz unerschiedlich sark ab - Eine Linse sorier räumliche Sinussrukuren eines Gegensandes in der Brennebene nach der "räumlichen Frequenz". - Ein elekrischer Nachrichenüberragungskanal läss nur besimme harmonische Aneile von Signalen durch. Das mahemaische Werkzeug für derarige Zerlegungen wir durch die Fourieranalyse geliefer. Sie wurde vom französischen Mahemaiker Jean Bapise Fourier ( ) als komplexe heorie enwickel. Die Darsellung einer Funkion durch eine aylor-reihe is nich die einzige Möglichkei, unendliche Reihen als Darsellungsform zu benuzen. Periodische Funkionen, die ewa mechanische oder elekrische Schwingungsvorgänge beschreiben, können durch Sinus- und Kosinusfunkionen auf Grund ihrer Periodiziä wei besser beschrieben werden als durch Poenzfunkionen. Eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen is auch echnisch prakikabler, denn die Überragung sinusförmiger Schwingungen is leich mess- und berechenbar. Die Zerlegung einer Funkion in harmonische Schwingungen, d. h. in Sinus- oder/und Kosinusfunkionen, heiß harmonische Analyse. Da es sich hierbei meis um Funkionen der Zei handel, werde als Argumen genommen. 1. Grundlagen Im zweien Jahrgang unersuch man üblicherweise Summen von periodischer Funkionen. Dabei kann man sofwareunersüz sehr anschaulich die Überlagerungen zeigen, wie im folgenden Beispiel gezeg wird. 1. Beispiel: Vorgegeben sind die drei Sinuslinien y 1 (), y () und y 3 (). Die drei Funkionen sind graphisch darzusellen. Wähle den Definiionsbereich zwischen 6 1 y 1 ( ) := sin( ) y ( ) := cos( ) y 3( ) := sin Aus der graphischen Darsellung kann man sehr schön den sinusförmigen Verlauf und die unerschiedlichen Ampliuden erkennen. :=, Roland Pichler 6

3 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 3 von 19 y 1 ( ) y ( ) y 3 ( ) Die Bildung der Summenfukion liefer nun folgendes Eegebnis,(die drei Basiskurven sind nochmal eingezeichne) y s ( ) := y 1 ( ) y ( ) y 3 ( ) y s ( ) y 1 ( ) y ( ) y 3 ( ) Danach sind folgende Fragen zu beanworen: a) Welche Perioden haben die einzelnen Funkionen y i ( )? a) b) Welcher Ar is Summenfunkion y s ( )? b) Sinusfunkion c) Wie laue deren Periode? c). Beispiel: Roland Pichler 6

4 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie von 19 Als nächses sind wiederum drei Sinuslinien darzusellen.wähle den Definiionsbereich zwischen 6 1 y 1 ( ) := 1 sin( ) y ( ) := cos( ) y 3( ) := 1 sin3 y s ( ) := y 1 ( ) y ( ) y 3 ( ) Selle die Graphen undauch die Summenfunkion dar und diskuiere das Ergebnis: :=, y s ( ) 1 y 1 ( ) y ( ) y 3 ( ) 1 Beanwore danach folgende Fragen: a) Welche Perioden haben die einzelnen Funkionen y i ( )? a),, 3 b) Welcher Ar is die Summenfunkion y s ( )? b) eine periodische Funkion c) Wie laue deren Periode? c) 3. Beispiel: Roland Pichler 6

5 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 5 von 19 Die unen sehende Funkiongleichung beschreib eine Recheckspannung u() :=, := y s ( ) := if < g( ) := y s floor ( ) if < oherwise Bemerkung: "floor( )" runde die in Klammer sehende Zahl auf die nächs kleinere ganze Zahl, sell Verschiebung auf der x-achse dar g( ) y s ( ) Beanwore danach folgende Fragen: a) Welche Perioden haben die einzelnen Funkionen y i ( )? a)... b) Welche Funkion is die Summenfunkion g( )? b)...g() = ys()... c) Wie laue deren Periode? c).... Beispiel: Roland Pichler 6

6 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 6 von 19 Die unen sehende Funkion beschreib eine Dreieckspannung u() Versuche (ähnlich wie oben) eine Funkionsgleichung zu enwickeln. Überprüfe durch Darsellung mi Mahcad. := y s ( ) := if < if < oherwise g( ) := y s floor g( ) y s ( ) Roland Pichler 6

7 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 7 von 19. Fourier- Koeffizienen Allgemein gil nach Jean Bapise FOURIER ( ), dass jede periodische Funkion f() mi der Periode = in eine Reihe enwickel werden kann: ω f( ) = a n = 1 ( ) a n cos( n ω ) b n sin( n ω ) wobei sich die Fouerier-Koeffizienen folgendermaßen berechnen lassen: a n = f( ) cos( n ω ) n =, 1,, 3,... b n = f( ) sin( n ω ) n = 1,, 3,... speziell gil: a = f( ) Diese Koeffizienen erhäl man auf folgendem Wege. Zur Besimmung von a wird die Reihe über eine Periode = inegrier. Man erhäl: ω := f( ) = a a 1 cos( ω ) a cos( ω ) b 1 sin( ω ) b sin( ω ) dabei gil ffür die Inegrale a 1 a a n cos( n ω ) sin( n ω) n ω a n sin( ω n) n ω a n = für n =1,, 3,... b n sin( nω ) fakor b n cos( n ω) 1 n ω cos( ω n) 1 n ω = für n =1,, 3,... Roland Pichler 6

8 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 8 von 19 man erhäl: f( ) 1 = a auflösen, a f( ) Die Koeffizienen a n und b n (n = 1,, 3,...erhäl man, indem man die Reihe hinereinanderfolgend mi cos(ω), cos(ω),..., cos(nω),..., sin(ω), sin(ω),..., sin(nω),... muliplizier und danach über die Periode inegrier. Als Beispiel sei die Berechnung von a 1 und b 1 gezeig: f( ) cos( ω ) = a 1 cos( ω ) cos( ω ) a cos( ω ) cos( ω ) b 1 sin( ω ) cos( ω ) d dabei gil: := ω a 1 cos( ω ) cos( ω ) ω a 1 b 1 sin( ω ) cos( ω ) a n cos( ω ) cos( n ω ) fakor ω ( 1 n) ( 1 n) a n n sin( n) cos( n) ω ( 1 n) ( 1 n) a n n sin( n) cos( n) = für n =, 3,... b n sin( ω ) cos( n ω ) fakor b n ( cos( n) 1) cos( n) 1 ω ( 1 n) ( 1 n) cos( n) 1 b n ( cos( n) 1) = für n =, 3,... ω ( 1 n) ( 1 n) da cos( n) 1 = für gerade n und cos( n) 1 = für ungerade n Roland Pichler 6

9 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 9 von 19 b 1 sin( ω ) sin( ω ) ω b 1 a 1 cos( ω ) sin( ω ) b n sin( ω ) sin( n ω ) fakor ω ( 1 n) ( 1 n) b n sin( n) cos( n) ω ( 1 n) ( 1 n) b n n sin( n) cos( n) = für n =, 3,... a n cos( ω ) sin( n ω ) fakor a n n ( cos( n) 1) cos( n) 1 ω ( 1 n) ( 1 n) cos( n) 1 a n ( cos( n) 1) = ω ( 1 n) ( 1 n) für n =, 3,... := Man erhäl: f( ) cos( ω ) = ω a 1 auflösen, a 1 f( ) cos( ω ) ω f( ) sin( ω ) = ω b 1 auflösen, b 1 f( ) sin( ω ) ω Roland Pichler 6

10 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 1 von Fourierreihen - Darsellung einiger Funkionen Im Folgenden wird anhand dreier Beispiele die Berechnung der Fourier - Koeffizienen erklär. f( ) = a n = 1 ( ) a n cos( n ω ) b n sin( n ω ) wobei sich die Fouerier-Koeffizienen folgendermaßen berechnen lassen: a = f( ) a n = f( ) cos( n ω ) b n = f( ) sin( n ω ) n = 1,, 3, Beispiel: Die unen sehende Funkiongleichung beschreib eine Recheckspannung u() := y s ( ) := if < ( ) if < oherwise u( ) := y s floor :=, u( ) y s ( ) Zur Berechnung der Fourierkoeffizienen verwenden wir die obigen Formeln und gehen dabei wie folg vor: ω := Berechnung von a : a = f( ) Roland Pichler 6

11 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 11 von 19 a = vereinfachen a = Berechnung von a n : a n = f( ) cos( n ω ) a n cos( n ω ) 1 = cos( n ω ) a n = sin( n) n n sin( n) cos( n a n = für alle n is zu zeigen Berechnung von b n : b n = f( ) sin( n ω ) b n sin( n ω ) 1 = sin( n ω ) b n = cos( n) n cos( n) n n 1 cos( n) b n cos( n) 1 = vereinfachen b n = cos( n) n n n cos( n) 1 n b n = für n = gerade (,, 6,...) cos( n) 1 b n = cos( n) = n n für n = ungerade (1, 3, 5,...) Darsellung der Funkion als Fourierreihe: u( ) = n = 1 cos( n) ergib cos( n) 1 sin( n ω ) n n := n Roland Pichler 6

12 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 1 von 19 9 n = 1 cos( n) 1 cos( n) sin( n ω ) n ergib 8 sin( ω ) 8 3 sin( 3 ω ) 8 5 sin( 5 ω ) 8 7 sin( 7 ω ) 8 9 sin( 9 ω ) Die ersen 5 Glieder dieser Fourierreihe u 5 ( ) = 8 sin( ω ) 1 sin( 3ω ) 3 sin( 5ω ) 5 sin( 7ω ) 7 sin( 9ω ) 9 Für die graphische Darsellung brich man nach einigen Koeffizienen ab. z. B. n = 5 u(, k) := k n = 1 cos( n) cos( n) 1 sin( n ω ) n k := 5 u(, k) Beispiel: Die unen sehende Funkiongleichung beschreib eine Recheckspannung u() := y s ( ) := if < if < oherwise u( ) := y s floor Roland Pichler 6

13 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 13 von 19 u( ) Zur Berechnung der Fourierkoeffizienen verwenden wir die obigen Formeln und gehen dabei wie folg vor: ω := Berechnung von a : a = f( ) a = ( ) vereinfachen a = Berechnung von a n : a n = f( ) cos( n ω ) a n cos( n ω ) 1 = ( ) ( cos( n ω ) ) a n = cos( n) n sin( n) n 1 n 1 cos( n) n sin( n) 1 cos( n) 1 cos( n) n sin( n) a n = n n n n vereinfachen a n = für gerade n a n = cos( n) für ungerade n n Berechnung von b n : Roland Pichler 6

14 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 1 von 19 b n = f( ) sin( n ω ) b n sin( n ω ) 1 = ( ) sin( n ω ) b n = ( sin( n) n cos( n) ) 1 ( sin( n) n cos( n) ) b n n n sin( n) cos( n) sin( n) n cos( n) = n vereinfac b n = für alle n n n Darsellung der Funkion als Fourierreihe: ergib u( ) = n = 1 9 n = 1 1 cos( n) cos( n) n cos( n ω ) 1 cos( n) ergib cos( n) n cos( n ω ) 1 cos( ω ) 9 cos( 3 ω ) 5 cos( 5 ω ) 9 cos( 7 ω ) 81 cos( 9 ω ) Für die graphische Darsellung brich man nach einigen Koeffizienen ab. z. B. n = 5 u(, k) := k n = 1 cos( n) 1 cos( n) n k := 5 cos( n ω ) u(, k) Roland Pichler 6

15 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 15 von 19 Roland Pichler 6

16 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 16 von 19 Roland Pichler 6

17 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 17 von 19 n) 1 Roland Pichler 6

18 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 18 von 19 cos( n) 1 n n sin( n) cos( n) n a n = cos( n) cos( n) 1 n Roland Pichler 6

19 HBL Kapfenberg Fourierreiehen - eine Einführung Seie 19 von 19 n sin( n) cos( n) n cos( n) sin( n) n chen b n = sin( n) cos( n) 1 n Roland Pichler 6