Leseprobe. Daniel von Grünigen. Digitale Signalverarbeitung. mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme

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1 Leseprobe Daniel von Grünigen Digiale Signalverarbeiung mi einer Einführung in die koninuierlichen Signale und Syseme ISBN (Buch: ISBN (E-Book: Weiere Informaionen oder Besellungen uner hp:// sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

2 Kapiel Koninuierliche Signale und Syseme Gegensand der DSV is die digiale Verarbeiung von Signalen. Vor und nach ihrer digialen Verarbeiung werden Signale jedoch vielfach analog verarbeie und es is daher sinnvoll, sich in den Grundlagen koninuierlicher Signale und Syseme auszukennen. Zudem erleichern Grundlagenkennnisse in analoger Signalverarbeiung das Versändnis der DSV, so dass es zweckmässig is, den Sudierenden zunächs in die Theorie koninuierlicher Signale und Syseme einzuführen.. Charakerisierung von Signalen Zuers wollen wir definieren, was ein Signal is, und zeigen, wie Signale charakerisier und eingeeil werden können... Elemenarsignale Uner einem Elemenarsignal wollen wir eine Funkion x( versehen, die für die Theorie von grundlegender Bedeuung is und die über eine Formel exak definier werden kann. Die Mahemaiker unerscheiden zwischen einer Funkion x und deren Funkionswer x( in einem Punk [Hub97]. Signalverarbeier nehmen es hier weniger genau: Wenn sie x( schreiben, meinen sie i. Allg. die Funkion x und wollen mi der Schreibweise x( sagen, dass sie eine Funkion der Zeivariablen is, wobei im Allgemeinen alle Were auf der reellen Zeiachse annehmen kann.

3 8 KAPITEL. KONTINUIERLICHE SIGNALE UND SYSTEME Die in der Signalverarbeiung wohl wichigse Funkion is die Cosinusfunkion, auch Cosinusschwingung oder Cosinussignal genann: x( = ˆX cos(πf, (. wobei ˆX die Ampliude oder der Scheielwer, f die Frequenz in Herz (Hz, ω = πf die Kreisfrequenz in s und T = /f die Periodendauer in s is. Ohne ausdrückliche Erwähnung werden die drei Parameer allgemein als posiiv angenommen. Die Cosinusfunkion um π/ nach rechs verschoben ergib die Sinusfunkion (Sinusschwingung, Sinussignal. Muliplizier man die Sinusfunkion mi der imaginären Zahl j und addier sie zur Cosinusfunkion, so erhäl man gemäß Euler die komplexe Exponenialfunkion oder komplexe Sinusschwingung (engl: complex sinusoid: x( = ˆX cos(πf + j ˆX sin(πf, = ˆXe jπf. (. x( kann man sich als Drehzeiger (engl: phasor mi der Länge ˆX und dem Winkel πf vorsellen, der mi der Winkelgeschwindigkei πf um den Ursprung der komplexen Ebene roier (Bild. und M-File Drehzeiger. Is f posiiv, dann roier der Zeiger mi der Frequenz f im Gegenuhrzeigersinn, d. h. in posiiver Drehrichung; is f negaiv, dann roier er mi der Frequenz f im Uhrzeigersinn, d. h. in negaiver Drehrichung. Negaive Frequenzen sehen somi für Roaionen der dazugehörigen Zeiger in negaiver Drehrichung. J{ x (} ^X ^X f R{ x (} - ^X - ^X ^X Bild.: Die komplexe Exponenialfunkion als Drehzeiger Leonhard Euler, Schweizer Mahemaiker,

4 .. CHARAKTERISIERUNG VON SIGNALEN 9 Zwei weiere Funkionen, die in der Signalverarbeiung häufig vorkommen, sind die Recheckfunkion rec( { : > T / = (.3 T : < T / und die Sinc- oder Spalfunkion die beide in Bild. dargesell sind. sinc( T = sin(π/t π/t, (.4 rec( T sinc( T T - T -T T Bild.: Die Recheck- und die Sinc-Funkion Berache man einen Recheckpuls der Breie, der Höhe und läss man wie in Bild.3 gegen null gehen, so enseh ein Reckeckpuls δ(, der unendlich hoch und unendlich dünn is, der aber eine endliche Fläche von ha: δ( d =. ( Bild.3: Vom Recheck- zum Dirac-Puls Aus mahemaischer Sich sell dieser Puls eigenlich keine Funkion dar, sondern eine Disribuion oder eine verallgemeinere Funkion [FB8], die über das Inegral x( δ( d = x( (.5 definier is. Dabei is x( ein beliebiges Signal, dessen Wer zum Zeipunk null x( beräg. Den so definieren Impuls δ( nenn man Dirac-Impuls, Dirac- Puls, Dirac-Soss, Dirac-Funkion oder Impulsfunkion und sell ihn, wie Bild.3 rechs zeig, mi einem Pfeil dar. Die neben dem Pfeil sehende Zahl is die Fläche des Dirac-Impulses und wird Gewich genann.

5 KAPITEL. KONTINUIERLICHE SIGNALE UND SYSTEME Muliplizier man ein Signal x( mi einem -verschobenen Dirac-Puls δ( und inegrier anschliessend, dann erhäl man analog zu Gl.(.5: x( δ( d = x(. (.6 Man sag, dass der Dirac-Impuls δ( das Signal x( an der Selle = abase und sprich von der Abaseigenschaf des Dirac-Impulses (Bild.4. x ( ( - x ( - ( x ( Bild.4: Die Abaseigenschaf des Dirac-Impulses Mihilfe des Dirac-Impulses läss sich die so genanne Abasfunkion oder Dirac-Impulsfolge konsruieren. Man addier zum Dirac-Impuls seine um ganze Vielfache von T verschobenen Duplikae gemäss der Formel δ T ( = + n= δ( nt (.7 und erhäl so das in Bild.5 rechs dargeselle periodische Signal mi dem Parameer T als Abasinervall oder Periode. Man sprich deshalb auch vom periodischen Dirac-Soss. ( T ( -3T -T -T T T 3T Bild.5: Der Dirac-Impuls und die Abasfunkion

6 .. CHARAKTERISIERUNG VON SIGNALEN.. Koninuierliche und diskree Signale Uner einem koninuierlichen oder analogen Signal x( verseh man eine Funkion der koninuierlichen Zeivariablen. Sämliche Elemenarsignale, inklusive der Disribuionen, zählen zu dieser Kaegorie. Das zeidiskree oder kurz das diskree Signal unerscheide sich vom analogen Signal darin, dass es nur zu diskreen Zeipunken definier is. Zur Illusraion zeig Bild.6 links ein analoges und Bild.6 rechs das dazugehörige zeidiskree Signal. u( x ( nt V nt Bild.6: Beispiel für ein analoges und ein diskrees Signal In der Praxis wird ein zeikoninuierliches Signal durch eine physikalische Grösse repräsenier. Beispiele dafür sind der Schalldruck p( in einem Mikrofon, die Drehzahl r( einer roierenden Maschine, die Geschwindigkei v( eines Körpers, usw. Eine physikalische Grösse wird in der Signalverarbeiung durch einen Sensor erfass, elekrisch umgewandel, wenn nöig ampliudenbeschränk, evenuell versärk und gefiler, so dass sie in Form einer zeiabhängigen Spannung u( vorlieg. Diese Spannung wird an einen Analog-Digial-Wandler geleg, der sie in ein zeidiskrees Signal x(nt umwandel und dem Compuer zur digialen Verarbeiung zuführ. Ab Kap. 3 werden wir uns ausschließlich mi dieser Ar von Signalen beschäfigen...3 Deerminisische und sochasische Signale Deerminisische Signale sind Funkionen, deren Funkionswere durch einen mahemaischen Ausdruck oder eine bekanne Regel besimm (deerminier sind. Eines der bekannesen deerminisischen Signale is die schon erwähne Cosinusfunkion x( = ˆX cos(πf. Ein Beispiel dafür is die Cosinusschwingung mi ˆX =.4 und f = 5 Hz in Bild.7 links. Auch das Signal in Bild.6 links is deerminisisch, da es sich um die Schrianwor eines Bandpassfilers handel.

7 KAPITEL. KONTINUIERLICHE SIGNALE UND SYSTEME Ein sochasisches Signal is ein Zufallssignal und kann nur mi Mieln der Saisik beschrieben werden. Seine Ampliude, d. h. sein Funkionswer zu einem besimmen Zeipunk, häng von einem Zufallsprozess ab und kann nich durch eine Formel oder eine Regel besimm werden. Vielfach jedoch sind sein Mielwer, seine Varianz und seine Auokorrelaionsfunkion besimmbar (drei Grössen, die wir späer erklären werden. Ein Muser eines sochasischen Signals is in Bild.7 rechs gezeig. Es handel sich um Rauschen, das den gleichen Mielwer und die gleiche Varianz ha wie das Cosinussignal daneben, nämlich und. - - x ( x ( s / - s / - Bild.7: Beispiel für ein deerminisisches und ein sochasisches Signal Allein sochasische Signale, wie z. B. Sprach- oder Videosignale, sind Träger von Informaion. Es gib aber auch sochasische Signale, die keine Informaion enhalen, oder genauer gesag, keine erwünsche Informaion. Beispiele dafür sind Geräusche, unerwünsche Musik, Sörimpulse, usw. Sreng genommen sind alle realen Signale sochasisch, da sie immer mi unbekannen Fehlern behafe sind. Man ersez sie in der Theorie jedoch vielfach durch idealisiere Signale, oder wie man auch sag, durch Modelle, da diese eine einfachere mahemaische Handhabung erlauben. Beispiele dafür sind die Beschreibung der Nezspannung durch eine Sinusfunkion, die Modellierung eines Impulses endlicher Flankenseilhei durch einen Recheckimpuls, usw...4 Periodische, kausale, gerade und ungerade Signale Ein Signal x p ( heiss periodisch mi der Periode T, wenn es folgende Bedingung erfüll: x p ( = x p ( + T. (.8 Die fundamenale Periode (engl: fundamenal period is der kleinse posiive Wer T, welcher die Bedingung (.8 erfüll. Im Allgemeinen is mi dem Begriff Periode dieser Wer gemein. Bei periodischen Signalen genüg die Kennnis der Funkion während einer einzigen Periode, um das ganze Signal zu kennen. Beispiele für periodische Signale sind die Abasfunkion in Bild.5, das Cosinussignal in Bild.7 und die Sägezahnschwingung in Bild.8.

8 .. CHARAKTERISIERUNG VON SIGNALEN 3 Eine weiere wichige Klasse von Signalen sind die kausalen Signale. Ein Signal x cs ( nenn man kausal (engl: causal, wenn es auf der negaiven Zeiachse null is: x cs ( = für <. (.9 Das bekannese kausale Signal is die Sprung- oder Schrifunkion (engl: uni sep, die wie folg definier is (Bild.8 rechs: ε( ε( = { : < : >. (. x p( ( - -T -T T T Bild.8: Beispiel für ein periodisches und ein kausales Signal Ein gerades Signal (engl: even signal x g (, resp. ein ungerades Signal (engl: odd signal x u ( is wie folg definier: x g ( = x g (, x u ( = x u (. (. Ein gerades Signal is spiegelsymmerisch zur y-achse, wie beipielsweise die Cosinusfunkion oder die Recheckfunkion, und ein ungerades Signal is punksymmerisch bezüglich des Ursprungs, wie z.b. die Sinusfunkion oder die Sägezahnfunkion in Bild.8. Mihilfe der unensehenden Gleichung läss sich jedes beliebige Signal x( in ein gerades und in ein ungerades Teilsignal zerlegen: x( + x( x( x( x( = +. (. }{{ }}{{ } x g( x u(