Vielseitige Darstellungen von Drehstromsignalen

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1 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen Die Leisungs- und Energie-Analysaoren Qualisar+ dienen zur soforigen Darsellung aller wesenlichen Eigenschafen eines Drehsromnezes. Zeiliche Darsellung Die Geräe der Qualisar+ Serie zeigen alle an den Eingängen anliegenden Signale gleichzeiig an. Die Messungen können als Zahlenwere, als Wellenformen, in spekraler Darsellung oder als Vekordiagramm angezeig werden.. Spekrale Darsellung Vekordiagramm

2 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen 1. Dreiphasen-Wechselspannungen Die Überragung elekrischer Energie vom Erzeuger (Krafwerk) bis zum Verbraucher (Las) erfolg über drei Außenleiern. Besonders Indusrieberiebe beziehen ihren Srom als Dreiphasen-Wechselspannung oder Drehsrom. Ein Drehsromnez beseh aus drei sinusförmigen Wechselspannungen gleicher Frequenz. Ein Drehsrom-Vereilernez (Abb. 1) beseh aus drei Außenleiern und manchmal einem zusäzlichen Neuralleier. Dabei können die folgenden Spannungen gemessen werden: L1 v 1 () v 2 () v 3 () u 12 () u 31 () L2 u 23 () L3 Neure Neuralleier Abb. 1: Drehsrom-Vereilernez A. Mahemaische Gleichungen und Eigenschafen Im Dreiphasensysem sind die mi v1(), v2() und v3() bezeichneen Spannungen zwischen Phase und Neuralleier (die sog. Sernspannungen) durch die folgenden Gleichungen definier: v 1 () = V 1 2 sin(ω.) v 2 () = V 2 2 sin(ω. 2π 3 ) v 3 () = V 3 2 sin(ω. 4π 3 ) In der heorie gil: -- die Ampliuden der 3 Spannungen sind gleich, -- die Phasenverschiebungen sind gleich (jeweils von 12 ), -- die drei Spannungen sind sinusförmig. In der Praxis riff dies nich immer zu. Abweichungen von diesen Weren lassen sich durch Messungen der Unsymmerie und der harmonischen Verzerrung (Oberschwingungen) fessellen. Die Spannungen v1(), v2() und v3() werden als "Phase-Neuralleier-Spannung" oder als "Sernspannung" bezeichne. Die Spannungen u12(), u23() und u31() zwischen den Phasen werden als "verkeee Spannung" oder "Außenleierspannung" bezeichne. Wenn ein Dreiphasensysem völlig in Ordnung is, sind diese verkeeen Spannungen durch die folgenden Gleichungen definier: u 12 () = v 1 () v 2 () = V 2 3 sin(ω. + π 6 ) u 23 () = v 2 () v 3 () = V 2 3sin(ω. π 2 ) u 31 () = v 3 () v 1 () = V 2 3sin(ω. + 5π 6 ) Die Ampliude und dami der Effekivwer der verkeeen Spannungen is 3 mal größer als die der Sernspannungen. Die Summe der drei eilspannungen in einem völlig ausgeglichenen Dreiphasensysem is ses.

3 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen B. Zeiliche Darsellung Ein Dreiphasensysem beseh aus den drei sinusförmigen Sernspannungen (Abb. 2), die jeweils um 12 gegeneinander verschoben sind. Bei 5 Hz ergib sich dadurch ein zeilicher Versaz von 6,6666 ms, wie aus folgenden Gleichungen ersichlich: v 1 (), v 2 (), v () 6.67 ms v 1 () v 2 () v 3 () ω. = 2π 3 = 2π 3.ω = 2π = 6, 67ms Abb. 2: Dreiphasen-Wechselspannungen V3 3 ω C. Vekordiagramm V1 Das oben beschriebene Dreiphasensysem mi drei Sernspannungen läss sich auch als Vekordiagramm darsellen (Abb. 3). Dabei zeig die Länge der Vekoren die jeweilige Ampliude der Spannung an. Da in der Elekroechnik aber eher die Effekivwere der Spannung ineressan sind, werden für die Vekordiagramme ofmals die Effekivwere der sinusförmigen Spannungen eingesez. V2 Abb. 3: Vekordiagramm der Sernspannungen eines Dreiphasensysems 2. Zeiliche Darsellung der Signale Die Darsellung von elekrischen Signalen in Abhängigkei von der Zei erfolg in einem Oszillogramm. Dabei sind die Veränderungen des analogen Signals (Spannung oder Srom) über der Zei deulich sichbar. Die Änderung des Signals folg dabei einem mahemaischen Gesez. x() Ein mi der Zei veränderliches Spannungs- oder Sromsignal (Abb. 4) läss sich durch eine mahemaische Funkion der folgenden Ar beschreiben: x() darin sell x() den Wer des Signals zu jedem beliebigen Zeipunk dar. Diesen Wer des Signals bezeichne man als Momenanwer. Abb. Fig 14: : signal Spannungs- de ension oder Sromsignal ou de couran Besondere Eigenschafen x() Periodisches signal Ein Signal x() wird als periodisch bezeichne, wenn folgende Beziehung gil: x( +) = x() d.h. dass sich das Signal nach einer besimmen Zei exak wiederhol. Die Zei, nach der das Signal genau die gleichen Were annimm, bezeichne man als Periodendauer (Abb. 5). 3 Abb. 5: Periodisches Signal

4 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen Fourier-Reihe Wenn ein Signal periodisch, aber nich sinusförmig is, und besimme mahemaische Eigenschafen erfüll (die aber meisens bei den in der Elekroechnik vorkommenden Signalen gegeben sind), kann man es nach einer sog. Fourier-Reihe enwickeln. Dadurch erhäl man eine zeiliche Darsellung des Signals, die nur aus seiner Gleichsromkomponene und einer Reihe von Sinus- und Kosinusfunkionen beseh, die jeweils ein Vielfaches der Frequenz des Grundsignals aufweisen. Diese Eigenschaf is besonders ineressan, da sie die Berechnung des Signals vereinfach (Rechnung mi komplexen Zahlen) und eine spekrale Darsellung ermöglich. Eine Fourier-ransformaion nimm man wie folg vor: Gegeben sei x(), ein periodisches Signal mi der Periodendauer. Die Enwicklung von x() als Fourier-Reihe is nun wie folg möglich: X = 1 x() d X + 2 x() = A 1 cosω + A 2 cos2ω +K+ A n cosnω + mi: A n = 2 + x().cos(n.ω..) d 2 2 B 1 sinω + B 2 sin2ω +K+ sinnω = 2 + x().sin(n.ω..) d 2 2 Dabei bezeichne X den Gleichsromaneil im Signal x(); A n und sind Koeffizienen, die die Ampliuden der Oberschwingungen n-er Ordnung des Signals x() darsellen. + 2 Beispiele u() Gleichspannung u() = E Die Spannung u() (Abb. 6) veränder sich nich mi der Zei. Sie is nich periodisch und läss sich daher auch nich in einer Fourier-Reihe enwickeln. Sinusförmiger Wechselsrom (Abb. 7) i() = I max sinω E I max i() Abb. 6: Gleichspannung Fig 3 : ension coninue Dieses Signal is periodisch mi der Periodendauer, denn es gil: i() = I max sinω i( +) = I max sin ω( +) [ ] = I max sin(ω + 2π ) = I max sinω i(+) = i() dieses Signal is also periodisch mi der Periodendauer. Eine Fourier-ransformaion is hier nich sinnvoll, denn i() is vollkommen sinusförmig. Recheck-Sromsignal (Abb. 8) i() = I sur während une demi der ersen période Halbperiode i() = I sur während une demi der zweien période Halbperiode Abb. 7: Sinusförmiger Wechselsrom i() + I /2 - I Abb. 8: Recheck-Sromsignal

5 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen Mahemaische Fourier-ransformaion Berechnung von I I = 1 2 I d + ( I) d = I /2 /2 I = I = Das Ergebnis war vorhersehbar, da das Signal i() symmerisch zur Zeiachse is. 2 Berechnung der A n A n = 2 /2 I. cos(n. 2π.)d I. cos(n. 2π /2.)d A n = I. 2π.n sin(n. 2π.) /2 sin(n. 2π.) /2 A n = I [ sin(n.π ) sin() sin(n.2π )+ sin(n.π )] 2π.n A n = Berechnung der = 2 /2 I. sin(n. 2π.)d I. sin(n. 2π /2.)d = 2.I. 2π.n cos(n. 2π.) /2 + cos(n. 2π.) /2 = I [ cos(n.π )+ cos()+ cos(n.2π ) cos(n.π )] π.n = I π.n ( 1)n +1+1 ( 1) n = 2.I 1 ( 1)n π.n Für gerade n is gleich, für ungerade n ergib sich wie folg: = 4.I nπ Die Fourier-ransformaion des Signals i() läss sich also wie folg schreiben: i() = 4.I 4.I 4.I 4.I sinω + sin3ω + sin5ω +L+ π 3π 5π nπ sinnω (n (nungerade) impaire) Wichiger Hinweis: Um die A n und die zu berechnen, kann es sinnvoll sein, den Nullpunk der Zeiachsen so zu legen, dass sich Symmerien in der mahemaischen Beschreibung des Signals ergeben. Dadurch lassen sich die Berechnungen erheblich vereinfachen. Zeiliche Darsellung Mi der oben ausgeführen Fourier-ransformaion läss sich das ursprüngliche Signal mehr oder weniger genau darsellen, je nach der Anzahl berücksichiger erme. Wenn man nur den ersen erm berücksichig (Abb. 9): i() = 4.I π sinω Diesen ersen erm bezeichne man auch als Grundschwingung. I i() Abb. 9: i() durch seine Grundschwingung dargesell Wenn man die ersen beiden erme berücksichig: () = 4.I 4.I sinω + π 3π sin3ω Wenn man die ersen drei erme berücksichig: i() = 4.I π 4.I 4.I sinω + sin3ω + 3π 5π sin5ω Je mehr erme der Fourier-Enwicklung man berücksichig, umso genauer läss sich das ursprüngliche Signal wieder darsellen.

6 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen 3. Darsellung der Signale als Vekordiagramm In der Vekordiagramm-Darsellung erscheinen die Ampliuden als Länge der Pfeile und deren Phasenlage als Winkel im Kreis. Wir können nun Vekor-Operaionen verwenden, die vielfach einfacher zu handhaben sind als Berechnungen von Sinus- und Kosinusfunkionen. Die Vekordarsellung der Beziehungen zwischen Spannung und Srom ermöglich es zum Beispiel, nur die Phasenverschiebung und die Ampliude des Signals zu berücksichigen. Eine Berechnung, die sich auch mi komplexen Zahlen bewäligen läss. A. Ensprechung zwischen Zei- und Vekordiagramm Eine Vekordarsellung is nur bei sinusförmigen Signalen möglich. Ein Sinussignal x() is durch die folgende Beziehung gegeben: X die Ampliude des Sinussignals x() x() = X sin(ω +ϕ) ω die Kreisfrequenz des Sinussignals x() φ die Phasenlage bei Beginn des Signals x() Diese Darsellung beruh auf der Ensprechung zwischen einem Vekor mi der Länge (Ampliude) X, der sich mi der Kreisfrequenz ω um einen Mielpunk dreh, und der zeilichen Darsellung desselben Signals enlang einer Zeiachse (Abb. 1). φ is die Anfangs-Phasenlage!" für =. Der vom Vekor X in Bezug auf die Nullachse Ox zurückgelege Winkel is (ω+φ). Die Periodendauer is wie folg definier: = 2π ω x() O x X Abb. 1: Ensprechung zwischen Vekor X!" und signal x() B. Vekordiagramm i() R Wenn man sinusförmige Spannungs- und Sromsignale innerhalb derselben Schalung unersuchen möche, bieen sich Vekor- oder Zeigerdiagramme als bequeme Darsellungsar an. Die Signale haben dieselbe Frequenz bzw. Periode und unerscheiden sich nur durch die Ampliude und die Phasenlage. Eine Darsellung der Vekoren zu einem besimmen Zeipunk erleicher dann die Behandlung von Problemen (Abb. 11). u() L Man nimm dabei üblicherweise den Zei-Nullpunk ( = ) an. Abb. 11: R-L-Schalung Beispiel 1: indukiver Schalkreis u() =U max sinω. im sändigen Berieb errechne sich der Srom i() wie folg: U i() = U MAX R 2 + (Lω) 2 sin(ω ϕ) mi gϕ = Lω R I ϕ In der Vekordarsellung (Abb. 12) erscheinen die Spannung und der Srom als die Vekoren! U und! I : Dabei is zu berücksichigen, dass der Winkel φ vereinbarungsgemäß immer vom Srom zur Spannung ausgeriche is. Abb. 12: Vekordiagramm

7 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen Beispiel 2: Dreiphasen-Spannungssysem Ein Dreiphasen-Spannungssysem is durch die folgenden Gleichungen definier: v 1 () = V max sinω. v 2 () = V max sin(ω. 2.π 3 ) v 3 () = V max sin(ω. 4.π 3 ) Abb. 13 is ein Vekordiagramm dieses Dreiphasensysems. V 3 12 V V 1 Abb. 13 Vekordiagramm dieses Dreiphasensysems 4. Spekrale Darsellung der Signale Ein nich-sinusförmiges Signal is komplex aufgebau, es kann eine Vielzahl von Frequenzen enhalen. Eine spekrale Darsellung gib Auskunf darüber, aus welchen Frequenzaneilen sich das Signal zusammensez. Das Spekrum eines Signals bilde die Ampliuden der Signalaneile auf der Y-Achse in Abhängigkei von ihrer Frequenz auf der X-Achse ab. Wenn ein Signal periodisch, aber nich sinusförmig is, und besimme mahemaische Eigenschafen erfüll (die aber meisens bei den in der Elekroechnik vorkommenden Signalen gegeben sind) kann man es nach einer sog. Fourier-Reihe enwickeln. Dadurch erhäl man eine zeiliche Darsellung des Signals, die nur aus seiner Gleichsromkomponene und einer Reihe von Sinus- und Kosinusfunkionen beseh, die jeweils ein Vielfaches der Frequenz des Grundsignals aufweisen. Eine Fourier-Reihenenwicklung is besonders ineressan, da sie eine Darsellung des Signals ermöglich, die aufzeig, aus welchen Komponenen sich das Signal mi ihrer jeweiligen Ampliude und Frequenz zusammensez. Im Falle eines rein sinusförmigen Signals (Abb. 14) gil folgende Gleichung: x() = X sinω. Die Ampliude X des Signals ergib sich aus der Sinusfunkion mi der Kreisfrequenz ω oder der Frequenz f. Diese beiden wesenlichen Eigenschafen eines Wechselsromnezes lassen sich graphisch darsellen, indem man auf der Y-Achse die Ampliude der bereffenden Sinusschwingung und auf der X-Achse ihre Frequenz einräg. So erhäl man die spekrale Darsellung des Signals x() (Abb. 15). x() X X Ampliude Abb. 14: Reines Sinussignal 1 fréquence Frequenz f = 3 Abb. 15: Spekrum des Signals x()

8 Vielseiige Darsellungen von Drehsromsignalen Beispiel: Rechecksignal i() Ein Srom i() sei durch die folgende mahemaische Gleichung beschrieben: + I i() = II während sur une demi der ersen période Halbperiode i() = I I sur während une demi der période zweien Halbperiode /2 Die Abb. 16 zeig den zeilichen Verlauf des Signals i(). Die Fourier-Reihenenwicklung des Signals i() sieh wie folg aus: i() = 4.I 4.I 4.I 4.I sinω + sin3ω + sin5ω +!+ π 3π 5π nπ sinnω (n (nungerade) impaire) Dieses Signal ha keinen Gleichsromaneil, es sez sich wie folg zusammen: - aus einem Sinussignal der Frequenz f (der Grundfrequenz) mi der Ampliude - aus einem Sinussignal der Frequenz 3f mi der Ampliude 4.I 3.π - aus einem Sinussignal der Frequenz 5f mi der Ampliude 4.I 5.π - ec. Mi dieser Fourier-ransformaion können wir das Signal wie folg spekral darsellen, d.h. mi seinen Oberschwingungen (Abb. 17): 4.I π - I Ampliude der Oberschwingungsaneile! Abb. 16: Recheck-Sromsignal f=1/ 3f 5f 7f Abb. 17: Spekraldarsellung Frequenz Mi den Leisungs- und Energie-Analysaoren der Serie Qualisar+ lassen sich Signale in allen drei Aren darsellen Ed. 1-5/215 - Unverbindliches Informaions-Dokumen. DEUSCHLAND Chauvin Arnoux GmbH Ohmsraße KEHL / RHEIN el.: Fax: info@chauvin-arnoux.de ÖSERREICH Chauvin Arnoux Ges.m.b.H Slamasrasse 29/2/4 123 WIEN el.: Fax: vie-office@chauvin-arnoux.a SCHWEIZ Chauvin Arnoux AG Moosachersrasse AU / ZH el.: Fax: info@chauvin-arnoux.ch