Kurs 9.3: Forschungsmethoden II

Transkript

1 MSc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmehoden II Zeireihenanalyse Lernsequenz 0: Deskripive Modellierung von Zeireihen Okober 04 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie Inhal Ziele 5 Komponenen ökonomischer Zeireihen 6 Deskripive Modellierung einer Zeireihe Trendbesimmung durch Filerung / Gläung 4 Besimmung der Saisoneffeke mi Dummyvariablen 38 Prognose 4 Weiere Filer 48

2 Folie 3 Inhalsverzeichnis Ziele 5 Ziele der Lernsequenz Komponenen ökonomischer Zeireihen 6 Analyse einer Zeireihe in Komponenen... 7 Deskripive Modellierung einer Zeireihe Addiives Modell... Muliplikaives Modell... Zusammenfassung... 3 Beispiel für ein muliplikaives Modell... 4 Mehoden... 5 Besimmung von linearem Trend und exponeniellem Wachsum... 6 Beispiel Lineare Trendfunkion: Daen einer Verkehrszählung Besimmung des linearen Trends mi Regressionsmodell in EViews... 8 Beispiel Exponenielles Wachsum: Bevölkerung der USA und der CH... 9 Beispiel: Bevölkerung Besimmung von exponeniellem Wachsum mi EViews... 0 Beispiel: Polynomialer Trend: CO -Konzenraion Mauna Loa... Beispiel: CO -Konzenraion Besimmung eines polynomialen Trends mi EViews... Trendbesimmung durch Filerung / Gläung 4 Filerung einer Zeireihe (Gleiender Durchschni)... 4 Lineare Filerung... 5 Einfacher gleiender Durchschni... 5 Beispiel: Rendie ("Real Rae") mi gleiendem Durchschni... 6 Allgemeiner gleiender Durchschni... 7 Gleiender Durchschni mi gerader Ordnung / Zenrierer Filer... 8 Beispiel: Daen einer Verkehrszählung... 9 Beispiel: CO -Konzenraion Mauna Loa Folie 4 Einfache exponenielle Filerung... 3 Beispiel: Exponenielle Filerung einer Rendie ("Real Rae") mi EViews (α = 0.) Exponenielle Filerung mi Trend und Saisonaliä Auszug aus EViews-Help Beispiel mi EViews: Monhly housing sars (Quelle: 36 Kennzahl zur Qualiä der Filerung Besimmung der Saisoneffeke mi Dummyvariablen 38 Dummyvariablen (Indikaorvariablen) Regressionsmodell mi quaralsspezifischem Inercep Srukurbrüche / Regime Beispiel: Daen einer Verkehrszählung Prognose 4 Exponenielle Filerung... 4 Beispiel: Rendie ("Real Rae") mi exponenieller Filerung Regressionsmodell Prognoseinervalle Einfaches Beispiel Weiere Filer 48 Hodrick-Presco Filer (Gläung) Beispiel: Rendie mi Hodrick-Presco Filer Tramo/Seas Prozedur (Seasonal Adjusmen) Beispiel: Rendie mi Tramo/Seas Prozedur... 5 Für Harnäckige: Census X (Seasonal Adjusmen)... 5

3 Ziele Folie 5 Ziele der Lernsequenz 0 Deskripive Modellierung von Zeireihen (4 Lekionen mi EViews-Anwendung) Sie kennen die Komponenen einer Zeireihe. Sie können einen linearen oder exponeniellen Trend besimmen. Sie kennen lineare und exponenielle Filerung. Sie können Zeireihen filern. Sie können Saisoneffeke mi Dummyvariablen besimmen. Sie können mi exponeniellen Filern und Regression Zeireihen prognosizieren. Komponenen ökonomischer Zeireihen Folie 6 Beispiel: Synhese von "seasonal goods" (Jan 004 bis Dez 006) Reskomponene Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Ok 04 Nov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Ok 05 Nov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Ok 06 Nov 06 Dez 06 Res E Trend Trend F 5 Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Ok 04 Nov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Ok 05 Nov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Ok 06 Nov 06 Dez 06 0 Konjunkur 5 Konjunkur C Jan 04 Apr 04 Jul 04 Ok 04 Jan 05 Apr 05 Jul 05 Ok 05 Jan 06 Apr 06 Jul 06 Ok 06 Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Ok 04 Nov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Ok 05 Nov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Ok 06 Nov 06 Dez 06 Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Ok 04 Nov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Ok 05 Nov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Ok 06 Nov 06 Dez 06 Saison Saison S

4 Analyse einer Zeireihe in Komponenen Folie 7 Komponenen ökonomischer Zeireihen Sysemaische Komponenen Reskomponene Glae Komponene Saisonkomponene Trend Konjunkurkomponene Trend und die Konjunkurkomponene werden of zur glaen Komponene zusammengefass, die dann ebenfalls als Trend bezeichne wird. Trend F : Langfrisige Enwicklung Beispiel mi ausgeprägem Trend: Säuglingsserblichkei Folie 8 Todesfälle je 000 Geburen Originalzeireihe Logarihmischer Trend Säuglingsserblichkei nimm ab mi logarihmischen Trend Jahre 970 bis 03 Todesfälle je 000 Lebendgeburen. Quelle: Bundesam für Saisik (Okober 04)

5 Folie 9 Saisonale Komponene S : Saisonale Schwankungen Beispiel mi Schwankungen innerhalb eines Jahres: Arbeislosenquoe Zeireihe der Sellensuchenden und Arbeislosenzahlen. Quelle: NZZ vom 8. Augus 0 Folie 0 Zyklische Variaion C ("Konjunkurkomponene"): Zyklen über mehrere Jahre Beispiel: Schweinezyklus Trendbereinige Preise [%] Jahre 896 bis 94 Periodische Schwankung der Schweinepreise (3-4 Jahre) Ursache Hohe Preise => Invesiionen Verzögerung durch Aufzuch => Überangebo => Preiszerfall => Redukion der Produkion Verzögerung durch Kapaziäsabbau => Nachfrageüberschuss => Seigende Preise Quelle: Hanau A. (98). Die Prognose der Schweinepreise. Viereljahreshefe zur Konjunkurforschung / Insiu für Konjunkurforschung. Sonderhef 7, Berlin Aus: Deusches Insiu für Wirschafsforschung ( Okober 04)

6 Deskripive Modellierung einer Zeireihe Folie Addiives Modell Y = F + S + E (F hier: Trend und Konjunkurkomponene zur glaen Komponene zusammengefass) Trend mi saisonalen Schwankungen mi konsaner Ampliude. Die periodischen Abweichungen vom Trend sind unabhängig von der Grösse des Trendweres. Trend, saisonale Schwankungen und Fehlererm sind addiiv. Muliplikaives Modell Folie Y = F S E (F hier: Trend und Konjunkurkomponene zur glaen Komponene zusammengefass) Trend mi saisonalen Schwankungen mi proporional wachsender Ampliude. Die periodischen Abweichungen vom Trend sind proporional zur Grösse des Trends. Die Ausschläge vom Trend wachsen, wenn die Trendkomponene wächs. Trend, saisonale Schwankungen und Fehlererm sind muliplikaiv. Ein Muliplikaives Modell kann durch Logarihmieren in ein addiives Modell überführ werden. log Y = log F + log S + log E

7 Zusammenfassung Folie 3 Nichsaisonal Saisonal Addiiv Saisonal Muliplikaiv Konsaner Level Linearer Trend Exponenieller Trend Gedämpfer Trend Tabelle adapier nach Gardner (985) Beispiel für ein muliplikaives Modell Folie 4 Flugpassagiere [000] Posiiver Trend Saisonale Schwankungen: Im Sommer reisen mehr Passagiere Ampliude der Schwankungen wächs proporional mi dem Trend Jahre 949 bis 960 Anzahl inernaionaler Flugpassagiere einer Fluggesellschaf. Quelle: Chafield (00)

8 Mehoden Folie 5 Mehoden zur Schäzung eines Trends Regressionsmodell Filerung (Mehode des gleienden Durchschnis) Mehoden zur Schäzung einer Saisonaliä Modellierung mi Dummy-Variablen SARIMA-Modelle (nich in diesem Kurs) Modellierung mi rigonomerischen Funkionen (nich in diesem Kurs) Der Zeireihenplo liefer of Hinweise für ein mögliches Regressionsmodell für den Trend. Beispielsweise linear, quadraisch oder S-förmig Die Periode der saisonalen Schwankungen is in der Regel aus der Problemsellung respekive Daenerhebung bekann (Monasdaen, Jahresdaen, usw.) Besimmung von linearem Trend und exponeniellem Wachsum Folie 6 Lineares Wachsum (ungefähr konsane absolue Zuwächse) F = β 0 + β + E Exponenielles Wachsum (ungefähr konsane relaive Zuwächse) F = β 0 β E Linearisierung des exponeniellen Wachsums => linearer Trend log F = log β 0 + log β + log E Regressionsmodelle Die Regressorvariable is die Variable der beobacheen Zeipunke. Die Parameer können mi den üblichen OLS-Schäzern besimm werden.

9 Beispiel lineares Wachsum: Daen einer Verkehrszählung Auomaische Verkehrszählungen in der Umgebung der Sad Luzern (997 bis 004) Folie 7 Quaralsmiel der 4-sündlichen Verkehrsbewegungen (Summe über verschiedene Messsaionen) Quelle: HSLU / Saisisches Jahrbuch, 005 Jahr Quaral Anzahl 997 I 90'97 II 5'88 III 9'980 IV 03' I 97'484 II '49 III 35'79 IV 08' I 93'64 II 6'569 III 43'90 IV ' I 08'580 II 33'330 III 44'86 IV 7' I '074 II 34'468 III 47'79 IV 4'77 00 I 5'779 II 36'49 III 48'460 IV 7' I 8'387 II 43'586 III 53'698 IV 9' I 0'698 II 48'4 III 59'9 IV 36'405 5'85 Besimmung des linearen Wachsums mi Regressionsmodell in EViews Folie 8 60, ,000 0,000 00,000 80,000 Die verbleibende Zeireihe ("Residual") enhäl nur noch Saisonaliä und Reserm Residual Acual Fied EViews: Mehod Leas Squares Lineare Regression F = β 0 + β + u {,3} F = 07'

10 Folie 9 Beispiel exponenielles Wachsum: Bevölkerung der USA und der CH Enwicklung der Bevölkerung zwischen 90 und 999 Quelle: Bevölkerungsindex [90 = 00%] USA Simulaion CH Jährliche Veränderung [%] USA Simulaion CH Die Bevölkerung enwickel sich exponeniell. Prozenuale Zunahme pro Jahr (Durchschni 90 bis 999) USA:.9% / Simulaion:.00% / CH: 0.78% Exponenielle Wachsumsfunkion F = β 0 β (Beispiel: β =.0 ensprich % jährlicher Zunahme) Folie 0 Beispiel: Bevölkerung Besimmung von exponeniellem Wachsum mi EViews EViews: Mehod Leas Squares mi der logarihmieren Zeireihe log(f = β 0 β ) => log(f ) = log(β 0 ) + log(β ) Umkehrung: exp(log(f ) = exp(log(β 0 ) + log(β ) ) => F = β 0 β USA: LOG(POP_USA) = *TIME => F = β 0 β = Simul: LOG(POP_SIMUL) = *TIME => F = β 0 β = CH: LOG(POP_CH) = *TIME => F = β 0 β = Achung: Die Residuen der realen Zeireihen (USA, CH) sind sark auokorrelier.

11 Beispiel: Polynomiales Wachsum: CO -Konzenraion Mauna Loa Folie Anpassung einer polynomialen Regression für die glae Komponene Zusäzlich Modellierung saisonaler Schwankungen mi Dummy-Variablen für jeden Mona Y = β 0 + β + β + β Σα i + E {,...,488} α i Dummy-Variablen für die Monae (siehe weier unen im Skrip) i {,...,} Beispiel: CO -Konzenraion Besimmung einer polynomialen Regression mi EViews EViews: co c ime ime^ Folie CO CUBIC_TREND Polynomiale Regression F = β 0 + β + β + β Σd i F = E Σd i

12 Folie 3 Achung: Auokorreliere Residuen Durbin-Wason-Tessaisik = => Residuen hoch korrelier RESID Verbesserung: Schäzung mi korrigierem Verfahren Beispielsweise Einfügen zeiverzögerer Variablen Beispielsweise Cochrane-Orcu-Verfahren oder Prais-Winsen-Schäzer Siehe Kapiel Regression von Zeireihen in der Lernsequenz 04 Trendbesimmung durch Filerung / Gläung Folie 4 Filerung einer Zeireihe (Gleiender Durchschni) Ein Trend kann durch Filerung der Zeireihe geschäz werden. Voraussezung: Saisonale Schwankung is bereinig oder nich vorhanden. Zur Filerung wird mi einem addiiven, linearen Filer eine neue Zeireihe erzeug Y ~ = q i= p ay i + i Beispiel für p=, q=3: Yɶ = a Y + a Y + a Y + a Y + a Y + a Y Die a i werden als Gewiche bezeichne Die gegläee Reihe wird als Trend idenifizier. Die Abweichungen bilden den sochasischen Reserm. Nacheil: Der Trend wird nich durch eine Funkionsgleichung beschrieben.

13 Lineare Filerung Einfacher gleiender Durchschni Falls für den addiiven, linearen Filer gil... p = q (Symmerie) Folie 5 p i= p a= (Normierung) i Gleiche Gewiche: a i = /(p+) = /(q+)... handel es sich um den einfachen gleienden Durchschni Yɶ p = Y p + i= p + i Beispiel für p=: Y ɶ = (Y + Y + Y + ) 3 Die Anzahl Gewiche is ungerade n = p + = q +. Die Anzahl Gewiche n heiss Länge respekive Ordnung des Filers. An den Rändern lassen sich p = q gleiende Durchschniswere nich berechnen. Beispiel: Rendie ("Real Rae") mi gleiendem Durchschni Drei verschiedene Filer: p = => n = 3 p = 5 => n = p = => n = 3 Folie RR0 RR0_ RR0_03 RR0_3

14 Allgemeiner gleiender Durchschni Die Lage der Gewiche kann asymmerisch sein. Zusäzlich können die Gewiche verschieden voneinander sein, wobei die Normierung bleib. p q (Asymmerie) q i= p a= (Normierung) i Folie 7 Achung: Einfache gleiende Durchschnie werden durch saisonale Schwankungen verzerr. Um saisonale Schwankungen auszuschalen, müssen die gleiende Durchschnie mi der Zykluslänge übereinsimmen Beispiel Quaralsdaen => 4-gliedriger gleiender Durchschni Der gleiende Durchschni für die Quaralsdaen is gerader Ordnung. Deshalb läss sich der Durchschniswer keinem Zeipunk eindeuig zuordnen. Gleiender Durchschni mi gerader Ordnung / Zenrierer Filer Wie läss sich ein gleiender Durchschni mi gerader Ordnung zenrieren? Folie 8 Eine ungerade Anzahl Zeireihenwere wird zur Berechnung herangezogen. Die beiden äusseren Zeireihenwere werden mi dem Fakor ½ gewiche. Die Gewiche am Rand zenrieren das Fenser am beobacheen Zeipunk. Zenrierer n-gliedriger gleiender Durchschni (n gerade) Yɶ y y y n/ = n/ + k + + n/ n k= n/+ Beispiel Quaralsdaen Y ~ = Y + Y + Y + Y+ + Y+ 4 Beispiel Monasdaen Y ~ = Y 6 + Y Y + Y + Y+ + + Y+ 6 An den Rändern lassen sich n/ gleiende Durchschniswere nich berechnen.

15 Beispiel: Daen einer Verkehrszählung Folie 9 Jahr Quaral Anzahl n = 3 n = I II 588 ' III '304 0' IV '7 '9 998 I '38 3' II 49 8'06 4' III 3579 '76 5' IV '457 5' I '553 6' II 6569 '33 8' III '508 0' IV 764 '5 3'6 000 I '5 4' II '73 5' III '708 6' IV '89 6'69 00 I 074 '07 7'08 00 II '940 7'35 00 III '58 7' IV 477 5'98 8'36 00 I 5779 '333 8'77 00 II '577 30' III '45 3'33 00 IV 793 3'380 33' I '755 35' II '557 36' III '380 36' IV '75 37' I '893 38' II 484 4'684 40' III ' IV '000 70'000 Daen der Verkehrszählung Filer mi n = 3 60'000 Filer mi n = 4 50'000 40'000 30'000 0'000 0'000 00'000 90'000 80' Beispiel: CO -Konzenraion Mauna Loa Folie 30 Filer für Monasdaen (n = ) smooh = /*(0.5*co(-6)+co(-5)+co(-4)+co(-3)+co(-)+co(-)+co(0)+co()+co()+co(3)+co(4)+co(5)+0.5*co(6)) =>

16 Einfache exponenielle Filerung Exponeniell abfallende Gewiche gewichen weier zurückliegende Beobachungen heruner. i w i =α( α ) 0<α w0 w w... > 0 τ 0 +, = i i =α α +α α +α α + +α α i= 0 Yɶ wy ( ) Y ( ) Y ( ) Y... ( ) Y Y ɶ Einschriprognose zur Zei für den Zeipunk + +, = τ = Länge des Filers Folie 3 Voraussezung: Trend und saisonale Schwankung sind bereinig oder nich vorhanden. Die Summe der Gewiche is für α < und grosse nahe bei (<=> Normierung) τ τ i τ τ w i = α( α ) = ( α) lim[ ( α ) ] = τ i= 0 i= 0 α heiss Gläungsparameer ("smoohing parameer") Daumenregel: α wird häufig zwischen 0. und 0.3 gewähl. Je nach Wahl von α, werden zurückliegenden Beobachungen verschieden sark gewiche. Folie 3 Beispiel für Filer mi Länge τ = 6 w , = i i =α α +α α +α α + +α α i= 0 Yɶ wy ( ) Y ( ) Y ( ) Y... ( ) Y α = α = α << Konsane Reihe α = 0.8 α = α = Reprodukion der Reihe Gewiche w 0, w, w,..., w 5

17 Beispiel: Exponenielle Filerung einer Rendie ("Real Rae") mi EViews (α = 0.) Folie RR0 RR0_SM Exponenielle Filerung mi Trend und Saisonaliä Die einfache exponenielle Gläung eigne sich nich für Zeireihen mi Trend oder Saisonaliä. Trend und Saisonaliä können aber in die exponenielle Gläung einbezogen werden. In EViews seh dazu das Hol-Winers Verfahren zur Verfügung. Folie 34

18 Auszug aus EViews-Help Folie 35 Beispiel mi EViews: Monhly housing sars (Quelle: Monaliche Daen zu Baubewilligungen in den USA von Januar 985 bis Dezember 99 Hol-Winers-Addiiv Hol-Winers-Muliplikaiv Folie HSSM_ADD HS HSSM_MULT HS

19 Kennzahl zur Qualiä der Filerung Folie 37 Wurzel aus der mileren quadraischen Disanz der gefileren Zeireihe zur Originalzeireihe ("Roo mean squared error") RMSE = (Y Y) ɶ n Y Wer der Originalzeireihe Y ɶ Vom Filer berechner Wer n Anzahl Beobachungen RMSE reagier empfindlich auf einzelne, grosse Abweichungen. Der Wer von RMSE is von der Skala der Variablen abhängig. Deshalb is ein Vergleich nur zwischen gleichen Zeireihen sinnvoll. Besimmung der Saisoneffeke mi Dummyvariablen Folie 38 Dummyvariablen (Indikaorvariablen) Ein Regressor, der die Were 0 oder annimm, heiss Dummy- oder Indikaorvariable. Saisoneffeke lassen sich durch Dummyvariablen beschreiben. Beispiel Quaralsdaen: Für jedes Quaral i wird eine Dummyvariable definier. Q i = i-es Quaral 0 sons Die Quaralsdummys erfüllen für alle Zeipunke =,b,n die Bedingung Q + Q + Q 3 + Q 4 =

20 Regressionsmodell mi quaralsspezifischem Inercep Regressionsmodell mi quaralsspezifischem Inercep und linearem Trend Y = β +δ Q +δ Q +δ Q +β + u Folie 39 Q i Quaralsdummys Im Regressionsmodell mi Inercep muss die Anzahl der Dummys n - beragen. Sons läge exake Mulikollineariä vor, so dass das Modell nich mehr geschäz werden kann. Srukurbrüche / Regime Dummy-Variablen eignen sich hervorragend, um das Vorhandensein eines besimmen Zusandes zu codieren: Konjunkur/Sagnaion, Zei vor/nach Ölpreis-Schock, Finanzkrise d = Umsand is vorhanden 0 sons Beispiel: Daen einer Verkehrszählung Folie Gleichung V = β 0 + β + ΣD i V = Σd i Wobei β 0 + β den linearen Trend abbilde und ΣD i die Saisonaliä TRAFFICF TRAFFIC Dummy-Variablen D, D, D3 D: Frühling, D: Sommer, usw. Der Inercep C enhäl den Einfluss der nich im Modell eingeführen Quarals-Dummy-Variablen D4.

21 Prognose Folie 4 Exponenielle Filerung Für Prognosen mi kleinem Zeihorizon eigne sich die exponenielle Filerung. Sie biee eine flexible und robuse Lösung, um das Spekrum an Gewichungsvorschrifen mi Hilfe des einzigen Parameers α abzudecken. Eigenschafen Vergangene Were fliessen mi exponeniell abnehmender Gewichung in die Prognose ein. Mi α 0 ergib sich eine konsane Reihe. Mi α = wird die ursprüngliche Reihe reproduzier. Daumenregel: Je "unruhiger" der Verlauf einer Zeireihe, deso kleiner α wählen. Ohne Vorgaben erfolg die Wahl von α so, dass der Prognosefehler minimier wird. (y Y) ɶ min Eigenschafen Rekursionsformel (durch Umsellen der Formel auf Folie 3 und Anwendung an Daen) ŷ ŷ = y +, = αy + ( α)ŷ, Folie 4 Eine Umsellung der Rekursionsformel zur sogenannen Korrekurformel zeig: Fäll der Prognosewer für den Zeipunk zu niedrig (zu hoch) aus, dann wird der nächse Prognosewer um den mi α gewicheen Prognosefehler nach oben (nach unen) korrigier. Korrekurformel ŷ ŷ +, +, = ŷ = ŷ,, +α(y ŷ, +α Pr ognosefehler ) Grosse α: Schnelle Anpassung des Prognosefehlers. Kleine α: Langsame Anpassung des Prognosefehlers. Bei gegebenen Daen beruh die Prognose künfiger Were auf dem lezen gegläeen Wer. Die Prognose is deshalb eine Konsane für alle Prognosehorizone h. τ Y ɶ =... = Yɶ = Yɶ = wy + h + + i i i= 0

22 Beispiel: Rendie ("Real Rae") mi exponenieller Filerung Modell: Januar 997 bis Januar 003 Ex Pos Prognose: Februar 003 bis Januar 007 Folie REAL_RSM_E XPOS REAL_RATE Regressionsmodell Für Prognosen mi grösserem Zeihorizon eignen sich Regressionsmodelle. Ein künfiger Wer ŷ kann durch Einsezen des ensprechenden x-weres in das geschäze Regressionsmodell vorhergesag werden: ŷ = β 0 + β x Folie 44 Unbedinge Prognose: Der Wer für x is bekann. Bedinge Prognose: Der Wer für x is nich bekann und muss zuers prognosizier werden. Beispiel für bedinge Prognose: Einkommen und Konsum (Hackl 03) Ĉ Ĉ Y = Y = Jährliche Zuwachsrae des realen privaen Konsums = Jährliche Zuwachsrae des realen verfügbaren Einkommens Für die Prognose von Ĉ muss zuers Y prognosizier werden.

23 Prognoseinervalle Die prognosizieren Were sind Zufallsvariablen (<=> Parameer werden geschäz) Die Prognosequaliä wird durch Prognoseinervalle angegeben. Folie 45 Varianz des Prognosenfehlers (ŷ p y p ) an der Selle x p (x x) Var(y ˆ ˆ y ) s T (x x) p p p = + + Eigenschafen Je weier x p vom Sichprobenmielwer lieg ((x p x ) ), deso grösser is die Varianz. Prognosen für enferne Were sind ungenauer. Je grösser die Sreuung der x-were is (Σ(x x ) ), deso kleiner is die Varianz. Je grösser die Sichprobe T is, deso kleiner is die Varianz. Je grösser der Sandardfehler der Regression is (s ), deso grösser is die Varianz. Folie 46 Prognoseinervall für ŷ 0 an der Selle x 0 yˆ ± Var(y ˆ ˆ y ) p α/, ν p p Wobei α/,ν der kriische Wer der -Vereilung zum Fehlerrisiko α mi Parameer ν is. Beispiel: ν =5 = 4, Fehlerrisiko α = 5% => Konfidenzniveau 95%, zweiseiig: =.45 zweiseiig einseiig ν

24 Einfaches Beispiel (x x) Var(y ˆ ˆ y ) s T (x x) p p p = + + yˆ ± Var(y ˆ ˆ y ) p α p p (x 7.0) ± + + p ŷp T x y (x x ) Folie 47 x (x x ) Regressionsgerade Prognoseinervalle Weiere Filer Folie 48 Hodrick-Presco Filer (Gläung) The Hodrick-Presco Filer is a smoohing mehod ha is widely used among macroeconomiss o obain a smooh esimae of he long-erm rend componen of a series. The mehod was firs used in a working paper (circulaed in he early 980's and published in 997) by Hodrick and Presco o analyze poswar U.S. business cycles. Technically, he Hodrick-Presco (HP) filer is a wo-sided linear filer ha compues he smoohed series s of y by minimizing he variance of y around s, subjec o a penaly ha consrains he second difference of s. Tha is, he HP filer chooses s o minimize: T = T ( y s) +λ ((s s ) (s s )) = + The penaly parameer λ conrols he smoohness of he series σ. The larger he λ, he smooher he σ. As λ =, σ approaches a linear rend.

25 Beispiel: Rendie mi Hodrick-Presco Filer Folie HPTREND0 REAL_RATE 00 Jahresdaen Empfohlene Were λ = '600 Quaralsdaen 4'400 Monasdaen Tramo/Seas Prozedur (Seasonal Adjusmen) Folie 50 Tramo ("Time Series Regression wih ARIMA Noise, Missing Observaions, and Ouliers") performs esimaion, forecasing, and inerpolaion of regression models wih missing observaions and ARIMA errors, in he presence of possibly several ypes of ouliers. Seas ("Signal Exracion in ARIMA Time Series") performs an ARIMA-based decomposiion of an observed ime series ino unobserved componens. The wo programs were developed by Vicor Gomez and Agusin Maravall. Used ogeher, Tramo and Seas provide a commonly used alernaive o he Census X program for seasonally adjusing a series. Typically, individuals will firs "linearize" a series using Tramo and will hen decompose he linearized series using Seas. EViews provides a convenien fron-end o he Tramo/Seas programs as a series proc. Simply selec Proc/Seasonal Adjusmen/Tramo Seas... and fill ou he dialog. EViews wries an inpu file which is passed o Tramo/Seas via a call o a.dll, and reads he oupu files from Tramo/Seas back ino EViews (noe: since EViews uses a new.dll version of Tramo/Seas, resuls may differ from he older DOS version of he program).

26 Beispiel: Rendie mi Tramo/Seas Prozedur Folie Final rend-cycle REAL_RATE Für Harnäckige: Census X (Seasonal Adjusmen) Folie 5 EViews provides a convenien fron-end for accessing he U.S. Census Bureau's X seasonal adjusmen program from wihin EViews. The X seasonal adjusmen program XA.EXE is publicly provided by he Census and is insalled in your EViews direcory. When you reques X seasonal adjusmen from EViews, EViews will perform all of he following seps: wrie ou a specificaion file and daa file for he series. execue he X program in he background, using he conens of he specificaion file. read back he oupu file and saved daa ino your EViews workfile. Users who desire a more deailed discussion of he X procedures and capabiliies should consul he Census Bureau documenaion. The full documenaion for he Census program, X- ARIMA Reference Manual, can be found in he DOCS subdirecory of your EViews direcory in he PDF files (FINALPT.PDF and FINALPT.PDF). Idee: Aufeinanderfolgendes Isolieren der Trend-, Saison- und Reskomponene. Zerlegung wird mehrfach ierier.