Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main

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Ursula Buchholz
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1 Johann Wolfgang Goehe-Universiä Frankfur am Main Fachbereich Wirschafswissenschafen Professur für Saisik und Ökonomerie (Empirische Wirschafsforschung) Prof. Dr. Reinhard Hujer Meronsraße 7 Posfach 9 3 D Frankfur am Main Telefon: +49 (069) Fax +49 (069) hujer@wiwi.uni-frankfur.de Frankfur, 6. November 00 Übungsaufgaben zu Saisik II im WS 0/03 Aufgabe Für 8 voneinander unabhängige Personen, die im Erdgeschoß eines Hauses in einen Aufzug einseigen, is jeweils die Wahrscheinlichkei in Eage,,3 und 4 auszuseigen, wie folg gegeben: Eage : 0,4 Eage : 0,3 Eage 3: 0, Eage 4: 0, a) Wieviele Kombinaionsmöglichkeien gib es, dass von den 8 Personen 3 Passagiere in Eage, Passagiere in Eage, Passagiere in Eage 3 und Passagier in Eage 4 ausseigen? b) Wie groß is die Wahrscheinlchkei, dass 3 Passagiere in Eage, Passagiere in Eage, Passagiere in Eage 3 und Passagier in Eage 4 ausseigen? c) Beweisen Sie, dass die Symmerieeigenschaf der Sandardnormalvereilung F N (-x) = - F N (x) die Beziehung x p = x p zwischen dem p 00 % Quanil p Hinweis: F ( x ) p N p = x und dem ( ) 00 p % Quanil x p implizier.

2 Aufgabe a) Die Merkmale X und Y sind unabhängig voneinander. Die zufälligen Ausprägungen des Vekors (X,Y) werden mi Hilfe der bivariaen Normalvereilung modellier. Dabei is die Randvereilung von X eine Normalvereilung mi µ x = 5 und σ x = 4 während die Parameer µ y = 7 und σ y = die marginale Vereilung von Y definieren. Beschreiben Sie formal die gemeinsame Dichefunkion von (X,Y). b) Sei X eine hypergeomerisch vereile Zufallsvariable mi Dichefunkion f H ( x N, n, M), wobei aus den insgesam N Kugeln eine % -ige Zufallssichprobe gezogen wird. Da die Bedingung n/n = 0,0 0,05 erfüll wird, kann die Zufallsvariable X auch approximaix durch eine Binomialvereilung beschrieben werden. Wie müssen die ensprechenden Parameer für die Versuchsanzahl sowie für die Erfolgswahrscheinlichkei der zu verwendenden Binomialvereilung gewähl werden? c) Erklären Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe b). d) Welche Vereilungsform ha die Sichprobenfunkion X = n n X i i=, die ein arihmeisches Miel der unabhängig idenisch vereilen Zufallsvariablen X i mi E(X i ) = λ und Var(X i ) = λ is? Charakerisieren Sie die Vereilung von X durch den Erwarungswer und die Varianz. Aufgabe 3 3a) Zeigen Sie, daß für n unabhängige Sichprobenzüge X,..., X n mi E( X i ) = µ und Var( X i ) = σ die Schäzfunkion ~ σ = ( X X n ) erwarungsreu für σ is. Hinweis: Erweiern Sie die Differenz um µ! 3b) Der nowendige Sichprobenumfang n is für einen vorgegebenen absoluen Fehler p (dichoome Grundgesamhei, Modell mi Zurücklegen): n = z p ( p ) ( p ) Beweisen Sie diese Behaupung. 3c) Zeigen Sie außerdem, daß n aus 3b) für p = 0,5 maximal is.

3 Aufgabe 4 4a) Der Ausschußaneil einer sehr großen Warenlieferung beräg 5 %. Die Sendung wird abgelehn, wenn in einer Sichprobe vom Umfang 0 mehr als 3 fehlerhafe Sücke aufreen. Welche Wahrscheinlichkei für die Ablehnung is zu erwaren? 4b) In einer zu überprüfenden Warenlieferung sind drei unerschiedliche Produkionsypen S, S, S3 mi den Aneilen 60 %, 30 % bzw. 0 % enhalen. Wie groß is die Wahrscheinlichkei, daß bei einer zufälligen Ennahme von drei Teilen je ein Sück jedes Produkyps zu finden is? 4c) Ein Herseller von Texilien will mi Hilfe einer Sichprobe aus einem Lagerbesand von.000 Texilien fessellen, wieviel Prozen seiner hergesellen Waren einen Webfehler haben. Es sollen die beiden alernaiven Annahmen überprüf werden, daß enweder 5 % oder 5 % seiner Waren einen Webfehler aufweisen. Anhand einer Sichprobe vom Umfang n=0 (ohne Zurücklegen) soll nun enschieden werden, welcher dieser Aneile richig is. Die Wahrscheinlichkeien für die möglichen Sichprobenergebnisse lauen: n p=5 % 0,599 0,35 0,075 0,0 0,00 0,000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 p=5 % 0,97 0,347 0,76 0,30 0,040 0,009 0,00 0,000 0,0 0,0 0,0 Wir nehmen an, daß in der Sichprobe zwei fehlerhafe Sücke enhalen sind. Für welchen Aneilswer in der Grundgesamhei würden Sie sich enscheiden? Erklären Sie anhand dieses Beispiels, was Sie uner Maximum Likelihood versehen. 3

4 Aufgabe 5 5a) Die Lebensdauer einer Bildröhre sei normalvereil mi dem Mielwer µ = Sunden und der Sandardabweichung σ = 700 Sunden. Wie groß is die Wahrscheinlichkei, daß die Lebensdauer einer Bildröhre. mehr als Sunden beräg,. zwischen.70 und Sunden lieg? 5b) Ein Fabrikan enwickel eine neue Bildröhre und behaupe, daß diese eine längere Lebensdauer besiz. Hierzu wird ein Experimen mi n = 5 dieser neuen Bildröhre durchgeführ (die Lebensdauer der neuen Bildröhre sei ebenfalls normalvereil mi einer Sandardabweichung von σ = 700 Sd.).. Besimmen Sie für den Tes mi H 0 : µ = µ gegen die Alernaive H : µ > den kriischen Bereich für den Mielwer (α = 5%).. Erläuern Sie anhand dieses Beispiels den Fehler. Ar und den Fehler. Ar. 3. Welcher Zusammenhang beseh zwischen der Operaionscharakerisik und dem Fehler. Ar? 4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkei des Fehlers. Ar für den Tes, falls der wahre Mielwer für die Lebensdauer der neuen Bildröhre µ = Sunden beräg. Aufgabe 6 Eine im Jahr 995 durchgeführe Befragung von 500 Frankfurer Sudenen bezüglich der Höhe der Zimmermieen ergab eine durchschniliche monaliche Miehöhe von 500 DM mi einer Sandardabweichung von 0 DM. 6a) Errechnen Sie das 95 %-Konfidenzinervall und das 99 %-Konfidenzinervall für die durchschniliche monaliche Miehöhe aller Frankfurer Sudenen. Wie veränder sich das Inervall bei Vergrößerung der Wahrscheinlichkei. 6b) Wie groß muß der Sichprobenumfang n sein, wenn mi einer Wahrscheinlichkei von 95 % von µ lediglich Abweichungen in Höhe von ± 5 DM zugelassen sind? 6c) Eine zum gleichen Zeipunk erfolge Befragung von 300 Marburger Sudenen ergab eine durchschniliche monaliche Zimmermiee von 400 DM mi einer Sandardabweichung von 00 DM. Geben Sie ein 95 %-Konfidenzinervall für die Differenz der beiden Mielwere (= durchschniliche Mieausgaben für Zimmer) an. 4

5 6d) Prüfen Sie mi einer Irrumswahrscheinlichkei von %, ob aufgrund der Sichprobenergebnisse darauf geschlossen werden kann, daß die Marburger Sudenen im Durchschni eine andere Miee zahlen als die Frankfurer Sudenen Aufgabe 7 7a) Eine Befragung von 00 Personen im Hinblick auf die Warezeien bei Arzbesuchen ergab folgende Were: Warezei (in Sd.) Häufigkei 0 < x 0,5 55 0,5 < x 30 < x,5 5,5 < x 0 Ermieln Sie mi Hilfe des χ -Anpassungsess, ob die Häufigkeisvereilung durch eine Exponenialvereilung mi einem geschäzen Parameer λ = 8, angenäher werden kann (α = 0, 05). 7b) Die Warezei der 00 beobacheen Personen vereilen sich wie folg auf HNO- und Augenarz: Warezei (in Sd.) HNO-Arz Augenarz bis 0, ,5 bis,0 0 0,0 bis,5 6 9 Überprüfen Sie mi α = 0,0 die Hypohese, die Warezei sei unabhängig vom Arzyp. 5

6 Aufgabe 8 Folgende Arbeisnachfragefunkion wurde besimm: EMP b GDP b b3 = WAGE mi EMP = Beschäfige Arbeinehmer im Inland (Jahresdurchschni) GDP = Bruoinlandsproduk (in Mrd. DM, in Preisen von 99) WAGE = Monaliches Bruoeinkommen aus unselbsändiger Arbei je durchschnilich beschäfigen Arbeinehmer (in Preisen von 99) Mi den ensprechenden Daen des Saisischen Bundesames (Fachserie 8, Reihe.) für den Zeiraum von 970 bis 993 (n = 4) ließen sich für die alen Bundesländer folgende Rechenergebnisse ermieln: ln GDP = 8, 83 ln WAGE = 99, 6 (ln GDP ) = 393., 34 (ln WAGE ) = 65., 99 ln EMP ln GDP = 84.,66 ln WAGE ln GDP = 57., 56 und ln EMP ln WAGE =. 006,09 (ln EMP ln EMP) = 0,05606 (ln EMP ln EMP ) = 0,003 σ b = 0,47573 σ b = 0,04767 sowie σ b3 = 0, a) Ermieln Sie durch ensprechende Umformungen einen mi der Kleins-Quadrae-Mehode schäzbaren Ansaz für diese Arbeisnachfragefunkion. Berechnen Sie für diese Funkion nach der Kleins-Quadrae-Mehode den Parameer b 3 und inerpreieren Sie dessen Wer. Die Were der übrigen Koeffizienen sind: ln b = 8, und b = 0, b) Berechnen Sie das Besimmheismaß R für diese Regression und inerpreieren Sie es. 8c) Überprüfen Sie, ob die geschäzen Parameer b und b 3 signifikan von Null verschieden sind (Signifikanzniveau α = 0,05). 8d) Tesen Sie die Signifikanz der Regressionsgleichung bei α = 0,05. 6

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