Stetige Gleichverteilung auf [a, b]

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Marie Wetzel
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1 2.2.2 Seige Vereilungen Seige Gleichvereilung auf [a, b] Bezeichnung: X U[a, b]. Dichefunkion: (a < b) f() = 1 b a : a b 0 : sons Vereilungsfunkion: 0 : < a a F () = : a b b a 1 : > b Median(X) = EX = a + b 2 Eigenschafen: nichinforaive Vereilung Anwendung: und VarX = (a b)2 12 Grundlage für die Erzeugung von Zufallszahlen In allen Teilinervalle von [a, b], i gleicher Länge, lieg die gleichvereile Zufallsvariable i derselben Wahrscheinlichkei. Beispiel: X U[2, 4]

2 Bezeichnung: X N(µ, σ 2 ). Dichefunkion: (σ > 0) Eigenschafen: Noralvereilung f() = 1 σ 1 2π e 2 ( µ σ )2 Median(X) = EX = µ und VarX = σ 2 Die Sue unabhängiger noralvereiler Zufallsgrößen is noralvereil: n n n X i N(µ i, σi 2 ) i = 1,..., n = X i N(µ, σ 2 ) i µ = µ i, σ 2 = σi 2. i=1 Die sandardisiere Sue unabhängiger, idenisch vereiler Zufallsgrößen X 1, X 2,... konvergier in Vereilung gegen die Sandardnoralvereilung (Zenraler Grenzwersaz). Anwendungen: Die Noralvereilung eine wichige Näherungsvereilung (Zenraler Grenzwersaz). Zufällige Messfehler sind of (zuindes näherungsweise) noralvereil. Die zufällige Abweichungen vo Sollaß bei Ferigen von Werksücken is of (zuindes näherungsweise) noralvereil. Viele Verfahren der Saisik basieren auf dieser Vereilung. Beispiele: X N(µ, σ 2 ) i=1 i=1 Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() µ = 0, σ 2 = 1 µ = 0, σ 2 = 3 µ = 2, σ 2 = 1 µ = 2, σ 2 = 0.4 F() µ = 0, σ 2 = 1 µ = 0, σ 2 = 3 µ = 2, σ 2 = 1 µ = 2, σ 2 =

3 Sandardnoralvereilung Is X noralvereil i Erwarungswer µ und Varianz σ 2 (X N(µ, σ 2 )) dann is Y = X µ σ sandardnoralvereil, d.h. noralvereil i Erwarungswer 0 und Varianz 1 (Y N(0, 1)). Vereilungsfunkion: Die Vereilungsfunkion der Sandardnoralvereilung wird i Φ bezeichne und is verafel.

4 Bezeichnung: X LogN(µ, σ 2 ). Dichefunkion: (σ > 0) Logarihische Noralvereilung f() = 1 σ 2π e 1 2 ( ln µ σ ) 2 : > 0 0 : 0 Median(X) = e µ, ( ) σ2 µ+ EX = e 2 und VarX = e 2µ+σ2 e σ2 1 Eigenschafen: ln X N(µ, σ 2 ). Anwendungen: bei Zeisudien und Lebendaueranalysen in ökonooischen, echnischen und biologischen Vorgängen; bei Unersuchungen in der analyischen Cheie, wie Konzenraionsund Reinheisprüfungen; für zufällige nichnegaive Maerialparaeer, z.b. Pereabiliäen; als Grenzvereilung für Produke unabhängiger posiiver Zufallsgrößen (uner besien Bedingungen). Beispiel: X LogN(0, σ 2 ) Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() σ = 3 σ = 1.5 σ = 1 σ = 0.5 σ = 0.25 σ = F() σ = 3 σ = 1.5 σ = 1 σ = 0.5 σ = 0.25 σ = 0.125

5 Bezeichnung: X Exp(λ). Exponenialvereilung Dichefunkion: (λ > 0) Vereilungsfunkion: f() = F () = λ e λ : 0 0 : < 0 1 e λ : 0 0 : < 0 Median(X) = ln 2 λ, EX = 1 und VarX = 1 λ λ 2 Eigenschafen: Vereilung ohne Gedächnis, d.h P (X x + X x) = P (X ) (Markov Eigenschaf) Die Sue unabhängiger und idenisch exponenialvereiler Zufallsgrößen is Gaavereil. Anwendungen: Der Absand zwischen zwei Ereignissen eines hoogenen Poisson-Prozesses i Inensiä λ is exponenialvereil i Paraeer λ. Für diesen hoogenen Poisson- Prozess is die Anzahl der Ereignisse i Inervall [0, ] poissonvereil i Paraeer λ (N Poi(λ )). Weier sind, gegeben N = n, die Punke des hoogenen Poisson-Prozesses gleichvereil auf [0, ]. Anwendung finde die Exponenialvereilung als Lebensdauervereilung (ohne Alerung), in der Zuverlässigkeisheorie und in der Bedienungsheorie. Beispiele: X Exp(λ) Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() λ = 0.25 λ = 0.5 λ = 0.75 λ = 2 F() λ = 0.25 λ = 0.5 λ = 0.75 λ = 2 6 6

6 Gaavereilung Bezeichnung: X Ga(p, λ). Paraeer: λ > 0 : Skalenparaeer p > 0 : Forparaeer Dichefunkion: Mi Γ der Gaafunkion: Γ(p) = 0 Moene: f() = λ p Γ(p) p 1 exp ( λ) : > 0 0 : 0 exp( ) p 1 d p > 0 (dai is Γ(1) = 1 und Γ(n) = (n 1)! für n N). EX = p λ und VarX = p λ 2 Eigenschafen: X 1 Ga(p 1, λ), X 2 Ga(p 2, λ), unabhängig X i Exp(λ), i = 1,..., n, unabhängig = X 1 + X 2 Ga(p 1 + p 2, λ) = n X i Ga(n, λ) i=1 Spezialfall: Erlangvereilung falls p = n N. Anwendung: Lebensdauervereilung. Beispiele: X Ga(p, λ) Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() p = 0.5, λ = 1 p = 0.5, λ = 2 p = 1, λ = 1 p = 1, λ = 2 p = 2, λ = 1 p = 2, λ = 2 F() p = 0.5, λ = 1 p = 0.5, λ = 2 p = 1, λ = 1 p = 1, λ = 2 p = 2, λ = 1 p = 2, λ = 2

7 Bezeichnung: X Wei(α, β, ). Weibull-Vereilung Paraeer: α : Verschiebungsparaeer (Lageparaeer) β > 0 : Skalenparaeer und > 0 : Forparaeer Beerkung: Is α = 0, so sprich an von der 2-paraerigen Weibullvereilung. Dichefunkion: Vereilungsfunkion: ( ) 1 ( ) α f() = β β exp ( α β ) : > α 0 : α F () = 1 exp ( ( α β ) ) : > α 0 : α ( Median(X) = α + β (ln 2) 1 und EX = α + β Γ ) ( ( VarX = Γ ) ( ( Γ )) ) 2 β 2 i Γ der Gaafunkion. Anwendung: In der echanischen Verfahrensechnik finde die Weibull-Vereilung Anwendung als eine spezielle Parikelgrößenvereilung. Hier wird sie auch als RRSB- Vereilung (nach Rosin, Raler, Sperling und Benne) bezeichne. Eine Weibullvereilung kann als Grenzvereilung für das Miniu einer großen Zahl von unabhängigen Zufallsgrößen aufreen (Vereilung des schwächsen Keengliedes), deshalb sind Lebensdauern von Syeen of weibullvereil. Beispiele: X Wei(0, 1, ) Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() = 0.5 = 1 = 1.5 = 5 F() = 0.5 = 1 = 1.5 =

8 Fréche-Vereilung Bezeichnung: X Fre(α, β, ). Paraeer: α : Verschiebungsparaeer (Lageparaeer) β > 0 : Skalenparaeer > 0 : Forparaeer Dichefunkion: ( ) (+1) ( ) α exp ( f() = α β β β ) : > α 0 : α Vereilungsfunkion: F () = exp ( ( α β ) ) : > α 0 : α (i Γ der Gaafunkion) Median(X) = α + β VarX = ( ) 1 1 ln 2 ( Γ ( ( ( 1 ) 2 Γ 1 1 und EX = α + β Γ ( ) 1 1 )) 2 ) β 2 : > 2 : sons : > 1 : sons Anwendung: Als eine Exrewervereilung is sie eine wichige Vereilung zur Besiung von Risiken in der Finanzsaisik. Beispiele: X Fre(0, β, ) Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() 1.2 β = 1, = 1 β = 1, = 2 β = 1, = 3 β = 2, = 1 β = 2, = 2 β = 2, = 3 F() β = 1, = 1 β = 1, = 2 β = 1, = 3 β = 2, = 1 β = 2, = 2 β = 2, = 3

9 Gubel-Vereilung Bezeichnung: X Gu(α, β). Paraeer: α : Verschiebungsparaeer (Lageparaeer) β > 0 : Skalenparaeer Dichefunkion: Vereilungsfunkion: f() = 1 β α e β e e α β α F () = e e β EX = α + βγ i γ 0, 5772 der Euler-Mascheroni-Konsane. Median(X) = α β ln(ln(2)) und VarX = β2 π 2 Anwendung: Als eine Exrewervereilung z.b. in: - der Wasserwirschaf (für exree Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeien), - der Verkehrsplanung, - der Meeorologie, - der Hydrologie. Beispiele: X Gu(α, β) 6 Dichefunkionen Vereilungsfunkionen f() α = 0, β = 0.7 α = 0, β = 1 α = 0, β = 2 α = 1.5, β = 1 F() α = 0, β = 0.7 α = 0, β = 1 α = 0, β = 2 α = 1.5, β =

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