Rüdiger Scholz Die Poisson-Verteilung foexlab-materialien

Transkript

1 Rüdiger Scholz Die Poisson-Vereilung foexlab-maerialien

2 Poisson-Vereilung Anforderungsniveau Maheaik Sichwore LFB Theorie: Einfach Experien: Einfach ahe Sochasik Mielwer, Varianz, Sichprobe, Wahrscheinlichkeisvereilung, Poisson- Ipuls-Prozess Saisische Opik Fragene der QO Moivaion Die Poisson-Vereilung ha in der Opik eine herausragende Rolle als Vereilung kohärener Lichfelder. Sie wird experienell unverzichbar, wenn der Zugang zur opischen Physik über Zählessungen (Phoouliplier, Avalanchedioden) angesreb wird. 1 Allgeeine Grundlagen 1.1 Saisik von Zählessungen Uner einer Zählessung verseh an in der Physik das einfache Zählen eines Ereignisses, aber auch das Zählen von Ereignissen, wenn diese besien Randbedingungen gehorchen (Koinzidenz, Zei-/Energiefenser). Alle Zählessungen unerliegen saisischen Gesezäßigkeien, die i Kern die Ursache für ypische Flukuaionen und Schwankungen sind. Häufig sind gezählen Ereignisse selbs das Ergebnis sochasischer Prozesse (Quanenopik, radioakiver Zerfall). 1.2 Einige Grundbegriffe Die Wahrscheinlichkeisvereilung P(X = ) einer diskreen Zufallsgröße X nenn die Wahrscheinlichkei dafür, dass X bei deiner Messung den Wer anni. Bei koninuierlichen Größen nenn P(i = I)dI die Wahrscheinlichkei, dass die Zufallsgröße i eine Wer aus de Inervall [I,I + di] anni. Man definier die wichigen Größen Mielwer X und Varianz σ(x) 2 : ( ) X = P X = ; σ 2 = X i = di I P( I = i);σ 2 = di ( ) 2 P( X = ) ( I i ) 2 P( I = i) 1.3 Der Poisson-Ipuls-Prozess (PIP) Die Abb. rechs zeig eine Folge von scharfen Ipulsen (die senkreche Sriche) sowie, gesrichel, eine Raenfunkion λ(), die angib, wie viel Ipulse in der Zei d aufreen. Selle Sie sich z. B eine Folge von elekrischen Spanungspulsen aus deinen Geigerzählrohr vor, For und Höhe der Ipulse is irrelevan (=Geigerodus). wichig is ier nur der Zeipunk des Ipulses k: ( ) = U 0 ( k ) U. (1) k Vorausgesez, λ() die Anzahl der Ipulse pro Sekunde, is bekann; die jez aufreende Aufgabe lieg dann auf der Hand: Mi welcher Wahrscheinlichkei P(,, + τ D) iss an innerhalb einer Messzei τ D zwischen und + τ D gerade Ipulse? Dr. Rüdiger Scholz Juli 2016 Leibniz Universiä Hannover 2

3 Poisson-Vereilung 1.4 Die Begründung der Poisson-Vereilung Wenn die einzelnen Pulse saisisch unabhängig sind, nich zwei zusaenfallen und die Raenfunkion λ() bekann is, läss sich Wahrscheinlichkei berechnen. Die Überlegung is aus de Sochasikunerrich an Schule bekann Man beginn i der Sichprobengröße: M unabhängige Ereignisse werden auf die gesae Prozessdauer vereil, an finde sie zu den Zeien k für k =1, 2,..., M jeweils i der Wahrscheinlichkei p( k ) = λ()d. Die Anzahl von Ereignissen zwischen den Zeien und + τ D is dann binoial vereil: P( ;, + τ D ) = M!! ( M )! +τ D λ ( ')d ' 1 +τ D λ ( ')d ' M (2) I Grenzfall selener Ereignisse aber großer Sichproben, p() gegen Null und zugleich M p() = λ()d P( ;, + τ D ) =,+τ D! +τ ( ) ; wobei D = λ ',+τ D exp,+τ D ( )d ' (3) 1.5 Herleiung der Poisson-Vereilung ewas srenger (1) Die Wahrscheinlichkei für einen einzigen Ipuls i Inerval zwischen und + d is gerade P( 1,, + d) = λ ( )d. (2) Während der Zei d gib es keine uliple-evens also nie ehr als einen Ipuls: P( 0,, + d) = 1 λ ( )d (3) Die Zahl der Ipulse in nich überlappenden Zeiinervallen sei saisisch unabhängig. Dai kann P(,, + τ D) ausgerechne werden: ( ) = P(,, + τ ) P,, + τ + dτ!#"# ( 1 λ ( + τ )dτ )!## "## Ipulse in der Zei bis +τ kein Ipulse in der Zei bis +τ +dτ ( ) + P 1,, + τ!## "## λ ( + τ )dτ!# "# Ipulse in der Zei bis +τ ein Ipulse in der Zei bis +τ +dτ Diese Gleichung kann an uschreiben: ( ) P(,, + τ ) P,, + τ + dτ dτ als Differenzialgleichung: ( )( P( 1,, + τ ) P(,, + τ )) = λ + τ d dτ P (,, + τ ) = λ ( + τ )( P( 1,, + τ ) P(,, + τ )) Mi de Anfangswer P(0,,) = 1 kann an als Lösung dieser Gleichung die Poisson-Vereilung finden: Das is aber gerade Gl. (3). ( ) =,+τ P ;, + τ! +τ exp(,+τ ); wobei,+τ = λ ( ')d ' Consider a bea of ligh falling on soe phooelecric deecor, where phooelecrons are ejeced in a cerain ie inerval T. Only he phooelecrons and no he phoons are, of course, observable and our discussion us herefore be confined o he saisical behaviour of he phooelecrons. [Mandel 1958, 3] Dr. Rüdiger Scholz Juli 2016 Leibniz Universiä Hannover 3

4 Poisson-Vereilung Poissonvereile Größen, wie Zählrohripulse einer Röngenanlage, haben spezifische Zeireihe. Die beiden nächsen Abbildungen zeigen als Gegenübersellung: Die Zeireihe, die Häufigkeisvereilung und zu Vergleich die Poisson-Vereilung sowie die Noralvereilung gleicher Varianz. Man sieh: Der Mielwer der Noralvereilung si nich. 2 Zusaensellung einiger wichiger Vereilungen 2.1 Binoialvereilung (Sichprobengröße M, Erfolgswahrscheinlichkei p) P M,p ( ) = M p ( 1 p) M ; Erwarungswer: n p, Varianz: n p (1 p) 2.2 Poisson-Vereilung P µ ( ) = µ! exp( µ ) ; Erwarungswer: µ, Varianz: µ 2.3 Noralvereilung (Gauß-Vereilung) P µ,σ ( x) = ( ) 2 1 exp x µ 2πσ 2 2σ 2 ; Erwarungswer: 1/λ, Varianz: 1/λ2 2.4 Exponenialvereilung P µ ( x) = λ exp λx ( ) ; Erwarungswer: µ Varianz: σ Rayleigh-Vereilung P λ ( x) = x x2 exp 2 λ 2λ 2 ; Erwarungswer: λ π 2 µ Varianz: 4 π 2 λ 2 Dr. Rüdiger Scholz Juli 2016 Leibniz Universiä Hannover 4

5 Poisson-Vereilung Weierführende Lieraur 1 Bergann/Schäfer: Opik 2 Schulbuch:?? Hinweis zur Quellennuzung: Auch wenn ich beüh war, wirklich säliche Quellen deulich zu benennen, so is leider nich auszuschließen, dass einzelne Gedankengänge eingeflossen sind, deren Herkunf ungenann blieb, weil sie nich ehr präsen war. Ich bie dies zu enschuldigen. Nach eine ensprechenden Hinweis würde ich das angeessen korrigieren. Ipressu Poisson-Vereilung 2016 R. Scholz Leibniz Universiä Hannover Das Werk und seine Teile sind urheberrechlich geschüz. Jede Nuzung in anderen als den gesezlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriflichen Genehigung des Herausgebers. Hinweis zu 52a: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung gescann und in ein Nezwerk gesell werden. Dies gil auch für Inranes von Schulen und Hochschulen und andere Bildungseinrichungen. Troz sorgfäligser Bearbeiung sind Fehler nie auszuschließen. Für Schäden, die durch Fehler i Werk oder seinen Teilen ensanden sind, kann kein Hafung übernoen werden. Troz sorgfäligser Bearbeiung sind Fehler nie auszuschließen. Für Schäden, die durch Fehler i Werk oder seinen Teilen ensanden sind, kann keine Hafung übernoen werden. Abbildungen: Tielbild: Wikipedia alle anderen: Archiv RS Dr. Rüdiger Scholz Juli 2016 Leibniz Universiä Hannover 5