6. Die spezielle Relativitätstheorie

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1 . Die spezielle Relaiiäsheorie.. Inerialsysee und Galilei-Transforaionen Die spezielle Relaiiäsheorie erweier die Newonshe Mehanik für Inerialsysee auf Siuaionen i sehr hohen Geshwindigkeien, wie sie in der Physik der Eleenareilhen und der Hielskörper aufreen. Alber Einsein ( ) gelang i dieser Theorie i Jahr 95 eine zusaenhängende Erklärung ershiedener Phänoene und Lösungsansäze auf diesen Forshungsgebieen, die die Grenzen der Newonshen Mehanik in der zweien Hälfe des 9. Jahrhunders ier deuliher werden ließen. Inerialsysee (la ineria = Träghei) sind alle Bezugssysee, in denen das Trägheisprinzip (. Newonshes Aio) gil: Ein Körper behäl seinen Bewegungszusand bei, solange die Sue der auf ihn wirkenden äußeren Kräfe Null is. Inerialsysee dürfen daher nih selbs beshleunigen, sons würde sih eine Körper wie z.b. ein Kaffeebeher in eine bresenden oder in die Kure fahrenden Zug unerue in Bewegung sezen, ohne dass eine äußere Kraf auf ihn wirk. Sie dürfen sih daher höhsens i konsaner Geshwindigkei geradlinig zueinander bewegen. In solhen Inerialsyseen gil allgeeiner auh das. Newonshe Aio i F = a und dai alle übrigen Gesezäßigkeien der Dynaik. Da in allen Inerialsyseen die gleihen physikalishen Geseze gelen, sind sie alle gleihberehig: es gib kein absolues Bezugssyse. Sei Einsein eranshaulih an Inerialsysee gerne i Zügen: Ein i der Geshwindigkei in posiie -Rihung fahrender Zug ransporier das Koordinaensyse S = ( ; ). Zur Zei = = passier der Ursprung on S den Ursprung des Syses S = (; ), welhes sih in eine sehenden Zug auf de Nebengleis befinde. Von S aus gesehen fähr der sehende Zug S i = in negaie -Rihung daon: Von S aus gesehen fähr S nah i nah rehs: Von S aus gesehen fähr S nah i = nah links: S S S S Die Posiion eines in S orsfesen Punkes zur Zei is dann o sih auf zu bewegenden S -Syse aus berahe =. Zusaen i der Zeigleihhei = sind dies die Galilei-Transforaionen on den Koordinaen ( ; ) in S zu den Koordinaen ( ; ) in S. Von S aus wird die Enfernung ier kleiner, erreih den Wer =, und ni negaie Were an, nahde S an ih orbeigefahren is. = = = + = = Linien gleiher Zei für S und S Linien gleihen Ores für S = Linien gleihen Ores für S Durh Einsezen on = und = erhäl an aus wieder = zurük. U die Gleihberehigung der beiden Sysee und die Syerie der Gleihungen zu eranshaulihen, berahen wir die Siuaion noh einal on S aus: Der Punk = beweg sih zusaen i S auf den Ursprung on S zu: = = = + = Linien gleiher Zei für S und S Linien gleihen Ores für S = Linien gleihen Ores für S = = Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr.

2 .. Die Konsanz der Lihgeshwindigkei Die Geshwindigkei des Lihes ersuhe shon Galilei i 5. Jahrhunder analog zur Eholoehode für den Shall zu besien: Ein Mann öffne die Blende einer Lape, deren Lih zu eine wei enfernen Spiegel und wieder zurükläuf. Ein zweier Mann besi die Zei, die das Lih für diese Sreke benöig. Allein shon deshalb, weil halbwegs zuerlässige ehanishe Uhren ers i. Jahrhunder erhällih waren, ließ sih i dieser Anordnung besenfalls die Reakionszei des zweien Mannes besien. I Jahr 7 beobahee der dänishe Hofasrono Ole Røer ( 7) a Obseraoriu Paris über iele Wohen den Jupierond Io, der a. alle,5 Sunden aus de Shaen des Jupiers aufauh. Diese Periode erlänger bzw. erkürz sih u wenige Sekunden (!), wenn sih die Erde o Jupier weg oder auf ihn zu beweg und ni einen Mielwer an, wenn die Enfernung konsan bleib. Nah koplizieren rigonoerishen Berehnungen und uner Berüksihigung der Bahnezenriziäen nah den Keplershen Gesezen sowie der Einflüsse der anderen Jupieronde ka Røer zu de Ergebnis, dass das Lih a. Minuen für eine asronoishe Einhei (Enfernung Sonne-Erde) benöig. Die Messungen wurden u.a. in Greenwih wiederhol und erfeiner, so dass Isaa Newon in seine Buh Opiks (7) bereis eine Laufzei on 7 8 Minuen angeben konne. Der genaue Wer is 8 Minuen 9 Sekunden. Dies alles wurde in einer Zei erreih, in der Pes, Inquisiion, Foler und Heenerbrennungen (bis a. 75 legal) zu europäishen Allag gehören. Ers i 9. Jahrhunder waren ehanishe Apparae und insbesondere Uhren eak genug, u die Menshen in Galileis Aufbau ersezen und die Lihgeshwindigkei auf der Erde essen zu können. Der Drehspiegelersuh on Léon Fouaul (89 88) bis heue eine reh genaue Mehode (siehe rehs). während das Lih o Drehspiegel zu fesen Spiegel und wieder zurük läuf, ha sih der Drehspiegel bereie ewas weier gedreh und wirf das Bild der Lihquelle nah de Refleionsgesez u den doppelen Drehwinkel abgelenk zurük. Drehspiegel Reflekor Shon Fouaul wundere sih, dass auf der sih drehenden und i a. 3 k/s durh den Welrau rasenden Erde zu jeder Zei, an jede Or und in jede Rihung die gleihe Lihgeshwindigkei geessen wurde. Sei Newon ging an nälih in Analogie zu Shall daon aus, dass sih das Lih durh Bewegung kleinser Teilhen i Äher ausbreie. Wie bei Shall üsse dann aber die Lihgeshwindigkei bei Gegenwind gebres und bei Rükenwind beshleunig werden. Nahde auh die genauesen Eperiene keinerlei Abweihungen zeigen, selle der niederländishe Physiker Hendrik Lorenz (853 98) i Jahr 89 die Veruung auf, dass sih die Messapparaur selbs i Äherwind zusaenzieh (Längenkonrakion) und gleihzeiig die Uhren langsaer laufen (Zeidilaaion). I Jahr 95 leiee Alber Einsein die sei Jahren bekannen Lorenz-Transforaionen zur Zeidilaaion und Längenkonrakion ohne Äherhypohese aus zwei einfahen Annahen her:. Alle Inerialsysee sind gleihberehig. Die Lihgeshwindigkei 3 k/s is in jede Inerialsyse gleih. Ebenso wie die Lorenz-Transfoaionen waren auh diese beiden Annahen orher bekann und ehr oder weniger akzepier. Der Verdiens Einseins beseh darin, durh konsequene Anwendung dieser beiden Einseinshen Posulae die Phänoene der. Zeidilaaion. Längenkonrakion 3. relaiisishen Massenzunahe und der Masse-Energie-Äquialenz E = i einfahsen aheaishen Mieln herzuleien. Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. und 3.3. Minkowski-Diagrae und Uhrenergleih Aufgrund ihrer uniersalen Bedeuung erwenden wir in Zukunf die Lihgeshwindigkei als Basis für die Einheien i Or-Zei-Diagra: Die Zei wird in Sekunden, der Or / in Lihsekunden s 3 k und die Geshwindigkei in Bruheilen on angegeben. Lihsrahlen i der Geshwindigkei = laufen also i der Seigung =. Ein Syse i der Geshwindigkei =, 8 k/s beweg sih auf einer Ursprungsgeraden i der Seigung =,. Einseins Lehrer an der ETH Herann Minkowski (8 99 an Blinddardurhbruh) führe diese nah ih benannen Diagrae 97 ein, u Einseins rein algebraishe Herleiungen geoerish zu eranshaulihen und zu begründen. Der aheaishe Aufwand wird auf eine einfahe Anwendung des Sazes on Pyhagoras reduzier, weshalb Einsein selbs diese Diagrae zunähs nih erns nah. Späer erkanne er ihre Vielseiigkei und nuze sie für die allgeeine Relaiiäsheorie in beshleunigen Nihinerialsyseen (Graiaionsheorie).

3 Die einfahe Srukur der Minkowski-Diagrae äush leih über den berählihen inellekuellen Anspruh des sändigen Perspekienwehsels hinweg. Wir erwenden zur Erleiherung nah Einsein den ruhenden Zug S = (; ) und den i der Geshwindigkei in posiie -Rihung fahrenden Zug S = ( ; ). Von S aus berahe fähr S naürlih i der Geshwindigkei = in die Gegenrihung und S selbs ruh. Zunähs ersuh jeder Beobaher sih in seine eigenen Zug zu orienieren, inde er die Mie suh und anshließend die Uhren i de orderen und hineren Ende abgleih. Dazu sende er z.b. zur Zei = ein Funksignal i dieser Uhrzei in beide Rihungen. Wenn on beiden Seien nah z.b. Sekunden gleihzeiig ein Zeisignal zurükko, weiß er, dass er in der Mie eines Lihsekunden = k langen Zuges seh. Außerde uss das Signal zur gleihen Zei = s a orderen und a hineren Ende angekoen sein. Er shik sofor seine Zei on s zurük. Wieder s späer wissen dann die beiden Zugenden genau, wann der Zeiger in der Mie des Zuges auf s und auf s sand und können ihre Uhren ensprehend sellen. Jede Person in S weiß jez, wo sie is und wie spä es is. / s 5 /s Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. und 5.. Die Relaiiä der Gleihzeiigkei S berahe nun die Posiionsbesiung und den Uhrenergleih in anderen Syse S. S ras zu Zeipunk = = an S orbei und sende i selben Augenblik sein Zeisignal an beide Zugenden aus. Nur in diese einen Augenblik kann S seine Uhr direk i S ergleihen; sobald sie sih kosisher Geshwindigkei oneinander enfernen, üssen sie wieder auf den Ausaush on Funksignalen zurükgreifen. Wenn der bewege Beobaher in der Mie seinen Zuges S seh, üssen die Anworen on seinen Zugenden auh wieder gleihzeiig nah Sekunden (nah seiner Uhr!) bei ih einreffen. Die Refleion ha dann seiner Ansih nah zur Zei = Sekunden (nah seiner Uhr!) gleihzeiig an beiden Enden sagefunden. (Gleihberehigung aller Inerialsysee) Wenn S diese Funksignale berahe, die für beide Sysee i der gleihen Geshwindigkei laufen (!), so uss die Refleion a bewegen Zugende aber früher sagefunden haben, dai das Anworsignal Zei ha, die bewege Mie einzuholen. Die Refleion a bewegen Zuganfang uss dagegen späer sagefunden haben, dai das engegenkoende Anworsignal nih zu früh in der Mie is. Die on S aus gleihzeiig eingereenen Refleionen liegen für S nih senkreh übereinander, sondern ersez auf einer geneigen Ahse, welhe seine Orslinie genau in Sekunden nah seiner Uhr shneide. Die Linien gleiher Zei in S sind also ebenso geneig wie die Linien gleihen Ores in S. Von S aus berahe sieh die Siuaion ensprehend ugekehr aus: Linien gleihen Ores für S Linien gleihen Ores für S Linien gleiher Zei für S Linien gleiher Zei für S Linien gleiher Zei für S Linien gleiher Zei für S Linien gleihen Ores für S Linien gleihen Ores für S Beahe, dass die Absände der Linien bzw. die Einheien in S noh nih geklär sind. Die Urehnung der bewegen (Lih-)Sekunden in ruhende (Lih-)Sekunden wird in den folgenden Abshnien behandel. Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. und 7 3

4 .5. Die Geoerie der Minkowski-Diagrae Für den Maßsabsergleih in Minkowski-Diagraen benöig an ier wieder die Längenerhälnisse in de rehs gezeihneen Dreiek. Aus der Ähnlihkei der beiden rehwinkligen Teildreieke ergeben sih die folgenden Verhälnisse: / /.. b = b = a = a = = = und b a Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. 8.. Die Zeidilaaion Wir besien nun das Verhälnis f, in de die Zeieinheien Δ und Δ der Sysee S und S sehen. Wenn z.b. Δ = Sekunde is, dann is Δ = f Δ der Zeipunk auf der -Ahse, in de on S aus berahe gleihzeiig die Uhr on S die Zei Δτ = Sekunde anzeig. Ugekehr is Δτ = f Δτ der Zeipunk auf der -Ahse, in de on S aus berahe gleihzeiig die Uhr on S die Zei Δ = Sekunde anzeig. ' Aus f = = ' folg i den Ergebnissen aus Aufgabe 8 f = ' ' = = f = bzw. / Δ = Δ / Δ Δ Für =, ergib sih daraus Δ =,8 Δ =,8 Sekunden. Das is die Zeidilaaion: Bewege Uhren laufen langsaer. Die bewegen Zeieinheien sind größer als die ruhenden. Andererseis könne an auh on Konrakion sprehen, denn die bewegen Maßzahlen sind kleiner als ruhende: S gib Sekunde an, S aber nur,8 Sekunde. Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr Längenkonrakion Wegen = folg aus der Zeidilaaion = ' ' Δ = Δ Für =, ergib sih für den zurükgelegen Weg on S aus berahe Δ = Δ =, Lihsekunden nah rehs und on,8 Lihsekunden' S aus gesehen Δ =,8 Δ =,8 Lihsekunden nah links. Die Geshwindigkei is i = =,8 Sekunden', o Berag her gleih. Das is die Längenkonrakion: Bewege Maßsäbe ersheinen erkürz. Bewege Längeneinheien sind u den gleihen Fakor ergrößer wie die Zeieinheien, weil das Verhälnis = = ' ' gleih bleiben uss. Man könne also bezogen auf die Einheien ebenfalls on Dilaaion sprehen. Das Wor Konrakion bezieh sih hier auf die kleineren Maßzahlen des bewegen Syses: S gib für den aus seiner Sih ruhenden Maßsab, Lihsekunden an, S für den gleihen, jedoh aus seiner Sih bewegen Maßsab nur,8 Lihsekunden.

5 Graphish läss sih die relaiisishe Dehnung der Maßsäbe gu annähern, inde an die Linien gleiher Zei on S und S jeweils in der Mie zwishen den beiden Zeiahsen shneide und ensprehend die Linien gleihen Ores in der Mie zwishen den beiden Orsahsen (siehe rehs). Sehr häufig werden in den Übungsaufgaben die Geshwindigkeien =, i de Urehnungsfakor f = =,8 oder =, i f = =,8 erwende. In diesen Fällen sind die Ahsenshnipunke der Linien bei,;,;,8;,; bzw.,8;,;,; 3,; usw.. = Die Shwierigkei i der Anwendung dieser i Minkowski-Diagra geoerish einsihigen und syerishen Ersheinungen beseh darin, dass unsere biologishe Wahrnehung der physikalish gleihwerigen Diensionen Zei und Rau ollkoen unershiedlih is. Das Raugefühl wurde sei der Enwiklung des Auges über Jahrillionen rainier und wenige Lebewesen haben Problee i der räulihen Orienierung. Ein Zeigefühl dagegen haben nur die wenigsen Lebewesen und auh bei uns is es nur unollkoen ausgepräg. Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. und 7.8. Die Lorenz-Transforaionen Die Galilei-Transforaion = und = können nun für hohe Geshwindigkeien präzisier werden. Die Zeigleihhei = is nur für Geshwindigkeien <, (also ierhin bis a. 3 k/s!) i ausreihender Genauigkei erfüll. Wir berahen wieder das Minkowski-Diagra und rehnen die auf S bezogenen Koordinaen des Punke ( ; ;) u auf die ensprehenden Koordinaen ( ; ) in S. Bei der Orskoordinae wird wie bei der Galilei-Transforaion die Korrekur Δ = addier Durh die Neigung der Orsahse ko nun aber auh bei der Zeikoordinae eine Korrekur Δ für die erändere Gleihzeiigkei des Ores hinzu. Diese Korrekuren lassen sih i Hilfe der grauen Dreieke wie in Abshni.5 bzw. Aufgabe 8 berehnen. Die zusaengesezen Koordinaen werden dann nah Abshni. und.7 auf die gesauhe Skala der -und -Ahse in S angepass: / / ( ; ) = ( ; ) Nah Aufgabe 8 b) is ' '/ = Δ =. Wegen der Zeidilaion folg = ' ' = ' ' Nah Aufgabe 8 ) is '/ ' = Δ =. Mi Längenkonrakion is = ' ' = ' ' I Vergleih zu den Galilei-Transforaionen beerk an, dass für <, der Fakor f = und der Fakor wird. In diesen Fällen und dai in unsere gesaen irdishen Allag wird die Zeiransforaion wieder zu und die Orsransforaion zu =. Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. 8-5

6 .9. Die relaiisishe Massenzunahe und die Masse-Energie-Äquialenz Wir berahen einen Beobaher i Syse S, der sih i der Geshwindigkei in -Rihung bezogen auf das ruhende Syse S beweg. Für den Beobaher in S laufen dann die Uhren in S langsaer: Δ = Δ. Die Siuaion is also ugekehr wie bisher; die Rollen sind eraush. y Die relaiisishe Massenzunahe ergib sih nun aus der Berahung der Geshwindigkei y = eines Körpers der Masse bezogen auf Syse S senkreh zur Bewegungsrihung on S. Aufgrund der on S beobaheen Zeidilaaion bei uneränderer Sreke Δy = Δy senkreh zur Bewegungsrihung iss er eine kleinere Geshwindigkei y = y ' = y = y. Da der Ipuls bzw. die Wirkung der Masse z.b. bei Soß senkreh zur Bewegungsrihung siher gleih bleib, uss die Masse zu Ausgleih u den gleihen Fakor anwahsen y = y = Das is die relaiisishe Massenzunahe: Bewege Massen werden räger. Das wihigse Ergebnis der speziellen Relaiiäsheorie is die aus der relaiisishen Massenzunahe folgende Äquialenz on Masse und Energie. Dazu berahe an die Taylor-Enwiklung = k k = = + k k! und wende sie an auf die relaiisishe Massenzunahe = Durh Muliplikaion i erhäl an = = Einsein inerpreiere den gesaen geshwindigkeisabhängigen Aneil als kineishe Energie: E kin = für <,. Man erhäl = + E kin und dai die Inerpreaion der Äquialenz on Masse und Energie: Die gesae Energie eines Körpers is gleihwerig zu seiner Masse. Der Fakor dien nur zur Anpassung der enshlihen Einheien on Masse und Energie. Beshleunig an den Körper auf die Geshwindigkei, so äußer sih die hinzugefüge kineishe Energie als Massenzunahe: E kin = = Δ. Die eperienelle Besäigung dieser i Jahre 95 zielih kühnen Deuung erfolge ers Jahrzehne späer bei der Erforshung und Anwendung on Kernfusion in den Sernen sowie der Kernspalung bei Aowaffen und Kernreakoren: Der bei solhen Reakionen beobahee Massenerlus Δ läss sih asählih aus der abgegebenen Wäre (= kineishe Energie kleinser Teilhen) E kin / berehnen! Übungen: Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Nr. - 5