Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen: (Brownsche Bewegung, Laser ) Numerische Physik SS 07, Aufgabe 2, Ausdruck: 23.

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1 Numerische Lösung sochasischer Differenialgleichungen: (Brownsche Bewegung, Laser ) Numerische Physik SS 7, Aufgabe, Ausdruck: 3. April 7 P.Z.,M.F.,H.E.,H.R. 1 Moivaion Hisorisch gesehen selle die Beschreibung der Brown schen Bewegung den Ausgangspunk der Enwicklung eines mahemaisch-sochasischen Kalküls dar. Dabei wird ein Massenpunk in einem viskosen Medium einer zufälligen gepulsen Kraf unerworfen. Die heuigen Anwendungen reichen von Gebieen in der Quanenopik und Elekronik bis zur sochasischen Konrolle von Prozessen in der Wirschaf. Das Beispiel, das uns noch in einiger Ausführlichkei beschäfigen wird, is die Beschreibung der Brown schen Bewegung eines Teilchens in einem viskosen Medium( Ornsein-Uhlenbeck-Prozeß). Mi analyischen Mehoden können nur sehr einfache Probleme gelös werden. In der Praxis reen aber meis nichlineare SDG auf, sodaß nur eine numerische Simulaion zum Lösen der Probleme bleib. Dabei wird die SDG wiederhol für verschiedene Realisierungen der Rauscherme inegrier um Mielwere und Varianzen der relevanen Größen zu bekommen. Um die Bedeuung sochasischer Mehoden für die Physik zu moivieren, berachen wir zum Aufwärmen folgendes einfache Modell einer Populaionsenwicklung: dn d = a() N(), N() = A, (1) wobei N() die Größe der Populaion und a() die relaive Zuwachsrae zur Zei bezeichnen. Für konsanes a() = a ergib dies je nach Vorzeichen einen genau vorhersagbaren exponeniellen Ansieg oder Zerfall N() =N()e a. Wenn nun a() zufälligen Einflüssen unerlieg, z.b.: a() = 1/ + Rauschen = 1/ + R(), () überräg sich der zufällige Charaker von R() auch auf N(). Of is der Physik das exake Verhalen des Rauschermes nich bekann, aber dessen saisische Eigenschafen, wie z.b. Mielwer und Varianz von R(). Wir wollen die Lösungen von Gl.1 finden und nehmen hier zum Beispiel an, das R() jeweils für einen Tag konsan is, aber von Tag zu Tag zufällig zwischen und 1 schwank. Dabei is jeder Wer gleich wahrscheinlich und hng nich vom Wer des Vorages ab. Dies führ zu einer sogenannen sochasischen Differenialleichung (SDG) für N(), deren Lösung abhängig vom zufälligen Verhalen von R() immer anders aussieh. Wir werden nun versuchen durch Mielung über verschiedene Realisierungen saisische Aussagen über die Populaionsgrösse N() abzuleien. Aufgabe 1.1 Simulieren Sie das Verhalen der Populaion N() aus Gleichung (1) für 3 Tage, wenn am Beginn N( = ) = 1 Exemplare vorhanden sind. R() sei dabei für den i-en Tag eine konsane zufällige Zahl r i (, 1), wobei jeder Wer gleich wahrscheinlich sei. Generieren Sie zunächs einige Beispielrajekorien (siehe Hinweis). Welche Vorhersagen ergeben sich für die Populaion am Ende N( = 3) (Mielwer, Sreuung)? Hinweis: Wählen Sie als Zeieinhei Tage. Wenn dann N( i ) die Populaion am Anfang des i-en Tages is und R( i )=r i [1] für diesen Tag is, gil N( i +1) = N( i )e ri 1/ für die Populaion am Beginn des nächsen Tages (Warum??). Generieren sie nun durch Ieraion dieser Gleichung mehere Folgen von Zahlen {N i = N( i )} für zufällig gewähle Zahlen r i (verwenden Sie die Malab Funkion rand, sammeln Sie die Ergebnisse und sellen Sie sie grafisch dar. Es erweis sich als hilfreich die Populaion auf einer logarihmischen Skala darszusellen. 1

2 1.1 Mahemaische Beschreibung sochasischer Prozesse In diesem Kapiel werden die grundlegenden mahemaischen Ideen zur Lösung sochasischer Differenialgleichungen eingeführ. Es wird versuch qualiaiven Begriffen, wie z.b. zufällige Flukuaionen, weißes Rauschen, ec., einen mahemaisch genauer definieren Sinn zu geben. Lassen Sie sich von den echnisch komplizer klingenden Definiionen nich abschrecken. Nich alle Deails sind dann beim prakischen Lösen der Aufgaben nöig. Vieles wird späer bei der eigenhändigen Implemenaion der physikalischen Gleichungen in Kapiel klarer. Mahemaisch Ineressiere finden eine umfassendere Einführung in das Gebie der sochasischen Differenialgleichungen z.b. in folgenden Büchern [1,, 8, 9, 5]. Berachen wir ein Ensemble von idenischen Syemen von Teilchen {S i } i I und führen wir zu einer fixen Zei z.b. eine Ors- oder Geschwindigkeismessung eines Parikels durch, so sellen wir fes, daß jedes der Syseme S i einen verschiedenen Wer für x oder v liefer. Es is daher sinnvoll, nur Wahrscheinlichkeisvereilungen für Observablen zu berachen. Die Observablen werden durch Zufallsvariable X (mi Weren in R d ) beschrieben, ihre Wahrscheinlichkeisvereilung durch ein Wahrscheinlichkeismaß auf dem Spekrum der möglichen Were der Observablen: P [X B] P X (B) = p(x) dx, für B SpecX. (3) B P X (B) is die Wahrscheinlichkei, für X einen Wer x aus der Teilmenge B zu beobachen. Man nenn p(x) die Dichefunkion der Vereilung P X von X. Der Erwarungswer einer (inegrablen) Zufallsvariablen X is definier durch X := xp(x) dx. (4) Für d = 1 heiß Var(X):= SpecX die Varianz der (quadrainegrablen) Zufallsvariablen X und (X X ) = X X (5) Cov(X, Y ):= (X X )(Y Y ) = XY X Y (6) die Covarianz der zwei (quadrainegrablen) Zufallsvariablen X und Y. Ein sochasischer Prozeß is eine durch paramerisiere Familie von (R d -werigen) Zufallsvariablen X {X } T ;für jedes T is X eine Zufallsvariable mi Dichefunkion p(, x), die von abhäng. Der Parameerraum T is gewöhnlich ein Inervall, N oder die Halbgerade R +. In der Regel sind die Zufallsvariablen X i (i =1,,...,n) zu verschiedenen Zeipunken nich voneinander unabhängig. Ihre Abhängigkei is gerade ein Ausdruck der Dynamik des Zufallsprozesses X und mach sich uner anderem in der Form der Diche p n ( 1,x 1 ;,x ;...; n,x n ) der gemeinsamen Vereilung von (X 1,...,X n ) bemerkbar. 1. Wiener Prozeß Wir beschränken uns hier auf den speziellen Fall von seigen Prozessen, d.h. die Realisierungen ( Wege, Trajekorien) x() vonx sind mi Wahrscheinlichkei 1 in seig. Zu diesen gehören z.b. alle Diffusionsprozesse. Das wichigse Beispiel dieser Gruppe von Prozessen is der sogenanne (d-dimensionale) Wiener- Prozeß W {W } R +. Er bilde die zenrale Komponene bei der Behandlung von Diffusionsprozessen. Wenn i R, < 1 < < < n,nverschiedene Zeipunke fixieren und E 1,...,E n Teilmengen des R d sind, so is die Wahrscheinlichkei, daß W 1 E 1,...,W n E n und zur Zei = der Wer x R d realisier is, durch folgendes Falungsinegral gegeben: P x 1,..., n (E 1 E n ) = (7) = p( n n 1,x n x n 1 ) p( 1,x x 1 ) p( 1,x 1 x) dx 1 dx n, E 1 E n Bemerkung: Die Zufallsvariablen X 1,...,X n heißen (sochasisch) unabhängig, falls gil: P (X1,...,X n) = n P Xi. i=1

3 wobei p(, y) die Gauß sche Glockenkurve is, p(, y) =(π) d/ exp ) ( y, für y R d,>, (8) und die Konvenion geroffen wurde, daß p(,y)=δ(y) is (d.h. Sar des Prozesses bei x : W x). Für die Wahrscheinlichkei, nach einer Zei einen Wer aus E R d zu erhalen, ergib sich: P x (E) = (π) d/ e y x / dy. (9) E Die Varianz von W seig also linear in, der Erwarungswer bleib jedoch für alle Zeien konsan gleich x. Um mi dem Wiener-Prozeß besser verrau zu werden, seien einige grundlegende Eigenschafen erwähn (siehe [1, Kap. II, S. 11] und [, Kap. 3]): (i) W is ein Gauß scher Prozess, d.h. < 1 <...< n is die Zufallsvariable Z (W 1,...,W n ) R nd normalvereil mi Diche: q(u 1,...,u nd )= (π) nd/ exp 1 nd (u i m i )[C 1 ] ij (u j m j ), (1) de C i, wobei m =(m i ) R nd und C =(c ij ) eine posiiv-definie nd nd -Marix is. Für W is konkre m =(x,...,x) }{{} n mal und 1 I d 1 I d 1 I d 1 I d I d I d C = I d I d n I d wobei I d die d d -Einheismarix bezeichne. Dami folg: (Covarianzmarix), Z = m und (Z i m i )(Z j m j ) = c ij, insbesondere also: W = x,, d.h. W W x W s =,, s W x R+, (11) (W i x i ) (Ws j x j ) W = δij x min(, s), i,j =1,...,d, (1) (W x) W x = d, (13) (W W s ) W x = d s. (14) (ii) W ha unabhängige Inkremene, d.h. die Zufallsvariablen W 1,W W 1,..., W k W k 1 sind sochasisch unabhängig für 1 <...< k. (Diese Eigenschaf is wesenlich für die numerische Inegraion von SDGn.) Die Inkremene sind saionär, d.h. die Vereilung von W W s (für >s) häng nur von s ab. (iii) Die Realisierungen von W sind fas sicher (d.h. mi Wahrscheinlichkei 1) seig aber fas sicher nirgends differenzierbar. Sie sind nich von lokal-beschränker Variaion, d.h. die Länge der Wege für jedes kompake -Inervall is nich endlich. (iv) Falls W =(W 1,...,W d ) ein d-dimensionaler Wiener-Prozeß is, dann sind die 1-dimensionalen Prozesse {W j } R + (1 j d) unabhängige 1-dimensionale Wiener-Prozesse. 3

4 Aufgabe 1. Simulieren Sie den eindimensionalen Wiener-Prozeß W (Sar bei x = ) im Inervall [,T]für eine endliche Schriweie τ := T/N an den Sellen j := jτ (j =1,...,N) und sellen Sie die Realisierungen graphisch dar. Konrollieren Sie (graphisch) an einzelnen Zeipunken n, ob die so besimmen Realisierungen Gauß-vereil sind mi Erwarungswer und Varianz n. (Hinweis: Es gil:w = W + dw s ( T ); wobei W δ = +δ dw geeigne gewähle Zufallszahlen (gauß-vereil mi Mielwer) sind. Siehe auch die help-files der Malab-Funkionen rand, his, bar, mean, sd, cov, corrcoef und cumsum.) 1.3 Sochasische Inegraion: Lösen von DGL mi Rauscherm Dieses und das folgende Kapiel wende sich an mahemaisch Ineressiere zur genaueren Erklärung der in den darauffolgenden Kapieln verwendeen mahemaischen Terminologie. Es behandel das Problem, eine wohldefiniere mahemaische Inerpreaion des Rausch -ermes in Gl. (1) bzw. allgemeiner in Gleichungen der Form dx = b(, X )+σ(, X ) Rauschen (15) d zu finden. (b und σ seien Funkionen auf [,T] R n mi Weren in R n bzw. in den reelen n d-marizen). Man möche den Rausch-Term durch einen (R d -werigen) sochasischen Prozeß {ξ } R + modellieren, sodaß aus Gl.(15) eine Differenialgleichung für einen (R n -werigen) sochasischen Prozeß {X } R + wird: dx = b(, X )+σ(, X ) ξ. (16) d Da die Korrelaionszeien des Rausch -Prozesses er beschreib den Einfluß eines Badsysems B mi einer inneren Relaxaionszei τ B auf ein Sysem S, z.b. ein Teilchen in einer Flüssigkei auf der Zeiskala der X -Enwicklung of sehr klein sind, suchen wir für ξ einen Prozeß mi folgenden Eigenschafen [1, Kap. III, S. 13]: (i) Falls 1, sind ξ 1 und ξ sochasisch unabhängig; (ii) {ξ } R + is saionär, d.h. die gemeinsame Vereilung von (ξ 1+τ,...,ξ k +τ )häng nich von τ ab; (iii) ξ =, für alle. (Man kann sons den Erwarungswer in b(, X ) absorbieren). Es sell sich bei genauerer Unersuchung heraus, daß kein seiger sochasischer Prozeß exisier, der (i) und (ii) erfüll. (Nichsdesoweniger exisier ξ als verallgemeinerer sochasischer Prozeß, whie noise process genann, analog der Erweierung des Begriffs der Funkion durch den der Disribuion; siehe dazu [, Kap. 3.] oder [6].) Wir wollen diese Schwierigkei aber vermeiden, indem wir Gleichung (16) in eine Form bringen, die das Ersezen von ξ durch einen geeigneen sochasischen Prozeß zuläß: für eine Zerlegung = < 1 <...< k = des Inervalls [,] berachen wir folgende diskree Version der SDG (16): X j+1 X j = b( j,x j ) j + σ( j,x j ) ξ j j, (17) mi j := j+1 j,ξ j := ξ j,x j := X j,für j =,...,k 1. Wir ersezen nun den Ausdruck ξ j j durch V j := V j+1 V j, wobei {V } ein passender sochasischer Prozeß is. Die Annahmen (i), (ii) und (iii) für ξ legen nahe, von V saionäre unabhängige Inkremene V j mi Mielwer zu verlangen. Es zeig sich, daß der einzige solche Prozeß mi seigen Realisierungen der Wiener-Prozeß is [1, Kap. III, S. 17]. Dami folg aus (17): k 1 X k = X + j= k 1 b( j,x j ) j + j= σ( j,x j ) W j. (18) Falls es nun geling zu zeigen, daß der Limes auf der rechen Seie von Gl. (18) für j in irgendeiner Weise exisier und einen sochasischen Prozeß definier, erhäl man (uner Verwendung der üblichen Noaion für die Inegraion) X = X + b(s, X s ) ds + σ(s, X s ) dw s, (19) 4

5 und man sag, die mahemaische Inerpreaion der SDG (16) is die Inegralgleichung (19). 1 Bemerkung: Um die Problemaik bei der Definiion des sochasischen Inegrals G(s) dw s als Grenzwer von Riemann-Sieljes-Summen k S k := G(τ j )(W j W j 1 ) () mi 1... k = und j 1 τ j j (j =1,...,k) klar zu machen, berachen wir folgenden Erwarungswer eines 1-dimensionalen Wiener-Prozesses: k k [ W τj (W j W j 1 ) = min(τj, j ) min(τ j, j 1 ) ] = α ( ), (1) W wobei wir τ j := j 1 + α ( j j 1 )mi α 1und δ k := max{ j j 1 },...,k gesez haben (siehe Gln. (11) und (1)). Im Gegensaz zum gewöhnlichen Riemann-Sieljes-Inegral häng also der Grenzwer von S k für k und δ k, und dami die Definiion des Inegrals G(s) dw s im allgemeinen von der Wahl der Süzsellen τ j ab. Die Ursache dafür lieg in den beliebig schnellen Flukuaionen des Wiener-Prozesses (siehe Kapiel 3. (iii) oben). 1.4 Io und Sraonovic Inegrale Die folgenden zwei Definiionen von sochasischen Inegralen (bzgl. eines d-dimensionalen Wiener-Prozesses W ) erweisen sich als besonders nüzlich: für k N sei 1... k = T eine Zerlegung des Inervalls [,] mi Feinhei δ k := max{ j j 1 },...,k. Die n d-marixwerige (meßbare) Zufallsfunkion G() mi (fas sicher) T G(s) ds < (wobei. die euklidische Norm in R nd bezeichne) sei auf [,T] (fas sicher) seig und nich-vorgreifend ( non-anicipaing ), d.h. G() is für alle s sochasisch unabhängig von W s W (G() is sozusagen unabhängig vom Verhalen des Wiener-Prozesses in der Zukunf von Zeipunk ). {X } [,T ] sei n d-marixweriger sochasischer Prozeß mi Differenial (siehe Gl. (7) unen): Iô-Definiion (siehe [1, Kap. III], [, Kap. 4] und [8, Kap. 4.]): G(s) dw s := s-lim δ k k G( j 1 )(W j W j 1 ) ; () Sraonovich-Definiion (siehe [, Kap. 1.] und [5, Kap. III, 1]): X s dw s := s-lim δ k k 1 (X j + X j 1 )(W j W j 1 ). (3) Mi s-lim bezeichnen wir den sochasischen Grenzwer ( limi in probabiliy ): für Zufallsvariable {X k } k N und X is s-lim X k = X : ɛ> gil: lim P [ X k X >ɛ]=. k k Im folgenden seien einige wichige Eigenschafen des Iô-Inegrals erwähn [, Kap. 4 und 5]: (i) [cg(s)+h(s)] dw s (ii) G(u) dw u = c G(s) dw s + H(s) dw s (c R). = s G(u) dw u + s G(u) dw u ( s T ). (iii) Falls T G(s) ds <, gil: G(s) dw s =. (4) (Das Iô-Rauschen beeinfluß nich den Erwarungswer.) 1 (Bemerkung: Gl. (19) wird of in verkürzer symbolischer Noaion als Differenialform dx = b(, X ) d + σ(, X ) dw geschrieben. Gleichungen mi Differenialen sind daher als Inegralgleichungen zu inerpreieren!) 5

6 (iv) Falls T G(s) ds < und T H(s) ds <, gil (i, j =1,...,n): [ ] i [ s ] min(,s) j d G(u) dw u H(u) dw u = [G(u)] i k [H(u)] j k du, (5) k=1 insbesondere: G(s) dw u = G(u) du. (6) (v) Sei X eine für alle von W W sochasisch unabhängige (R n -werige) Zufallsvariable, f() eine (R n -werige, meßbare) nich-vorgreifende Zufallsfunkion, die (fas sicher) T f(s) ds < erf ll, und G() wie in der Definiion oben. Dann is für [,T] X := X + f(s) ds + G(s) dw s (7) ein seiger, nich-vorgreifender (R n -weriger) sochasischer Prozeß. Man schreib für (7) kurz und nenn (8) das sochasische Differenial von X [, Kap. 5.3]. dx = f() d + G() dw (8) (vi) Falls G() L ([,T]) keine Zufallsvariable sondern eine gewöhnliche quadrainegrable Funkion is, dann is G(s) dw s (für [,T]) ein n-dimensionaler Gauß scher Prozeß mi Erwarungwer und Covarianzmarix [, Corollary (4.5.6)] c ij = d k=1 [G(s)] i k [G(s)] j k ds (i, j =1,...,n). (9) für den 1-dimensionalen Wiener-Prozeß zum Beispiel ergib das Iô-Inegral: W s dw s = 1 { (W ) (W ) } 1 ( ). (3) Wie der Zusazerm 1 ( ) zeig, l ß sich das Iô-Inegral nich durch formales Anwenden der Inegraionsregeln gewöhnlicher Inegrale ausweren. Eine nüzliche Hilfe für die Berechnung von Iô-Inegralen is die sogenanne Iô-Formel, die Version der Keenregel für das Iô-Inegral (siehe [1, Kap. 4] und [, Kap. 5.3]): Saz Sei g(, x) eine -mal seig differenzierbare Funkion von [,T] R n nach R, {X } [,T ] ein n dmarixweriger sochasischer Prozeß mi Differenial (8). Dann is Y := g(, X )für [,T] ein sochasischer Prozeß mi Differenial n dy = g d + g x i dx i + 1 n g x i x j dxi dxj, (31) wobei g := g,g g xi := der Produke dx i dx j i=1 i, x,g i xi x j := die pariellen Ableiungen von g bedeuen und für die Berechnung folgende Regeln zu beachen sind: g x i x j dw i dw j = δ ij d (i, j =1,...,d), dw d ==d dw, d d =. (3) Speziell für g C (R + R) und X = W einen 1-dimensionalen Wiener-Prozeß erhalen wir ( dg(, W )= g (, W )+ 1 ) g xx(, W ) d + g x (, W ) dw, (33) 6

7 insbesondere also für g(x) =x k (k N): d [ (W ) k] = k(k 1) (W ) k d + k (W ) k 1 dw. (34) Daraus folg mi k = sofor Gl. (3). Die Iô-Inerpreaion des sochasischen Inegrals in Gl. (19) ermöglich durch seine Eigenschafen zwar eine einfache numerische Behandlung, für physikalische Anwendungen liefer aber meis das Sraonovich- Inegral das richige mahemaische Modell für die SDG (16), wie die folgende Überlegung zeig (siehe [1, Kap. III, S. 3] und [, Kap. 1.3]): Der whie noise -Limes des Rausch -Prozesses in Gl. (16) is als Idealisierung eines korrelieren Rauschens ξ (k) im Limes τ (k) B zu sehen. Konkre berache man eine Folge von in seig differenzierbaren Prozessen W (k) (d.h. ξ (k) (k) dw d sei eine Folge von seigen Prozessen) mi W,für k (und fas alle Realisierungen), gleichmäßig (in ) auf beschränken Inervallen. Uner besimmen Voraussezungen für die Funkionen b und σ konvergier die Lösung X (k) der (für jede Realisierung deerminisischen) Differenialgleichung W (k) dx (k) d (bzw. der dazu äquivalenen Inegralgleichung X (k) = X + = b(, X (k) b(s, X (k) s ) ds + )+σ(, X (k) ) ξ (k) (35) σ(s, X s (k) ) dw s (k), (36) wobei nunmehr das zweie Inegral ein gewöhnliches Riemann-Sieljes-Inegral is), für k (und fas alle Realisierungen) auf beschränken Inervallen gleichmäßig gegen einen sochasischen Prozeß X, der die SDG (19) bei Verwendung des Sraonovich-Inegrals erfüll: X = X + b(s, X s ) ds + σ(s, X s ) dw s. (37) Sind also die Badkorrelaionenzeien klein genug, liefer die Sraonovich-Inerpreaion ein gues Modell für das durch Gl. (16) beschriebene physikalische Problem. In der Physik rechne man aber meis mi weißem Rauschen, indem man dw formal durch ξ d ersez und folgende Beziehungen für Erwarungswer und Korrelaion verwende [9, Kap. 3]: ξ =, ξ ξ s = δ( s). (38) Da die Iô-Form für das numerische Lösen von SDGn nach Cauchy-Euler wesenlich is, is man daran ineressier, eine Verbindung zwischen beiden Inerpreaionsm glichkeien herzusellen. Mi folgender Relaion kann man beide Typen von Inegralen ineinander umrechnen [5, Kap. III, 1]: X dw = X dw + 1 dx dw. (39) Dabei sind auch hier bei der Muliplikaion der Differeniale die Regeln (3) zu beachen. Zum Beispiel gil: W dw = W dw + 1 d (4) (Man sieh also, daß Sraonovich-Rauschen im allgemeinen den Erwarungswer des Prozesses beeinfluß: W s dw s = ). für die der Sraonovich-SDG (37) quivalene Iô-SDG erhäl man auf diese Weise (i =1,...,n): dx i = ( [b(, X )] i + 1 n k=1 d ) [σ x k(, X )] i j [σ(, X )] k j d + d [σ(, X ) dw ] i. (41) Bemerkung: Weiere Bedingungen an die Funkionen b und σ für Exisenz und Eindeuigkei von seigen nich-vorgreifenden Lösungen der Iô-SDG (19) sind in [1, Theorem 5.5], [, Kap. 6] und [8, Kap. 4.3] zu finden. 7

8 1.5 Numerische Lösung von SDGen nach Cauchy-Euler Analyisches Vergleichsmodell Als Beispiel sei hier die lineare oder Gauß sche Diffusion beschrieben. Spezialfälle dieses Prozesses beschreiben die Bewegung einer Parikel in einem viskosen Medium. Sei σ =(σ i k) eine konsane n d-marix und β =(β i k) eine konsane n n-marix. Dann wird die Gauß sche Diffusion durch folgende SDG beschrieben: dy = βy + σ ξ. (4) d Im whie noise -Limes ensprich das folgender Iô-Gleichung dy = βy d + σdw. (43) (Bemerkung: Da σ eine konsane Marix is, simmen Iô- und Sraonovich-Inerpreaion von Gl. (4) berein. Daraus folg z.b., daß der Rauscherm nich den Mielwer der Bewegung beeinfluß.) Wir berachen hier den Fall n = d =1: dv = γv d + σdw (γ>, σ R). (44) Die eindeuige analyische Lösung von (44) zu einem (für alle vonw W unabhängigen) Anfangswer V is der seige sochasische Prozeß [, Kap. 8.3]: V = e γ V + σ e γ( s) dw s ( R + ). (45) Falls V < is, folg mi Gln. (4) und (5) für den Erwarungswer V = V e γ (46) und die Covarianz Cov(V,V s )= ) (Var(V ) σ e γ(+s) + σ γ γ e γ s. (47) Die Varianz von V konvergier also für gegen den konsanen Wer σ γ : Var(V )= ) (Var(V ) σ e γ + σ γ γ σ γ. (48) Da für einen beliebigen Anfangswer V gil: s-lim V e γ =, konvergier für die Vereilung von V gegen eine Normalvereilung mi Mielwer und Varianz σ γ (siehe Gl. (9)). Für einen normalvereilen oder konsanen Anfangswer V is V ein Gauß scher Prozeß, der sogenanne Ornsein-Uhlenbeck-Prozeß. Insbesondere is V für V = und V = σ ein saionärer Gauß scher Prozeß mi γ V V s = σ γ e γ s. (49) Durch Inegraion des Ornsein-Uhlenbeck-Prozesses V erhäl man den Prozeß (der Anfangswer X sei von V und, für alle, von W W sochasisch unabhängig) X := X + V s ds = X + 1 e γ γ der zusammen mi V die Lösung des SDG-Sysems V + σ γ ( 1 e γ( s)) dw s, (5) dx = V d dv = γv d + σdw (51) darsell und für X konsan oder normalvereil ebenso wie V ein Gauß scher Prozeß is. Falls X < is, folg analog zu Gln. (46) und (47) für den Erwarungswer X = X + 1 e γ γ 8 V (5)

9 und die Covarianzen Insbesondere gil: Cov(X,X s ) = Var(X )+ (1 e γ )(1 e γs ) γ Var(V )+ σ min(, s) γ { } + σ γ 3 e γ +e γs e γ(+s) e γ s, (53) Cov(X,V s ) = e γs (1 e γ ) Var(V ) γ { + σ γ e γs (e γ min(,s) 1) + e γ(+s) e γ s }. (54) Var(X ) = Var(X )+ (1 e γ ) γ Cov(X,V ) = e γ (1 e γ ) γ 1.5. Implemenaion in der Praxis Var(V )+ σ γ 3 { γ +1 ( e γ ) }, (55) Var(V )+ σ γ ( 1 e γ ). (56) Wir wollen uns nun der numerischen Lösung der SDG (43) zuwenden. Da wir nur an Ausdrücken der Form f(y ) ineressier sind, wählen wir dafür das Cauchy-Euler-Verfahren (siehe [8, Kap. 4.3], [9, Kap. 3.6] und [7, Abschn. 8.]). Die zenrale Idee dabei is, den Rauscherm (Wiener-Prozeß) durch Zufallszahlen am Compuer zu simulieren, und die SDG mi diesem numerisch simulieren Term zu inegrieren. Dies erlaub die gewünschen Mielwere für eine große Zahl so erzeuger Realisierungen ( Ensemblezahl) zu bilden. Die Compuersimulaion von W und die numerische Inegraion können dabei simulan ausgeführ werden. Um die Mehode an einem Beispiel zu demonsrieren, berachen wir die Iô-SDG (43). Als erses unereilen wir das Zeiinervall [,T]in N kleine endliche Teilinervalle der Länge τ := T/N,während derer sich die Sysemvariablen nur unwesenlich ändern: j := jτ, j =,...,N. Andererseis muß τ wesenlich größer sein als die inernen Badkorrelaionszeien τ B, um den whie noise -Limes aufrech zu erhalen. Die SDG (43) schreiben wir nun in eine Differenzengleichung um (j =,...,N 1): Y j+1 = Y j + βy j τ + σ W j, mi W j := W j+1 W j. (57) Man erhäl also den Wer der sochasischen Variable Y j+1 zu einem späeren Zeipunk j+1 aus dem bekannen Wer Y j zur Zei j durch Addiion eines deerminisischen Terms βy j τ und eines sochasischen Terms σ W j, wobei das Wiener-Inkremen W j für alle j i von Y i unabhängig is. Nach Voraussezung is die Funkionen b (insbesondere auch βy ) und σ nich-vorgreifend und Y für alle vonw W unabhängig. (Bemerkung: Die Iô-Form von Gl. (4) is für die Unabhängikei unbeding nowendig!) Jedes der Wiener-Inkremene W, W τ,..., W T is nach Gln. (11) und (14) Gauß-vereil mi Mielwer und Varianz τ und unabhängig von den übrigen Inkremenen. Man kann daher bei der Konsrukion einer NäherungsLösung der SDG (43) mi Hilfe von Gl. (57) schriweise in der Zei nach vor schreien, ohne die Vergangenhei bzw. die Zukunf des Prozesses in Berach ziehen zu müssen (Markov-Eigenschaf), und erhäl so eine Folge von Zufallsvariablen {Y jτ } j=,...,n, deren Realisierungen durch Simulaion der normalvereilen Wiener-Inkremene (randn) am Compuer mi einem Zufallsgeneraor erzeug werden können. (Der Fehler bei diesem Verfahren is für einen Schri von der Ordnung τ und nach N Schrien von der Ordnung τ.) Die Erwarungswere f(y ) zu den einzelnen Zeipunken = jτ berechne man dann dadurch, daß man eine große Zahl verschiedener Realisierungen von (Y,Y τ,...,y T ) abspeicher und saisisch auswere. Zusammenfassend erhalen wir folgenden Algorihmus: (i) Anfangswer ensprechend der Vereilung von Y wählen; (ii) W wird aus einer Gauß schen Vereilung mi Mielwer und Varianz τ ein Wer zugeordne; (iii) Mi Punk (i) und (ii) erhäl man die Were für Y τ ; (iv) Indukives Vorgehen jτ (j + 1)τ mi Hilfe von Gl. (57); 9

10 (v) Dadurch bekomm man eine Realisierung des Prozesses (Y,Y τ,...,y T ). Speicher man viele solcher Realisierungen, kann man leich alle gewünschen Eigenschafen des Prozesses errechnen. (Bemerkung: Da für ein solches Vorgehen sehr viel Speicherplaz nowendig wäre und man ohnehin nur an Mielweren und Varianzen ineressier is, is es angebrach Schri (v) nach Schri (iii) einzuschieben und die sochasische Auswerung für jeden Zeipunk durchzuführen.) 1.6 Brown sche Bewegung Aufgabe 1.3 Or X und Geschwindigkei V eines Brown schen Teilchens genügen dem folgenden Sysem von SDGn dx = V d dv = γv d + γ V sa dw (58) wobei γ die Dämpfung, V der saionäre (d.h. der sich im Limes einsellende) Erwarungswer sa des Quaraes der Geschwindigkei und dw ein Wiener-Inkremen bedeuen. Inegrieren Sie die SDG (58) numerisch (zu den Anfangsbedingungen X = und V normalvereil oder konsan) und zeichnen Sie nach einer jeweils fesen Zahl von Zeischrien die Phasenraumdiche und die Vereilungen (Hisogramme) von X und V. Sellen Sie die zeiliche Enwicklung von Varianz und Covarianz von X und V zusammen mi den analyischen Resulaen sowie einzelne Realisierungen dieser Prozesse graphisch dar. Diskuieren Sie die Abhängigkei der numerischen Ergebnisse von der Ensemblezahl und der Größe des Zeischries. (Hinweis: Durch Umskalieren von X,V und kann γ = 1 und V = 1 erreich werden.) sa Klassische Dynamik eines Einmodenlasers Die elekrische Feldampliude eines Einmodenlasers läß sich in guer Näherung durch eine beinahe monochromaisches ebene Welle mi kleinen zufälligen Schwankungen der Feldsärke und Phase beschreiben. Für einen fixen Or x =wähl man daher einen Ansaz der Form: E l (x =,):=E()e iφ() e iω + c.c. =(x()+iy())e iω + c.c.. (59) Dabei is ω die milere Laserfrequenz, sowie E() bzw. φ() die momenane reelle Ampliude bzw. Phase des Laserfeldes. Wei oberhalb der Laserschwelle finde man, daß die Laserampliude (oder Inensiä) nur sehr gering schwank, während die Laserphase ein zufälliges Verhalen ähnlich einer Brown schen Bewegung zeig. Diese Verhalen nenn man Phasendiffusion und es führ zu einer Linienbreie (Frequenzungenauigkei) des Lasers. Unerhalb der Laserschwelle finde man sarke Schwankungen von Laserampliude und Phase und das elekrische is sehr ähnlich dem hermischen Srahlungsfeld, wie es z.b. eine Glühlampe absrahl. Dieser Übergang von einem hermischen Srahlungsfeld zu einem kohärenen Laserfeld läß sich sehr gu anhand der sogenannen Roaing Wave van der Pol Gleichung beschreiben ( siehe: H. Risken : The Fokker-Planck equaion, Springer 1984, Seie 37 oder C.W. Gardiner, Handbook of sochasic Mehods ). Für den Real- x() und Imaginäreil y() der elekrischen Feldampliude erhäl man dabei folgende sochasische Differenialgleichung: dx() = x()(i() c)d + dw 1 () (6) dy() = y()(i() c)d + dw (), (61) mi (6) I() =(x ()+y ()). W 1 und W sind dabei zwei unabhängige Wienerprozesse. Den Parameer c nenn man normieren Pumpparameer. Er is proporional zur Leisung die dem Laser zugeführ wird. c = ensprich dabei genau der Schwellbedingung für den Laser..1 Aufgabensellung Aufgabe.1 1

11 Simulieren Sie miels der obigen Lasergleichungen den Anschwingvorgang des Lasers (Sar bei x = y = ). Vergleichen Sie das Verhalen von Inensiä und Phase unerhalb und oberhalb Schwelle (verwende z.b. polarplo). Wann sell sich ein saionärer Zusand ein? Aufgabe. Berachen Sie nun im saionären Fall den Laser genügend wei über der Schwelle. Wie groß sind die relaive Inensiässchwankungen I/ < I >. Wie häng die Särke der Phasendiffusion von c ab? Hinweis: Sezen Sie fuer einen besimmen Zeipunk = die Phase auf einen vorgegebenen Wer φ( )=φ und berechnen Sie φ() =< (φ() φ ) >. Lieraur [1] B. Øksenal, Sochasic Differenial Equaions: An Inroducion wih Applicaions, Springer, Berlin [] L. Arnold, Sochasic Differenial Equaions: Theory and Applicaions, Wiley-Inerscience, New York [3] C. W. Gardiner, Handbook of Sochasic Mehods, Springer Series Synergeics, Vol. 13, Berlin [4] H. Risken, The Fokker-Planck-Equaion: Mehods of Soluion and Applicaions, Springer Series Synergeics, Vol. 18, Berlin [5] N. Ikeda, S. Waanabe, Sochasic Differenial Equaions and Diffusion Processes, Norh-Holland Mahemaical Library, Vol. 4, [6] T. Hida, Brownian Moion, Springer, 198. [7] J. Honerkamp, Sochasische Dynamische Syseme, VCH Verlagsgesellschaf 199. [8] C. W. Gardiner, Handbook of Sochasic Mehods, Springer Series Synergeics, Vol. 13, Berlin [9] H. Risken, The Fokker-Planck-Equaion: Mehods of Soluion and Applicaions, Springer Series Synergeics, Vol. 18, Berlin