Das Verhalten ausgewählter technischer Indikatoren bei simulierten Finanzzeitreihen

Transkript

1 Das Verhalen ausgewähler echnischer Indikaoren bei simulieren Finanzzeireihen Diplomarbei Wirschafsmahemaik von Carsen Zimmer Prof. Dr. Jürgen Franke Fachbereich Mahemaik Universiä Kaiserslauern

2 Dank An dieser Selle möche ich allen danken, die zum Gelingen dieser Diplomarbei beigeragen haben. Mein besonderer Dank gil Prof. Dr. Jürgen Franke für die Vergabe des ineressanen Themas. Des Weieren danke ich Herrn Thillemanns und seinen Kollegen in der Dresdner Bank für die Bereisellung von Finanzdaen und allen, die mir durch ineressane Gespräche Impulse für meine Arbei gegeben haben. Seie 1

3 ZEICHENERKLÄRUNG... 6 MOTIVATION... 7 VORWORT... 8 BEGRIFFSERKLÄRUNGEN... 9 Long / Longposiion... 9 Shor / Shorposiion... 9 Pyramidensraegie... 9 Trendmark... 9 Sägezahnmark... 9 Glasellen... 9 Underlying INDIKATOREN Indikaorgruppen Trendfolger Oszillaoren Trendinensiäsindikaoren Umsazindikaoren Volailiäsindikaoren Meis verwendee Indikaoren Moving Averages Moving Average Convergence Divergence Sysem Bollinger Bänder Momenum Weiere of verwendee Indikaoren Commodiy Channel Index Time Series Forecas Trendbesäigungsindikaor... 3 Seie

4 MODELLE Definiionen sochasischer Prozess saionär weißes Rauschen Lag Operaor Auokovarianz Auokorrelaion Auoregressiver Prozess Definiion: kausal Definiion: Erzeugendes Polynom Parielle Auokorrelaion Saionariäsbedingung für AR(p) Prozesse Lineare Prognose eines kausalen saionären AR(p) Prozesses Yule Walker Schäzer Besimmung der Parameeranzahl eines AR(p) Prozesses Kleinse Quadrae Schäzer Maximum Likelihood Schäzer Quasi Maximum Likelihood Schäzer Moving Average Prozess Besimmung der Parameer eines MA(q) Prozesses Inverierbar Auoregressiver Moving Average Prozess Definiion: kausaler ARMA(p,q) Prozess Definiion: inverierbarer ARMA(p,q) Prozess Besimmung der Parameer eines ARMA Prozesses Auoregressive Inegraed Moving Average Prozess Seasonal Auoregressive Inegraed Moving Average Prozess Auswahl und Anpassung der Parameer eines SARIMA Modells Auoregressiver Condiional Heeroskedasischer Prozess Besimmung der Parameer eines ARCH(q) Prozesses General Auoregressiv Condiional Heerokedasic Prozess Schäzung der Parameer eines GARCH(1,1) Prozesses GARCH M ARMA GARCH MODELLAUSWAHLVERFAHREN Final Predicion Error Akaike s Informaions Krierium Bayesian Informaions Krierium Seie 3

5 4 ANALYSE DER INNOVATIONEN Kolmogorov Smirnov Tes Visuelles Verfahren zur Überprüfung des Verhalens empirisch besimmer Innovaionen ANWENDUNG DER INDIKATOREN AUF EINE ECHTE FINANZZEITREIHE Die zu unersuchende eche Finanzzeireihe Qualiaive Bewerung der Indikaoren / Handelssraegien Profi der Sraegie Anwendung der Indikaoren auf die Daen Simple Moving Average Exponenial Moving Average Weighed Moving Average Triangular Moving Average MACD Momenum Time Series Forecas Trendbesäigungsindikaor Auswerungsfazi AUSWAHLVERFAHREN Kombinaionen der verschiedenen Handelssraegien Bese Prognosequaliä in den lezen Handelsagen Bese Performance in den lezen Handelsagen Gemeinsames Ausweren ausgewähler Indikaoren... 6 Seie 4

6 7 SIMULATION VON FINANZZEITREIHEN Modell I Analyse der Innovaionen des Modells Simulaion einer Zeireihe und Auswerung der Indikaoren für diese Zeireihe Simple Moving Average Exponenial Moving Average Weighed Moving Average Triangular Moving Average MACD Momenum Time Series Forecas Trendbesäigungsindikaor Bese Prognosequaliä in den lezen Handelsagen Bese Performance in den lezen Handelsagen Gemeinsames Ausweren der Indikaoren Auswerungsfazi Zeireihen zur Modellierung eines Modells für die DAX Zeireihe DAX Fuure Dow Jones Bund Fuure USD/EUR Modell II Anwendung der Indikaoren auf die simuliere Finanzzeireihe Simple Moving Average Exponenial Moving Average Weighed Moving Average Triangular Moving Average MACD Momenum Time Series Forecas Trendbesäigungsindikaor Bese Prognosequaliä in den lezen Handelsagen Bese Performance in den lezen Handelsagen Gemeinsames Ausweren der Indikaoren Auswerungsfazi ANHANG Auswerung der verschiedenen Modelle für die DAX Zeireihe LITERATURVERZEICHNIS Seie 5

7 Zeichenerklärung X H L C MA MA x WMA EMA TMA MACD Trigger ROC CCI TSF TBI Kurs zum Zeipunk Höchskurs zum Zeipunk Tiefskurs zum Zeipunk Schlusskurs zum Zeipunk Moving Average Moving Average uner Berachung eines Zeiraumes der Länge x Weighed Moving Average Exponenial Moving Average Triangular Moving Average Moving Average Convergence Divergence Exponenial Moving Average des MACD Rae of Change Commodiy Channel Index Time Series Forecas Indikaor Trendbesäigungsindikaor ρ π ε Auokorrelaion parielle Auokorrelaion weißes Rauschen Seie 6

8 Moivaion Indikaoren liefern dem Anleger Informaionen über die akuelle Marklage und implizieren Handelssraegien auf mahemaischer Basis. In der Arbei sollen ausgewähle echnische Indikaoren und deren Handelssraegien hinsichlich ihres Verhalens bzw. ihrer Profiabiliä in verschiedenen Markphasen unersuch werden. Um das Argumen, dass die Indikaoren selbs erfüllend sind, zu enkräfen, werden Finanzzeireihen simulier und die Indikaoren auf diese angewende und ausgewere. Zu diesem Zweck wird zu gegebenen echen Kursdaen ein finanzzeireihenanalyisches Modell angepass. Dieses wird zur Simulaion von Finanzzeireihen und dami zur Auswerung der Indikaoren verwende werden. Durch geeignee Auswahlverfahren sollen verschiedene Handelssraegien zu Sraegien kombinier werden, um ein besseres Errag/Risikoverhälnis zu erreichen als dies bei einzelnen Sraegien der Fall wäre. Seie 7

9 Vorwor Eines der größen Probleme war die Beschaffung und Auswahl der geeigneen Daen. Einige Indikaoren basieren auf Eröffnungs-, Höchs- oder Tiefskursen und Angaben über das Handelsvolumen, welche ich zu Beginn kurz beschreiben aber mangels Daen bei der weieren Unersuchung nich behandeln werde. In meiner Arbei werde ich nur Indikaoren unersuchen, die auf Schlusskursen basieren. Seie 8

10 Begriffserklärungen Long / Longposiion Als Longposiion wird im klassischen Sinne ein posiiver Besand des Underlyings im Depo versanden. Shor / Shorposiion Als Shorposiion wird im klassischen Sinne ein negaiver Besand des Underlyings im Depo versanden. Pyramidensraegie Bei der Pyramidensraegie wird eine Posiion solange vergrößer bis die Handelssraegie einen Posiionswechsel empfiehl. In diesem Fall wird die gesame Posiion gla gesell (gekauf bzw. verkauf) und eine engegengeseze Posiion aufgebau. Trendmark Als Trendmark wird ein Mark bezeichne, dessen Kurse sich in einem klar erkennbaren Aufoder Abwärsrend bewegen, im Gegensaz zum Sägezahnmark bzw. Seiwärsrend. Sägezahnmark Als Sägezahnmark wird ein Seiwärsrend bezeichne. Die Kurse schwanken zwischen zwei annähernd horizonalen Schranken. Glasellen Man sprich vom glasellen einer Posiion, wenn der Besand in diesem Wer auf Null zurück geführ wird. Underlying Mi Underlying wird der zu Grunde liegende Wergegensand bezeichne. Seie 9

11 1 Indikaoren Indikaoren haben die Aufgabe, die akuelle Marklage zu erkennen und dem Anleger Hilfen bei seinen Anlageenscheidungen zu geben. Es gib verschiedene Gruppen von Indikaoren, die jeweils in unerschiedlichen Marklagen besimme Anlagesraegien implizieren. Die Grenzen zwischen den einzelnen Indikaorgruppen sind nich immer klar und eindeuig. Es gib Indikaoren, die mehreren der folgenden Indikaorgruppen zugeordne werden können. Bei vielen Indikaoren kann es sinnvoll sein, Filer einzuführen um Fehlsignale zu vermeiden. Diese Filer sind prozenuale Auf-/ Abschläge auf den Kursverlauf bzw. den akuellen Indikaorwer. Hierbei muss der Indikaor eine Zone um den akuellen Wer über- / unerschreien, um ein Handelssignal zu generieren. 1.1 Indikaorgruppen Trendfolger Trendfolger versuchen in dem Kursverlauf einen Trend zu erkennen. Da die Kurse sich nich linear enwickeln, beinhale der Begriff Trend eine Folge von anseigenden bzw. abfallenden Hoch- / Tiefpunken. Trendfolger folgen dem Trend, d.h. sie reagieren relaiv spä auf einen Trendwechsel. Ein neuer Trend wird ers dann angezeig, wenn dieser sich bereis eablier ha. Sie sind in Phasen einsezbar, in denen ein klarer Trend zu erkennen is. In Phasen eines Seiwärsrends, (Sägezahnmark) liefern diese Indikaoren viele Fehlsignale und sind daher in dieser Siuaion ungeeigne. Überreibungen des Kurses in die eine oder andere Richung sind mi Hilfe der zu dieser Gruppe gehörenden Indikaoren nich zu erkennen. Seie 10

12 1.1. Oszillaoren Der Begriff Oszillaor samm aus der Physik bzw. der Elekroechnik, in denen regelmäßige Schwingungen unersuch werden. Ziel dieser Indikaoren is es, hiner den Kursen eine möglichs regelmäßige Schwingung zu finden, um auf diese Weise Informaionen über den weieren Verlauf des Kurses zu gewinnen. Oszillaoren schwanken um eine horizonale Linie. Fas alle Oszillaoren sind so skalier, dass sie in einem Werebereich von 0 bis 100 um den Wer 50 oszillieren. Bei den meisen Oszillaoren werden die oberen / uneren 15% oder 0% des Werebereichs als Exremzonen definier. Befinde sich der Oszillaor in einer der Exremzonen wird dies als eine Überreibung innerhalb des akuellen Trends inerpreier und es wird mi einer Bewegung des Kurses zur engegengesezen Begrenzung gerechne. Demzufolge werden solche Indikaoren auch als Überkauf / Überverkauf - Indikaoren bezeichne. Handelssignale werden durch das Schneiden von besimmen horizonalen Linien erzeug. Dies kann zum Beispiel der Einri in eine Exremzone, das Verlassen einer Exremzone, der Trendwechsel des Indikaors oder das Schneiden der Miellinie sein. Eine Divergenz zwischen dem Oszillaor und dem Kurs wird als Zeichen für ein bevorsehendes Ende des Trends berache. Oszillaoren liefern gue Handelssignale, vor allem in Seiwärsbewegungen des Markes Trendinensiäsindikaoren Trendinensiäsindikaoren werden zur Erkennung und Quanifizierung von Trends verwende. Handelssignale können aus ihnen nich gewonnen werden. Sie legen lediglich nahe, welche Ar von Indikaoren man zur Erzeugung von Handelssignalen verwenden solle Umsazindikaoren Die Aufgabe der Umsazindikaoren is es, Volumenrends bzw. Volumenrendwechsel feszusellen. Es wird auf Konvergenz und Divergenz zwischen Volumenrends und Kursverlauf geache, um Handelssignale zu generieren Volailiäsindikaoren Als Volailiä wird die akuelle empirische Sandardabweichung uner Berücksichigung der lezen n Were bezeichne. Volailiäsindikaoren qualifizieren und quanifizieren die Volailiä der Kurse und den Trend der Sandardabweichung. Seie 11

13 1. Meis verwendee Indikaoren Bemerkung: Die Beispielgrafiken sind rein qualiaiv zur Veranschaulichung des Indikaors Moving Averages Die verschiedenen Versionen des Moving Average (Gleiender Durchschni) gehören zu den Trendfolgern und werden von vielen anderen Indikaoren als Berechnungsgrundlage herangezogen. Sie können jedoch auch Grundlage einer eigenen echnischen Analyse sein. Moving Averages eines kürzeren Zeiraums reagieren schneller auf akuelle Markbewegungen als längerfrisig ausgelege Moving Averages. In den einzelnen Versionen des Moving Average wird den neueren Kursen zuweilen höheres Gewich beigemessen, um so schnellere Reakionen des Indikaors auf akuelle Markbewegungen zu erreichen. Inerpreaion: Ein anseigender Moving Average zeig einen Aufwärsrend an, während ein abfallender Moving Average einen Abwärsrend anzeig. In einer Börsenphase, die von kurzen Trends gepräg is, solle man Moving Averages mi einem kurzen Berechnungszeiraum verwenden, dagegen bei Börsenphasen in denen längere Trends das Markgeschehen besimmen, längerfrisige Moving Averages. Handelssignale: Schneide der Kurs den gleienden Durchschni von unen, wird dies als Kaufsignal inerpreier. Analog wird ein Schneiden des Kurses von oben nach unen als ein Verkaufssignal inerpreier. Seie 1

14 Formeln: Simple Moving Average N 1 1 N i= 0 MA N = X i mi X : Kurs zum Zeipunk N: Parameer der die Anzahl der zurückliegenden Kurse angib Sandardmäßige Berechnung des Moving Average; alle Kurse werden zu gleichen Teilen gewiche. Beispiel: Seie 13

15 Weighed Moving Average WMA N w X i i= 1 N = N i= 1 w + 1 i w i = Gewichsfakoren Beispiel: i Seie 14

16 Exponenial Moving Average EMA = λ X + (1 λ) EMA 1 1 = 1 λ k = 1 λ k 1 X k mi EMA = akuelle Wer des Exponenial Moving Average λ = Skalierungsfakor mi λ (0,1) λ 1 Der EMA verhäl sich sehr ähnlich wie der WMA, da mi größer werdendem die ersen Kurse immer weniger Gewich haben; also sich der EMA fas nur aus den lezen k Kursen mi den Gewichen w 1,, w k berechne. Beispiel: Seie 15

17 Triangular Moving Average Bei dem Triangular Moving Average wird ein Moving Average eines Moving Averages gebilde und dieser zur Generierung von Handelssignalen verwende. N n k = 0 TMA = MA mi n k N + 1 n = mi N = Anzahl der beracheen zurückliegenden Kurse. n MA = Moving Average der Länge n k Beispiel: 1.. Moving Average Convergence Divergence Sysem Der Moving Average Convergence Divergence (MACD) is sowohl als Trendfolger als auch als Oszillaor einsezbar und somi in jeder Ar von Mark in der Lage, Handelssignale zu generieren. Der MACD sell den Absand zwischen zwei Moving Averages unerschiedlicher Berechnungszeiräume dar. Berechne man die beiden Moving Averages auf exponenialer Basis mi unerschiedlichen Abklingparameern, so oszillier der MACD immer um die Nulllinie. Is der MACD größer Null, bedeue dies, dass der kürzere Moving Average größer als der längere Moving Average is. Bei einer Divergenzanalyse wird der Absand des MACD von der Nulllinie berache. Zur Generierung von Handelssignalen wird ein Moving Average, der in diesem Zusammenhang auch Trigger genann wird, des MACD berechne. Seie 16

18 Inerpreaion: Nähern sich Moving Average und Trigger einander an, d.h. sie befinden sich in einer Konvergenzphase, so schwäch sich der Trend in dem zugrunde liegenden Wer ab. Analog ensprich eine Divergenz zwischen den beiden Moving Averages einer Inensivierung des Trends. Handelssraegie: Schneide der MACD den Trigger von unen, wird dies als Kaufsignal versanden. Ein Schni von oben nach unen wird als Verkaufssignal inerpreier. Der MACD kann auch als Trendanzeiger verwende werden, sobald der MACD einen Tiefpunk gebilde ha, is dies ein Kaufsignal. Analog is ein Hochpunk des MACD ein Verkaufssignal. Formel: MACD EMA1 EMA = EMA1 EMA = EMA ( X = EMA ( X ) = λ X ) = λ X + (1 λ ) EMA 1 + (1 λ ) EMA Trigger = EMA ( MACD ) = λ ( EMA1 EMA ) + (1 λ ) EMA x y z x y z x y 1 z 1 ( MACD) λ x, λ y, λ z * + Beispiel: Seie 17

19 1..3 Bollinger Bänder Der Trendfolger Bollinger Bänder, auch alpha bea Bänder genann, basier auf einem Moving Average, der um ein k-faches der akuellen Sandardabweichung nach oben bzw. unen verschoben wird. Inerpreaion: Kernüberlegung der Bollinger Bänder is, dass Kurse um ihren Erwarungswer herum pendeln, so dass die meisen Kurse in der Regel zwischen den beiden Bändern liegen werden, wobei der Erwarungswer durch einen Moving Average angenäher wird. Bollinger nimm an, dass sich der Kurs immer von einem Band zum anderen beweg. Dies is hilfreich bei der Besimmung von Kurszielen. Handelssignale: Erreich der Kurs das obere bzw. unere Band bzw. eine Region um dieses Band, so is mi einer Gegenbewegung des Kurses zu rechnen. Wenn sich die beiden Bänder dem Moving Average annähern, is mi einer särkeren Kursbewegung zu rechnen. Beseh eine Divergenz zwischen Kursverlauf und Indikaor, so kann nach Bollinger davon ausgegangen werden, dass sich der Kurs wieder in Richung des anderen Bandes beweg. Durchbrich der Kurs jedoch eines der Bänder so kann beobache werden, dass sich der Kurs weier sehr sark in diese Richung enwickel. In Anberach der Tasache, dass die Handelssraegien basierend auf diesem Indikaor keine präzisen Handelszeipunke und Richungen haben, werde ich diesen Indikaor bei den weieren Berachungen nich unersuchen. Formel: Oberes Band = MA + k * σ Uneres Band = MA k * σ mi σ = Sandardabweichung der lezen n Kurse k {1, } Beispiel: Seie 18

20 1..4 Momenum Das Momenum is der am häufigsen verwendee Indikaor aus der Gruppe der Oszillaoren. Es wird versuch, die Kraf bzw. die Dynamisierung einer Kursbewegung zu messen, indem eine forlaufende Quanifizierung des im Kurs enhalenen Impulses berechne wird. Das Momenum gehör zu den wenigen Indikaoren die einen Trendwechsel prognosizieren können. Dem zufolge sind Divergenzanalysen zwischen Kurs und Indikaor Erfolg versprechende Anwendungen. Einige Anwender verwenden auch einen Moving Average des Indikaors für ihre Analysen. Die Einführung von Exremzonen is ebenfalls möglich. Das Momenum kann auch zur Analyse der Aussagekraf anderer Indikaoren eingesez werden. Eine leich abgewandele Variane is der Rae of Change Indikaor, der jedoch die gleiche Handelssraegie implizier. Inerpreaion: Is das Momenum größer bzw. kleiner als 0, so befinde sich der Kurs in einer Aufwärsbzw. Abwärsbewegung. Wird der Absoluberag des Momenums kleiner, so is mi einem Trendwechsel zu rechnen. Handelssraegie: Als ein klassisches Kaufsignal wird das kreuzen der Nulllinie von unen nach oben inerpreier. Analog werden Verkaufssignale beim Durchbrechen von oben nach unen erzeug. Werden, um Fehlsignale zu vermeiden, Filer definier, es ergeben sich verschiedene Inerpreaionsmöglichkeien: i) kaufe bzw. verkaufe, wenn der Indikaor die neurale Zone verläss ii) kaufe bzw. verkaufe, wenn der Indikaor in die neurale Zone einri. Werden Exremzonen zur Signalgenerierung verwende, so wird das Momenum als Konra Indikaor inerpreier. Man rechne mi einem Trendwechsel, wenn sich der Indikaor in einer Exremzone befinde. Wird ein Moving Average des Momenums verwende, so werden die ensprechenden Handelssignale beim Kreuzen von Momenum und Moving Average ausgelös. Die Wahl des gleienden Durchschnis kann zur Feinabsimmung zwischen evenuell aufreenden Fehlsignalen und verspäeen Signalen verwende werden. Formel: Momenum C C ROC = C = C C n+1 n+ 1 n+ 1 *100 Seie 19

21 Beispiel: 1.3 Weiere of verwendee Indikaoren Commodiy Channel Index Der Commodiy Channel Index (CCI) wurde ursprünglich enwickel, um den Anfang und das Ende von Preiszyklen im Rohsoffhandel zu erkennen; dies erklär seinen Namen. Jedoch is der CCI auch bei anderen, nich Rohsoff basierenden Zeireihen, als Trendinensiäsindikaor einsezbar. Der Indikaor erkenn einen neuen Trend, wenn der Absand zwischen Kurs und Moving Average einen besimmen Wer überschreie. Ansonsen sprich man von einem rendlosen Mark oder auch Sägezahnmark. Inerpreaion: Der CCI kann die Richung und die Inensiä eines Trends quanifizieren. Ab einem Wer von 100 wird von einem Aufwärsrend gesprochen und von einem Abwärsrend ab einem Wer kleiner Seile Ansiege bzw. Rückgänge im Indikaor sind ein Zeichen für eine große Särke des akuellen Trends. Analog is ein langsames Anseigen / Abfallen des Indikaors ein Zeichen für die Abschwächung des akuellen Trends des Basisweres. Handelssignale Seig der CCI über 100, so is dies ein Kaufsignal. Diese Posiion solle geschlossen werden, wenn der CCI uner 100 fäll. Fäll der CCI uner -100, so is dies ein Verkaufssignal. Analog solle diese Shor Posiion so lange gehalen werden, bis der CCI wieder über -100 seig. Seie 0

22 Formel: Y N = N 1 1 N i= 0 Y i Y = (H +L +C ) / 3 Y Y CCI = N 0,015*σ Y mi σ Y Sandardabweichung von Y Beispiel: 1.3. Time Series Forecas Der Time Series Forecas Indikaor (TSF) gehör zu den Trendfolgern. Die Idee dieses Indikaors is es, den vorherrschenden Trend mi Hilfe einer linearen Regression zu erkennen. Of wird auch ein Moving Average des TSF bzw. der TSF mi seinem Moving Average zusammen berache. Ein Voreil des TSF is die äußers sensible Wirkung von Kursveränderungen auf den Indikaor. Dies is jedoch auch gleichzeiig sein Nacheil, da der TSF Indikaor of über sein Ziel hinaus schieß. Inerpreaion: Man geh davon aus, dass sich der akuelle Trend nich änder und versuch so eine Aussage über den nächsen Kurswer zu reffen. Seie 1

23 Handelssraegie: Kaufsignale werden durch ein Schneiden des Kurses von unen nach oben bzw. des Moving Averages durch den TSF erzeug. Verkaufssignale werden bei engegengesezem Verlauf erzeug. Formel: 1. Berechnung einer linearen Regressionsgerade ("R") über die lezen n Perioden R von C -n bis C. Der leze Punk dieser Regressionsgeraden sell den akuellen "TSF"-Wer dar: TSF = R 3. Die Aneinanderreihung der forlaufend ermielen "TSF"-Were ergib den "Time Series Forecas" Indikaor. Dieser Indikaor kann auch als AR Forecas bezeichne werden, indem ein AR(n) Modell zu den Daen angepass wird und dieses zur Prognose verwende wird. (vergleiche Kapiel..5) Beispiel: Seie

24 1.3.3 Trendbesäigungsindikaor Der Trendbesäigungsindikaor (TBI) basier auf zwei Moving Averages unerschiedlicher Längen und is somi ebenfalls ein Trendfolger. In einigen Fällen wird auch ein Moving Average des Indikaors zur Analyse verwende. Inerpreaion: Es wird versuch, einen mi Hilfe eines Moving Average erkannen Trend, durch einen weieren Moving Average zu besäigen. Handelssraegie: Überseig der TBI die Mielpunkslinie, so lös dies ein Kaufsignal aus, unerschreie er diese, so lös dies ein Verkaufssignal aus. Wird ein Moving Average des Indikaors verwende, so generieren die Schnipunke zwischen Moving Average und TBI ensprechend der Moving Average Sraegie Handelssignale. Formel: MAx TBI = *100 MAy MA x = Moving Average kürzerer Zeiraum MA y = Moving Average längerer Zeiraum Beispiel: Seie 3

25 Modelle In diesem Abschni werden einige Modelle von (Finanz-) Zeireihen sowie einige Verfahren zur Schäzung der Modellparameer an Hand von realen Daen beschrieben..1 Definiionen.1.1 sochasischer Prozess Ein sochasischer Prozess X, Z is eine Familie von Zufallsvariablen definier auf einem Wahrscheinlichkeisraum (Ω, F, P). Zu einem besimmen Zeipunk is X eine Zufallsvariable mi einer besimmen Vereilungsfunkion und für ein besimmes ω Ω is X(ω) = {X (ω): +} eine Realisierung oder ein Pfad des Prozesses..1. saionär Eine reellwerige Zeireihe {X : +} heiß srik saionär, wenn L( X +,..., X ) ( 1,..., ) 1 + = L X X N N N 1,, 1,..., N +. Sie heiß (schwach) saionär wenn E(X ) = μ < + Var(X ) = σ ε < + Cov(X s, X +s ) = r s, weißes Rauschen Eine Folge {ε : +} mi ε u.i.v., E(ε ) = 0, var(ε ) = σ ε < heiß srikes weißes Rauschen. Eine Folge {ε : +} mi ε unkorrelier, E(ε ) = 0, var(ε ) = weißes Rauschen. σ ε < heiß.1.4 Lag Operaor Der Lag Operaor L verschieb den Prozess X um eine Zeieinhei, d.h. LX = X -1 und L k X = X -k. Der Differenzenoperaor Δ = 1 L, d.h. Δ k = (1 L) k. Seie 4

26 .1.5 Auokovarianz r = cov( X s, X + s ) heiß Auokovarianzfunkion und R N =(r -s ) wird als Auokovarianzmarix bezeichne. Um die Auokorrelaion von realen Daen zu schäzen, schäz man zuers die Auokovarianzfunkion an Hand dieser Daen wie folg: N τ 1 r ˆτ = ( X k X N )( X τ + k X N ) für 0 τ N- 1 N k =1.1.6 Auokorrelaion Die Funkion r ρ = + heiß Auokorrelaionsfunkion eines saionären Prozesses. ro Es gelen folgende Eigenschafen: 1. r 0 0. r r 0 3. r = r - Um die Auokorrelaion an Hand von realen Daen X zu schäzen, verwende man folgende Formel: N τ N τ 1 ( )( ) ( )( ) ˆ X k X N X τ + k X N X k X N X τ + k X N rτ N k = 1 k = 1 ˆ ρ = = = N N rˆ 1 0 ( X k X N )( X k X N ) ( X k X N ) N k = 1 k = 1. Auoregressiver Prozess Ein sochasischer Prozess X heiß Auoregressiver Prozess (AR) der Ordnung p ( 1) wenn, p AR( p) : X = υ + α k X k + ε, - < < α p 0, υ = Kons. k = 1 mi {ε } weißes Rauschen. Eigenschafen eines AR Prozesses: Im Allgemeinen sind Maximum Likelihood Schäzer (MLE), Kleinser Quadrae Schäzer (LSE) und Yule Walker Schäzer (YWE) annähernd gleich für einen kausalen AR(p) Prozess. Seie 5

27 ..1 Definiion: kausal Ein AR(p) Prozess heiß kausal, wenn eine Folge von Konsanen {ψ j } exisier, so dass gil =0 j ψ j < und X = ψ jε j = 0, ± 1,...,{ε } weißes Rauschen. = Für AR(p) Prozesse gil: kausal saionär. j 0.. Definiion: Erzeugendes Polynom A(z) = 1 - α 1 z - α p z p Für z heiß A(z) das erzeugende Polynom oder z-transponiere. Daher können wir einen AR(p) Prozess schreiben als: A(U -1 )X = ε..3 Parielle Auokorrelaion Die parielle Auokorrelaion eines sochasischen Prozesses X is definier als π := corr(x P(X X -1,, X 1 ), X 0 P(X 0 X -1,, X 1 )) + mi P (W Z) lineare Projekion von W auf Z. Für einen kausalen saionären AR(p) Prozess mi den Koeffizienen α 1,..., α p gil dann π = 0 > p und π p = α p Um die parielle Auokorrelaion aus realen Daen zu schäzen geh man wie folg vor: ˆ π ˆ p = α p ( p) mi ˆ 1 ˆ α ( p) = R p rˆ( p) mi Rˆ p geschäze Auokovarianzmarix für p Parameer...4 Saionariäsbedingung für AR(p) Prozesse Für p 1 exisier genau dann eine saionäre kausale Lösung von A(U -1 )X = ε, wenn A(z) keine Nullselle in {z : z 1} ha. Seie 6

28 ..5 Lineare Prognose eines kausalen saionären AR(p) Prozesses Für einen gegebenen kausalen saionären AR(p) Prozess der Form X = υ + α k X k = 1 * und gegebenen X 1,..., X N mi N p kann man folgende Prognose X ˆ + angeben. i 1 * N + i = α k Xˆ * N + i k + k = 1 p Xˆ α X i p Xˆ p * ˆ * N + i k X N + i k k = 1 k = i = α i > p k N + i k N i p k + ε..6 Yule Walker Schäzer Seien X 1,..., X N Sichproben eines kausalen AR(p) und seinen r ˆ ˆ 0,..., r N 1 die ˆ α1 rˆ 1 Sichprobenkovarianzen, dann heißen ˆ... ˆ 1 α = = R p rˆ( p) mi rˆ( p) =... und ˆ α p r ˆ p T σ ε = r ˆ ˆ0 α rˆ( p) die Yule Walker Schäzer für ( α,...,α ) T 1 p und σ ε...7 Besimmung der Parameeranzahl eines AR(p) Prozesses Die Ordnung eines kausalen saionären AR(p) Prozesses schäz man mi Hilfe des pariellen Korrellogramms. Für einen solchen Prozess gil π = 0 > p und π p = α p. Die einzelnen Parameer α i werden mi Hilfe der Yule Walker Gleichungen geschäz...8 Kleinse Quadrae Schäzer Der Kleinse Quadrae Schäzer (LSE) kann zur Schäzung der Parameer eines AR(p) Prozesses verwende werden. ~ ( ~ ~ T α = α1,..., α p ) = arg min Q( α) mi Q( α ) = ( X α k X α N p = p+ 1 k = 1 Für AR(p) Modelle sind LSE und Yule Walker Schäzer asympoisch äquivalen. k ) Seie 7

29 ..9 Maximum Likelihood Schäzer Die Likelihood Funkion is ein Plausibiliäsmaß für alernaive Were des Parameervekors Θ für einen gegebenen Wer x des Sichprobenvekors X. Der Maximum Likelihood Schäzer is der Schäzer, der bei realisierer Sichprobe x für Θ den plausibelsen Wer Θˆ n wähl. Dies is der Wer der die Likelihood Funkion bzw. die Log Likelihood Funkion maximier. n f ( xi Θ) X seig i= 1 L( Θ x) : = n heiß Likelihood Funkion = Θ P( X xi ) X diskre i= 1 l( Θ x) : = log L( Θ x) heiß Log Likelihood Funkion Is die (Log-) Likelihood Funkion pariell differenzierbar nach allen m Parameern in Θ, so besimm man die Maximum Likelihood Schäzer durch Null sezen, der m pariellen Ableiungen...10 Quasi Maximum Likelihood Schäzer Besimm man die Maximum Likelihood Schäzerϖˆ, αˆ auch wenn {ε } nich normalvereil sind, so nenn man ϖˆ und αˆ Quasi Maximum Likelihood Schäzer..3 Moving Average Prozess Ein sochasischer Prozess X heiß Moving Average Prozess (MA) der Ordnung q ( 1) (MA(q)) wenn, q MA( q) : = β ε, - < <, ypische Parameer sind β 0 = 1 und β q 0, X j= 0 j j mi {ε } weißes Rauschen. Alernaive Schreibweise: X = β(l)ε Mi β(l) = 1+ β 1 L β q L q Eigenschafen eines MA Prozesses: Ein MA(q) Prozess is immer saionär, da er aus saionären Prozessen zusammengesez wird und es gil für die Auokorrelaion r = 0 > q ( ρ = 0 > q) Seie 8

30 .3.1 Besimmung der Parameer eines MA(q) Prozesses Um die Ordnung eines MA(q) Prozesses und dami den Parameer q zu schäzen, verwende man die oben genanne Eigenschaf r = 0 > q ( ρ = 0 > q). Die Parameer β 1,..., β q und σ werden durch Lösen folgender Gleichungen geschäz: ˆ = cov( X, X ) für i = 0,..., q-1 r i + i.3. Inverierbar Ein MA(q) Prozess X heiß inverierbar, wenn {π j } s. d. =0 j π j < und ε = π j X = j 0 j.4 Auoregressiver Moving Average Prozess Ein sochasischer Prozess X heiß Auoregressiv Moving Average Prozess (ARMA) der Ordnung (p,q), wenn er folgende Form besiz p k = 1 k + q ARMA( p, q) : X = ν + α X β ε mi {ε } weißes Rauschen k j= 0 j j.4.1 Definiion: kausaler ARMA(p,q) Prozess Ein ARMA(p,q) Prozess definier durch Φ ( B) X = Θ( B) ε heiß kausal, oder genauer eine kausale Funkion von { } ε, wenn eine Folge von Konsanen {ψ j } exisier, s.d. ψ < und X = ψ jε j = 0, ±1, j= 0 Kausaliä is in diesem Zusammenhang keine Eigenschaf von X alleine, sondern viel mehr eine Beziehung zwischen den beiden Prozessen {X } und {ε }. =0 j j Seie 9

31 .4. Definiion: inverierbarer ARMA(p,q) Prozess Ein ARMA(p,q) Prozess definier durch Φ ( B) X = Θ( B) ε heiß inverierbar, wenn eine Folge von Konsanen {π j } exisier, so dass gil =0 j π j < und ε = π j X j = 0, ±1,... = j 0 Wie Kausaliä is auch Inverierbarkei in diesem Zusammenhang keine Eigenschaf des Prozesses {X } alleine sondern eine Beziehung zwischen den beiden Prozessen {X } und {ε }..4.3 Besimmung der Parameer eines ARMA Prozesses Die Parameer des ARMA Prozesses können mi dem kleinse Quadrae Schäzer geschäz werden, der für normalvereile ε (und dami X ) dem Maximum Likelihood Schäzer ensprich..5 Auoregressive Inegraed Moving Average Prozess Ein sochasischer Prozess {X } heiß Auoregressiv Inegraed Moving Average (ARIMA) der Ordnung (p,d,q), wenn Y := (1 U -1 ) d X ein kausaler saionärer ARMA(p,q) Prozess is. mi d 1 und (1 U -1 ) d X = d X Diese Definiion bedeue, dass {X } folgende Gleichung erfüll, * d Φ ( B) X Φ( B)(1 B) X = Θ( B) ε mi {ε } ~ weißes Rauschen (0, σ ε ) ARIMA Modelle werden zur Modellierung von nich saionären, zeiabhängige Trends enhalende Zeireihen, verwende. Eine ypische Eigenschaf von ARIMA Prozessen mi d 1 is eine posiive, langsam fallende Auokorellaionsfunkion wie unen veranschaulich. Seie 30

32 .6 Seasonal Auoregressive Inegraed Moving Average Prozess Ein sochasischer Prozess {X } heiß ein Seaonal Auoregressiv Inegraed Moving Average (SARIMA) der Ordnung (p,d,q) (P,D,Q) s, wenn der Differenzprozess Y :=(1 U -1 ) d (1 U -s ) D X ein saionärer kausaler ARMA Prozess is. mi p,d,q,p,d,q 1 SARIMA Prozesse sind Prozesse, die sowohl eine saisonale Komponene als auch einen zeiabhängigen Trend innerhalb dieser saisonalbedingen Phasen enhalen. Es handel sich um ARIMA Prozesse der Länge s die aneinander gereih sind, d.h. nach jeweils s Zeieinheien folg eine Realisierung des gleichen ARIMA Prozesses. Ein SARIMA Prozess ha eine Auokorrellaionsfunkion, die wie folg aussieh..6.1 Auswahl und Anpassung der Parameer eines SARIMA Modells Da ein ARMA Modell ein Spezialfall eines ARIMA Modells is, und ein ARIMA Modell ein Spezialfall eines SARIMA Modells, is folgende Vorgehensweise für alle drei Modelle anwendbar. 1. Erkenne Trends, saisonale Effeke Ausreißer Trends und saisonale Effeke werden durch ensprechendes Differenzieren, also Anwendung des Lag Operaors enfern. Enferne evenuell vorhandene Heeroskedasik (Schwankungen der Varianz) der Daen durch logarihmieren der Daen 3. Berache das Sample Korrellogramm der Daen 4. Wähle s,d,d so dass (1 U -1 ) d (1 U -s ) D X =Y saionär is. 5. Berache Korrellogramm und parielles Korrellogramm 6. Besimme die Yule Walker Schäzer 7. Besimme mi Hilfe eines objekiven Informaionskrierium (AIC, FPE,...) pˆ, qˆ 8. Modelliere ein Modell mi Hilfe des MLE 9. Berache die Tessaisik und versuche das Modell zu vereinfachen 10. Überprüfe die Innovaionen auf Normaliä Seie 31

33 .7 Auoregressiver Condiional Heeroskedasischer Prozess Ein sochasischer Prozess {X } heiß Auoregressiver Condiional Heeroskedasischer Prozess der Ordnung p (ARCH(p)), wenn a) E(X F -1 ) = 0 und p mi σ = ω + α + X, ω > 0, α 1,..., α p 0 i= 1 b) Var(X F -1 ) = σ ε und i X i ε = u.i.v. (sarkes ARCH), σ c) Var(X F -1 ) = σ ε (semi sarkes ARCH) oder d) P ε 1, ε ε..., ε, ε,...) = σ (schwaches ARCH) ( 1,, 1 ε Eigenschafen eines ARCH(q) Prozesses_ Problemaisch is die eilweise anwendungsbedinge hohe Ordnung der zu verwendenden Modelle, da sehr viele Parameer uner Nebenbedingungen zu schäzen sind. Effiziene Schäzmehoden sind bei einer hohen Parameeranzahl numerisch sehr aufwendig. ARCH Prozesse können die Asymmerie der Volailiä, basierend auf dem Vorzeichen eines in der Vergangenhei liegenden Schocks, d.h. auf exreme Kursverluse reagieren die Anleger anders als auf exreme Kursgewinne, nich modellieren. Seie 3

34 .7.1 Besimmung der Parameer eines ARCH(q) Prozesses Für ein allgemeines ARCH(q) Modell läss sich folgende bedinge log Likelihood Funkion aufsellen: X = σ * ε mi σ X ε = is (0,1) σ = ω + q k = 1 α X k k N vereil, wobei ε ers berechenbar is für q+1 Daher beding man die Berechnung auf X 1,, X q, (da die Formel für die Diche von X nich bekann is). n X bedinge Likelihood: ϕ mi ϕ Diche von N(0,1) - Vereilung = q+ 1 σ n b n q X 1 bedinge log Likelihood l ( Θ) = log(π ) = q+ 1 σ T mi Θ = ( ω, α,..., 1 α p ) Der Maximum Likelihood Schäzer liefer die Parameerwere..8 General Auoregressiv Condiional Heerokedasic Prozess Ein sochasischer Prozess {X } heiß Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic Prozess der Ordnung (q, p) (GARCH(p,q)), wenn p q a) E(X F -1 ) = 0 mi σ = ω + α k X k + β kσ k k = 1 k = 1 und b) Var(X F -1 ) = σ X ε = u.i.v. (sarkes GARCH), σ c) Var(X F -1 ) = σ (semi sarkes GARCH) oder d) P ε 1, ε ε..., ε, ε,...) = σ (schwaches GARCH) ( 1,, 1 ε Für einen GARCH(1,1) Prozess gil X = σ ε mi σ = ω + αx βσ Eigenschafen eines GARCH(p,q) Durch diese Generalisierung des ARCH is es möglich, sowohl eine geringere Parameeranzahl als auch eine flexiblere Lagsrukur zu ermöglichen. GARCH Prozesse können die Asymmerie der Volailiä basierend auf dem Vorzeichen eines in der Vergangenhei liegenden Schocks nich modellieren. Seie 33

35 .8.1 Schäzung der Parameer eines GARCH(1,1) Prozesses Um die Parameer eines GARCH (1,1) Prozesses zu besimmen, sare man mi den auf Yule Walker basierenden Parameern eines ARMA Modells für X. Ausgehend von diesen Parameern besimmen wir die Quasi Maximum Likelihood Schäzer der Parameer und erhalen die Parameer eines GARCH(1,1) Prozesses..9 GARCH M Ein GARCH M Prozess ha folgende Form: Y = μ + m m l aky k + bk X k + δσ + η k = 1 = 0 j= 1 wobei X äußere Fakoren darsellen. r Θ η j j Mi η = σ ε, ε u.i.v N(0, 1) σ = ϖ + p m α iη i + β iσ i + i= 1 i= 1 γξ ξ äußere Variable l Y ARMAX(m, n, r) + δ σ l = 1,.10 ARMA GARCH Ein sochasischer Prozess {X } heiß ARMA GARCH der Ordnungen (p 1,q 1 ) (p,q ), wenn folgendes gil: p1 q1 (1) ARMA GARCH ( p1, q1)( p, q ) : X = ν + α k X k + β jε j p () mi σ = ω + α k X k + β kσ k und (3) Var(X F -1 ) = k = 1 σ X q k = 1 k = 1 ε = u.i.v. (sarkes GARCH), σ (4) Var(X F -1 ) = σ (semi sarkes GARCH) oder (5) P ε 1, ε ε..., ε, ε,...) = σ (schwaches GARCH) ( 1,, 1 ε Analog zum Abschni über ARMA Prozesse ensprich ein ARMA-GARCH (p 1,0) (p,q ) einem AR-GARCH (p 1 ) (p,q ). j= 0 Seie 34

36 3 Modellauswahlverfahren In diesem Abschni werden verschiedene saisische Verfahren vorgesell, die zur Auswahl von Modellen bzw. der Modellparameeranzahl verwende werden können. Die allgemeine Idee hiner solchen Verfahren is, eine Funkion zu maximieren bzw. zu minimieren, die die Güe der Modellierung miss und mi einem Sraferm für eine hohe Variablenanzahl kombinier. Für AR(p) und MA(q) Modelle gil, wie bereis oben beschrieben: AR(p) Modell: π = 0 > p MA(q) Modell: ρ = 0 > q Es kann jedoch sinnvoll sein, einen AR(p) Prozess als Modell mi weniger als p Parameern zu modellieren, wenn es Parameer gib, die einen vernachlässigbar kleinen Beirag zum Gesamprozess leisen. Analog gil dies auch für MA(q) Prozesse. Aus diesem Grund gib es die folgenden Funkionen, die zur Modellordnungswahl verwende werden. 3.1 Final Predicion Error Der Final Predicion Error (FPE) is eine Ein-Schri-Schäzung der zur Schäzung, der Ordnung von AR(p) Prozessen anwendbar is. N FPE( p) : = N + p ˆ σ ε ( p) p ˆ ε σ wird mi Hilfe der Yule Walker Gleichungen besimm. pˆ = arg min FPE(p) N = Anzahl der Beobachungen Seie 35

37 3. Akaike s Informaions Krierium Das Akaike s Informaions Krierium (AIC) is ein allgemeines Krierium, um ein Modell für einen kausalen AR(p) Prozess auszuwählen. Es gib auch eine Variane des AIC zur Schäzung der Ordnungen eines ARMA(p,q) Prozesses. AIC(p):= - log( MLE ) + p pˆ = arg min AIC( p) p AIC(p,q): = - log ( MLE ) + (p+q+1) ( pˆ, qˆ) = arg min AIC( p, q) p, q Voreil: Wenn X ein AR( ) Prozess is und kein AR(p) Prozess für alle endlichen p, dann liefer AIC opimale Ordnungswahlverfahren für i. Ein-Schri-Vorhersagen sind im quadraischen Miel asympoisch so nahe wie möglich X N+1 ii. Die auoregressive Spekralschäzung is asympoisch die bese Approximaion der Sprekraldiche. iii. AIC is asympoische effizien, d.h. wenn pˆ mi AIC gewähl wurde, dann gil für ~ p, das mi einem anderen Krierium gewähl wurde: ˆ σ ( ~ ε p) lim 1 ˆ N σ ( pˆ) ε Nacheil: Das AIC endier dazu, die Ordnung eines Modells zu überschäzen Seie 36

38 3.3 Bayesian Informaions Krierium Das Bayesian s Informaions Krierium (BIC) is, wie der FPE und der AIC, ein Krierium, um die Ordnung eines Modells zu schäzen. Im Vergleich zum AIC endier das BIC jedoch nich dazu, die Ordnung des Modells zu überschäzen. Für einen kausalen inverierbaren ARMA(p,q) is das BIC wie folg definier: N ˆ σ BIC( p, q) = ( N p q) *ln + N(1 + ln ( N p q) ( pˆ, qˆ) = arg min BIC( p, q) p, q π ) + ( p + q)ln N i= 1 X N ˆ i σ p + q wobei ˆ σ der Maximum Likelihood Schäzer der Varianz des weißen Rauschens is. Der BIC is eine konsisene Ordnungswahlprozedur in dem Sinne, wenn die Daen {X 1,, X N } reelle Beobachungen eines ARMA(p,q) Prozesses sind und wenn pˆ und qˆ die geschäzen Ordnungen, die durch Minimierung des BIC erreich wurden. Dann gil pˆ p und qˆ q mi Wahrscheinlichkei 1 für N. Dies unerscheide den BIC von AIC und FPE. Im Gegensaz zu den beiden anderen is der BIC nich asympoisch effizien. Für die Wahl der ensprechenden Modelle werde ich im Folgenden das AIC Krierium verwenden. Seie 37

39 4 Analyse der Innovaionen Die oben beschriebenen Modelle gehen alle davon aus, dass die realen Daen sich von den berechneen Weren nur um eine Realisierung des Prozesses {ε } (weißes Rauschen) unerscheiden. Deshalb is es wichig zu überprüfen, ob die Innovaionen, d.h. die Differenz zwischen Modell und realen Daen, normalvereil sind. Is dies nich der Fall, so muss ein anderes Modell gewähl werden oder der Quasi Maximum Likelihood Schäzer verwende werden. Angenommen {X } is ein ARMA(p,q) Prozess, dann erfüllen die wahren Innovaionen ε folgende Gleichung: p k = 1 k q ε ( p, q) = X α X Θ e mi e = beobachee Innovaionen k k = 0 k k Im Vergleich dazu müssen die empirisch besimmen Innovaionen, also die Innovaionen des Modells, folgende Gleichung erfüllen: p k = 1 k e ( p, q) = X ˆ α X Θˆ e ( p, q) = 1,..., N wobei X = e = 0 für 0 k q k = 0 k k Im Gegensaz zu den ε s sind die e s kein weißes Rauschen. Sie sollen sich jedoch asympoisch ensprechend verhalen. Seie 38

40 4.1 Kolmogorov Smirnov Tes Mi dem Kolmogorov Smirnov Tes wird überprüf, ob eine Sichprobe aus einer unersellen heoreischen Vereilung samm, d.h. durch ein besimmes Vereilungsmodell angepass werden kann. Hypoheses: H 0 : F X (x) = F 0 (x) H 1 : F X (x) F 0 (x) Mi: F 0 (x) die vollspezifiziere Vereilung einer seigen Zufallsvariable. Wende man den Tes auf eine diskree und / oder eilspezifiziere Vereilung uner H 0 an, so is der Tes konservaiv, d.h. das Signifikanzniveau is kleiner als α. Der Tes umfass die folgenden Schrie: 1. Man ordne die Were der Sichprobenrealisaion x i, i= 1,..., n ensprechend ihrer Größe x <1> x <>... x <n>. Man besimm die empirische Vereilungsfunkion F n (x): 0 für x < x < 1> F n ( x) = i / n für x < i> x < x < i+ 1> ; i = 1,,..., n -1 1 für x x < n> 3. Die Prüfgröße des Tess is D max F ( x ) F { ( x ); F ( x ) F ( x ) } n : = n < i> 0 < i> n < i 1> 0 < i 1> i= 1,..., n F n ( x < 0 > ) : = mi 0 4. Man lehn H 0 auf dem Signifikanzniveau α ab, wenn D Δ n > n ; 1 α / Seie 39

41 4. Visuelles Verfahren zur Überprüfung des Verhalens empirisch besimmer Innovaionen Träg man die e (p,q) s gegen die Zei ab, so sollen sie unkorrelier mi Erwarungswer 0 und Varianz σ sein. Sehen sie nich so aus, kann man an Hand der Srukur der e s auf die Veränderungen im Modell schließen. Die unen aufgeführen Srukuren legen folgende Modelländerungen nahe: Enhalen die Daen eine zeiabhängige Varianz, solle diese enfern werden und ein Modell zu den veränderen Daen modellier werden. Ein solcher Schri wird durch folgende Srukur der Innovaionen implizier: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Enhalen die Daen einen Trend, so muss dieser in einem neuen Modell inegrier werden. Auf einen Trend kann man durch folgendes Verhalen der Innovaionen schließen: X x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x xx x Ein quadraischer Term muss in das Modell implemenier werden, wenn die Innovaionen folgende Form aufweisen: x xxx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Seie 40

42 5 Anwendung der Indikaoren auf eine eche Finanzzeireihe Bemerkung: Dem Modell, und allen Modellen im Anhang liegen folgende Formeln zu Grunde: y = C + p 1 1 α i X i + ε + β jε j + i= 1 j= 1 k = 1 ~ σ K ε p q = + β + ~ iσ i α j i= 1 j= 1 q j Nx γ M (, k) k 5.1 Die zu unersuchende eche Finanzzeireihe Ich werde im Folgenden die unen abgebildee DAX Zeireihe vom 14. Dez bis zum 19. Juli 00 unersuchen. (Quelle: Dresdner Bank AG) Nach dem AIC Krierium wird ein ARMA - GARCH Modell (,) (1,1) mi folgenden Parameern gewähl: X 5 = 3,078*10 + 1,413* X 1 0,4378* X 1,4635* 1 + 0,4637 * ε 5 =,1576*10 + 0,843* σ 1 + 0,0958* ε mi σ 1 ε + ε Folgende Were für die Modellauswahl wurden für dieses Modell besimm: AIC = 6,0666*10 3 FPE = 110,077 Seie 41

43 Die Modellparameer wurden mi dem Quasi Maximum Likelihood Schäzer besimm. Die Auswerungen der anderen Modellypen befinden sich im Anhang. Zur Analyse der Innovaionen dieses Modells werden folgende Grafiken herangezogen: Wie aus dem Hisogramm ersichlich is, sind die Innovaionen dieses Modells nich normalvereil. Dies muss bei der anschließenden Simulaion berücksichig werden. Ziel der Simulaion muss es sein, eine Zeireihe zu simulieren, deren Innovaionen ebenso vereil sind wie die der Originalzeireihe. 5. Qualiaive Bewerung der Indikaoren / Handelssraegien Im Folgenden werden verschiedene Ansäze zur Bewerung von Indikaoren bzw. der ihnen zugrunde liegenden Handelssraegien erörer: Dazu werden die einzelnen Indikaoren in den verschiedenen Markphasen hinsichlich des Gewinns und des Risikos der Handelssraegie unersuch. Basierend auf den Kursdaen und den einzelnen Handelssraegien werden jeweils Gewinn-/Verlusprozesse errechne und zur Risikoanalyse der Sraegie verwende Profi der Sraegie Als Profi einer Sraegie wird der Gewinn / Verlus dieser Handelssraegie über einen besimmen Zeiraum τ bezeichne. P τ = W W -τ Mi W : Wer eines Porfolios zum Zeipunk. Die Folge der kumulieren Gewinne / Verluse wird als P&L Prozess bezeichne. Seie 4

44 5.3 Anwendung der Indikaoren auf die Daen Im Folgenden sind die verschiedenen Indikaoren für die DAX Zeireihe berechne. Des Weieren wurden die durch die Indikaoren generieren Handelssignale ensprechend der Handelssraegien in einen P&L Prozess umgesez. Die verwendeen Indikaorparameer sind die in der Lieraur empfohlenen Einsellungen. Bemerkung zu den verschiedenen P&L Prozessen: Zu Beginn der Zeireihe is mi vermehren Fehlsignalen zu rechnen, da den einzelnen Indikaoren keine ausreichend lange Daenhisorie zur Verfügung seh. Trades_name gib jeweils die Anzahl der Posiionsänderungen im Laufe der ake ou Sraegie (siehe unen) an. Mean_MeanVar_name gib das Verhälnis E(Veränderung des P&L Prozesses)/Varianz der Veränderungen des P&L Prozesses an. Die verwendeen Filer wurden jeweils auf Null gesez. Die P&L_ake_ou Sraegie führ die äglichen Gewinne und Verluse der Posiion ab und kumulier sie auf einem separaen unverzinsen Kono, dies sell den P&L Prozess da. Im Gegensaz dazu sell die P&L_reinves_Sraegie die akuellen schwebenden Gewinne in der Posiion dar. Gewinne und Verluse werden nich abgeführ sondern sofor wieder reinvesier. Seie 43

45 5.3.1 Simple Moving Average Auswerung ake ou Sraegie: Trades_sma = 54 Mean_MeanVar_sma = 0,3710 Seie 44

46 Die beobachee, auf dem Simple Moving Average basierende Handelssraegie zeig, das sie nach einigen Anlaufschwierigkeien in der Lage is, in dem zugrunde liegenden Trendmark Profie zu erzielen. In einer Seiwärsbewegung, wie sie zwischen den Daenpunken ca.75 ca.160 gegeben is, werden von diesem Indikaor sehr viele Fehlsignale geliefer, so dass der P&L Prozess ebenfalls eine Seiwärsbewegung vollzieh. Seie 45

47 5.3. Exponenial Moving Average Auswerung ake ou Sraegie: Trades_ema = 468 Mean_MeanVar_ema = 0,46 Seie 46

48 Die auf dem Exponenial Moving Average basierende Handelssraegie is für die zugrunde liegende Zeireihe nich sehr Erfolg versprechend. Troz klarer Trends werden Verluse produzier. Dies gil sowohl für die ake ou Sraegie als auch für die Pyramidensraegie. Seie 47

49 5.3.3 Weighed Moving Average Auswerung ake ou Sraegie: Trades_wma = 54 Mean_MeanVar_wma = 0,3710 Seie 48

50 Die auf dem Weighed Moving Average basierende Handelssraegie is in der Lage den vorherrschenden Trend zu nuzen und Gewinne zu erwirschafen. In den kurzen Seiwärsbewegungen des Markes werden von diesem Indikaor viele Fehlsignale produzier. Wie zu erwaren, verhalen sich die ake ou Sraegie und die Pyramidensraegie ähnlich, wobei die Pyramidensraegie konsequener Weise särkere Ausschläge zeig. Seie 49

51 5.3.4 Triangular Moving Average Auswerung ake ou Sraegie: Trades_ma = 106 Mean_MeanVar_ma = -0,5963 Seie 50

52 Die auf dem Triangular Moving Average basierenden Handelssraegien sind nich in der Lage die vorherrschenden Trends in Gewinne umzusezen, sondern produzieren einen P&L Prozess, der in einer Treppenbewegung abwärs verläuf. Seie 51

53 5.3.5 MACD Auswerung ake ou Sraegie: Trades_macd = 40 Mean_MeanVar_macd = 0,361 Seie 5

54 Eine auf dem MACD basierende Handelssraegie is nich in der Lage die vorherrschenden Trends permanen in Gewinne umzuwandeln. Ers mi einer Versärkung des Abwärsrends is der Indikaor in der Lage, einen Aufwärsrend in dem P&L Prozess zu beginnen. Auffällig sind die exremen Schwankungen in den P&L Prozessen der ake ou Sraegie und der Pyramidensraegie. Seie 53

55 5.3.6 Momenum Auswerung ake ou Sraegie: Trades_momenum = 6 Mean_MeanVar_momenum = Seie 54

56 Der Momenum Indikaor is ähnlich wie der MACD ers in der Lage koninuierlich Gewinne zu produzieren, nachdem sich der Abwärsrend in der Zeireihe versärk ha. Vorher werden vorwiegend Verluse produzier. Dies is bemerkenswer, da das Momenum eigenlich vor allem in Seiwärsbewegungen verwerbare Handelssignale generieren solle. Seie 55

57 5.3.7 Time Series Forecas Auswerung ake ou Sraegie: Trades_sf = 64 Mean_MeanVar_sf = -1,0050 Seie 56

58 Eine auf dem Time Series Forecas basierende Handelssraegie is für sich alleine auf der zugrunde liegenden Zeireihe berache, ebenfalls keine empfehlenswere. Da es mehrere Phasen mi,. Teilweise erheblichen Verlusen im Verlaufe dieser Zeireihe gib Trendbesäigungsindikaor Seie 57

59 Auswerung ake ou Sraegie: Trades_sf = 90 Mean_MeanVar_sf = -0,3464 Der TBI is nich in der Lage dauerhaf sinnvolle Handelssignale zu generieren. Der P&L Prozess beweg sich in einer Treppenbewegung nach unen. Seie 58

60 5.3.9 Auswerungsfazi Allgemein läss sich zu allen Indikaoren sagen, dass eine Reinvesmen Sraegie nur bis zu einem gewissen Grad empfehlenswer is, da die Verluse, wenn sie denn aufreen, nach einiger Zei sehr groß werden. Dies ensprich auch den Erfahrungen der Händler denen ich Teile meiner Arbei vorgesell habe. Die Pyramidensraegie is ebenfalls kriisch zu berachen. Folgen von Fehlsignalen wirken sich eben so wie Folgen von richigen Signalen exrem auf den P&L Prozess aus. Eine objekive Bewerung mi Hilfe des eingesezen Kapials is nur schwer möglich, da die Menge des eingesezen Kapials sehr sarken Schwankungen unerlieg. Die meisen Indikaoren sind, zumindes für die zugrunde liegende Zeireihe, nich in der Lage, dauerhaf gewinnbringende Handelssignale zu generieren. Da einige Indikaoren jedoch in der Lage waren in besimmen Abschnien der Zeireihe sinnvolle Handelssignale zu generieren, sell sich die Frage, ob es nich möglich is, die verschiedenen Indikaoren derar zu kombinieren, dass Phasen mi sinnvollen Handelssignalen erkann werden und Phasen mi Fehlsignalen ignorier werden? Seie 59

61 6 Auswahlverfahren 6.1 Kombinaionen der verschiedenen Handelssraegien Bese Prognosequaliä in den lezen Handelsagen Ziel is es, für den nächsen Handelsag die Posiion einzugehen, welche durch die Handelssraegie, die in den lezen x Handelsagen (Horizon) die meisen richigen Richungsvorhersagen geliefer ha, propagier wird. Wird dieses Auswahlverfahren angewende, erhäl man eine Sraegie, die folgenden P&L Prozess liefer (Kursdaenbasis: DAX Zeireihe von oben). Opimier wurde hierbei über die Anzahl der beracheen hisorischen Daen. Als opimaler Look back Zeiraum ha sich in diesem Fall ein Berachungszeiraum von 3 Tagen ergeben. Als Opimierungskrierium wurde der Wer des P&L Prozesses am Ende des Beobachungszeiraums gewähl. Dieses Verfahren benöig eine sehr lange Einlaufzei bevor sich ein Aufwärsrend im P&L Prozess eablier. Seie 60

62 6.1. Bese Performance in den lezen Handelsagen Ziel is es, für den nächsen Handelsag die Posiion einzugehen, welche durch die Handelssraegie, die in den lezen x Handelsagen (Horizon) am profiabelsen gewesen is, propagier wird. Wird dieses Auswahlverfahren angewende erhäl man eine Sraegie die folgenden P&L Prozess generier. (Kursdaenbasis: DAX Zeireihe von oben) Opimier wurde hierbei über die Anzahl der beracheen hisorischen Daen. Als opimaler Look-Back Zeiraum ha sich in diesem Fall ein Berachungszeiraum von 3 Tagen ergeben. Als Opimierungskrierium wurde der Wer des P&L Prozesses am Ende des Berachungszeiraums gewähl. Dieses Verfahren kann deulich früher als das vorher beschriebene Verfahren einen Aufwärsrend im P&L Prozess eablieren. Seie 61