Ein Modell für den Weltmarkt von Kupfer

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1 Draft 1 Ein Modell für den Weltmarkt von Kupfer siehe Estimating and Forecasting Industry Demand for Price-Taking Firms, aus: Thomas, Maurice: Managerial Economics, 9/e Daten: EViews: wfopen R: library(foreign) copper <- read.dta( ) Stata: use Modell in Strukturform Nachfrage: Q = β 1 +β 2 P +β 3 M +β 4 P A +ε d Angebot: Q = α 1 +α 2 P +α 3 T +α 4 X +ε s Q = weltweiter Konsum von Kupfer P = realer Preis von Kupfer M = Index für reales pro Kopf Einkommen P A = realer Preis von Aluminium (Substitut) X = Verhältnis von Konsum zur Produktion in der Vorperiode T = Trend als Proxy für techn. Fortschritt Reduzierte Form Lösung nach den endogenen Variablen Q und P bzw. mit P = Q = 1 ( β1 α 1 +β 3 M +β 4 P A α 3 X α 4 T +ε d ε s) 1 [ α2 (β 1 +β 3 M +β 4 P A +ε d ) β 2 (α 1 +α 3 X +α 4 T +ε s ) ] P = δ 1 +δ 2 M +δ 3 P A +δ 4 T +δ 5 X + εd ε s Q = π 1 +π 2 M +π 3 P A +π 4 T +π 5 X + α 2ε d β 2 ε s δ 1 = β 1 α 1, δ 2 = β 3, δ 3 = β 4, usw. Die reduzierte Form zeigt, dass sowohl in Nachfrage- als auch Angebotsfunktion die erklärende Variable mit dem Störterm korreliert ist, eine Schätzung der Strukturgleichung führt also zu einem Endogenitätsbias!

2 Draft 2 Hingegen kann die reduzierte Form ganz normal mit OLS geschätzt werden, da alle Regressoren bei Definition exogen sind. Allerdings liefert die Schätzung der reduzierten Form nicht unmittelbar die häufig interessierenden Koeffizienten der Strukturform. 1 Identifikation Endogene Variablen: Q, P (2) Exogene Variablen: M, P A, X, T (4) Abzählkriterium: wenn g 1 > K k ist die Gleichung unteridentifiziert, wenn g 1 = K k ist die Gleichung genau identifiziert, wenn g 1 < K k ist die Gleichung überidentifiziert. mit g: die Anzahl der endogenen Variablen in der betreffenden Gleichung k: die Anzahl der prädeterminierten Variablen in der Gleichung K: die Anzahl der prädeterminierten Variablen im System (incl. Interzept!) Nachfrage: Q = β 1 +β 2 P +β 3 M +β 4 P A +ε d g = 2, K = 4, k = 2 g 1 = 1 < K k = 4 2 überidentifiziert! Angebot: Q = α 1 +α 2 P +α 3 T +α 4 X +ε s g = 2, K = 4, k = 2 g 1 = 1 < K k = 4 2 überidentifiziert! Beide Gleichungen sind mittel 2SLS konsistent schätzbar. 1 Im Fall exakt identifizierter Modelle können allerdings aus den Koeffizienten der reduzierten Form durch Lösung der Gleichungen die Koeffizienten der Strukturform zurückgerechnet werden; dieses Verfahren wird Indirect Least Squares (ILS) genannt. Da aber im Fall exakt identifizierter Modelle die 2SLS Methode zu den exakt gleichen Koeffizienten führt wird diese Methode nur selten angewandt.

3 Draft 3 Hausman Test auf Endogenität Die Theorie lässt erwarten, dass es sich um ein simultanes Gleichungssystem handelt. Mit Hilfe des Hausman Tests kann dies auch getestet werden: 1. Reduzierte Form für P: P = ˆδ 1 + ˆδ 2 M + ˆδ 3 P A + ˆδ 4 T + ˆδ 5 X + ˆε d Dependent Variable: P Method: Least Squares Included observations: 25 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. Const M PA T X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion F-statistic Prob(F-statistic) Daraus werden die Residuen RES1 berechnet. 2. Diese Residuen RES1 werden als zusätzlicher Regressor in der Schätzung der Strukturform der Nachfragefunktion verwendet Dependent Variable: Q Method: Least Squares Included observations: 25 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C P M PA RES R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion F-statistic Prob(F-statistic) Der Koeffizient von RES1 ist hochsignifikant von Null verschieden, dies lässt auf Endogenität schließen (die Nullhypothese, dass der Regressor exogen ist, kann verworfen werden). Für die Angebotsfunktion kann die Nullhypothese der Exogenität übrigens nicht verworfen werden (der p-wert des entsprechenden Koeffizienten ist 0.894).

4 Draft 4 2SLS Schätzung Instrumentvariablen müssen zwei Bedingungen erfüllen: 1. Die Instrumentvariable sollte möglichst hoch mit dem potentiell endogenen Regressor korreliert sein; und 2. die Instrumentvariable muss mit dem Störterm der Strukturgleichung unkorreliert sein. Die erste Bedingung kann durch die Schätzung der ersten Stufe überprüft werden die F-total-Statistik der ersten Stufe sollte größer Null sein! Wir haben die erste Stufe schon vorhin berechnet, um die Residuen RES1 zu berechnen. Die F-total-Statistik dieser Schätzung hat den Wert , dies sieht also nicht so schlecht aus. Die zweite Bedingung cov(z, ε) = 0 kann nur in überidentifizierten Modellen getestet werden, das machen wir etwas später. 2SLS-Schätzung der Nachfrage: Instrumente T, X Befehle: Dependent Variable: Q Method: Two-Stage Least Squares Included observations: 25 after adjustments Instrument specification: Const M PA X T Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. Const P M PA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Second-Stage SSR J-statistic Instrument rank 5 Prob(J-statistic) EViews: tsls, alle exogenen Regressoren und Instrumente werden mit getrennt angefügt equation eqs.tsls Q C P T C M PA X T R: ivreg des Pakets AER (muss vorher geladen werden), sämtliche exogenen Regressoren und Instrumente werden mit einem getrennt angefügt library(aer) dem <- ivreg(q ~ p + m + pa m + pa + x + t,data=copper)

5 Draft 5 Stata: ivregress 2sls q m pa (p=x t), small Zum Vergleich, der Stata-Output einer 2SLS Schätzung der Angebotsfunktion sieht folgendermaßen aus:. ivregress 2sls q x t (p=m pa),small Instrumental variables (2SLS) regression Source SS df MS Number of obs = F( 3, 21) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = q Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] p x t _cons Instrumented: pc Instruments: x t m pa bzw. mit R Call: ivreg(formula = q ~ p + x + t m + pa + x + t, data = copper) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) p x t e-12 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 21 degrees of freedom Multiple R-Squared: ,Adjusted R-squared: Wald test: on 3 and 21 DF, p-value: 1.886e-15 Offensichtlich ist nur der Zeittrend signifikant von Null verschieden, es handelt sich also um keine besonders vertrauenswürdige Schätzung.

6 Draft 6 Test auf Überidentifizierende Restriktionen Ob die Instrumente tatsächlich exogen sind, d.h. nicht mit der Störterm der Strukturgleichung korreliert sind, kann nur in überidentifizierten Modellen getestet werden. Die Anzahl der überidentifizierenden Restriktionen ist die Anzahl der Instrumentvariablen abzüglich der potentiell endogenen Regressoren (in diesem Beispiel haben wir sowohl für Angebots- als auch Nachfragefunktion je zwei Instrumentvariablen und je einen endogenen Regressor, d.h. die Anzahl der überidentifizierenden Restriktionen ist in beiden Fällen Eins). Wir haben vorhin gesehen, dass sowohl Nachfrage- als auch Angebotsfunktion überidentifiziert sind, ein Test auf overidentifying restrictions ist also möglich. Falls die Instrumentvariablen nicht exogen sind, ist der 2SLS- (bzw. IV-) Schätzer nicht konsistent. Falls die Nullhypothese exogener Instrumente verworfen werden muss gibt dieser Test allerdings keinen Hinweis darauf, welches der Instrumente endogen ist, bzw. ob nur einige oder alle der Instrumente endogen sind. Eine einfache Form dieses Tests kann mittels einer Hilfsregression durchgeführt werden: 1. Zuerst wird die interessierende Strukturgleichung mittels 2SLS geschätzt und daraus die 2SLS Residuen berechnet, z.b. RES2. 2. Diese Residuen RES2 werden mittels OLS auf alle exogenen Regressoren und Instrumentvariablen regressiert, aus dieser Hilfsregression wird nr 2 (Anzahl der Beobachtungen mal Bestimmtheitsmaß) berechnet. 3. Unter der Nullhypothese, dass alle Instrumentvariablen exogen (d.h. unkorrelliert mit dem Störterm der Strukturgleichung) sind ist nr 2 a χ 2 q, wobei q die Anzahl der überidentifizierenden Restriktionen ist. Falls nr 2 größer als der kritische Wert der χ 2 q-verteilung ist verwerfen wir die Nullhypothese und schließen, dass zumindest einige der Instrumente nicht exogen sind. EViews: equation eqd.tsls q c p m m pa x t eqd.makeresids res2sls equation eqoir_d.ls res2sls c m pa x t scalar oir_d_stat = eqoir_d.@regobs*eqoir_d.@r2 scalar oir_d_pval = 1-@cchisq(oir_d_Stat,1) Die von EViews ausgegebene J-statistic ist ein alternativer Test auf überidentifizierende Restriktionen. R: res2 <- residuals(ivreg(q ~ p + m + pa m+pa+x+t,data=copper)) copper$res2sls <- c(na,res2) eqoir.d <- lm(res2sls ~ m + pa + x + t, data=copper) oir.d.stat <- nobs(eqoir.d) * summary(eqoir.d)$r.squared oir.d.pval <- 1-pchisq(oir.d.stat,1)

7 Draft 7 Stata: ivregress 2sls q m pa (p=x t),small predict res2sls, residuals reg res2sls m pa x t dis "Chi2-Stat. Nachfrage: " e(n)*e(r2) dis "p-wert Nachfrage: " chi2tail(1,e(n)*e(r2)) In Stata können mit Hilfe der postestimation-befehle estat endogenous und estat overid entsprechende Tests auch einfacher durchgeführt werden. Für die Nachfragegleichung erhält man einen Wert der nr 2 Teststattistik von mit einem p-wert = (der kritische Wert der χ 2 -Verteilung mit q = 1 für α = 0.05 ist ), die Nullhypothese exogener Instrumente wird also nicht verworfen. Für die Angebotsfunktion ist der Wert der Teststatistik auf überidentifizierende Restriktionen nr 2 = mit einem p-wert =.00209, wir können also in diesem Fall nicht davon ausgehen, dass beide Instrumente der Angebotsfunktion exogen sind. Dieser Test gibt allerdings keinen Hinweis darauf, ob beide Instrumente schlecht sind oder ob nur ein Instrument endogen ist. Jedenfalls sollte man der 2SLS Schätzung der Angebotsfunktion kein großes Vertrauen schenken! Eine 2SLS-Schätzung der inversen Angebotsfunktion lässt vermuten, dass das Angebot sehr elastisch reagiert, da der Koeffizient sehr klein ist. P = Q X T (33.122) (0.005) (35.034) (1.233) R 2 = 0.472, s = 5.367, F-Stat = 6.138, DW = 0.823, n = 25 (Standardfehler in Klammern) Auch hier ist keiner der Koeffizienten signifikant von Null verschieden. Wie wir später sehen werden lässt der niedrige Wert der Durbin-Watson Statistik (DW) tiefere Probleme vermuten. Prognose Obwohl wir gesehen haben, dass der Schätzung der Angebotsfunktion besser nicht vertraut werden sollte, werden wir als illustratives Beispiel diese 2SLS Schätzungen der Nachfrage- und Angebotsfunktion nützen, um eine Prognose für das Jahr 1980 zu erstellen. Dies ließe sich in EViews mit Hilfe von model-objekten sehr einfach und elegant bewerkstelligen, wir werden hier allerdings den etwas ausführlicheren Weg einschlagen und die Prognose mit den herkömmlichen Methoden erstellen, die auch in R und Stata verfügbar sind. Da die Werte der exogenen Variablen m, pa und x für das Prognosejahr 1980 nicht bekannt sind, müssen diese zuerst prognostiziert werden. Dies geschieht üblicherweise mit Hilfe von Zeitreihenmethoden, wir werden uns hier allerdings auf eine einfache Trendextrapolation beschränken. Im Jahr 1980 hat die Trendvariable t den Wert 30. EViews:

8 Draft 8 Prognose ls m c t scalar m30 = c(1) + c(2)*30 ls pa c t scalar pa30 = c(1) + c(2)*30 ls x c t scalar x30 = c(1) + c(2)*30 equation eqd.tsls QC c PC M M PA X T Interzept Nachfragefunktion scalar b1 = eqd.@coefs(1) + eqd.@coefs(3)*m30 + eqd.@coefs(4)*pa30 Steigung Nachfragefunktion scalar b2 = eqd.@coefs(2) equation eqs.tsls QC c PC X M PA X T Interzept Angebotsfunktion scalar a1 = eqs.@coefs(1) + eqs.@coefs(3)*x30 + eqs.@coefs(4)*30 Steigung Angebotsfunktion scalar a2 = eqs.@coefs(2) scalar p30 = (b1-a1)/(a2-b2) scalar q30 = a1 + a2*p30 Kontrolle scalar q30b = b1 + b2*p30 Stata: reg m t scalar m30 = _b[_cons] + _b[t]*30 reg pa t scalar pa30 = _b[_cons] + _b[t]*30 reg x t scalar x30 = _b[_cons] + _b[t]*30 ivregress 2sls q m pa (p=x t),small * Interzept Nachfragefunktion scalar b1 = _b[_cons] + _b[m]*m30 + _b[pa]*pa30 * Steigung Nachfragefunktion scalar b2 = _b[p] ivregress 2sls q x t (p=m pa),small * Interzept Angebotsfunktion scalar a1 = _b[_cons] + _b[x]*x30 + _b[t]*30 * Steigung Angebotsfunktion scalar a2 = _b[p] scalar p30 = (b1-a1)/(a2-b2) scalar q30 = a1 + a2*p30

9 Draft 9 * Kontrolle scalar q30b = b1 + b2*p30 dis "Preis 1980: " p30 dis "Menge 1980: " q30 dis "Kontrolle: " q30b Als Ergebnis erhält man einen prognostizierten Preis für 1980 von p30 = und eine prognostizierte Menge von q30 = Die prognostizierte Nachfrageelastizität für das Jahr 1980 ist , die Einkommenselastizität für 1980 ist und die geschätzte Substitutionselastizität ist (Kupfer und Aluminium sind nach dieser Schätzung also wirklich Substitute). Wie erwähnt sollte in diesem Fall die Prognose nicht allzu ernst genommen werden, da insbesondere die Angebotsfunktion nicht den üblichen Anforderungen entspricht. Der Fulton-Fischmarkt Graddy, Kathryn(2006), The Fulton Fish Market, Journal of Economic Perspectives, Volume 20, Number 2, Pages Daten: Nachfrage: Q = β 1 +β 2 P +β 3 Day1+β 4 Day2+β 5 Day3+β 6 Day4+ε d Angebot: Q = α 1 +α 2 P +α 3 Cold+α 4 Rainy+α 5 Stormy+α 6 Windspd+α 7 Mixed+ε s mit Q: log der umgesetzten Menge von Weißfisch ( whiting ) P: log des Preises von von Weißfisch Day1: Montag Day2: Dienstag Day3: Mittwoch Day4: Donnerstag Cold: Temperatur an der Küste Rainy: Wetter an der Küste Stormy: Wetterbedingungen auf der See Mixed: s.o. Windspd: Windgeschwindigkeit Endogen: Q, P Exogen: alle anderen Variablen