Identifizierbarkeit von Modellen

Transkript

1 Identifizierbarkeit von Modellen Stichwörter: Simultanes Mehrgleichungsmodell Struktur- und reduzierte Form Vollständigkeit Identifizierbarkeit Abzählbedingung Rangbedingung o1-19.tex/0

2 Interdependente Mehrgleichungs-Modelle Beispiel: Marktmodell Das Marktmodell besteht aus folgenden Gleichungen: Q (n) t Q (a) t Q (n) = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t + u 2t = Q (a) = Q Q: nachgefragte bzw. angebotene Menge (endogen) P : Preis (endogen) Z: weitere Variable, z.b.: Arbeitskosten (exogen) oder Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t Q t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t + u 2t Erklärende Variable sind zufällig! Kleinst-Quadrat Schätzer für α aus der ersten Gleichung Q t = x tα + u 1 : a = (X X) 1 X Q = α + (X X) 1 X u 1 ist konsistent, wenn plim(x X) 1 X u = 0 o1-19.tex/1

3 Endogene, exogene und vorherbestimmte Variable Exogene Variable: vorherbestimmt (predetermined): keine Korrelation mit aktuellen und künftigen Störgrößen u 2,t+i, i 0 strikt exogen: keine Korrelation mit Störgrößen u 2,t+i, i beliebig; als fixe Größen behandelt Endogene Variable: werden durch das Modell bestimmt (umgangssprachlich) In Mehrgleichungs-Modellen gilt für den Vektor der Störgrößen Dann gilt u t IID(0, Σ) plim X u 0, wenn eine Variable aus X endogen ist plim X u = 0, wenn alle Variablen in X vorherbestimmt sind o1-19.tex/2

4 Mehrgleichungs-Modell, Forts. Reduzierte Form (endogene Variablen als Funktion von exogenen und vorherbestimmten Variablen): Q t P t = π 11 + π 12 Y t + π 13 Z t + v 1t = π 21 + π 22 Y t + π 23 Z t + v 2t mit π 11 = α 1β 2 α 2 β 1 β 2 α 2. =. v 1t v 2t = β 2u 1t α 2 u 2t β 2 α 2 = u 1t u 2t β 2 α 2 Konsistente OLS-Schätzer sind möglich! o1-19.tex/3

5 Ein anderes Marktmodell Das Marktmodell besteht aus folgenden Gleichungen: Q (n) t Q (a) t Q (n) = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t = β 1 + β 2 P t 1 + β 3 Z t + u 2t = Q (a) = Q oder Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t (1) Q t = β 1 + β 2 P t 1 + β 3 Z t + u 2t (2) (2) bestimmt Q; enthält nur vorherbestimmte Variable! (1) kann geschrieben werden als P t = γ 1 + γ 2 Q t + γ 3 Y t + u 3t wenn u 1t und u 2t unabhängig und nicht seriell korreliert sind, ist Q t unabhängig von u 3t ; dann ist Q t eine vorherbestimmte Variable; konsistente OLS-Schätzung ist möglich o1-19.tex/4

6 Klein s Modell 1 (1950) C t = α 1 + α 2 P t + α 3 P t 1 + α 4 (W p t + W g t ) + u 1t Konsum I t W p t = β 1 + β 2 P t + β 3 P t 1 + β 4 K t 1 + u 2t Investitionen = γ 1 + γ 2 X t + γ 3 X t 1 + γ 4 t + u 3t Nachfrage nach Arbeit Y t + T t = C t + I t + G t (gesamte Produktion) K t = I t + K t 1 (Kapitalbestand) Y t = Wt p + Wt g + P t (Einkommen) X t = Y t + T t Wt g (private Produktion) mit C: Ausgaben für Konsum, P : Gewinne, W p : private Löhne+Gehälter, W g : öffentliche Löhne+Gehälter, X: private Produktion, I: Investitionen, K: Kapitalbestand, Y : Einkommen nach Steuern, G: Ausgaben der öffentlichen Hand, T : Steuern, t: Zeit (Trend) endogen: C t, P t, W p t, I t, X t, K t, Y t exogen: 1, W g t, G t, T t, t vorherbestimmt: P t 1, K t 1, X t 1 o1-19.tex/5

7 Notation Strukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen und vorherbestimmten Variablen entsprechend der ökonomischen Theorie Ay t = Γz t + u t Beispiel: Strukturform des Marktmodells Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t Q t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t + u 2t u t IID(0, Σ) In Matrixnotation lautet die Strukturform Ay t = Γz t + u t mit und y t = A = Q t P t, z t = 1 α 2 1 β 2 1 Y t Z t, Γ =, u t = u 1t u 2t α 1 α 3 0 β 1 0 β 3 o1-19.tex/6

8 Notation, Forts. Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von den vorherbestimmten Variablen y t = A 1 Γz t + A 1 u t = Πz t + v t mit Π = α 1 β 2 α 2 β 1 α 3 β 2 β 2 α 2 β 2 α 2 α 2β 3 β 2 α 2 α 1 β 1 α 3 β 2 α 2 β 2 α 2 β 3 β 2 α 2 Vollständigkeit eines Mehrgleichungsmodells: Zahl der Gleichungen ist gleich der Zahl der endogenen Variablen Vollständigkeit eines Mehrgleichungsmodells setzt Invertierbarkeit von A voraus o1-19.tex/7

9 Begriffliches Arten von Modellgleichungen Reaktionsgleichungen: beschreiben die Wirkungsweise der Variablen (Verhaltens-, technologische, institutionelle Gleichungen) definitorische Identitäten, Gleichgewichtsbedingungen Spezielle Modelltypen: rekursives Mehrgleichungsmodell (A hat Dreiecksform) SUR (A hat Diagonalform) Fragestellungen: Identifizierbarkeit: Weise schätzbar? sind die Parameter in eindeutiger Schätzverfahren o1-19.tex/8

10 Marktmodell A Q t Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t + u 2t Matrix Π der reduzierten Form: Π = α 1 β 2 α 2 β 1 α 3 β 2 β 2 α 2 β 2 α 2 α 2β 3 β 2 α 2 α 1 β 1 α 3 β 2 α 2 β 2 α 2 β 3 β 2 α 2 Von gegebenen π ij kann man rückrechnen auf die Parameter der Strukturform: α 2 = π 13 π 23 β 2 = π 12 π 22 α 3 = π 22 (β 2 α 2 ) β 3 = π 23 (β 2 α 2 ) α 1 = π 11 π 21 α 2 β 1 = π 11 π 21 β 2 o1-19.tex/9

11 Marktmodell B Q t = α 1 + α 2 P t (Nachfrage) Q t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t (Angebot) Matrix Π der reduzierten Form: Π = α 1 β 2 α 2 β 1 α 2 β 3 β 2 α 2 β 2 α 2 α 1 β 1 β 3 β 2 α 2 β 2 α 2 liefert für die Nachfrage- Rückrechnen von gegebenen π ij funktion α 2 = π 12 π 22 α 1 = π 11 π 21 α 2 Zur Berechnung von 3 β i nur 2 Gleichungen: keine eindeutige Lösung; die Angebotsfunktion ist nicht identifizierbar o1-19.tex/10

12 Marktmodell C Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + α 4 R t (Nachfrage) Q t = β 1 + β 2 P t (Angebot) Matrix Π der reduzierten Form: Π = α 1 β 2 α 2 β 1 α 3 β 2 α 4 β 2 β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α 2 α 1 β 1 α 3 α 4 β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α 2 Rückrechnen von gegebenen π ij liefert für die Angebotsfunktion β 2 = π 12 π 22 β 2 = π 13 π 23 β 1 = π 11 π 21 b 2 Angebotsfunktion ist überidentifiziert Zur Berechnung von 4 α i nur 3 Gleichungen: keine eindeutige Lösung; die Nachfragefunktion ist nicht identifizierbar o1-19.tex/11

13 Struktur eines Mehrgleichungsmodells Strukturform Ay t = Γz t + u t mit y t : m-vektor, u t : m-vektor, z t : K-Vektor, A: m m- Matrix; Γ: m K-Matrix reduzierte Form für y t = A 1 Γz t + A 1 u t = Πz t + v t Π = A 1 Γ muss A nicht-singulär sein (Vollständigkeit des Modells) Parameter der Störgrößen E{u t } = 0, Cov{u t } = Σ bzw. E{v t } = 0, Cov{v t } = A 1 Σ(A 1 ) = Ω Die Struktur des Mehrgleichungsmodells sind die Parameter (A, Γ, Σ). o1-19.tex/12

14 Zahl der Parameter Strukturform A: m(m 1) (Normalisierung: a ii = 1) Γ: mk Σ: m(m + 1)/2 reduzierte Form Π: Km Ω: m(m + 1)/2 Rückrechnen von gegebenen (mk) Parameter π ij auf (m(m 1 + K)) Parameter aus A und Γ: erfordert zusätzliche Information Ausschluss von Variablen aus einzelnen Gleichungen Identitäten lineare Restriktionen für Parameter etc. o1-19.tex/13

15 Beobachtungsäquivalenz Sei Ay t = Γz t + u t, u t = IID(0, Σ) Mit nichtsingulärem F hat Ãy t = Γz t + ũ t mit à = F A, Γ = F Γ und ũ t = F u t die gleiche reduzierte Form y t = Πz t + v t wie Ay t = Γz t + u t : und à 1 Γ = A 1 F 1 F Γ = A 1 Γ = Π Ã 1 ũ t = A 1 F 1 F u t = A 1 u t = v t Neben der Struktur (A, Γ, Σ) gibt es Strukturen (F A, F Γ, F ΣF ), die die gleiche reduzierte Form haben. Mehrere Strukturen entsprechen den gleichen Daten, sind beobachtungsequivalent. Beachte! Das Modell (und jede Gleichung) sind identifizierbar, wenn die einzige zulässige Wahl F = I ist. Gibt es für eine Gleichung eine Linearkombination der übrigen Gleichungen, die sich von ihr nicht unterscheidet, so ist die Gleichung nicht identifizierbar! o1-19.tex/14

16 Beispiel Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t (Nachfrage) Q t = β 1 + β 2 P t (Angebot) gibt mit Gewichten λ und 1 λ mit Q t = γ 1 + γ 2 P t + γ 3 Y t (3) γ 1 = λα 1 + (1 λ)β 1 γ 2 = λα 2 + (1 λ)β 2 γ 3 = λα 3 Nachfragefunktion: nicht von (3) unterscheidbar; Parameter nicht identifizierbar Angebotsfunktion: ist identifizierbar (λ = 0!) o1-19.tex/15

17 Kriterien der Identifizierbarkeit Für i-te Gleichung: Bilde (A.Γ ) durch Streichen der Spalten, die in i-ter Zeile von Null verschieden sind der i-ten Zeile Zahl der gestrichenen Spalten, d.h. ausgeschlossenen Variablen (m = m i m i, K = K i + K i ) Spalten aus A Γ Variable endogen exogen (prädet.) einbezogen m i K i gestrichen m i Ki Ordnungs- (Abzähl-)Bedingung: die i-te Gleichung ist identifizierbar, wenn K i m j ( oder K i + m i m 1) d.h., die Zahl der ausgeschlossenen exogenen oder prädeterminierten Variablen mindestens so gross ist wie die Zahl der als erklärende Variable einbezogenen endogenen Variablen o1-19.tex/16

18 Kriterien der Identifizierbarkeit, Forts. Zur Ordnungs- (Abzähl-)Bedingung: Ist die i-te Gleichung identifizierbar, so unterscheiden wir: (exakt) identifiziert, wenn überidentifiziert, wenn K i = m j K i > m j Rang-Bedingung: die i-te Gleichung ist identifizierbar, wenn r(a.γ ) = m 1 (dann kann man keine Linearkombination der übrigen Gleichungen finden, die von der i-ten Gleichung nicht unterschieden werden kann) Beachte! Die Ordnungsbedingung ist notwendig, nicht hinreichend! Ein Mehrgleichungsmodell nennen wir identifizierbar, wenn jede Gleichung identifizierbar ist. o1-19.tex/17

19 Restriktionen in Gleichungsform lineare Restriktionen für i-te Gleichung in Gleichungsform (Verallgemeinerung des Ausschließens) (A.Γ)H i = c i H i : n i (m + K)-Matrix, jede Spalte entspricht einer Restriktion Ordnungs- (Abzähl-)Bedingung: n i m 1 Rang-Bedingung: r((a.γ)h i ) = m 1 Rekursive Modelle sind immer identifizierbar o1-19.tex/18

20 Praxis der Identifizierbarkeitsprüfung Gleichungen, die die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen meist auch die Rang-Bedingung Modelle mit kleinem m sind meist nach beiden Kriterien prüfbar; bei Modellen mit großem m ist Identifizierbarkeit kaum ein Problem Zweifelhafte Regressoren Nichtberücksichtigen führt eher zum Erfüllen der Identifizierbarkeitsbedingungen berücksichtigen kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer Gleichungen zur Folge haben Erweitern eines identifizierbaren Modells um eine Gleichung: das neue Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine Variable verwendet wird, die bisher ncht im Modell vorkam o1-19.tex/19

21 IS-LM Modell C t = γ 11 α 14 Y t + u 1t (4) I t = γ 21 α 23 R t + u 2t (5) R t = α 34 Y t + γ 32 M t + u 3t (6) Y t = C t + I t + Z t (7) mit C: Ausgaben für Konsum, I: Brutto-Investitionen, R: Zinssatz, Y : Einkommen, M: Geldmenge, Z: autonome Ausgaben Gleichung C I R Y 1 M Z fehlend Rang (4) α 14 γ (5) 0 1 α 23 0 γ (6) α 34 0 γ (7) Beachte! Diese Kriterien gelten nur für lineare Gleichungen und ausschließende Bedingungen, nicht für allgemeinere Bedingungen für die Parameter oder für Bedingungen für Σ! o1-19.tex/20