Beschreibende Statistik Zweidimensionale (bivariate) Daten

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1 Mathematik II für Biologen Beschreibende Statistik Zweidimensionale (bivariate) Daten 8. Mai 2009

2 Lineare Regression Transformationen Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung

3 Stichprobe ( 1,y 1 ), ( 2,y 2 ),..., ( n,y n ) von Paaren von Zahlen. Oft: : Ausgangsgröße, unabhängige Variable y: Zielgröße, Idee y = f(), abhängige Variable Beispiel 1: Grille (vgl. Mathematik I, Aufgabe 57) i : Temperatur [ C] y i : Zirpfrequenz (Tonhöhe) [1/s] i y i

4 Lineare Regression Transformationen i y i Beschreibungsmöglichkeiten Wende Methoden für eindimensionale Stichproben getrennt auf und y an. Nachteil: Zusammenhang zwischen und y geht verloren. (scatter plot) y

5 Lineare Regression Transformationen Falls Streudiagramm eine Gerade suggeriert: Lineare Regression (siehe Mathematik I, Vorlesung 14) Wähle m und b so, dass minimal. Ergebnis: y() = m + b + kleiner Fehler n (y i (m i + b)) 2 i=1 m = (i )(y i y) (i ) 2, b = y m

6 Lineare Regression Transformationen Manchmal erinnert das Streudiagramm erst nach Transformation(en) an eine Gerade, Beispiel 2: Andere Stichprobe y 10 i g( i ), y i f(y i ). i 0,1 0,5 1,0 4,0 10 y i 11 1,9 1,1 0,15 0,2 5 Sieht nicht nach Gerade aus... Vielleicht Potenzgesetz?

7 Lineare Regression Transformationen i 0,1 0,5 1,0 4,0 10 y i 11 1,9 1,1 0,15 0,2 log y log 10 i 1,0 0,3 0,0 0,6 1,0 log 10 y i 1,0 0,3 0,0 0,8 0,7 1 0 Ungefähr Gerade mit Steigung 1. Also wäre auch y i 1/y i gut gewesen log

8 Lineare Regression Transformationen i 0,1 0,5 1,0 4,0 10 y i 11 1,9 1,1 0,15 0,2 1/y i 0,1 0,5 1,0 4,0 10 1/y i 0,1 0,5 0,9 6,7 5, Gerade mit Steigung 1?

9 Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung Die Produktmomenten-Korrelation r y nach Pearson misst die Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen und y, wobei: s y = 1 n 1 s,s y r y := s y s s y, n ( i )(y i y) Stichprobenkovarianz, i=1 Standardabweichungen. Für den Wert gilt immer: 1 r y 1, denn... Interpretation: Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren a = ( 1,..., n ) ( b = y1 y,...,y n y ), r a b y = a b = cos ( a, b)

10 Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung Für den Wert gilt immer: 1 r y 1. Je näher r y bei 1, desto stärker ist der lineare Zusammenhang zwischen und y. r y = 1 perfekter linearer Zusammenhang r y 0 kein linearer Zusammenhang Vorzeichen (VZ): VZ von r y = VZ der Steigung m der Regressionsgeraden Beispiele: Grille : r y = 0,8 Beispiel 2: r y = 0,5 weitere qualitativ...

11 Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung Die Rangkorrelation nach Spearman misst die Stärke eines monotonen Zusammenhangs, zwischen und y, r (SP) y = r Rang() Rang(y) In Beispiel 2: i 0,1 0,5 1,0 4,0 10 y i 11 1,9 1,1 0,15 0,2 r (SP) y = 0,9, aber r y = 0,5: Rang i Rang y i Monotoner Zusammenhang, aber nicht linear. Übrigens: r (SP) y robust, r y nicht.

12 Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung y 10 log y 1 1/y log r y = 0,5 r y = 0,97 r y = 0,74 r (SP) y = 0,9 r (SP) y = 0,9 r (SP) y = 0,9 r y (SP) ändert sich nicht bei monotoner Transformation.

13 Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung Vorsicht: Interpretation von Korrelationen nicht einfach! r (mit kleinem Betrag) kann rein zufällig von Null verschieden sein. Ob zufällig oder nicht: Schließende Statistik (später) Eine Korrelation r 0 sagt nichts über einen ursächlichen Zusammenhang. Viele Möglichkeiten: beeinflußt y. y beeinflußt. und y haben eine gemeinsame Ursache z. Schein-Korrelationen, z.b.: Seien, y, z unkorreliert. Dann sind /z und y/z automatisch korreliert. V.a. bei Zeitreihen: Unabhängige lineare Trends in und y führen zu Unsinns-Korrelationen. Beispiel: i = # Störche im Jahr i y i = # Geburtenrate im Jahr i r y deutlich von Null verschieden???

14 Produktmomenten-Korrelation Rangkorrelation Warnung