Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens

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Walter Falk
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1 in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg

2 Graphische Repräsentation von Kontingenztabellen Beispiel Autounfälle Verletzung leicht schwer tödlich angegurtet nicht angegurtet Mosaikplot Autounfälle leicht schwer tödlich Sicherheit Gurt < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 Kein Standardized Residuals: Verletzungen 137

3 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison Etat Punkte FC Bayern VfL Wolfsburg SV Werder Bremen FC Schalke VfB Stuttgart Hamburger SV Bayer 04 Leverkusen Bor. Dortmund Hertha BSC Berlin FC Köln Bor. Mönchengladbach TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt Hannover Energie Cottbus VfL Bochum Karlsruher SC Arminia Bielefeld (Quelle: Welt) 138

4 Darstellung der Daten in Streuplot Bundesliga 2008/09 Punkte Hannover FC Köln VfB Stuttgart Hertha BSC Berlin Hamburger SV Bor. Dortmund TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt VfL Bochum Bor. Mönchengladbach Energie Cottbus Karlsruher SC Arminia Bielefeld FC Schalke 04 Bayer 04 Leverkusen SV Werder Bremen VfL Wolfsburg FC Bayern Etat [Mio. Euro] 139

5 Darstellung der Daten in Streuplot Bundesliga 2008/09 Punkte Etat [Mio. Euro] 139

6 Trend als lineares Modell Kann man die punkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X: Dabei: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable Wichtiger (und einfachster) Spezialfall: f beschreibt einen linearen Trend: y = a + b x Dabei anhand der Daten zu schätzen: a (Achsenabschnitt) und b (Steigung) Schätzung von a und b: 140

7 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ɛ i Dabei: ɛ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (â + ˆbx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten Modell gut wenn alle Residuen e i zusammen möglichst klein Einfache Summe aber nicht möglich, denn e i positiv oder negativ Deswegen: Summe der Quadrate von e i Prinzip der kleinsten Quadrate: Wähle a und b so, dass Q(a, b) = n [y i (a + bx i )] 2 min 141

8 Beste Lösung Beste und eindeutige Lösung: ˆb = = n (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 n x i y i n xȳ n x 2 i n x 2 â = ȳ ˆb x Regressionsgerade: ŷ = â + ˆb x 142

9 Einfaches Beispiel 143

10 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n ,83 46,89 ˆb = ,83 2 0,634 â = 46,89 ˆb 33,83 25, Modell: ŷ = 25, ,634 x Prognosewert für Etat = 30: ŷ(30) = 25,443+0, ,

11 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden

12 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden

13 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden Punkte Modell Empirische Varianz (mittlere quadratische Abweichung) ergibt jeweils (y i y) 2 200,77 bzw (ŷ i y) 2 102,78 145

14 Determinationskoeffizient Gütemaß für die Regression: Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient): R 2 = n (ŷ i ȳ) 2 = n (y i ȳ) 2 n ŷ 2 i nȳ 2 = r n 2 [0; 1] y 2 i nȳ2 Mögliche Interpretation von R 2 : Durch die Regression erklärter Anteil der Varianz R 2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert R 2 = 1 wird erreicht wenn ŷ i = y i i (alle Punkte auf Regressionsgerade) Im (Bundesliga-)Beispiel: R 2 = 18 (ŷ i y) 2 18 (y i y) 2 102,78 200,77 51,19 % 146

15 Regression: 4 eindimensionale Beispiele Berühmte Daten aus den 1970er Jahren: i x 1i x 2i x 3i x 4i y 1i y 2i y 3i y 4i ,04 9,14 7,46 6, ,95 8,14 6,77 5, ,58 8,74 12,74 7, ,81 8,77 7,11 8, ,33 9,26 7,81 8, ,96 8,10 8,84 7, ,24 6,13 6,08 5, ,26 3,10 5,39 12, ,84 9,13 8,15 5, ,82 7,26 6,42 7, ,68 4,74 5,73 6,89 (Quelle: Anscombe (1973)) 147

16 Regression: 4 eindimensionale Beispiele In folgender Tabelle: Jeweils Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse dabei: x k unabhängige Variable und y k abhängige Variable Modell jeweils: y k = a k + b k x k k â k ˆb k R 2 k 1 3,0001 0,5001 0, ,0010 0,5000 0, ,0025 0,4997 0, ,0017 0,4999 0,

17 Plot der Anscombe-Daten y x1 149

18 Plot der Anscombe-Daten y x2 150

19 Plot der Anscombe-Daten y x3 151

20 Plot der Anscombe-Daten y x4 152

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