Auslosung beim DFB-Pokal Kombinatorik und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Auszug)

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1 Auslosung beim DFB-Pokal Kombinatorik und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Auszug) Inhalt... 1 Stoffverteilung... 2 Vorbemerkungen... 3 Themen der Unterrichtsstunden 1 Anzahl der Kombinationen beim Achtelfinale des DFB-Pokals Wahrscheinlichkeiten bei der Auslosung der DFB-Pokal-Paarungen (I) Wahrscheinlichkeiten bei der Auslosung der DFB-Pokal-Paarungen (II) Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis bei den Spielen des Achtelfinales Wahrscheinlichkeiten beim Elfmeterschießen Material 1 DFB-Pokal Anzahl der möglichen Kombinationen im Achtelfinale Mögliche Spielpaarungen Auslosung des Achtelfinales Wahrscheinlichkeiten für das Weiterkommen ins Viertelfinale Spielentscheid durch Elfmeterschießen Lösung der Hausaufgabe Kompetenzprofil Niveau: Mittelstufe, weiterführend Fachlicher Bezug: Kommunikation: begründen Problemlösen: Lösungsstrategie entwickeln, Darstellungen verwenden Modellierung: Medien: Methode: Einzelarbeit, Partnerarbeit Inhalt in Stichworten: Baumdiagramm, Laplace-Wahrscheinlichkeit, mehrstufiges Zufallsexperiment, Zählprinzip Autor: Günther Weber Bildnachweis: S. 31: Foto: Soccerates aus der deutschsprachigen Wikipedia, lizenziert unter GNU FDL 1.2, cc-by-sa-3.0, S. 32: Fußballer: Alessia Epp Fotolia.com, Fußball: Sergiy Serdyuk Fotolia.com, S. 34: RTimages Fotolia.com, S. 37: Ghubonamin Dreamstime.com, S. 39: Creative Commons-Lizenz Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported

2 Stoffverteilung Unterrichtsstunde Thema der Stunde und Unterrichtsverlauf Unterrichtsmittel 1. Stunde 1 Anzahl der Kombinationen beim Achtelfinale des DFB-Pokals Neudurchnahme: Die Schüler lernen den Ablauf bei der Auslosung der Spielpaarungen beim DFB-Pokal kennen. Dabei wird insbesondere darauf eingegangen, wann eine Mannschaft ein Heimspiel hat. Die Anzahl der Kombinationen von bestimmten Spielpaarungen wird mithilfe von Baumdiagrammen oder Tabellen bestimmt. Hausaufgabe: Aufgaben 2 b, c und 4 von MA 2 2. Stunde Besprechung der Hausaufgabe 2 Wahrscheinlichkeiten bei der Auslosung der DFB-Pokal- Paarungen (I) Neudurchnahme: Die Anzahl der Vereine, die sich für das Achtelfinale qualifiziert haben, ist bekannt. Berechnet wird die Wahrscheinlichkeit, dass es zu bestimmten Spielpaarungen kommt. Dazu werden Baumdiagramme und Tabellen zu Hilfe genommen und die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit verwendet. Hausaufgabe: Aufgaben 3 c, d, e und f von MA 4 3. Stunde Besprechung der Hausaufgabe 3 Wahrscheinlichkeiten bei der Auslosung der DFB-Pokal- Paarungen (II) Neudurchnahme: Abhängig vom zeitlichen Verlauf bei der Auslosung wird die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Spielpaarungen ermittelt. Als zusätzliches Kriterium kommt hinzu, dass bei der Auslosung die Position berücksichtigt werden muss, an der der Verein gezogen wurde. Hausaufgabe: Aufgabe 4 b von MA 4 4. Stunde Besprechung der Hausaufgabe 4 Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis bei den Spielen des Achtelfinales Neudurchnahme: Mithilfe der Wahrscheinlichkeiten, dass ein Spiel mit einem Gewinn für die Heim- oder Auswärtsmannschaft bzw. unentschieden endet, werden bestimmte Wahrscheinlichkeiten berechnet. Hausaufgabe: Aufgabe 1 d von MA 5; Sammle Informationen zum Elfmeterschießen beim DFB-Pokal. 5. Stunde Besprechung der Hausaufgabe 5 Wahrscheinlichkeiten beim Elfmeterschießen Neudurchnahme: Mithilfe einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, dass ein Elfmeterschütze trifft, wird die Wahrscheinlichkeit für mögliche Ausgänge des Elfmeterschießens untersucht. Hausaufgabe: Aufgabe 5 von MA 6 MA 1: DFB-Pokal MA 2: Anzahl der möglichen Kombinationen im Achtelfinale MA 3: Mögliche Spielpaarungen MA 2 MA 4: Auslosung des Achtelfinales MA 4 MA 4 MA 4 MA 5: Wahrscheinlichkeiten für das Weiterkommen ins Viertelfinale MA 5 MA 6: Spielentscheid durch Elfmeterschießen MA 6

3 Ideenbörse: Auslosung beim DFB-Pokal Vorbemerkungen Im deutschen Fußball gibt es zwei bedeutende Erfolge, die Fußballvereine erreichen können: die deutsche Meisterschaft und den DFB-Pokal. Der Sieger des DFB- Pokals wird im K.-o.-System ermittelt. An einer ersten Hauptrunde nehmen insgesamt 64 Mannschaften teil. Durch Auslosungen wird in jeder Runde bestimmt, welche Vereine gegeneinander antreten müssen. Nicht-Bundesligisten erhalten hierbei immer Heimrecht. Da die Spiele im K.-o.-System stattfinden, gibt es im DFB-Pokal kein Unentschieden. Steht eine Partie nach der regulären Spielzeit und nach einer Verlängerung immer noch unentschieden, so wird der Sieger durch Elfmeterschießen ermittelt. Die Auslosung der Spielpaarungen lässt sich als mehrstufiges Zufallsexperiment darstellen, bei dem bestimmte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können und die Anzahl von möglichen Kombinationen bestimmt werden kann. Fachwissenschaftliche Einordnung Pokalspiele finden fast während des gesamten Jahres statt. Die Unterrichtseinheit hat somit immer einen Aktualitätsbezug. Dieser kann evtl. noch vergrößert werden, wenn die Angaben zu einem gerade stattfindenden Wettbewerb verwendet werden. Aufgrund der Vielzahl von Eigenschaften Vereine aus unterschiedlichen Ligen, Regionalität, Heim- und Auswärtsspiel, Reihenfolge bei der Auslosung der Spielpaarungen bieten sich vielfältige Aufgabenstellungen an. Dies kann zur Differenzierung nach Zeit oder Leistungsstärke genutzt werden, da sich die Aufgabenstellungen gut erweitern lassen. Die Einheit kann sowohl zur Einführung als auch zur Wiederholung genutzt werden. Die Inhalte der einzelnen Stunden reichen von der Bestimmung der Anzahl der Kombinationen bzw. vom Zeichnen von Baumdiagrammen, von der Verwendung der Pfadmultiplikations- und Pfadadditionsregel bis hin zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit den Abzählverfahren. Methodischdidaktische Hinweise Voraussetzungen Baumdiagramm Ziehen ohne Zurücklegen Ziehen mit und ohne Beachtung der Reihenfolge Pfadmultiplikations- und Pfadadditionsregel Allgemeiner Multiplikationssatz

4 1. Unterrichtsstunde Vorbereitung Die Arbeitsblätter MA 1 bis MA 3 in Klassenstärke kopieren. Von Material MA 3 eine Folie erstellen. Neudurchnahme 1 Anzahl der Kombinationen beim Achtelfinale des DFB-Pokals Material MA 1 Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt die Unterrichtseinheit durchgeführt wird, teilt der Lehrer mit, dass vor kurzer Zeit Spiele des DFB-Pokals stattgefunden haben bzw. in kurzer Zeit stattfinden werden. Liegen Spiele des DFB-Pokals zeitlich gesehen weiter entfernt, so wird nach den beiden wichtigen Erfolgen, die man im deutschen Fußball erringen kann, gefragt und anschließend auf den DFB-Pokal eingegangen. Im Unterrichtsgespräch wird das Vorwissen der Schüler bezüglich des DFB-Pokals gesammelt und anschließend wird Arbeitsblatt MA 1 vorgelesen bzw. verteilt. Wichtige Kennzeichen beim DFB-Pokal: In der 1. Hauptrunde gibt es 64 Vereine, die aus verschiedenen Ligen kommen. Nicht-Bundesligavereine spielen immer im eigenen Stadion, haben somit immer Heimrecht. Der DFB-Pokal wird im K.-o.-System ausgespielt, sodass es immer einen Sieger gibt. Der Sieger wird evtl. durch Elfmeterschießen ermittelt. Für die Schüler, die sich mit Fußball nicht so gut auskennen, erklärt der Lehrer genauer, wann eine Mannschaft ein Heimspiel hat und wie das an der Schreibweise erkennbar ist. Anhand der Reihenfolge in einer Spielpaarung lässt sich ablesen, welche Mannschaft ein Heimspiel hat. Es wird immer die Mannschaft zuerst genannt, die zu Hause spielt. Ist z. B. nur bekannt, dass FC Bayern München und 1899 Hoffenheim gegeneinander spielen, gibt es zwei mögliche Spielpaarungen, je nachdem, in wessen Stadion das Spiel stattfindet: FC Bayern München 1899 Hoffenheim und 1899 Hoffenheim FC Bayern München Werden bei der Auslosung zwei Vereine aus der 1. oder 2. Bundesliga gezogen, so hat die Mannschaft Heimrecht, die zuerst gezogen wurde. Wenn beide Vereine nicht aus der Bundesliga kommen, spielt ebenfalls die Mannschaft zu Hause, die zuerst gezogen wurde.

5 Ideenbörse: Auslosung beim DFB-Pokal Wenn ein Verein aus der 1. oder 2. Bundesliga und ein Nicht-Bundesligaverein gezogen wurden, so hat automatisch der Nicht-Bundesligist Heimrecht. Hier spielt es keine Rolle, welches Los zuerst gezogen wurde. Im Unterrichtsgespräch wird die folgende Aufgabe gelöst. Aufgabe Nenne die Mannschaften von den 16 am Achtelfinale teilnehmenden Vereinen, die aus NRW oder Bayern kommen. Lösung: Aus NRW kommen 5 Vereine: Borussia Dortmund, 1. FC Köln, Bayer Leverkusen, Borussia Mönchengladbach und Arminia Bielefeld. Aus Bayern kommt ein Verein: FC Bayern München. Arbeitsblatt MA 2 wird verteilt und ein Schüler liest Aufgabe 2 vor. Anschließend wird im Unterrichtsgespräch wiederholt, welche Methoden es gibt, die Anzahl der Möglichkeiten zu bestimmen. Material MA 2 Mögliche Methoden: Überlegen Zeichnen eines Baumdiagramms Anlegen einer Tabelle Aufzählen aller Möglichkeiten Der Lehrer verteilt das Arbeitsblatt MA 3 mit den möglichen Spielpaarungen. Die Schüler lösen die folgenden Aufgaben in Einzel- oder Partnerarbeit. Der Lehrer gibt vor, dass die Aufgaben mit der Tabelle und Aufgabe 1 b zusätzlich mithilfe eines Baumdiagramms gelöst werden sollen. Die Sicherung erfolgt, indem die Anzahl genannt wird. Die Kombinationen können anhand der Folie von MA 3 gezeigt werden. Material MA 3 Aufgabe Siehe Aufgaben 1 und 2 a von Material MA 2 Material MA 2 Lösung: 1. a) Im Achtelfinale sind 16 Vereine vertreten. Diese 16 Vereine können gegen 15 andere Vereine spielen. Es gibt somit = 240 Kombinationen. Da nicht zwischen Heim- und Auswärtsspiel unterschieden wird, ist diese Anzahl an Kombinationen noch durch 2 zu dividieren: 240 : 2 = 120 Die Anzahl aller möglichen Kombinationen ohne Berücksichtigung von Heimund Auswärtsspiel beträgt 120.

6 b) Die 6 Vereine aus NRW oder Bayern können gegen 5 andere Vereine aus NRW oder Bayern spielen. Es gibt somit 6 5 = 30 Kombinationen. Da nicht zwischen Heim- und Auswärtsspiel unterschieden wird, ist diese Anzahl an Kombinationen noch durch 2 zu dividieren: 30 : 2 = 15 [ ] Die Anzahl aller möglichen Kombinationen ohne Berücksichtigung von Heim- und Auswärtsspiel bei Spielpaarungen von Vereinen aus NRW oder Bayern beträgt 15.

7 Material MA 1 Arbeitsblatt DFB-Pokal Am jährlich stattfindenden DFB-Pokal nehmen zu Beginn 64 Mannschaften teil. Qualifiziert sind, bezogen auf die abgelaufene Saison: die 18 Mannschaften der 1. Bundesliga, die 18 Mannschaften der 2. Bundesliga, die ersten vier Mannschaften der 3. Liga, 24 Amateurmannschaften. Der Sieger des DFB-Pokals wird nach dem K.-o.-System ermittelt. Die Paarungen werden vor jeder Runde ausgelost. Dabei erhalten die Nicht-Bundesligisten für Partien gegen Vereine der 1. und 2. Bundesliga automatisch Heimrecht. Endet ein Spiel nach regulärer Spielzeit unentschieden, kommt es zu einer Verlängerung. Ist das Spiel auch nach der Verlängerung nicht entschieden, wird der Sieger durch Elfmeterschießen ermittelt. Am 28. / 29. Oktober 2014 fand das Sechzehntelfinale des DFB- Pokals 2015 statt. Die Vereine, die gewonnen haben, haben sich für das Achtelfinale qualifiziert. Hierbei handelt es sich um die folgenden Mannschaften: aus der 1. Bundesliga: SV Werder Bremen Borussia Dortmund SC Freiburg 1899 Hoffenheim 1. FC Köln Bayer Leverkusen Borussia Mönchengladbach FC Bayern München VfL Wolfsburg aus der 2. Bundesliga: VfR Aalen Eintracht Braunschweig 1. FC Kaiserslautern RB Leipzig aus der 3. Liga: Dynamo Dresden Arminia Bielefeld aus der Regionalliga: Kickers Offenbach Ausgetragen wurde das Achtelfinale am 3. /4. März 2015.

8 MA 2 Arbeitsblatt Anzahl der möglichen Kombinationen im Achtelfinale 1. In dieser Aufgabe soll nicht zwischen Heim- und Auswärtsspiel unterschieden werden. a) Bestimme die Anzahl aller möglichen Spielpaarungen. b) Ermittle die Anzahl aller möglichen Spielpaarungen, in denen nur Vereine aus NRW oder Bayern gegeneinander antreten. 2. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten mit Berücksichtigung von Heim- und Auswärtsspiel bei Spielen, in denen folgende Vereine gegeneinander antreten: a) 1. Bundesliga gegen 1. Bundesliga b) 2. Bundesliga gegen 2. Bundesliga c) Nicht-Bundesliga gegen Nicht-Bundesliga 3. Bei der Auslosung ergab sich, dass alle Nicht-Bundesligavereine gegen Vereine aus der 1. Bundesliga spielen. Ermittle hierfür die Anzahl der möglichen Spielpaarungen. Beachte dabei, dass Nicht-Bundesligavereine immer Heimrecht haben. 4. Bestimme die Anzahl aller möglichen Spielpaarungen mit Berücksichtigung von Heim- und Auswärtsspielen. Beachte, dass Nicht-Bundesligavereine immer Heimrecht haben. [ ]

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