Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management

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Josef Auttenberg
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1 für Betriebswirtschaft und internationales Management Sommersemester 2015 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg

2 Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes: Preis zum Zeitpunkt j Preis zum Zeitpunkt i dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter (Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung) Notation: p 0 (i) : Preis des i-ten Gutes in Basisperiode 0 p t (i) : Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t q 0 (i) : Menge des i-ten Gutes in Basisperiode 0 q t (i) : Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t 88

3 Gleichgewichteter Preisindex: P0t G = 1 p t(i) n p 0 (i) = n p t(i) p 0 (i) g(i) mit g(i) = 1 n Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht Lösung: Preise mit Mengen gewichten! Preisindex von Laspeyres: p t(i)q 0 (i) P0t L p t(i) = = p p 0 (i)q 0 (i) 0 (i) g 0(i) mit g 0 (i) = p 0(i) q 0 (i) p 0 (j) q 0 (j) j=1 Preisindex von Paasche: p t(i)q t(i) P0t P p t(i) = = p p 0 (i)q 0 (i) gt(i) mit gt(i) = p 0(i) q t(i) t(i) p 0 (j) q t(j) j=1 89

4 : Beispiel Warenkorb: Kartoffeln und Kaffee Preis ( ) Menge pro Woche Preis ( ) Menge pro Woche 1 kg Kartoffeln 0,04 3,58 1,10 1, g Kaffeebohnen 3,00 0,25 0,70 1,31 P L 1950, 2013 = 1,10 3,58 + 0,70 0,25 0,04 3,58 + 3,00 0,25 4,6048 P P 1950, 2013 = 1,10 1,25 + 0,70 1,31 0,04 1,25 + 3,00 1,31 0,

5 Weitere Idealindex von Fisher: P0t F = P0t L PP 0t Marshall-Edgeworth-Index: P ME 0t = p t (i)[q 0 (i) + q t (i)] p 0 (i)[q 0 (i) + q t (i)] Preisindex von Lowe: P LO 0t = p t (i)q(i) p 0 (i)q(i) { Durchschn. Menge von wobei q(i) ^= Gut i über alle (bekannten) Perioden 91

6 Weitere : Beispiel Warenkorb: Kartoffeln und Kaffee Preis ( ) Menge pro Woche Preis ( ) Menge pro Woche 1 kg Kartoffeln 0,04 3,58 1,10 1, g Kaffeebohnen 3,00 0,25 0,70 1,31 P F 1950,2013 4,6048 0,5759 = 1,6284 P1950,2013 ME 1,10 (3,58 + 1,25) + 0,70 (0,25 + 1,31) = 0,04 (3,58 + 1,25) + 3,00 (0,25 + 1,31) = 1,3143 P1950,2013 Lo 1,10 2,5 + 0,70 0,75 = 0,04 2,5 + 3,00 0,75 = 1,3936 Annahme bei P LO : Durchschn. Mengen bei Kartoffeln bzw. Kaffebohnen von 1950 bis 2013 sind 2,5 bzw. 0,75. 92

7 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison Etat Punkte FC Bayern VfL Wolfsburg SV Werder Bremen FC Schalke VfB Stuttgart Hamburger SV Bayer 04 Leverkusen Bor. Dortmund Hertha BSC Berlin FC Köln Bor. Mönchengladbach TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt Hannover Energie Cottbus VfL Bochum Karlsruher SC Arminia Bielefeld (Quelle: Welt) 93

8 Darstellung der Daten in Streuplot Bundesliga 2008/09 Punkte VfB Stuttgart Hertha BSC Berlin Hamburger SV Bor. Dortmund TSG Hoffenheim Hannover FC Köln Eintracht Frankfurt VfL Bochum Bor. Mönchengladbach Energie Cottbus Karlsruher SC Arminia Bielefeld FC Schalke 04 Bayer 04 Leverkusen SV Werder Bremen VfL Wolfsburg FC Bayern Etat [Mio. Euro] 94

9 Darstellung der Daten in Streuplot Punkte Bundesliga 2008/ Etat [Mio. Euro] 94

10 Trend als lineares Modell Kann man die punkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X: Dabei: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable Wichtiger (und einfachster) Spezialfall: f beschreibt einen linearen Trend: y = a + b x Dabei anhand der Daten zu schätzen: a (Achsenabschnitt) und b (Steigung) Schätzung von a und b: 95

11 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ϵ i Dabei: ϵ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (^a + ^bx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten Modell gut wenn alle Residuen e i zusammen möglichst klein Einfache Summe aber nicht möglich, denn e i positiv oder negativ Deswegen: Summe der Quadrate von e i Prinzip der kleinsten Quadrate: Wähle a und b so, dass Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2 min 96

12 Beste Lösung Beste und eindeutige Lösung: ^b = = (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 x i y i n xȳ x 2 i n x 2 ^a = ȳ ^b x Regressionsgerade: ^y = ^a + ^b x 97

13 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ^= y und Etat ^= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n 18 ^b ,83 46,89 = ,83 2 0,634 ^a = 46,89 ^b 33,83 25,443 Modell: ^y = 25, ,634 x Punkte Einkommen 98

15 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ^= y und Etat ^= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n 18 ^b ,83 46,89 = ,83 2 0,634 ^a = 46,89 ^b 33,83 25,443 Modell: ^y = 25, ,634 x Punkte Einkommen Prognosewert für Etat = 30: ^y(30) = 25, , ,463 98

16 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ^y i abgebildet werden

17 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ^y i abgebildet werden points model

18 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ^y i abgebildet werden points model Empirische Varianz (mittlere quadratische Abweichung) für rot bzw. grün ergibt jeweils (y i y) ,77 bzw. 18 (^y i y) 2 102,78 99

19 Determinationskoeffizient Gütemaß für die Regression: Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient): R 2 = (^y i ȳ) 2 = (y i ȳ) 2 ^y 2 i nȳ2 = r 2 [0; 1] y 2 i nȳ2 Mögliche Interpretation von R 2 : Durch die Regression erklärter Anteil der Varianz R 2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert R 2 = 1 wird erreicht wenn ^y i = y i i (alle Punkte auf Regressionsgerade) Im (Bundesliga-)Beispiel: R 2 = 18 (^y i y) 2 18 (y i y) 2 102,78 200,77 51,19 % 100

20 Regression: 4 eindimensionale Beispiele Berühmte Daten aus den 1970er Jahren: i x 1i x 2i x 3i x 4i y 1i y 2i y 3i y 4i ,04 9,14 7,46 6, ,95 8,14 6,77 5, ,58 8,74 12,74 7, ,81 8,77 7,11 8, ,33 9,26 7,81 8, ,96 8,10 8,84 7, ,24 6,13 6,08 5, ,26 3,10 5,39 12, ,84 9,13 8,15 5, ,82 7,26 6,42 7, ,68 4,74 5,73 6,89 (Quelle: anscombe ) 101

21 Regression: 4 eindimensionale Beispiele In folgender Tabelle: Jeweils Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse dabei: x k unabhängige Variable und y k abhängige Variable Modell jeweils: y k = a k + b k x k k ^a k ^bk R 2 k 1 3,0001 0,5001 0, ,0010 0,5000 0, ,0025 0,4997 0, ,0017 0,4999 0,

22 Plot der Anscombe-Daten y y x1 y y x x x4 103

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