Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

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1 Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA

2 Kontingenzkoeffizient Beispiel X : Staatsangehörigkeit (d,a) Y : Geschlecht (m,w) wobei h 11 = h ij m w h i h ij m w d d a a h j = 24 usw. χ 2 = (30 24)2 + (30 36)2 + (10 16)2 + (30 24)2 = 6, K = 6,25 = 0,2425; M = min{2,2} = 2; 100+6,25 Kmax = K = 0,2425 0,7071 = 0, = 0,

3 Graphische Repräsentation von Kontingenztabellen Beispiel Autounfälle Verletzung leicht schwer tödlich angegurtet nicht angegurtet leicht schwer tödlich Sicherheit Gurt Kein Standardized Residuals: < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 Verletzungen Mosaikplot Autounfälle 74

4 Beispieldaten Zusammenhang Geschlecht, Zufriedenheit tab = table(mathezufr,geschlecht) tab ## Geschlecht ## MatheZufr Frau Mann ## nicht ## geht so ## zufrieden ## sehr mosaicplot(tab, shade = TRUE, sort=2:1, main="") Geschlecht Frau nicht geht so zufrieden sehr < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 Mann Standardized Residuals: MatheZufr Mosaikplot Beispieldaten 75

5 Beispieldaten Zusammenhang Geschlecht, Wunschfarbe für Smartphone tab = table(farbe, Geschlecht) tab ## Geschlecht ## Farbe Frau Mann ## blau 7 4 ## gelb 2 2 ## rot 11 2 ## schwarz ## silber 16 1 ## weiss mosaicplot(tab, shade = TRUE, sort=2:1, main="") blau gelb rot schwarz silber weiss Mann Standardized Residuals: Geschlecht Frau < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 Farbe Mosaikplot Beispieldaten 76

6 Beispieldaten Zusammenhang Geschlecht, Groesse tab = table( Geschlecht, Groesse=cut(Groesse, 5)) tab ## Groesse ## Geschlecht (156,164] (164,172] (172,181] (181,189] ## Frau ## Mann ## Groesse ## Geschlecht (189,197] ## Frau 0 ## Mann 10 mosaicplot(tab, shade = TRUE, sort=2:1, main="", las=1) Frau Mann Groesse (156,164] (164,172] < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 (172,181] (181,189] (189,197] Standardized Residuals: Geschlecht Mosaikplot Beispieldaten 77

7 Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes: Preis zum Zeitpunkt j Preis zum Zeitpunkt i dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter (Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung) Notation: p 0 (i) : Preis des i-ten Gutes in Basisperiode 0 p t (i) : Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t q 0 (i) : Menge des i-ten Gutes in Basisperiode 0 q t (i) : Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t 78

8 Gleichgewichteter Preisindex: P G 0t = 1 n p t(i) n p i=1 0 (i) = n p t(i) p i=1 0 (i) g(i) mit g(i) = 1 n Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht Lösung: Preise mit Mengen gewichten! Preisindex von Laspeyres: n p t(i)q 0 (i) n P L 0t = i=1 p t(i) = n p p 0 (i)q 0 (i) i=1 0 (i) g 0(i) mit g 0 (i) = p 0(i) q 0 (i) n p 0 (j) q 0 (j) i=1 j=1 Preisindex von Paasche: n p t(i)q t(i) n P P 0t = i=1 p t(i) = n p p 0 (i)q t(i) i=1 0 (i) gt(i) mit gt(i) = p 0(i) q t(i) n p 0 (j) q t(j) i=1 j=1 79

9 : Beispiel Warenkorb: Kartoffeln und Kaffee Preis ( ) Menge pro Woche Preis ( ) Menge pro Woche 1 kg Kartoffeln 0,04 3,58 1,10 1, g Kaffeebohnen 3,00 0,25 0,70 1,31 P L 1950, 2013 = P P 1950, 2013 = 1,10 3,58 + 0,70 0,25 0,04 3,58 + 3,00 0,25 4,6048 1,10 1,25 + 0,70 1,31 0,04 1,25 + 3,00 1,31 0,

10 Weitere Idealindex von Fisher: P0t F = P0t L PP 0t Marshall-Edgeworth-Index: P ME 0t = n p t (i)[q 0 (i) + q t (i)] i=1 n p 0 (i)[q 0 (i) + q t (i)] i=1 Preisindex von Lowe: P LO 0t = n p t (i)q(i) i=1 n p 0 (i)q(i) i=1 { Durchschn. Menge von wobei q(i) ˆ= Gut i über alle (bekannten) Perioden 81

11 Weitere : Beispiel Warenkorb: Kartoffeln und Kaffee Preis ( ) Menge pro Woche Preis ( ) Menge pro Woche 1 kg Kartoffeln 0,04 3,58 1,10 1, g Kaffeebohnen 3,00 0,25 0,70 1,31 P F 1950,2013 4,6048 0,5759 = 1,6284 P1950,2013 ME 1,10 (3,58 + 1,25) + 0,70 (0,25 + 1,31) = 0,04 (3,58 + 1,25) + 3,00 (0,25 + 1,31) P1950,2013 Lo 1,10 2,5 + 0,70 0,75 = 0,04 2,5 + 3,00 0,75 = 1,3143 = 1,3936 Annahme bei P LO : Durchschn. Mengen bei Kartoffeln bzw. Kaffebohnen von 1950 bis 2013 sind 2,5 bzw. 0,75. 82

12 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 83

13 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) 83

14 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison 83

15 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison Etat Punkte FC Bayern VfL Wolfsburg SV Werder Bremen FC Schalke VfB Stuttgart Hamburger SV Bayer 04 Leverkusen Bor. Dortmund Hertha BSC Berlin FC Köln Bor. Mönchengladbach TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt Hannover Energie Cottbus VfL Bochum Karlsruher SC Arminia Bielefeld (Quelle: Welt) 83

16 Darstellung der Daten in Streuplot Bundesliga 2008/09 Punkte VfB Stuttgart Hertha BSC Berlin Hamburger SV Bor. Dortmund TSG Hoffenheim Hannover FC Köln Eintracht Frankfurt VfL Bochum Bor. Mönchengladbach Energie Cottbus Karlsruher SC Arminia Bielefeld FC Schalke 04 Bayer 04 Leverkusen SV Werder Bremen VfL Wolfsburg FC Bayern Etat [Mio. Euro] 84

17 Darstellung der Daten in Streuplot Punkte Bundesliga 2008/ Etat [Mio. Euro] 84

18 Trend als lineares Modell Kann man die Tabellenpunkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? 85

19 Trend als lineares Modell Kann man die Tabellenpunkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X: Dabei: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable 85

20 Trend als lineares Modell Kann man die Tabellenpunkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X: Dabei: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable Wichtiger (und einfachster) Spezialfall: f beschreibt einen linearen Trend: y = a + b x Dabei anhand der Daten zu schätzen: a (Achsenabschnitt) und b (Steigung) Schätzung von a und b: 85

21 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ɛ i Dabei: ɛ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (â + ˆbx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten 86

22 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ɛ i Dabei: ɛ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (â + ˆbx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten Modell gut wenn alle Residuen e i zusammen möglichst klein 86

23 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ɛ i Dabei: ɛ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (â + ˆbx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten Modell gut wenn alle Residuen e i zusammen möglichst klein Einfache Summe aber nicht möglich, denn e i positiv oder negativ Deswegen: Summe der Quadrate von e i Prinzip der kleinsten Quadrate: Wähle a und b so, dass Q(a, b) = n [y i (a + bx i )] 2 min i=1 86

24 Beste Lösung Beste und eindeutige Lösung: ˆb = = n (x i x)(y i ȳ) i=1 n (x i x) 2 i=1 n x i y i n xȳ i=1 n x 2 i n x 2 i=1 â = ȳ ˆb x Regressionsgerade: ŷ = â + ˆb x 87

25 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: 88

26 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n 18 88

27 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n ,83 46,89 ˆb = ,83 2 0,634 â = 46,89 ˆb 33,83 25,443 88

28 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n ,83 46,89 ˆb = ,83 2 0,634 â = 46,89 ˆb 33,83 25,443 Modell: ŷ = 25, ,634 x Punkte Einkommen 88

29 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n ,83 46,89 ˆb = ,83 2 0,634 â = 46,89 ˆb 33,83 25,443 Modell: ŷ = 25, ,634 x Punkte Einkommen Prognosewert für Etat = 30: ŷ(30) = 25, , ,463 88

30 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden

31 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden points model

32 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden points model Empirische Varianz (mittlere quadratische Abweichung) für rot bzw. grün ergibt jeweils (y i y) 2 200,77 bzw. i= (ŷ i y) 2 102,78 i=1 89

33 Determinationskoeffizient Gütemaß für die Regression: Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient): R 2 = n (ŷ i ȳ) 2 i=1 = n (y i ȳ) 2 i=1 n ŷ 2 i nȳ 2 i=1 = r n 2 [0; 1] y 2 i nȳ2 i=1 Mögliche Interpretation von R 2 : Durch die Regression erklärter Anteil der Varianz R 2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert R 2 = 1 wird erreicht wenn ŷ i = y i i (alle Punkte auf Regressionsgerade) Im (Bundesliga-)Beispiel: R 2 = 18 (ŷ i y) 2 i=1 18 (y i y) 2 i=1 102,78 200,77 51,19 % 90

34

35 Regression: 4 eindimensionale Beispiele Berühmte Daten aus den 1970er Jahren: i x 1i x 2i x 3i x 4i y 1i y 2i y 3i y 4i ,04 9,14 7,46 6, ,95 8,14 6,77 5, ,58 8,74 12,74 7, ,81 8,77 7,11 8, ,33 9,26 7,81 8, ,96 8,10 8,84 7, ,24 6,13 6,08 5, ,26 3,10 5,39 12, ,84 9,13 8,15 5, ,82 7,26 6,42 7, ,68 4,74 5,73 6,89 (Quelle: Anscombe (1973)) 91

36 Regression: 4 eindimensionale Beispiele In folgender Tabelle: Jeweils Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse dabei: x k unabhängige Variable und y k abhängige Variable Modell jeweils: y k = a k + b k x k k â k ˆb k R 2 k 1 3,0001 0,5001 0, ,0010 0,5000 0, ,0025 0,4997 0, ,0017 0,4999 0,

37 Plot der Anscombe-Daten y y x1 y y x x x4 93

38 Beispieldaten meineregression = lm(alterm ~ AlterV) meineregression plot(alterv, AlterM, xlab="alter des Vaters", ylab="alter der Mutter") abline(meineregression) Alter der Mutter ## ## Call: ## lm(formula = AlterM ~ AlterV) ## ## Coefficients: ## (Intercept) AlterV ## Alter des Vaters 94

39 Cook s Distanz PLUS Oft Kritisch: Einzelne Punkte, die Modell stark beeinflussen Idee: Was würde sich ändern, wenn solche Punkte weggelassen würden? 95

40 Cook s Distanz PLUS Oft Kritisch: Einzelne Punkte, die Modell stark beeinflussen Idee: Was würde sich ändern, wenn solche Punkte weggelassen würden? Cook-Distanz: Misst den Effekt eines gelöschten Objekts Formel für ein lineares Modell mit einem unabh. Merkmal: D i = n (ŷ j ŷ j(ohne i) ) 2 j=1 MSE Dabei bedeutet: ŷ j : Prognosewert des kompletten Modells für das j-te Objekt ŷ j(ohne i) : Prognosewert des Modells ohne Objekt i für das j-te Objekt MSE = 1 n (ŷ i y i ) 2 : Normierender Term (Schätzwert für Fehlerstreuung) 95

41 Ausreißer? PLUS Anscombe-Daten: Regressionsmodell Nr. 3 y x3 96

42 Ausreißer? PLUS Anscombe-Daten: Regressionsmodell Nr. 3 Darstellung der Cook-Distanz neben Punkten Faustformel: Werte über 1 sollten genau untersucht werden 1.39 y x3 96

43 Residualanalyse Oft aufschlussreich: Verteilung der Residuen e i Verbreitet: Graphische Darstellungen der Residuen Z.B.: e i über ŷ i 97

44 Residualanalyse Oft aufschlussreich: Verteilung der Residuen e i Verbreitet: Graphische Darstellungen der Residuen Z.B.: e i über ŷ i y Residuals x Fitted values Residuals vs Fitted y Residuals x Fitted values 97

45 Residualanalyse Wichtige Eigenschaften der Residuenverteilung Möglichst keine systematischen Muster Alter der Mutter Keine Änderung der Varianz in Abhängigkeit von ŷ i (Homoskedastizität) Nötig für inferentielle Analysen: Näherungsweise Normalverteilung der Residuen (q-q-plots) Residuals Alter des Vaters Fitted values 98

46 Kausalität versus Exkurs: Kausalität vs. Meist wichtig für sinnvolle Regressionsanalysen: Kausale Verbindung zwischen unabhängigem und abhängigem Merkmal Sonst bei Änderung der unabhängigen Variablen keine sinnvollen Prognosen möglich Oft: Latente Variablen im Hintergrund 99