Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik

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1 Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2017

2 Kontingenzkoeffizient Gegeben: Kontingenztabelle mit k Zeilen und l Spalten (vgl. hier) Vorgehensweise: ➀ Ergänze Randhäufigkeiten h i = l h ij und h j = j=1 ➁ Berechne theoretische ➂ Berechne χ 2 = h ij = h i h j n k l j=1 (h ij h ij ) 2 k h ij χ 2 hängt von n ab! (h ij 2 h ij χ 2 2 χ 2 ) h ij 3. Deskriptive 5. Induktive 104

3

4 Kontingenzkoeffizient ➃ Kontingenzkoeffizient: wobei K max = K = M 1 M χ 2 n + χ 2 [0; K max ] ➄ Normierter Kontingenzkoeffizient: K = mit M = min{k, l} K K max [0; 1] 3. Deskriptive 5. Induktive K = +1 bei Kenntnis von x i kann y i erschlossen werden u.u. 105

5 Kontingenzkoeffizient Beispiel X : Staatsangehörigkeit (d,a) Y : Geschlecht (m,w) wobei h 11 = h ij m w h i h ij m w d d a a h j = 24 usw. χ 2 = (30 24)2 + (30 36)2 + (10 16)2 + (30 24) = 6,25 6,25 K = 100+6,25 M = min{2,2} = 2; K max = = 0, Deskriptive 5. Induktive K = 0,2425 0,7071 = 0,

6 Graphische Repräsentation von Kontingenztabellen Beispiel Autounfälle Verletzung leicht schwer tödlich angegurtet nicht angegurtet Deskriptive leicht schwer tödlich Sicherheit Gurt 5. Induktive Kein Standardized Residuals: < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 Verletzungen Mosaikplot Autounfälle 107

7 Data.complete = na.omit(mydata[,c("mathezufr", "NoteMathe")]) Noten.complete = ordered(cut(data.complete$notemathe, breaks=c(0,1.5,2.5,3.5,4.1,5.0)), labels=c("sehr gut", "gut", "befriedigend", "ausreichend", "nicht bestanden")) tab = table("note"=noten.complete, "Zufrieden mit Leistung"=Data.complete$MatheZufr) require(vcd) mosaic(tab, shade = TRUE, gp_args = list(interpolate = function(x) pmin(x/4, 1)), labeling_args = list(rot_labels = c(90,0,0,0), just_labels = c("left", "left", "right", "right"), offset_varnames = c(left = 5, top=5.5), offset_labels = c(right = 3)), margins = c(right = 1, bottom = 3, left=6, top=5)) Note sehr gut gut befriedigend unzufrieden geht so zufrieden sehr zufrieden Pearson residuals: Deskriptive 5. Induktive ausreichend nicht bestanden p value = < 2.22e 16 Note in Matheklausur gegen Zufrieden mit Leistung 108

8 Mosaicplot Geschlecht, Wunschfarbe für Smartphone tab = table(farbe, Geschlecht) tab mosaicplot(t(tab), shade = TRUE, sort=2:1, main="") ## Geschlecht ## Farbe Frau Mann ## blau ## gelb 5 5 ## rot 21 8 ## schwarz ## silber ## weiss ## weiß 3 0 Farbe gelbblau rot schwarz 3. Deskriptive 5. Induktive Standardized Residuals: silber Frau Mann < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 weiß weiss Geschlecht 109

9 require(vcd) Data.complete = na.omit(mydata[,c("geschlecht", "Studiengang")]) with(data.complete, { tab = table("studiengang"=studiengang, "Geschlecht"=Geschlecht) mosaic(tab, shade = TRUE, gp_args = list(interpolate = function(x) pmin(x/4, 1)), labeling_args = list(rot_labels = c(90,0,0,0), just_labels = c("left", "left", "right", "right"), offset_varnames = c(left = 5, top=5.5), offset_labels = c(right = 3)), margins = c(right = 1, bottom = 3, left=6, top=5)) }) Frau Mann Pearson residuals: Deskriptive BW 3.00 Studiengang ET IM Inf Induktive 2.80 WI 3.60 p value = 1.15e 15 Note in Matheklausur gegen Zufrieden mit Leistung 110

10 Mosaicplot Geschlecht, Anzahl Schuhe tab = table( "Anzahl Schuhe" = cut(anzschuhe, breaks = quantile( AnzSchuhe, probs = (0:4)/4 ) ), Geschlecht) tab ## Geschlecht ## Anzahl Schuhe Frau Mann ## (1,8] ## (8,15] ## (15,30] ## (30,275] mosaicplot(t(tab), shade = TRUE, main="", las=1) Anzahl Schuhe (1,8] (8,15] (15,30] Frau Mann < 4 4: 2 2:0 0:2 2:4 >4 3. Deskriptive 5. Induktive (30,275] Standardized Residuals: Geschlecht 111

11 Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes: Preis zum Zeitpunkt j Preis zum Zeitpunkt i dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter (Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung) Notation: p 0 (i) : Preis des i-ten Gutes in Basisperiode 0 p t (i) : Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t q 0 (i) : Menge des i-ten Gutes in Basisperiode 0 q t (i) : Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t 3. Deskriptive 5. Induktive 112

12 Gleichgewichteter Preisindex: P G 0t = 1 n p t (i) p 0 (i) = n p t (i) p 0 (i) g(i) mit g(i) = 1 n P L 0t = Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht Lösung: Preise mit Mengen gewichten! Preisindex von Laspeyres: p t (i)q 0 (i) p 0 (i)q 0 (i) = p t (i) p 0 (i) g 0(i) mit g 0 (i) = p 0(i) q 0 (i) p 0 (j) q 0 (j) j=1 3. Deskriptive 5. Induktive Preisindex von Paasche: P P 0t = p t (i)q t (i) p 0 (i)q t (i) = p t (i) p 0 (i) g t(i) mit g t (i) = p 0(i) q t (i) p 0 (j) q t (j) j=1 113

13 : Beispiel Warenkorb: Kartoffeln und Kaffee Preis ( ) Menge pro Woche Preis ( ) Menge pro Woche 1 kg Kartoffeln 0,04 3,58 1,10 1, g Kaffeebohnen 3,00 0,25 0,70 1,31 3. Deskriptive P L 1950, 2013 = P P 1950, 2013 = 1,10 3,58 + 0,70 0,25 0,04 3,58 + 3,00 0,25 4,6048 1,10 1,25 + 0,70 1,31 0,04 1,25 + 3,00 1,31 0, Induktive 114

14 Weitere Idealindex von Fisher: P F 0t = P L 0t PP 0t Marshall-Edgeworth-Index: P ME 0t = p t (i)[q 0 (i) + q t (i)] p 0 (i)[q 0 (i) + q t (i)] Preisindex von Lowe: P LO 0t = p t (i)q(i) p 0 (i)q(i) wobei q(i) ^= { Durchschn. Menge von Gut i über alle (bekannten) Perioden 3. Deskriptive 5. Induktive 115

15 Weitere : Beispiel Warenkorb: Kartoffeln und Kaffee Preis ( ) Menge pro Woche Preis ( ) Menge pro Woche 1 kg Kartoffeln 0,04 3,58 1,10 1, g Kaffeebohnen 3,00 0,25 0,70 1,31 P F 1950,2013 4,6048 0,5759 = 1, Deskriptive 5. Induktive P ME 1950,2013 = 1,10 (3,58 + 1,25) + 0,70 (0,25 + 1,31) 0,04 (3,58 + 1,25) + 3,00 (0,25 + 1,31) = 1,3143 P Lo 1950,2013 = 1,10 2,5 + 0,70 0,75 0,04 2,5 + 3,00 0,75 = 1,3936 Annahme bei P LO : Durchschn. Mengen bei Kartoffeln bzw. Kaffebohnen von 1950 bis 2013 sind 2,5 bzw. 0,

16 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison Etat Punkte FC Bayern VfL Wolfsburg SV Werder Bremen FC Schalke VfB Stuttgart Hamburger SV Bayer 04 Leverkusen Bor. Dortmund Hertha BSC Berlin FC Köln Bor. Mönchengladbach TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt Hannover Energie Cottbus VfL Bochum Karlsruher SC Arminia Bielefeld (Quelle: Welt) 3. Deskriptive 5. Induktive 117

17 Darstellung der Daten in Streuplot Bundesliga 2008/09 Punkte VfB Stuttgart Hertha BSC Berlin Hamburger SV Bor. Dortmund TSG Hoffenheim Hannover FC Köln Eintracht Frankfurt VfL Bochum Bor. Mönchengladbach Energie Cottbus Karlsruher SC Arminia Bielefeld FC Schalke 04 Bayer 04 Leverkusen SV Werder Bremen VfL Wolfsburg FC Bayern 3. Deskriptive 5. Induktive Etat [Mio. Euro] 118

18 Darstellung der Daten in Streuplot Punkte Bundesliga 2008/09 3. Deskriptive 5. Induktive Etat [Mio. Euro] 118

19 Trend als lineares Modell Kann man die punkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X: Dabei: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable Wichtiger (und einfachster) Spezialfall: f beschreibt einen linearen Trend: y = a + b x 3. Deskriptive 5. Induktive Dabei anhand der Daten zu schätzen: a (Achsenabschnitt) und b (Steigung) Schätzung von a und b: 119

20 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ϵ i Dabei: ϵ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (^a + ^bx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten Modell gut wenn alle Residuen e i zusammen möglichst klein Einfache Summe aber nicht möglich, denn e i positiv oder negativ Deswegen: Summe der Quadrate von e i Prinzip der kleinsten Quadrate: Wähle a und b so, dass 3. Deskriptive 5. Induktive Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2 min 120

21 Beste Lösung Beste und eindeutige Lösung: ^b = = (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 x i y i n xȳ x 2 i n x 2 ^a = ȳ ^b x 3. Deskriptive 5. Induktive Regressionsgerade: ^y = ^a + ^b x 121

22 Bundesligabeispiel ^b = Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ^= y und Etat ^= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n ,83 46, ,83 2 0,634 ^a = 46,89 ^b 33,83 25,443 Modell: ^y = 25, ,634 x Punkte Einkommen Prognosewert für Etat = 30: ^y(30) = 25, , , Deskriptive 5. Induktive 122

23 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ^y i abgebildet werden Deskriptive 5. Induktive

24 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ^y i abgebildet werden Deskriptive 5. Induktive points model

25 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ^y i abgebildet werden Deskriptive 5. Induktive points model Empirische Varianz (mittlere quadratische Abweichung) für rot bzw. grün ergibt jeweils (y i y) ,77 bzw. 18 (^y i y) 2 102,78 123

26 Determinationskoeffizient Gütemaß für die Regression: Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient): R 2 = (^y i ȳ) 2 = (y i ȳ) 2 ^y 2 i nȳ2 y 2 i nȳ2 = r 2 [0; 1] Mögliche Interpretation von R 2 : Durch die Regression erklärter Anteil der Varianz R 2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert R 2 = 1 wird erreicht wenn ^y i = y i i (alle Punkte auf Regressionsgerade) Im (Bundesliga-)Beispiel: 3. Deskriptive 5. Induktive R 2 = (^y i y) 2 (y i y) 2 102,78 200,77 51,19 % 124

27 Regression: 4 eindimensionale Beispiele Berühmte Daten aus den 1970er Jahren: i x 1i x 2i x 3i x 4i y 1i y 2i y 3i y 4i ,04 9,14 7,46 6, ,95 8,14 6,77 5, ,58 8,74 12,74 7, ,81 8,77 7,11 8, ,33 9,26 7,81 8, ,96 8,10 8,84 7, ,24 6,13 6,08 5, ,26 3,10 5,39 12, ,84 9,13 8,15 5, ,82 7,26 6,42 7, ,68 4,74 5,73 6,89 3. Deskriptive 5. Induktive (Quelle: Anscombe, (1973)) 125

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29 Regression: 4 eindimensionale Beispiele In folgender Tabelle: Jeweils Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse dabei: x k unabhängige Variable und y k abhängige Variable Modell jeweils: y k = a k + b k x k k ^a k ^bk R 2 k 1 3,0001 0,5001 0, ,0010 0,5000 0, ,0025 0,4997 0, ,0017 0,4999 0, Deskriptive 5. Induktive 126

30 Plot der Anscombe-Daten y y x1 y y x2 3. Deskriptive 5. Induktive x x4 127