Flussdiagramm der ökonometrischen Methode

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1 Flussdiagramm der ökonometrischen Methode z.b Sättigungs modell Parameter schätzung Daten Sach verhalt oder Spezifikation des ökonometrischen Modells geschätztes Modell phäno menologische Modellierung z.b linear exogene Variable endogene Variable Parameter Unbestimmter Term Schätzer für alle Parameter Varianzen und Kovarianzen der Schätzer Hpothesentest z.b. Anstiegsparameter < Prognose Extrapolation auf x ungleich Datenwerte

2 Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation Nutzung ÖPNV x 2 Geschwin digkeit (x, x ) 2 β β β 2 Preis Stadt i x ÖPNV Fahrleistung ÖPNV Fahrleistung x Preis Geschwindigkeit x 2. Alle relevanten Einflussfaktoren sind berücksichtigt (oben, nicht aber unten)

3 Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 2. (x) wahrer Zusammenhang data (x) lin falscher linearer Zusammenhang x 2. Das Modell ist linear, was hier nicht erfüllt ist

4 Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 2 data (x) (x) x= x Manchmal kann das Modell durch Transformationen der exogenen und/oder endogenen Variablen linearisiert werden z data z

5 Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 3 Verkehrstote 97 (x) (x) data Strukturbruch! 99 2 x 3. Homogenitätskriterium (z.b. kein Strukturbruch im Raum der exogenen Variablen, wie hier gezeigt)

6 Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation (x) (x) data data x x. Der Erwartungswert der Störgröße muss verschwinden.

7 Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 2 (x) (x) data data x x 2. Der Residualterm ǫ ist homoskedastisch (rechts), nicht etwa heteroskedastisch (links)

8 Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 3 (x) (x) data data x x Keine Korrelationen von ǫ bezüglich x i oder (rechts), während das Modell links fehlspezifiziert ist

9 Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 4 (x) (x) data data x x Der Residualterm ǫ ist gaußverteilt (rechts), nicht etwa bimodal verteilt (links)

10 Modellspezifikation III: Datenspezifikation nicht OK x 2 nicht OK data x x x 2 OK Keine der exogenen Variablen darf sich als Linearkombination aus Konstanten und anderen exogenen Variablen darstellen lassen (oben); nichtperfekte Korrelationen sind aber erlaubt (unten) x

11 Lineares Modell mit zwei exogenen Variablen (schematisch) Nutzung ÖPNV x 2 Geschwin digkeit (x, x ) 2 β β β 2 Preis Stadt i x Die Daten gehorchen hier dem linearen Modell exakt!

12 Konfidenzintervalle und die Entstehung der Student-Verteilung. Stichprobe 2. Stichprobe 2σ β. 8. Stichprobe f( β) Gaußverteilung f(t) t Verteilung. Stichprobe β Dichte f β Chi 2 Verteilung Eine geschätzte Standardabw. 2σ β Abweichung in Einheiten der geschätzten Standardabw. β β σ β t

13 Dichten der Standardnormal vs. Student-t-verteilung.4.35 Standardnormalverteilung Student Verteilung mit ν= FG Student Verteilung mit ν=2 FG Dichtefunktion f z (z) bzw. f t (t) z bzw. t

14 Standardnormal vs. Student-t-verteilung Verteilungsfunktion F z (z) bzw. F t (t) Standardnormalverteilung Student Verteilung mit ν= FG Student Verteilung mit ν=2 FG z.95 t () z bzw. t

15 Konfidenzintervalle Konfidenzintervall zu H : β /2 und σ wie geschätzt unter α=.5 Konfidenzintervall zu H : β /2 und σ wie geschätzt unter α=.5.4 Dichtefunktion f(t) Dichte Konfidenzintervall Verteilungsfunktion F(t) F KI F=.5 F= Testvariable t Testvariable t KI zu einer Fehlerwahrscheinlichkeit α = 5% für n J = 2 Freiheitsgrade.

16 Fehler erster und 2. Art allgemein H nicht abgelehnt H abgelehnt H trifft zu Fehler erster Art H trifft nicht zu Fehler zweiter Art Definition der Fehler erster und zweiter Art bei Signifikanztests

17 Wahrscheinlichkeit Fehler erster und 2. Art bei H : β β α Fehler β Fehler Gütefunktion Z=(β β )/σ β Einseitiger Test auf <, in Abhängigkeit des skalierten Abstandes z = (β j β j )/σˆβj des wahren Parameterwertes vom Grenzwert der Nullhpothese (bekannte Varianz des Schätzers, α =.)

18 Wahrscheinlichkeit Fehler erster und 2. Art bei H : β β α Fehler β Fehler Gütefunktion T=(β β )/s β Das Gleiche bei unbekannte Varianz und n J = 2 Freiheitsgraden. Der skalierte Abstand ist nun t = (β j β j )/ˆσˆβj.

19 Wahrscheinlichkeit Fehler erster und 2. Art bei H : β β α Fehler β Fehler Gütefunktion Z=(β β )/σ β Einseitiger Test auf >, (bekannte Varianz, α =.)

20 Wahrscheinlichkeit Fehler erster und 2. Art bei H : β β α Fehler β Fehler Gütefunktion T=(β β )/s β Einseitiger Test auf >, (unbekannte Varianz, n J = 2 Freiheitsgrade, α =.)

21 Fehler erster und 2. Art bei H : β = β Wahrscheinlichkeit α Fehler β Fehler Gütefunktion T=(β β )/s β Zweiseitiger Test auf Gleichheit (unbekannte Varianz, n J = 2 Freiheitsgrade, α =.)

22 Fehler erster und 2. Art allgemein w P(t<t )= α/2 α/2 P(t>t )= α/2 α/2 Ablehnungs bereich t= Annahme bereich t Ablehnungs bereich t α/2 t α/2 Annahme- und Ablehnungsbereiche bei zweiseitigen Tests (Tests einer Punkt-Hpothese). Die Verteilungsfunktion ist nur bei Zutreffen von H gültig!

23 Parameter-Schätzfehler (bedingte W-Dichte) bei linearer Einfachregression n=2; Standardabweichung des Residualfehlers: σ ε =3.6 abhaengige Variable σ ε n unabhaengige Variable x Die Residualfehler sind i.i.d. verteilt

24 Konkretes Beispiel: ÖPNV-Nutzung bei Städten β +β x +β 2 x 2 Daten ε i x x 2 45 Türkisgrünen Striche: unbestimmten Anteile ǫ i (positiv, wenn Über dem Datenpunkt)

25 Projizierte Streudiagramme 45 Geschwindigkeit x 2 (km/h) Die exogenen Variablen sind korreliert, aber nicht perfekt kolinear Fahrpreis x (Euro) Fahrgastzahlen (Fahrten/Person/Jahr) Daten Einfachregression(x ) Mehrfachregression(x,x 2 ) Fahrgastzahlen (Fahrten/Person/Jahr) Daten Einfachregression(x ) Mehrfachregression(x,x 2 ) Fahrpreis x (Euro) Geschwindigkeit x 2 (km/h) x =Preis (Euro), x 2 =Geschwindigkeit (km/h), = Nutzungszahl

26 Akzeptanzintervalle des Teilmodells M (nur x ) 2.5% und 97.5% Quantile hat (x Modell ) xquer,quer.7.6 (Fahrten/Jahr/Person) x (Euro/Fahrt)

27 Konfidenzintervall zu H : β = ˆβ = 7 (volles Modell) Dichtefunktion f(hat β ) Konfidenzintervall zu H : β und σ wie geschätzt und α=.5 Dichte Konfidenzbereich hat β Verteilungsfunktion F(hat β ) Konfidenzintervall zu H : β und σ wie geschätzt und α=.5 F KI F=.25 F= hat β

28 Konfidenzintervall zu H 2 : β 2 = ˆβ 2 = 6.5 (volles Modell).35 Konfidenzintervall zu H : β 2 und σ wie geschätzt und α=.5 Dichtefunktion f(hat β 2 ) Dichte Konfidenzintervall hat β 2 Verteilungsfunktion F(hat β ) Konfidenzintervall zu H : β 2 und σ wie geschätzt und α=.5 F KI F=.25 F= hat β 2

29 Likelihoodfunktion der Anstiegsparameter hat β d Dichte hat β j unter H : σ und β j wie gemessen t-test: Die zwei separaten Nullhpothesen H : β = β und H 2 : β 2 = β 2 sind beide erfüllt 2 H Konfidenzregion F Test H Konfidenzregion t Test hat β.4.2 F-Test für die verbundene Nullhpothese H : β = β, β 2 = β 2 Korrelation der Schwankungsbreiten von ˆβ und ˆβ 2 : rˆβ,ˆβ =.6. 2

30 Hotelbeispiel I: Geschätztes Modell und Residualfehler β +β x +β 2 x 2 β +β x +β 2 x 2 β +β x +β 2 x 2 Daten Daten 2 ε i ε i x 2 x x x 2 2 Zwei Perspektiven der Ebene des deterministischen Teils des geschätzten Modells ŷ = ˆβ + ˆβ x + ˆβ 2 x 2, mit ˆβ = 25.5, ˆβ = 38.2 und ˆβ 2 =.953 sowie die Abweichung ǫ i = i ŷ i der Datenpunkte vom Modell

31 Hotelbeispiel II: Zweidimensionale Konfidenzregionen Konfidenzintervalle T Test β, β 2 Konfidenzintervalle T Test GamH, GamH 2 Grenze Test β + 3 β 2 < β 2 Schätzer Konfidenzregion F Test Verbundene Nullhpothese H Verbundene Nullhpothese H β Schätzer Konfidenzregion Verbundene Nullhpothesen: = H : β = 3 und β 2 = = H 2 : β = 34 und β 2 =

32 Hotelbeispiel III: Falsch geschätzt! 2 β und β 2 um β bzw. β 2 verschoben dach(x = Stern, x 2 ) dach (x =2 Sterne, x 2 ) dach (x =3 Sterne, x 2 ) dach (x =4 Sterne, x 2 ) 2 β und β 2 um β bzw. β 2 verschoben dach(x = Stern, x 2 ) dach (x =2 Sterne, x 2 ) dach (x =3 Sterne, x 2 ) dach (x =4 Sterne, x 2 ) Endogene Variable Endogene Variable Exogene Variable x 2 Exogene Variable x 2 2 β und β 2 um β bzw. β 2 verschoben dach(x = Stern, x 2 ) dach (x =2 Sterne, x 2 ) dach (x =3 Sterne, x 2 ) dach (x =4 Sterne, x 2 ) 2 β und β 2 um β bzw. + β 2 verschoben dach(x = Stern, x 2 ) dach (x =2 Sterne, x 2 ) dach (x =3 Sterne, x 2 ) dach (x =4 Sterne, x 2 ) Endogene Variable Endogene Variable Exogene Variable x 2 Exogene Variable x 2 Übereinstimmung zwischen Modell und Daten für vier verschiedene Parametrisierungen

33 Hotelbeispiel IV: F-Test zweier verbundenen Nullhpothesen Kumulierte Fisher F Verteilung F 2,n 3 (f) Verbundene Nullhpothesen: Realisierter f Wert bei β =3,β 2 = Realisierter f Wert bei β =34,β 2 = F= f = H : β = 3 und β 2 = = H 2 : β = 34 und β 2 =

34 Logistische Regression mit naiver LSE-Schätzung der log-odd-ratios: RC-Umfrage WS4/5 und WS5/6 kumuliert Daten und Ergebnis mit 4 Entfernungsklassen Unbeobachtete Variable = ln(f /( f )) 3.5 Modal Split OEV/MIV zusammen [%] Daten Logistische Regression * =ln(f/( f)) Daten Logistische Regression Entfernung x [km] Entfernung x [km] β =.58, β =.79

35 Logistische Regression mit naiver LSE-Schätzung der log-odd-ratios: 5. Datenpunkt addiert mit f=.9999 Daten und Ergebnis mit 4 Entfernungsklassen Unbeobachtete Variable = ln(f /( f )) Modal Split OEV/MIV zusammen [%] * =ln(f/( f)) Daten Logistische Regression Daten 4 Logistische Regression Entfernung x [km] Entfernung x [km] β = 3.2, β = 2.3

36 Vergleich: echte Maximum-Likelihood-Schätzung Alternativen (kein ÖV) und (ÖV) V i(r) = β δ i + β rδ i.9 Relative Haeufigkeit OEV/MIV Entfernung [km] Daten OEV/MIV Modell β =.5 ±.65, β = +.7 ±.3

37 Vergleich: echtes Maximum-Likelihood-Schätzung mit 5. Datenpunkt Alternativen (kein ÖV) und (ÖV) V i(r) = β δ i + β rδ i.9 Relative Haeufigkeit OEV/MIV Entfernung [km] Daten OEV/MIV Modell β =.55 ±.63, β = +.75 ±.27