2. Funktionen einer Variablen
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- Dieter Becke
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1 . Funktionen einer Variablen Literatur: [SH, Kapitel 4].1. Definitionen.. Typen von Funktionen..1. Lineare Funktionen... Quadratische Funktionen..3. Polynome..4. Potenzfunktionen..5. Exponentialfunktionen..6. Logarithmusfunktionen Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-1
2 .1. Definitionen.1.1. Funktionen Eine Funktion f() ist eine Zuordnungsvorschrift, die einer Zahl x einen eindeutigen Wert f(x) zuordnet. Beispiele: (a) formal: f(x) = x 4x + 3 (b) tabellarisch: Tabelle 1: Wertetabelle [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-
3 .1. Definitionen (c) graphisch: Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-3
4 .1. Definitionen.1.. Abhängige versus unabhängige Variable Oft wird das Ergebnis einer Funktion f(x) an einer Stelle x einer anderen Variablen y zugeordnet: y = f(x) Dann wird x auch unabhängige Variable oder Argument von f genannt, y heißt abhängige Variable. Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-4
5 .1. Definitionen.1.3. Definitionsbereich D f D f = Menge der Werte von x, denen etwas zugeordnet wird Alle Werte x, für die die Funktion ein sinnvolles Ergebnis liefert Einschränkungen nach Belieben möglich Beispiele: (a) Aufzählung: D f = {010, 011, 01, 013} (b) Intervall: D f = [0; 100] (c) Mengenoperationen: D f = R \ {0}, z.b. f(x) = 1/x Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-5
6 .1. Definitionen.1.4. Wertebereich R f R f = Menge der Werte, die als Ergebnis der Funktion zugeordnet wurden Abbildung 1: Definitions- und Wertebereich einer Funktion f [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-6
7 .1. Definitionen Beispiele: 1 (a) f(x) x 3 Definitionsbereich: D f = R \ {3} Wertebereich: R f = R \ {0} Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-7
8 .1. Definitionen Beispiele: ( b) f(x) x 4 Definitionsbereich: D f = [; ) Wertebereich: R f = [0; ) x 4 0 x Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-8
9 .1. Definitionen.1.5. (Streng) Monotone Funktionen Beispiele: f(x 1 )=f(x ) f(x ) f(x 1 ) f(x 1 )=f(x ) f(x 1 ) f(x ) x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x Abbildung : (Streng) Monoton wachsende und fallende Funktionen [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-9
10 .1. Definitionen.1.6. Graphische Darstellung von Funktionen Die graphische Darstellung von Funktionen ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Analyse von Funktionen. Onlinetools für Funktionsplots (z.b Computer Algebra Systeme (kurz CAS, z.b. Mathematica, MuPad, MATLAB) Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-10
11 .1. Definitionen Beispiel 1: Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-11
12 .1. Definitionen Beispiel : Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-1
13 .1. Definitionen Beispiel 3: Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-13
14 .1. Definitionen Beispiel 4: Mathematica Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-14
15 .1. Definitionen Beispiel 5: MuPAD Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-15
16 .1. Definitionen Beispiel 6: MATLAB Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-16
17 ..1. Lineare Funktionen Für allgemeine Konstanten a und b: Beispiele: y = f(x) = ax + b Abbildung 3: Lineare Funktion y = ax + b [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-17
18 Die Steigung der Geraden ist für beliebige Werte von x 1, x, y 1, y (mit x 1 x ) auf der Geraden gleich Abbildung 4: Steigung a = (y y 1 )/(x x 1 ) [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-18
19 Beispiele: Steigung a Steigung a 1 4 Steigung a Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-19
20 ... Quadratische Funktionen Für allgemeine Konstanten a, b und c mit a 0: y = f(x) = ax + bx + c Beispiel: Gewinnfunktion Abbildung 5: Gewinnfunktion [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-0
21 Nullstellen von quadratischen Funktionen Definition: x ist eine Nullstelle von f(x), wenn f(x) = 0. Es gibt quadratische Funktionen mit keiner, einer und zwei Nullstellen. Abbildung 6: Quadratische Funktion für verschiedene Werte von a, b, c [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-1
22 Formeln für die Nullstellen: f(x) ax bx c0! abc -Formel / Mitternachtsformel: pq-formel : Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-
23 ..3. Polynome Polynom 3-ten Grades (Kubische Funktion) für beliebige Konstanten a, b, c und d Polynom n-ten Grades für beliebige Konstanten a 0, a 1,, a n : Ein Polynom kann bis zu n Nullstellen besitzen Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-3
24 Beispiel: Kostenfunktion Abbildung 7: Kubische Kostenfunktion [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-4
25 Exkurs: Fundamentalsatz der Algebra Jedes Polynom n-ten Grades kann als ein Produkt von Polynomen ersten und zweiten Grades geschrieben werden. Nutzen daraus: Wenn eines dieser Polynome gleich null ist, ist auch f(x) = 0. Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-5
26 Beispiel: 3 x 4x x 6 (x ) ( x x 3) f (x) f 1 (x) f (x) Nullstellen von f(x): (x) f 1 x 0 f (x) x x 3 0 x 1 x 4( 1) 3 ( 1) 1, x 1 x 3 3 (x) x x 3 f 0 x, x 1 x Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-6
27 Graph des Polynoms f(x) x 4x x 6 3 Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-7
28 Frage: Wie kommt man auf solch eine Zerlegung f(x) x 3 4x x 6 (x ) ( x x 3) Polynomdivision: 3 ( x 4x x 6) (x ) x x 3 3 x x x x x 4x 3x 3x Rest x (x x(x 3(x ) ) ) Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-8
29 ..4. Potenzfunktionen Für allgemeine Konstanten A R und r R: Beispiele: Abbildung 8: Beispiele für Potenzfunktionen [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-9
30 ..5. Exponentialfunktionen Für eine positive Basis a > 0: ACHTUNG: Nicht zu verwechseln mit der Potenzfunktion Eine besonders wichtige Basis a ist die Euler sche Zahl e =,7188 Natürliche Exponentialfunktion: Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-30
31 Mögliche Verläufe: Abbildung 9: Mögliche Verläufe von Exponentialfunktionen [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-31
32 Mögliche Verläufe: Abbildung 10: Mögliche Verläufe der natürlichen Exponentialfunktion [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-3
33 Anwendungen: wirtschaftliches Wachstum, Bevölkerungswachstum, stetig angehäufter Zins, radioaktiver Zerfall, abnehmendes Analphabetentum, Statistik Beispiel: Zinseszinsen Ein Sparkonto von K Euro, das jedes Jahr um p% Zinsen steigt, wird nach t Jahren angewachsen sein auf t p K Tabelle : Wie 1 Euro auf einem Sparkonto mit der Zeit bei einem jährlichen Zinssatz von 8% wächst [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-33
34 ..6. Logarithmusfunktionen Natürlicher Logarithmus: ln(x) ist die Zahl, so dass e ln(x) = x, x > 0 ln(x) ist die Umkehrung der e x -Funktion Abbildung 11: Natürliche Logarithmusfunktion [SH] Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-34
35 Rechenregeln natürlicher Logarithmus: Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-35
36 Ende Wirtschaftsmathematik WS 013/14 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B-36
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