Lehrplan. Mathematik. Fachoberschule. Fachbereich Wirtschaft. Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft

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1 Lehrplan Mathematik Fachoberschule Fachbereich Wirtschaft Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, Saarbrücken Postfach , Saarbrücken Saarbrücken 2007 Hinweis: Der Lehrplan ist online verfügbar unter: LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 1 / 14

2 Einleitende Hinweise Dem vorliegenden Lehrplan liegt die Verordnung Prüfungsordnung über die staatliche Abschlussprüfung an den Fachoberschulen im Saarland (APO-FOS) vom 3. Juli 1981 in der Fassung vom 13. April 2006 zu Grunde. Als Schulform folgt die Fachoberschule der Rahmenvereinbarung über die Fachoberschule (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom i.d.f. vom ). Der Lehrplan erfüllt die Vorgaben der Rahmenrichtlinien für das Fach Mathematik in der Fachoberschule (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom ). Er beschreibt in 7 Lerngebieten mathematische Kompetenzen, die in wirtschaftsberuflichen Situationen zu mathematischem Verstehen, Urteilen und Handeln befähigen und zugleich auf Anforderungen eines Fachhochschulstudiums vorbereiten. Die Lerngebiete gliedern sich in Lernziele, und, wobei die Hinweise als ergänzende Informationen, Vorschläge und Anregungen dienen. Im Unterricht sollen die Schülerinnen und Schüler in der Auseinandersetzung mit Inhalten aus der Finanzmathematik und der Wirtschaftsanalysis mitgebrachte allgemeine mathematische Kompetenzen anwenden, vertiefen und festigen. Insbesondere sollen sie lernen zu argumentieren, Probleme durch Modellieren zu lösen, zu kalkulieren, zu kommunizieren und moderne Werkzeuge zu verwenden. Der didaktische Aufbau des Unterrichts und das methodische Vorgehen sind dem Bildungsniveau der Lernenden anzupassen und gegebenenfalls zu differenzieren. Sowohl der Erarbeitung der prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen als auch ihrer Festigung und Einübung ist hinreichend Raum zu geben. Zusätzlich sollten die Lernenden regelmäßig Gelegenheit zum kreativen Üben und Wiederholen wesentlicher Kompetenzen bekommen, um kumulatives und nachhaltiges Lernen zu fördern. Kommunikative Kompetenzen sollen sowohl bei schriftlichen als auch bei mündlichen Arbeitsformen in angemessener Weise gepflegt werden. Insbesondere sollen die Lernenden zur Begründung, Präsentation, Interpretation und Bewertung ihrer Lösungen befähigt werden. Im Arbeitsverhalten wird von den Lernenden Leistungsbereitschaft, zunehmende Selbstständigkeit, Kooperationsbereitschaft und Eigenverantwortung erwartet. Hausaufgaben sind unverzichtbarer Bestandteil des Lernprozesses. Auf nachstehende formale Vorgaben wird verwiesen: Die Lernziele sind mit Blick auf einen stringenten Umfang des Lehrplans als Groblernziele formuliert. Die Zeitrichtwerte sind als vorgeschlagene zeitliche Empfehlungen zu verstehen. Sie sind stets als Jahresstunden ausgewiesen, um Vergleiche mit Schulformen anderer Bundesländer zu ermöglichen. Bei den ausgewiesenen Stundenanteilen sind die Zeiten für Wiederholungen, Leistungsüberprüfungen usw. enthalten, die mit rd. einem Drittel angesetzt sind. LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 2 / 14

3 Lfd. Nr LERNGEBIETSÜBERSICHT Lerngebiet Klassenstufe 11 Ökonomische Funktionen und ihre Darstellungen Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Nullstellen und Funktionsgraphen Exponential- und Logarithmusfunktionen Zeitrichtwert * Stunden Summe 80 Klassenstufe Finanzmathematische Modelle der Wirtschaftspraxis Zins- und Zinseszinsmodelle Rentenmodelle Tilgungsmodelle Differenziation reeller Funktionen Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Integration reeller Funktionen Summe 160 * Zeitrichtwert i. S. eines Vorschlags LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 3 / 14

4 Lerngebiete Lerngebiet 11.1: Ökonomische Funktionen und ihre Darstellungen Lernziele Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben funktionale Abhängigkeiten in wirtschaftspraktischen Sachverhalten Zeitrichtwert: 10 Stunden Authentische Darstellungen: Text, Diagramme, Tabellen, Anwendungssoftware entnehmen Informationen aus authentischen Darstellungen von Funktionen z. B. Interpretation des Graphen einer Verbrauchsfunktion erkennen und lösen einfache Sachprobleme im Zusammenhang mit diesen Funktionen mit elementaren Mitteln heuristisches Arbeiten Begriff der Funktion o Definitions- und Wertemenge o Argument, Funktionswert o Ökonomische Bedeutungen Darstellung von Funktionen o Term, Gleichung o Wertetabelle, Schaubild, Diagramm o Wortform Eigenschaften von Funktionen o Änderungsverhalten, Monotonie o Extremstelle, Extremwert Sachprobleme lösen: o Argumente und Funktionswerte bestimmen o Definitions- und Wertemenge bestimmen o Funktionseigenschaften erkennen, beschreiben und interpretieren Funktion als eindeutige Zuordnung Abgrenzung zum Relationsbegriff Zuordnungsschreibweise Abhängige und unabhängige Variable Heuristisches Arbeiten Numerische, graphische, einfache algebraische Methoden Einsatz von Funktionenrechnern LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 4 / 14

5 Lerngebiet 11.2: Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften Lernziele Die Schülerinnen und Schüler stellen Funktionen je nach Sachverhalt in geeigneter Form dar untersuchen Funktionen auf lokale und globale Eigenschaften untersuchen Beziehungen und Zusammenhänge zwischen Funktionen modellieren Situationen und Sachprobleme mit Funktionen verwenden interaktive Hilfsmittel zur Darstellung, Analyse und Kontrolle Beziehungen zwischen den Darstellungsformen erkennen Algebraische Problemlösetechniken und Problemlösestrategien verwenden Argumentieren und kommunizieren Plotter, Computeralgebra u.a Lineare Funktionen Zeitrichtwert: 18 Stunden Lineare Terme, Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme Darstellung linearer Funktionen o Polynom- und Punktsteigungsform o Wertetabelle und Gerade Eigenschaften linearer Funktionen o Änderungsrate, Steigung, Monotonie o Nullstelle, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Zusammengesetzte lineare Funktionen o Verknüpfung und Verkettung o Abschnittsweise definierte lineare Funktionen Vergleich linearer Funktionen, gemeinsame Punkte Bestimmung linearer Funktionen aus gegeben Daten und Eigenschaften Integrierte Wiederholung Intervalle als Definitionsmenge Umwandlung der Darstellungsformen Bedeutung der Parameter z.b. praktische Kostenfunktionen Tarifvergleich Ungleichungen lösen z.b. Geradengleichungen aufstellen Ökonomische Anwendungen Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage Tarife LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 5 / 14

6 Lerngebiet 11.2: Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften Quadratische Funktionen Zeitrichtwert: 22 Stunden Betrag einer reellen Zahl, Intervalle Quadratische Terme vereinfachen, quadratische Gleichungen lösen Quadratfunktion und Normalparabel, Wurzelfunktion Darstellung quadratischer Funktionen o Polynomform o Parabel und Wertetabelle Eigenschaften quadratischer Funktionen o Scheitelpunkt und Scheitelpunktform o Nullstellen und Produktform o Monotonie und Monotonieintervalle Zusammengesetzte quadratische Funktionen o Verknüpfung und Verkettung o Abschnittsweise definierte Funktion Schnittstellen und Schnittpunkte o quadratische Funktionen o lineare und quadratische Funktionen, Ökonomische und allgemeine Optimierungsprobleme Bestimmung quadratischer Funktionen aus gegebenen Daten oder Eigenschaften Binomische Formeln Radizieren, ausklammern, Formel Wurzelfunktion als Umkehrfunktion Form- und Lageveränderungen der Normalparabel untersuchen Beschreibung des Änderungsverhaltens Erlösfunktion und Gewinnfunktion Tangente Erlös- und Gewinnmaximierung Gleichungen oder Gleichungssysteme aufstellen und lösen Ökonomische Anwendungen, Modelle Beschreibung ökonomischen Verhaltens Tarife, z.b. gegenwärtiger Einkommensteuertarif LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 6 / 14

7 Lerngebiet 11.2: Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften Nullstellen und Funktionsgraphen Zeitrichtwert: 16 Stunden Rechnen mit Potenzen und Polynomen, Polynomdivision Gerade und ungerade Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, Parabeln n-ter Ordnung o Eigenschaften des Graphen o Form- und Lageveränderung von Parabeln o Lösen von Potenzgleichungen durch Radizieren Darstellung ganzrationaler Funktionen o Polynom- und Produktform o Typische Graphen dritten Grades Nullstellen ganzrationaler Funktionen o Einfache und mehrfache Nullstelle, maximale Anzahl o Zerlegungssatz und Polynomdivision o Funktionsgraph und Nullstellen, Vorzeichenuntersuchung o Funktionsgleichungen bestimmen Schnittpunkte von Funktionsgraphen Verknüpfung und Verkettung ganzrationaler Funktionen Potenzgesetze wiederholen Zur Abgrenzung: Hyperbeln erster und zweiter Ordnung Wurzelfunktionen anwenden auch Hornerschema LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 7 / 14

8 Lerngebiet 11.3: Exponential- und Logarithmusfunktionen Lernziele Zeitrichtwert: 14 Stunden Die Schülerinnen und Schüler beschreiben ökonomische Wachstumsund Zerfallsprozesse mit Exponentialfunktionen untersuchen Eigenschaften von Funktionsgraphen lösen ökonomische Probleme mithilfe von Exponentialgleichungen verwenden TR und interaktive Hilfsmittel zur Darstellung, Analyse und Kontrolle Allgemeine Exponentialfunktion o Funktionsgleichung und Funktionsgraph o Definitions- und Wertemenge o y-achsenabschnitt, Monotonie Natürliche und dekadische Logarithmusfunktion o Funktionsgleichung und Funktionsgraph o Definitions- und Wertemenge o Nullstelle, Monotonie o Logarithmengesetze Zugang über geometrische Folgen Graphen zeichnen und Eigenschaften beschreiben Logarithmengesetze anwenden Lösen reiner Exponentialgleichungen o Exponentenvergleich o Logarithmieren o Iterative Lösung bei Folgen Anwenden der Potenzund Logarithmengesetze Ökonomische Anwendungen Wachstum und Zerfall Finanzmathematische Folgen LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 8 / 14

9 Lerngebiet 12.1: Finanzmathematische Modelle der Wirtschaftspraxis Lernziele Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, vergleichen und beurteilen Zins, Renten- und Tilgungsmodelle der Wirtschaftspraxis erkennen und lösen praxisnahe Probleme mit Hilfe von Formeln, Gleichungskalkülen und heuristischen Strategien verwenden praxisnahe Rechenhilfsmittel authentisches Material, z.b. Bankangebote Auch durch Modellieren z.b. schrittweises Lösen von komplexen Aufgaben Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Internetrechner, Computeralgebra Zins- und Zinseszinsmodelle Zeitrichtwert: 20 Stunden Zinsbegriff o Zins, Zinssatz und Kapital o Verzinsen, Auf- und Abzinsen Jährliche Verzinsung o Einfache Verzinsung o Reine Zinsverzinsung Explizite Formeln, Zinsoperationen o Endkapital und Anfangskapital o Zinssatz und Laufzeit o Zinsbetrag und Zinssumme Aufstellen und Lösen komplexer Gleichungen, Verknüpfung und Verkettung von Zinsoperationen Unterjährliche Verzinsung, relativer und konformer Zinssatz Berechnung des Endkapitals bei gemischter Verzinsung Abgrenzung zu vorschüssigem Zinsbegriff Rekursionsformeln Zinspläne aufstellen, beschreiben und untersuchen Herleitung und Anwendung der Formeln Heuristische Bestimmung des Zinssatzes, Rechnereinsatz Strategien: Zerlegen in Teilprobleme, geschlossener Ansatz Zuwachssparen Jährliche Zinsverzinsung, unterjährig einfach Äquivalenzprinzip, Barwertmethode Entscheidungsprobleme Begriff der Rendite am Beispiel der abgezinsten Sparbriefe erklären LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 9 / 14

10 Lerngebiet 12.1: Finanzmathematische Modelle der Wirtschaftspraxis Rentenmodelle Zeitrichtwert: 25 Stunden Begriff der konstanten Rente o Rentenhöhe und Rentendauer o Vorschüssige und nachschüssige Rente Konstante jährliche Rente mit jährlicher Zinsverzinsung o Rentenendwert und Rentenbarwert, Rentenfaktoren o Rentenhöhe, Rentenumwandlung, Laufzeit, Zinssatz Konstante monatliche Rente mit jährlicher Zinsverzinsung, Jahresersatzrente Jährlicher Kapitalauf- und abbau o End- und Anfangskapital o Rentenhöhe, Laufzeit, Zinssatz Aufstellen und Lösen komplexer Gleichungen, Verknüpfung und Verkettung von Zins- und Rentenoperationen Explizite Formeln herleiten und anwenden Heuristische Bestimmung des Zinssatzes (Rechnereinsatz) Anwendung nachschüssiger Rentenformeln Explizite und rekursive Formeln auch Zinssatzwechsel Rückführung komplexer Aufgaben auf Grundaufgaben LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 10 / 14

11 Lerngebiet 12.1: Finanzmathematische Modelle der Wirtschaftspraxis Tilgungsmodelle Zeitrichtwert: 25 Stunden Jährliche Tilgungen o Ratentilgung o Annuitätentilgung Grundlegende Zusammenhänge der Tilgungsformen o Annuität, Zins- und Tilgungsbetrag o Restschuld und Zinsbetrag, Tilgungsbetrag o Schuldentilgungsgleichungen Endfällige Tilgung als Sondertilgungsform Gemeinsame Eigenschaften der Standardformen, Rekursionsformeln Tilgungspläne erstellen, untersuchen und beschreiben Eigenschaften und explizite Formeln der jährlichen Ratentilgung o Konstante Tilgungsrate, Anfangsschuld und Laufzeit o Restschuld, Zinsbetrag, Annuität Eigenschaften und explizite Formeln der jährlichen Annuitätentilgung o Konstante Annuität, Anfangsschuld, Zinssatz und Laufzeit o Restschuld, Tilgungsbetrag, Zinsbetrag Tilgungsfolgen und Zusammenhänge untersuchen Formeln herleiten und anwenden Tilgungsfolgen und Zusammenhänge untersuchen Formeln herleiten und anwenden wechselnder Zinssatz Anschlussfinanzierung Jährliche Annuitätentilgung bei gegebener Prozentannuität o Konstante Annuität, Anfangsschuld, Zins- und Tilgungssatz o Laufzeit und Sonderannuität Rundungsproblem Monatliche Annuitätentilgung mit monatlicher relativer Verzinsung Vergleich mit jährlicher Annuitätentilgung LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 11 / 14

12 Lerngebiet 12.2: Differenziation reeller Funktionen Lernziele Die Schülerinnen und Schüler modellieren das lokale Änderungsverhalten von Funktionen Zeitrichtwert: 25 Stunden Untersuchung von Tabellen, Graphen und Formeln lösen geometrische und ökonomische Probleme mithilfe der Ableitung Einführung in das marginalanalytische Denken Mittlere (durchschnittliche) und lokale Änderungsrate, Grenzrate Näherungsweise Bestimmung der Steigung in einem Kurvenpunkt, Tangente und Tangentengleichung Grundidee des Differenzierens Momentane Änderungsrate bei Funktionen der Zeit Funktionenplotter nutzen Ableitung und Ableitungsfunktion Intuitiven Grenzwertbegriff verwenden Ableitungsfunktionen, Grenzfunktionen, Höhere Ableitungen Elementare Ableitungsregeln o Konstanten- und Potenzregel o Faktor- und Summenregel o Ableitung ganzrationaler Funktionen Konkrete Ableitungs- und Grenzfunktionen bestimmen Potenzregel für ganzzahlige Hochzahlen Ableitung von Durchschnittsfunktionen Ökonomische Anwendungen Grenzerlös und Grenzerlösfunktion Grenzkosten und Grenzkostenfunktion LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 12 / 14

13 Lerngebiet 12.3: Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Lernziele Die Schülerinnen und Schüler untersuchen ganzrationale Funktionen und ihre Graphen untersuchen realitätsnahe ökonomische Funktionen und Modelle modellieren realitätsnahe Situationen und Probleme mit ganzrationalen Funktionen Zeitrichtwert: 40 Stunden einschließlich vierten Grades ggf. Funktionenplotter verwenden Funktionen aus Wirtschaftstheorie und Wirtschaftspraxis Monotonie o Monotoniearten, Monotonieintervalle o Monotoniekriterium Monotonie und Extrempunkte o Lokale und globale Extremwerte, Randextrema o notwendige und hinreichende Bedingungen Krümmung und Wendepunkt, Sattelpunkt o Krümmungsarten, Krümmungsintervalle o Krümmungskriterium o notwendige und hinreichende Bedingungen Bestimmung ganzrationaler und ökonomischer Funktionen aus vorgegebenen Funktionseigenschaften Nichtlineare Optimierungsprobleme o Erlös- und Gewinnmaximierung o Kostenminimierung Monotoniekriterium der Anschauung entnehmen Vorzeichenwechselkriterium Änderung des Monotonieverhaltens der Ableitung Zweites Extremwertkriterium Lösungsstrategie entwickeln Lösungsstrategie entwickeln LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 13 / 14

14 Lerngebiet 12.4: Integration ganzrationaler Funktionen Lernziele Die Schülerinnen und Schüler modellieren Bestandsgrößen und Flächenmaße erfassen den Zusammenhang zwischen Integration und Differenziation Zeitrichtwert: 25 Stunden Integrieren als Rekonstruieren lösen realitätsnahe Probleme mithilfe der Integralrechnung Rekonstruktion von Beständen aus Änderungsraten Näherungsweise Bestimmung von Flächeninhalten durch infinitesimale Rechteckflächen Integral und Integralfunktion Erlös aus Grenzerlös Einkommensteuer aus Grenzsteuer Orientierter Flächeninhalt Numerisches Arbeiten, Funktionenplotter verwenden Anschauliche Erklärung, keine formale Herleitung Stammfunktionen o Integralfunktion als Stammfunktion o Berechnung von Integralen Integration ganzrationaler Funktionen o Potenzregel o Faktor- und Summenregel o Intervalladditivität Anwendungen o Flächenberechnung unter und zwischen Funktionsgraphen o Ökonomische Anwendungen Hauptsatz der Differenzialund Integralrechnung Grenzfunktion und Gesamtfunktion Preisdifferenzierung, Konsumenten- und Produzentenrente LP-Saarland: FOS Wirtschaft Mathematik, 2007 Seite 14 / 14