Nachholklausur ÖKONOMETRIE für Bachelor VWL

Transkript

1 Nachholklausur ÖKONOMETRIE für Bachelor VWL Name, Vorname: Matrikel-Nr. Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: Teil A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine Antwort richtig ist und von denen mehrere Antworten richtig sein können. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten in den Kästchen unterhalb der Aufgabe an. Sind alle Kreuze richtig, erhalten Sie für die Aufgabe 3 Punkte. Jede Abweichung ergibt 1,5 Punkte Abzug. Es werden keine negativen Punktezahlen vergeben, Sie erhalten also für jede Aufgabe mindestens 0 Punkte. Wenn Sie keine Antwort ankreuzen, gilt die Aufgabe als nicht bearbeitet und Sie erhalten 0 Punkte. Teil B enthält ausführlich zu lösende Aufgaben. Nur mit der Darstellung der einzelnen Rechenschritte oder der Begründung Ihrer Vorgehensweise kann die volle Punktzahl erreicht werden. Zulässige Hilfsmittel: Nicht programmierbarer Taschenrechner, Lehrbuch von Schira, gebundene Ausgabe (rot) des Skriptes Ökonometrie und eine handschriftlich von Ihnen selbst beschriebene Seite im DIN A4 Format ( Spickzettel, kann auf beiden Seiten beschrieben sein). Teil A umfasst 8 Aufgaben und Teil B umfasst 2 Aufgaben. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Exemplars. Die maximal zu erreichende Punktzahl ist 60, davon können maximal 24 Punkte in Teil A und maximal 36 Punkte in Teil B erreicht werden. Für Studierende im BSc VWL werden die in der Klausur und der Zwischenklausur erzielten Punkte addiert. Diese Studierenden bestehen die Prüfung mit mindestens 32 erreichten Punkten. Die Bearbeitungszeit dieser Klausur beträgt 120 Minuten. Auswertung - Teil A Aufgabe Erreichte Punktzahl Auswertung - Teil B Aufgabe 1 2 Erreichte Punktzahl Erreichte Gesamtpunktzahl 1

2 Teil A (24 Punkte) 1. Eine normalverteilte Zufallsvariable habe den Erwartungswert µ = 10 und die Standardabweichung σ = 2. Die transformierte Variable W sei definiert als W = 2( 10). A) E(W) = 0 B) Die Wahrscheinlichkeit, dass W zwischen 4 und 4 liegt, beträgt D(1) = 0,8413 (auf vier Nachkommastellen gerundet). C) V (W) = 8 D) Das obere Dezil (das 90%-Quantil) von W beträgt 6,6 (auf eine Nachkommastelle gerundet). 2. Es sei das logarithmierte Einkommen ln(y ) normalverteilt mit Erwartungswert m = 6, 5 und Varianz s 2 = 6,25. A) E(Y ) = 665 (gerundet) B) E(Y ) = (gerundet) C) Der Interquartilsabstand von Y beträgt (gerundet). D) P(10000 Y 20000) 10% 2

3 3. Der Mittelwert µ einer Normalverteilung mit der Varianz σ 2 = 25 soll geschätzt werden. Eine Stichprobe mit dem Unfang n = 150 ergibt den Mittelwert = 6,35. A) V ( ) = 1/6 B) Die Standardabweichung von beträgt 5. C) KI(µ, 0, 9) = [6, 08 ; 6, 62] (auf zwei Nachkommastellen gerundet) D) KI(µ, 0, 9) = [ 1, 88 ; 14, 58] (auf zwei Nachkommastellen gerundet) 4. Auf Basis einer Stichprobe mit n Beobachtungen, wobei n eine gerade Zahl mit n > 8 ist, soll der Erwartungswert µ einer unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen geschätzt werden. Es stehen folgende Schätzer zur Auswahl: (1) ˆµ 1 = x 1 + x 2 + x n 1 + x n 4 (2) ˆµ 2 = x 1 + x 3 + x 5 + x x n 1 n/2 Beachten Sie, dass in die Berechnung von ˆµ 2 nur die ungeraden Beobachtungen eingehen. Die Varianz der Zufallsvariablen sei σ 2. A) V (ˆµ 2 ) = σ2 2n B) Der Schätzer ˆµ 1 ist erwartungstreu. C) Der Schätzer ˆµ 1 ist asymptotisch erwartungstreu. D) Der Schätzer ˆµ 2 ist konsistent. 3

4 5. Ein Wohnungsmakler vermittelt insgesamt 51 Wohnungen in einer Stadt. Er zeichnet die Kaltmiete Y ineauf und berechnet: ȳ = 1.020e y 2 = e 2 Die Kaltmiete kann als exakt normalverteilt angesehen werden. A) Die geschätzte Standardabweichung der Kaltmiete beträgt σ = 101e (aufegerundet). B) Das 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Kaltmiete in der Stadt ist KI(µ, 0,95) = [819e, 1.220e] (aufegerundet). C) Das 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Kaltmiete in der Stadt ist KI(µ, 0,95) = [992e, 1.048e] (aufegerundet). D) Das 95%-Konfidenzintervall für die Varianz der Kaltmiete in der Stadt ist KI(σ 2, 0,95) = [7.141e 2, e 2 ] (aufe 2 gerundet). 6. Die Varianz eines normalverteilten Merkmals sei σ 2. Es soll die Hypothese H 0 : σ = σ 2 0 gegen die Alternativhypothese H 1 : σ 2 < 100 getestet werden. Auf Basis einer Stichprobe von n = 101 Beobachtungen wird die Stichprobenvarianz s 2 = 98,7 geschätzt. Unterstellen Sie ein Signifikanzniveau von α = 5%. ACHTUNG: C und D wurden nicht bewertet, da die Aussagen nicht eindeutig sind. A) Wenn die wahre Varianz 100 beträgt, dann ist die Prüfgröße 1,01 S 2 chi-quadrat-verteilt mit 100 Freiheitsgraden. B) Die Prüfgröße beträgt 99,687. C) Die Prüfgröße übersteigt den kritischen Wert χ [0,95]. Deshalb ist die Nullhypothese abzulehnen. D) Die Prüfgröße unterschreitet den kritischen Wert χ [0,05]. Deshalb ist die Nullhypothese abzulehnen. 4

5 7. Gegeben ist folgendes Modell: y i = β 1 + β 2 x i + u i, bei dem folgende Werte bekannt sind: = ( ) Y = ( 10 2 ) Es soll die Kleinste-Quadrate-Schätzung durchgeführt werden. A) Der Stichprobenumfang ist 40. B) Für das arithmetische Mittel von y gilt ȳ = 0,5. C) ˆβ 1 = 0,514 (auf drei Nachkommastellen gerundet) D) ˆβ 2 = 0,062 (auf drei Nachkommastellen gerundet) 8. Unterstellen Sie folgende Cobb-Couglas-Produktionsfunktion mit technischem Fortschritt: wobei die Notation wie in der Vorlesung ist. Y t = e γ1+γ2t+γ3t2 L α t K β t e ut, A) Logarithmierung ergibt die lineare Regression ln(y t ) = γ 1 +γ 2 t+γ 3 t 2 +αln(l t )+βln(k t )+u t. B) Der technische Fortschritt beschleunigt sich im Zeitverlauf, wenn γ 3 0 gilt. C) In Periode t = 20 beträgt das Wachstum des Produktivitätsparameters (als Logarithmendifferenz gemessen) (γ γ 3 ) 100%. D) Ein Test der Hypothese konstanter Skalenerträge basiert auf der Prüfgröße t stat = ˆα + ˆβ 1, V ar(ˆα) + V ar(ˆβ) wobei ˆα, ˆβ die Kleinste-Quadrate-Schätzer und V ar(ˆα),v ar(ˆβ) die geschätzten Varianzen von ˆα und ˆβ sind. 5

6 Teil B (36 Punkte) 1. Tests für Median und Quantile: Es soll statistisch getestet werden, ob der Median und das untere Quartil der Pisatestergebnisse Y (gemessen in Punkten) bestimmte Werte annehmen. Die Nullhypothesen sind: H 0 : y [0,25] = 480 (unteres Quartil) H 0 : y [0,5] = 500 (Median) Eine Stichprobe von 250 Schülern ergibt, dass 30% der Schüler ein Pisatestergebnis von unter 480 und 54% der Schüler ein Pisatestergebnis von unter 500 aufweisen. Führen Sie für das untere Quartil und den Median getrennt den zweiseitigen Hypothesentest durch. Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherungsverteilung, aber führen Sie keine Stetigkeitskorrektur durch. Das Signifikanzniveau sei 10%. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise und interpretieren Sie kurz das Ergebnis der beiden Hypothesentests. (6 Punkte) 2. In dieser Aufgabe sollen Sie sich mit Regressionen zur Erklärung der Entlohnung auseinandersetzen, die auf einer Stichprobe von 2610 Arbeitnehmern basieren. Im Anhang zu Aufgabe B.2 werden deskriptive Statistiken, Kleinste-Quadrate-Regressionen und Graphiken aufgeführt, die in TSP berechnet bzw. erstellt wurden. Die Variablen im zugrundeliegenden Datensatz sind wie folgt definiert: lnw ex sex dau logarithmierter Bruttomonatsverdienst in DM Berufserfahrung in Jahren Geschlecht (Frau=1) Dauer der Schulausbildung in Jahren Im TSP-Programm werden weitere Variablen definiert. Die TSP-Befehle select (sex = 0); und select (sex = 1); schränken die Stichprobe auf jene Beobachtungen ein, für welche die Variable sex den Wert 0 bzw. 1 annimmt. Beantworten Sie die folgenden Fragen unter Bezugnahme auf die Schätzergebnisse im Anhang zu Aufgabe B.2. Begründen Sie Ihre Antwort, beispielsweise indem Sie geeignete Tests durchführen. Ohne Begründung können keine Punkte erzielt werden. Erläutern Sie gegebenenfalls in Ihrer Antwort, welche zusätzlichen Annahmen notwendig sind bzw. welche zusätzlichen Informationen Sie benötigen. 6

7 A) Was ist der durchschnittliche logarithmierte Bruttomonatsverdienst von Männern und Frauen? Was ist das geometrische Mittel des Bruttomonatsverdienstes von Männern und Frauen in DM? Was ist das arithmetische Mittel des Bruttomonatsverdienstes von Männern und Frauen in DM? Was ist die durchschnittliche Dauer der Schulausbildung von Männern und Frauen? Was ist die durchschnittliche Berufserfahrung von Männern und Frauen? (5 Punkte) B) Interpretieren Sie ausführlich die in Equation 1 geschätzte Gleichung. Was ist die ökonomische Interpretation der geschätzten Koeffizienten? Welche Koeffizienten sind signifikant? Ist die Berufserfahrung ein signifikanter Bestimmungsfaktor der Entlohnung? Wie hoch ist die Rendite der Berufserfahrung beim Berufseinstieg? Wie hoch ist die Rendite der Berufserfahrung nach 15 Jahren Berufserfahrung? Ist der Geschlechterunterschied signifikant? Hinweis: Unter der Rendite der Berufserfahrung versteht man den lohnerhöhenden Effekt eines weiteren Jahres Berufserfahrung, d.h. mathematisch ln(w)/ ex. (10 Punkte) C) Liegt in Equation 1 ein Heteroskedastieproblem vor? Welche Informationen hierzu können Sie dem Anhang zu Aufgabe B.2 entnehmen? Wie interpretieren Sie diese Informationen? (7 Punkte) D) Befassen Sie sich nun mit der in Equation 3 geschätzten Gleichung. Was ist die ökonomische Interpretation der geschätzten Koeffizienten? Worin besteht der Unterschied zu Equation 1? Welche dieser Koeffizienten sind signifikant? Wie lassen sich die Verdienstunterschiede zwischen Männern und Frauen charakterisieren? (4,5 Punkte) E) Die Gleichstellungsbeauftragte der Gewerkschaften argumentiert, dass die Diskriminierung von Frauen im Verdienst dadurch entstehe, dass Frauen im Vergleich zu Männern geringere Karrierechancen haben. Dies könne man daran erkennen, dass es keinen Verdienstunterschied beim Berufseinstieg gebe. Wie bewerten Sie diese Aussage auf Basis der bisherigen Ergebnisse. Wie würden Sie die Aussage statistisch testen? (3,5 Punkte) (30 Punkte) 7

8 Anhang zu Aufgabe B.2 TSP-Programm title Deskriptive Statistiken fuer Maenner ; select (sex = 0); msd(terse) lnw ex dau; set mittel = exp(@mean(1)); print mittel; w = exp(lnw); msd(terse) w; title Deskriptive Statistiken fuer Frauen ; select (sex = 1); msd(terse) lnw ex dau; set mittel = exp(@mean(1)); print mittel; w = exp(lnw); msd(terse) w; select 1; ex2 = ex*ex; ols(robustse) lnw c sex dau ex ex2; frml fex ex; frml fex2 ex2; analyz(noconstr) fex fex2; title Heteroskedastie? ; u u2 = u*u; ex3 = ex*ex2; ex4 = ex2*ex2; dau2 = dau*dau; 8

9 ols u2 c sex dau dau2 ex ex2 ex3 ex4; set chistat cdf(chisq,df=7) chistat; select sex=0; msd(terse) u; select sex=1; msd(terse) u; select 1; fdau = sex*dau; fex = sex*ex; fex2 = sex*ex2; ols(robustse) lnw c dau ex ex2 sex fdau fex fex2; frml fsex sex; frml ffdau fdau; frml ffex fex; frml ffex2 fex2; analyz(noconstr) fsex ffdau ffex ffex2; 9

10 Number of Observations: 1505 TSP-Output auf Basis des obigen Programms Deskriptive Statistiken fuer Maenner ==================================== Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum LNW E DAU MITTEL = Number of Observations: 1505 Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum W Number of Observations: 1105 Deskriptive Statistiken fuer Frauen =================================== Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum LNW E DAU MITTEL = Number of Observations: 1105 Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum W

11 Equation 1 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: LNW Number of observations: 2610 Mean of dep. var. = LM het. test = [.000] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.283] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.000] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.001] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] SE [.000] DAU E [.000] E E [.000] E E E [.000] Standard Errors are heteroskedastic-consistent (HCTYPE=2). Results of Parameter Analysis ============================= Standard Parameter Estimate Error t-statistic P-value FE E [.000] FE E E [.000] Wald Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: CHISQ(2) = ; P-value = F Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: F(2,2605) = ; P-value =

12 Heteroskedastie? ================ Equation 2 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: U2 Number of observations: 2610 Mean of dep. var. = LM het. test = [.000] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.695] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.000] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.623] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] SE [.000] DAU [.046] DAU E E [.077] E [.184] E E E [.200] E E E [.178] E E E = CHISQ(7) Test Statistic: , Upper tail area: Number of Observations: 1505 Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum U D Univariate statistics ===================== Number of Observations:

13 Mean Std Dev Minimum Maximum U D Equation 3 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: LNW Number of observations: 2610 Mean of dep. var. = LM het. test = [.000] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.079] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.000] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.001] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] DAU E [.000] E E [.000] E E E [.000] SE [.067] FDAU E [.942] FE [.000] FE E E [.000] Standard Errors are heteroskedastic-consistent (HCTYPE=2). 13

14 Results of Parameter Analysis ============================= Standard Parameter Estimate Error t-statistic P-value FSE [.067] FFDAU E [.942] FFE [.000] FFE E E [.000] Wald Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: CHISQ(4) = ; P-value = F Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: F(4,2602) = ; P-value = ENDE DER KLAUSUR 14