Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie)

Transkript

1 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) 1. Juni 17 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Auch in diesem Kapitel Einiges zu Integrationsordnung (wie oft muss differenziert werden, um Stationarität zu erreichen?) Ko-Integration: Faszinierende Idee: langfristiges Gleichgewicht stationäre Variable instationäre Variablen aufeinander regressiert haben stationäre Störterme/Residuen Fehler-Korrektur-Modelle: Versuchen die Dynamik der Rückkehr zum stationären Gleichgewicht zu erfassen Diese Themen behandeln wir erst nächste Woche Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Einleitung Gesehen: OLS bei Zeitreihen ist ok (zumindest konsistent), sofern alle involvierten Variablen stationär sind. problematisch, sobald Instationaritäten auftreten (bei zwei instationären Variablen im Modell: potentiell spurious regression, ähnlich Endogenität) Instationarität durch deterministische Trends: Relativ harmlos. stochastische Trends: Wesentlich unangenehmer (Grund: Stochast. Trends lassen sich nicht durch Kontrollvariablen in den Griff bekommen) Stochast. Trends entstehen durch Persistenz = langanhaltende Wirkung vergangener Schocks Aber: Ökonom. Zeitreihen weisen oft Persistenz-Phänomene (stochast. Trends) auf. (Beispiele: BIP, Aktienindex, Rohstoffpreise usw., oft auch: Zinsen, Inflationsraten, Wechselkurse,...) Üblicher Ausweg in der Ökonometrie: Ausschluss von instationären Variablen (mit stochast. Trends) aus den Modellen Stationaritätserzeugende Transformationen (Differenzenbildung, Renditen) Dazu erforderlich: Test auf Stationarität univariater Zeitreihen, Unit-Root-Tests Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 Unit-Root Tests Wir behandeln nur die Dickey/Fuller Unit-Root-Tests. Mit einem solchen Test versucht man, eine Unit-Root in einer individuellen Zeitreihe auszuschließen (d.h. Evidenz für die Nicht-Präsenz eines Random Walks in der Zeitreihe zu schaffen) Synonyme (weitgehend, in angewandter Literatur): Unit-Root Random-Walk Prozess instationär (aber differenzen-stationär) Prozess instationär (und nicht trend-stationär) Stochastischer Trend Später: Integrierter Prozess, I(1)-Prozess Struktur: Einfacher DF-Test (Grundstruktur, basiert auf AR(1)-Modell) ADF-Test (Augmented, basiert auf AR(p)-Modell) Beispiel Abgrenzung stochastischer vs. deterministischer Trend

2 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Dickey-Fuller-Test auf Ablehnung Unit-Root (Grundstruktur I) Ziel: Versuche, bei einer gegebenen Zeitreihe y t Instationarität auszuschließen. Unterstelle: y t folgt AR(1)-Prozess (einfachstes Modell, wo Instationarität auftreten kann): Der AR(1)-Prozess ist instationär, wenn ϱ 1. Unterstelle, dass nur ϱ = 1 auszuschließen ist. y t = α + ϱ y t 1 + ε t. (1) Einen AR(1)-Prozess mit ϱ = 1 nennt man auch einen Random Walk (mit Drift, wenn α ) Ziel also: Random Walk ( ˆ=H ) abgrenzen gegen einen stationären AR(1)-Prozess Dickey-Fuller-Test in der Grundstrukur: Sucht nach Evidenz für ϱ < 1. Dazu: 1. Schätze das AR(1)-Modell mit OLS und. Führe den (einseitigen) t-test von H : ϱ = 1 vs. ϱ < 1 durch. Problem: Unter der Nullhypothese bewegt man sich gerade nicht im Rahmen der klassischen (= normalen asymptotischen) Theorie, wie im letzten Kapitel dargestellt. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1, 1, Verteilung von ˆϱ und t-werten bei ϱ =.5 und ϱ = 1 (T = ) 1, rho=.5, alpha= 1, 1, 1, , rho=1., alpha= Series: HAT_RHO Sample 1 1 Observations 1 Mean.713 Median.9533 Maximum.95 Minimum.1 Std. Dev..9 Skewness -.57 Kurtosis.957 Jarque-Bera 7.13 Probability. Series: HAT_RHO Sample 1 1 Observations 1 Mean.9735 Median.97 Maximum Minimum.3 Std. Dev..7 Skewness -1. Kurtosis.31 Jarque-Bera Probability. 1, 1, 1, rho=.5, alpha= 1, 1, rho=1., alpha= Series: TSTAT_RHO Sample 1 1 Observations 1 Mean Median Maximum 3. Minimum Std. Dev Skewness.1 Kurtosis.979 Jarque-Bera 1.35 Probability.5171 Series: TSTAT_RHO Sample 1 1 Observations 1 Mean Median Maximum.5 Minimum Std. Dev..137 Skewness Kurtosis Jarque-Bera.71 Probability. Simulation der Verteilung von ˆϱ (links) und der t-werte ˆϱ 1 (rechts) bei ŝe(ˆϱ) stationärem AR(1)-Prozess (oben) und Random Walk (= Unit-Root), d.h. instationärem AR(1)-Prozess (unten) Das Bild rechts unten simuliert die DF T -Verteilung(T = ). Dort offensichtlich: Verzerrung der t-werte ins Negative (Grund: ˆϱ bei ϱ = 1 viel häufiger < 1 als > 1.) JB-Test für ˆϱ lehnt auch bei ϱ =.5 Normalvtlg ab; kein Widerspruch zu ZGWS, da T = noch relativ klein war. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 5 Dickey-Fuller-Test auf Ablehnung Unit-Root (Grundstruktur II) Nochmal: DF-Test: Suche nach Evidenz für ϱ < 1 im AR(1)-Modell y t = α + ϱy t 1 + ε t. Dazu wird das AR(1)-Modell mit OLS geschätzt und der (einseitige) t-test von H : ϱ = 1 vs. ϱ < 1 durchgeführt. Problem: Unter der Nullhypothese hat die OLS-Schätzung (und damit auch die t- Statistik) nicht die klassischen (asymptotischen) Eigenschaften. Der ZGWS ist dann nicht anwendbar und die Eigenschaften von OLS werden non-standard. Unter H : ϱ = 1 folgt die (mit der normalen Stdfehler-Schätzung ŝe(ˆϱ) gebildete) Teststatistik ˆϱ 1 () ŝe( ˆϱ) nicht einer t-verteilung, sondern der sog. Dickey-Fuller-Verteilung (DF T -Verteilung). Der Dickey-Fuller-Test (DF-Test) auf Stationarität der Zeitreihe y t ist der übliche t-test der Nullhypothese ϱ = 1, mit dem Unterschied, dass die kritischen Werte aus der DF T -Verteilung verwendet werden. Man verwendet also die gleiche Teststatistik wie beim normalen t-test (insbes. die gleiche Stdfehler-Schätzung), nur andere kritische Werte. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 7 Kritische Werte DF-Test (und Vergleich mit Standard t-test) Einige kritische Werte des DF-Tests zum 5%-Niveau: Zahl der Beobachtungen T = 5 T = 1 T = 5 T = kritischer Wert DF T -Vtlg Vgl: kritischer Wert t T -Vtlg (Die Vergleichswerte beziehen sich auf die t-vtlg. im einseitigen Test H : ϱ = 1 vs. H A : ϱ < 1 auf 5%-Niveau; im Betrag sind das die krit. Werte des symmetr. t-tests auf 1%-Niveau) Ablehnung Nullhypothese auf 5%-Niveau, (erst) wenn ˆϱ 1 ŝe(ˆϱ).9 ˆϱ 1.9 ŝe(ˆϱ) DF-Vtlg. statt ˆϱ ŝe(ˆϱ) t-vtlg. Sollte eine Unit-Root vorliegen, würde man mit den krit. Werten aus einer t-verteilung die Unit-Root zu oft ablehnen (öfter als zum Einhalten des Signifikanz-Niveaus erforderlich).

3 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Warum ist der DF-Test gewöhnungsbedürftig? 1. Nullhypothese liegt dort, wo die Eigenschaften der OLS-Schätzung non-standard sind. Für die Ablehnung H müssen extremere kritische Werte verwendet werden als die der klassischen (auf Normalvtlg. bzw. dem ZGWS beruhenden) Statistik. Beim DF-Test suchen wir nach Evidenz für Stationarität, nicht f. Instationarität Wenn wir die H : Instationarität beim DF-Test nicht ablehnen können, haben wir nicht: Evidenz für eine Unit-Root, sondern lediglich: keine Evidenz für keine Unit-Root. Test war dann nur nicht in der Lage, eine UR auszuschließen (hat aber nicht versucht, eine UR zu finden) Warum wird das hier so betont? Weil der DF-Test eine besonders geringe Power (Macht, die Null abzulehnen) hat. Wie bei allen (auch konventionellen) Tests ist die Macht des DF-Tests (Fähigkeit H abzulehnen, wenn sie nicht stimmt) besonders klein bei kleinem Stichprobenumfang T und bei Fehlspezifikation des Modells. Beim DF-Test verschärft sich diese Problematik wegen der extremeren kritischen Werte. Es sind alternative Unit-Root-Tests vorgeschlagen worden (z.b. KPSS), bei denen die Nullhypothese nicht Instationarität (ϱ = 1), sondern Stationarität ( ϱ < 1) lautet. KPSS-Test: Sucht nach Evidenz für eine Unit-Root DF-Test: Sucht nach Evidenz für keine UR Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Beispiel (1a): Einfacher DF-Test für log(sp5) Verwende Daten aus Aufgabe 1 (SP5 Jan. 197 Juni 1993 in monatlicher Frequenz): SP LOGSP DF-Test in Differenzenform: Regressiere log(sp5) t auf log(sp5) t 1 : log(sp5) t =.9. log(sp5) t 1 ˆϱ =.999 (.7) (.1) [1.3] [.5] t-statistik betragsmäßig (zu) klein T = 557, R =. Da.5 >.9: Keine Evidenz für keine Unit-Root (keine Ablehnung H ) auf 5%-Niv. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 9 Dickey-Fuller-Test in Differenzenform Das AR(1)-Modell (y t = α + ϱy t 1 + ε t ) kann man auch so schreiben (ziehe y t 1 ab): }{{} y t = α + θ y t 1 + ε t, θ := ϱ 1 (1 ) y t y t 1 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 11 Beispiel (1b): Einfacher DF-Test für trendbereinigtes log(sp5) RES LOGSP5: Von linearem Trend bereinigtes log(sp5) Zeitreihe mäandriert.5. RES_LOGSP5. LOGSP OLS-Ergebnis ist natürlich ˆθ = ˆϱ 1. Man testet nun H : θ = vs. H A : θ < mit Teststatistik ˆθ / ŝe (ˆθ) Anmerkung: Wie üblicher Test auf Signifikanz von y t 1, allerdings mit DF- statt t-verteilung. Interpretation von θ = ϱ 1: Reversionsrate (Rate, mit der ZR auf ihren Mittelw. revertiert) Der DF-Test sucht nach genügend starker mean-reversion in der ZR, um Unit-Root ablehnen zu können; die Reversionsrate muss dazu besonders groß sein (größer als bei der klassischen asymptotischen Statistik) ( ) DF-Test in Differenzenform: Regressiere RES LOGSP5 t auf RES LOGSP5 t 1 : RES LOGSP5 t =.9.95 RES LOGSP5 t 1 ˆϱ =.995 (.1) (.5) [.3] [ 1.] t-statistik betragsmäßig (zu) klein T = 557, R =.5 Da 1. >.9: Keine Evidenz für keine Unit-Root (keine Ablehnung H ) auf 5%-Niv.

4 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Beispiel (1c): Einfacher DF-Test für log. Wachstumsrate v. SP5 DLOGSP5 := log(sp5) (log.rendite von SP5) Zeitreihe revertiert RES_LOGSP DLOG(SP5) DF-Test in Differenzenform: Regressiere DLOGSP5 t auf DLOGSP5 t 1 : DLOGSP5 t =.5.75 DLOGSP5 t 1 ˆϱ =. (.1) (.1) [3.15] [ 1.] t-statistik betragsmäßig groß T = 55, R =.3 Da 1. <.9: Evidenz für keine Unit-Root (Ablehnung H : UR) auf 5%-Niv. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Augmented-Dickey-Fuller-Test (ADF-Test) Da einfacher DF-Test ungültig wird, wenn kein AR(1)-Prozess vorliegt: Setze nun einen AR(p)-Prozess an: y t = α + ϱ 1 y t ϱ p y t p + ε t (3) Analog zum Übergang von (1) zu (1 ): Der AR(p)-Prozess (3) ist äquivalent zu y t = α + θ y t 1 + δ 1 y t δ p 1 y t (p 1) + ε t (3 ) wobei θ := ϱ ϱ p 1. Charakterist. Polynom des AR-Prozesses (3) hat im Fall θ = die Unit-Root z = 1. Für θ < hat man einen stationären Prozess, während θ = den (real auftretenden) instationären Grenzfall darstellt. Null- und Alternativhypothese analog zum einfachen Test: H : θ = (Prozess ist instationär/hat (einfache) Unit-Root) H A : θ < (Prozess ist stationär/hat keine (einfache) Unit-Root) Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 13 Beispiel (1d): Einfacher DF-Test für Verzinsung T-Bill, I3 I3: Verzinsung der 3-monatigen US-amerikanischen Staatsanleihe (T-Bill); Einheit 1 ˆ= 1% DIVYLD DF-Test in Differenzenform: Regressiere I3 t auf I3 t 1 : 1 1 I I3 t = I3 t 1 ˆϱ =.9 (.39) (.5) [1.] [.1] t-statistik betragsmäßig (zu) klein T = 557, R =. Da.1 >.9: Keine Evidenz für keine Unit-Root (keine Ablehnung H ) auf 5%-Niv. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 15 Test-Statistik und kritische Werte beim ADF-Test Gleiche Test-Statistik DF = ˆθ / ŝe (ˆθ) gleiche kritische Werte Implementierung des Tests (auch in EViews): wie beim einfachen DF-Test Regressiere y t auf y t 1 sowie y t 1,..., y t (p 1) ; Teste die (negative) Signifikanz des Regressors y t 1 mit den kritischen Werten aus der DF-Verteilung (statt t-verteilung). Klar: Im Fall p = 1 reduziert sich der ADF-Test auf den einfachen DF-Test. Daher der Name Augmented Dickey-Fuller -Test = ADF-Test (engl.: to augment = erweitern/vergrößern das ursprüngliche AR(1)-Modell wurde erweitert um zusätzl. erklärende Variablen). Anmerkung: Für die OLS-Schätzung der anderen Koeffizienten δ j (und auch α) gelten die normalen t-statistiken, selbst im instationären Fall. Auch: Normale F -Statistik (z.b. Exklusionstests) bleibt bzgl. dieser Koeffizienten gültig. Allerdings: Korrekte Modellspezifikation (insbes.: korrektes p) wird vorausgesetzt

5 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Zur Wahl/Bestimmung der AR-Ordnung p beim ADF-Test Ordnung p sollte nicht zu klein gewählt werden sonst Fehlspezifikation (führt zu Autokorrelation in Fehlertermen, dann zwei GM-Verletzungen) Ein zu großes p bedeutet zunächst keine Fehlspezifikation (Koeffizienten sind Null) Aber: Macht des Tests nimmt ab (mehr β-fehler), Test tendiert dann dazu, die Nullhypothese Instationarität nicht mehr abzulehnen. Übliche Praxis: Wähle p so, dass ein Informationskriterium minimal wird, z.b. das Akaike-Informationskriterium (AIC) oder das Schwarz/Bayes-Informationkriterium (SIC) (Def. im Anhang) AIC und SIC bestehen aus negativer (log)-likelihood + einem Strafterm für mehr Parameter im Modell. stärkere Bestrafung beim SIC SIC kommt immer zu einer geringeren Zahl von Parametern als AIC Diese Kriterien dürfen nur zum Vergleich verschachtelter Modelle (gleiche erklärte Variable, Hinzu-/Wegnahme erklärender Variablen) verwendet werden, nicht zum Vergleich vollkommen disjunkter Modelle, ähnlich adjustiertem R. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Einschub (zur Orientierung): Differenzieren und Integrieren 1, 9,9 9, 9,7 9, P3 (TBill3 Ausgabepreis) DP3 [=D(P3)] R3 (TBill3 Verzinsung), * (1 - P3(-1))/P3(-1) DR3 [=D(R3)] Den Graphen sieht man das vorraussichtl. Ergebnis der Unit-Root-Test schon an: Für DP3 kann Unit-Root abgelehnt werden, für P3 nicht (ähnlich DR3 und R3) Betrachte DP3, nicht P3 als den Ausgangspunkt. Aus dieser Sicht ist P3 das Integral (die Stammfkt) von DP3 (nicht DP3 die Ableitung von P3) Eine Unit-Root entsteht als Integral eines weißen Rauschens Unter dem Persistenz-Aspekt: Beim Integrieren bleibt die Vergangenheit präsent (und P3 ist integriert, DP3 nicht) Beachte auch: Integration glättet, Differentiation rauht auf Deswegen sehen die Graphen von Unit-Root-Prozessen recht glatt aus. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 17 Beispiel: US-amerik. 3-Monats T-Bills (Quartalsdaten!) 1, 9,9 9, 9,7 9, P3 (TBill3 Ausgabepreis) DP3 [=D(P3)] R3 (TBill3 Verzinsung), * (1 - P3(-1))/P3(-1) DR3 [=D(R3)] Die grundlegende Var. ist P3 = Preis eines T-Bill s mit Zahlung von 1 $ in 3 Monaten Viele daraus abgeleitete rendite-artige Größen : Differenzen (Zuwächse), Zuwachsraten, log-zuwachsrate (typisch: Unit-Root ablehnbar) Zuwachs: dp3 t = P3 t = P3 t P3 t 1 series DP3 = D(P3) relative Änderung der Bondpreise, (P3 t P3 t 1 )/P3 t 1 : (P3 - P3(-1))/P3(-1) log Änderung der Bondpreise, log(p3 t ) log(p3 t 1 ): dlog(p3) Zinssätze, Renditen, Erträge (sind auch Raten, aber häufig: Unit-Root nicht ablehnbar) Risikoloser 3-Monats-Zins R3 t, (1 P3 t 1 )/P3 t 1 :(1 - P3(-1))/P3(-1) Hold-Yield Monate: HY t = (P3 t P t 1 )/P t 1 : (P3 - P(-1))/P(-1) Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 19 Einfacher DF-Test auf Unit-Root in P3 Durchführung des DF-Tests in E-Views: (Zeitreihe anklicken, dann View - Unit Root Test als Level mit Intercept und Lag length: user specified ()) Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on P3 Null Hypothesis: P3 has a unit root Lag Length: (Fixed) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(P3) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1959Q 199Q Included observations: 13 after adjustments Coefficient Std. Error t-statistic Prob. P3(-1) C R-squared.755 Mean dependent var Adjusted R-squared.3931 S.D. dependent var 9.93 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 13.3 Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter. 9.1 F-statistic.139 Durbin-Watson stat.1375 Prob(F-statistic).157 P3 t = 73.9 P3 t 1 (357) (.3) [.5] [.5] T = 13, R =.5 5%-Niveau: t-vtlg. käme zur Ablehnung der H : θ = (krit. Wert ist 1.5 für einseitigen Test) DF-Vtlg. lehnt H : θ = nicht ab (krit. Wert ist. für einseitigen Test) Unit-Root in P3 nicht ablehnbar (5%-Niv.) (Keine Evidenz für keine Unit Root )

6 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie ADF-Test für P3, Lag-Length p aus AIC Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on P3 Jetzt ADF-Test mit p aus AIC (Lag length -- Autom. select.-- AIC). Null Hypothesis: P3 has a unit root Lag Length: 7 (Automatic based on AIC, MAXLAG=1) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(P3) Method: Least Squares Sample (adjusted): 191Q1 199Q Included observations: 11 after adjustments Coefficient Std. Error t-statistic Prob. P3(-1) D(P3(-1)) D(P3(-)) D(P3(-7)) C R-squared.191 Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression.7 Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic 3.11 Durbin-Watson stat.519 AIC führt auf eine lag length von p = 7. Der p-wert beträgt nun 7.% (Bei p = lag der p-wert bei ca 13%) Nullhyp. Unit-Root kann auf keinem vernünft. Sign.Niv. abgelehnt werden (Sign.Niveau müsste > 7.% sein) Keine Evidenz f. keine UR Oder auch: Unit-Root kann nicht (signifikant) ausgeschlossen werden Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Unit-Root-Test für R3 t = (1 P3 t 1 )/P3 t 1 [ ] Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on R3 Null Hypothesis: R3 has a unit root Lag Length: 7 (Automatic based on AIC, MAXLAG=1) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(R3) Method: Least Squares Sample (adjusted): 191Q1 199Q Included observations: 11 after adjustments Coefficient Std. Error t-statistic Prob. R3(-1) D(R3(-1)) D(R3(-7)) C R-squared.1933 Mean dependent var.75 Adjusted R-squared.1331 S.D. dependent var 1.5 S.E. of regression Akaike info criterion 3.33 Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood -1.3 Hannan-Quinn criter F-statistic 3.7 Durbin-Watson stat.7 Unit-Root kann nicht abgelehnt werden. Beachte: R3 t = (1 P3 t 1 )/P3 t 1 ist eine rendite-artige Größe. Was bekomme ich für 1$ heute (Ztpkt t 1) in 3 Monaten (Ztpkt. t) zurück? Auch solche Größen (und nicht nur Level-Größen) weisen häufig Unit-Roots auf. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Unit-Root-Test für P3 ADF-Test auf Differenzen-Stationarität kann ohne explizite Erzeugung der Differenzen durchgeführt werden: Test for unit root: 1st difference (statt: Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DP3 Level). Null Hypothesis: DP3 has a unit root Lag Length: (Automatic based on AIC, MAXLAG=1) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DP3) Method: Least Squares Sample (adjusted): 191Q1 199Q Included observations: 11 after adjustments Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DP3(-1) D(DP3(-1)) D(DP3(-)) C R-squared.5 Mean dependent var.53 Adjusted R-squared.95 S.D. dependent var 5.7 S.E. of regression.797 Akaike info criterion Sum squared resid 33. Schwarz criterion 9.3 Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic 5.7 Durbin-Watson stat.119 Nullhypothese einer Unit-Root wird hochsignifikant abgelehnt. Ähnliche Ergebnisse (hoch-signifik. Ablehnung einer Unit-Root) erhält man, wenn anstatt der absoluten Änderung P3 t der Bondpreise die rel. Änderung der Preise, (P3 t P3 t 1 )/P3 t 1, oder die log-zuwächse log(p3 t ) log(p3 t 1 ) betrachtet werden Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 DF-Test mit deterministischem Trend: Problemstellung Der Einfachheit halber: Betrachte nur das AR(1)-Modell (Fall p = 1). Ausgangspkt: Zwei Arten von Instationarität : (1) determ. Trend, () stochast. Trend. Ziel jetzt: Identifiziere beide Trend-Arten (determin. Trend soll nicht als stochast. identifizert werden) Der DF-Test (mit Interzept α) identifiziert auch determ. Trends, sofern wirklich ein stochast. Trend präsent ist. Betrachte dazu y t = α + θ y t 1 + ε t (1 ) im Fall θ = (stochast Trend liegt vor): Dann reduziert sich (1 ) auf: y t = α + ε t ; OLS-geschätztes ˆα liefert mittlere Zunahme von y t, d.h. den determinist. Trend in y t. Aber: Wenn im AR(1)-Modell wirklich Stationarität vorliegt (θ < ), dann kann der Prozess keinen deterministischen Trend enthalten. Der (A)DF-Test kann keine rein determin. Trends identifizieren (er kann reine stochast. Trends u. eine echte Mischung aus beiden identifizieren, aber keine rein trend-stationären Prozesse.)

7 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie DF-Test mit deterministischem Trend Um den rein trend-stationären Fall identifizieren zu können, wird beim DF-Test mit deterministischem Trend das Modell um einen determin. Term-Term erweitert: y t = α + θ y t 1 + γ t + ε t (1 ) Test auf Präsenz eines stochast. Trends im erweiterten Modell, H : θ = vs. H A : θ < : wie vorher, mit der t-statistik ˆθ/ŝe(ˆθ), aber: es ist eine weitere non-standard-verteilung anzuwenden (nicht die alte DF-Vtlg.); Krit. Wert Ablehn. H (5%-Niveau, T = ) jetzt: -3.1 (Vgl: -. (DF) bzw (standard-t)) Den trend-stationären Fall identifiziert man, wenn die Nullhypothese θ = abgelehnt wird, aber ˆγ signifikant von Null verschieden ist; da wir uns dann im stationären Fall befinden, gilt bzgl. ˆγ die t-verteilung (hier wäre sie selbst im instationären Fall gültig). EViews bietet drei Trend-Optionen beim Unit-Root-Test an: Intercept (nur α, die Variante aus den vorhergehenden Abschnitten); Trend and Intercept (α und γt, die in diesem Abschnitt behandelte Variante); None (weder α noch γt). Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Beispiel zur (rezeptartigen) Identifikation beider Trend-Arten: P3 Schon gesehen: Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on P3 Null Hypothesis: P3 has a unit root Lag Length: (Fixed) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(P3) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1959Q 199Q Included observations: 13 after adjustments Coefficient Std. Error t-statistic Prob. P3(-1) C R-squared.755 Mean dependent var Adjusted R-squared.3931 S.D. dependent var 9.93 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 13.3 Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter. 9.1 F-statistic.139 Durbin-Watson stat.1375 Prob(F-statistic).157 P3 t = 73.9 P3 t 1 (357) (.3) [.5] [.5] T = 13, R =.5 5%-Niveau: DF-Vtlg. lehnt Nullhyp. θ = nicht ab (krit. Wert ist. für einseitigen Test) UR (stochast. Trend) in P3 nicht ablehnbar (Keine Evidenz für keinen stochast. Trend ) Jetzt Annahme: Stochast. Trend tatsächlich präsent in P3 Dann: Interzept α würde Präsenz eines determin. Trends bedeuten t-test für Interzept lehnt H : α = ab Ergebnis: Wir sollten ausgehen von: Sowohl stochast. als auch determ. Trend. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 5 Rezept zur Identifikation beider Trend-Arten (aber unsauber) ADF-Test mit determinist. Trend nachrangig zum ADF-Test mit Interzept durchführen: (1) Zunächst den ADF-Test in der ursprüngl. Form ( nur Interzept ) durchführen. D.h. das Modell y t = α + θ y t 1 + ε t (+ Lags( y t k )) (1) schätzen u. dort Ablehnbarkeit von θ = testen (mit normaler DF-Vtlg!) () Für Schritt () wird das Testergebnis von Schritt (1) als bare Münze genommen: Fallunterscheidung: Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 7 Teil : Kointegrationstheorie Falls im Modell (1) θ = nicht abgelehnt werden kann, von θ = (UR) ausgehen. Dann misst α aus (1) bereits den determ. Trend-Anteil (Test α = mit t-vtlg.!); Falls im Modell (1) θ = abgelehnt werden kann, von θ < (keine UR) ausgehen. Dann den ADF-Test mit Interzept und determin. Trend durchführen, d.h. das Modell y t = α + θ y t 1 + γ t + ε t (+ Lags( y t k )) () schätzen, dort aber nur auf γ testen (mit einfacher t-vtlg.!) Rezept ist problematisch, wenn (1) und () bzgl. UR zu widersprüchl. Ergebnissen kommen.

8 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Integrationsordnung Ausgangspunkt: Die wichtigste und häufigste Transformation zum Erreichen von Stationarität besteht in der Differenzenbildung (häufig der Logarithmen) Grund, warum Differenzenbildung bei vielen ökonom. Größen Stationarität herstellt: Kurzfrist-Änderungen lösen die Persistenz der Vergangenheit auf. Gelegentlich (aber selten) ist eine Zeitreihe aber auch nach Bildung der ersten Differenzen noch nicht stationär (weist nach wie vor Persistenzeffekte auf). In diesem Fall kann man oft durch erneute Differenzenbildung (Übergang zu zweiten Differenzen = Differenzen der Differenzen) Stationarität erreichen. Definition: Eine stochastischer Prozess heißt integriert von der Ordnung d, geschrieben I(d), wenn d-malige Differenzenbildung benötigt wird, um Stationarität zu erreichen. Ein stationärer stochastischer Prozess wird entsprechend auch als I()-Prozess bezeichnet (da -malige, d.h. gar keine, Differenzenbildung benötigt wird, um Stationarität zu erreichen). Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 Ko-Integration Zusammenspiel ökonom. Variablen häufig beschrieben durch Zeitreihen-Paare (x t, y t ), die beide für sich genommen I(1) sind, von denen aber eine (Linear-)Kombination existiert, die I() ist. Definition: Wenn x t und y t beide I(1) sind, aber eine Linearkombination y t β x t =: z t existiert, die I() ist, so sagt man, x t und y t ko-integrieren (oder:... sind ko-integriert ) Intuitionen hinter der Ko-Integration: Aneinander-Bindung mäandrierender Prozesse x t u. y t für sich genommen haben mäandrierendes Verhalten ( ziellos umherwandernd ) Sie bleiben dabei aber aneinander gebunden (Vorstellung: Elastische Leine zwischen x und y) Gemeinsamer stochastischer Trend: In der gemeinsamen Dynamik von x und y gibt es nur einen stochastischen Trend (nicht zwei) (die beiden stochast. Trends in x und y sind nicht unabhängig voneinander) Ko-integrierende Beziehung y = α + β x als stabile Gleichgewichtsbeziehung: Abweichung aus dem Gleichgewichtszustand y t = α + β x t (d.h. z t z) Tendenz zur Rückkehr in den Gleichgewichtszustand y = α + βx (z t revertiert) Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 9 Synonyme für stationärer Prozess (in angewandter Ökonometrie) Folgende Begriffe werden in der angewandten ökonometr. Literat. (fast) synonym verwendet (obwohl sie alle unterschiedliche Aspekte ansprechen): Der Prozess ist stationär (und schwach-abhängig, non-persistent) Der Prozess ist asymptotisch stabil Kleine Änderungen in der Vergangenheit des Prozesses führen langfristig zu keinem grundsätzlich anderen Verhalten, sondern dämpfen sich mit der Zeit raus; Auch: Ein vergangener Schock findet sich gedämpft (nicht ungedämpft oder gar verstärkt) im aktuellen Wert. Der Prozess weist kein persistentes Verhalten auf Korrelation/Zusammenhang mit vergangenenen Werten klingt mit wachsendem zeitl. Abstand ab. Persistentes Verhalten (starke Abhängigkeit gegenwärtiger mit vergangenen Werten, Kurzfrist-Korrelation von fast 1) ist der Hauptgrund für die Nicht-Anwendbarkeit des ZGWS konvent. Inferenzen fehlerhaft. Der Prozess hat keinen stochastischen Trend (kein Random-Walk-Verhalten = Irrfahrt-Verhalten = ziellos umherirrendes Verhalten) Der Prozess hat keine Unit-Root eher der mathem./algebraische Aspekt Der Prozess ist I() (integriert von der Ordnung ) addressiert: Differentiation überflüssig Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 31 Ko-Integration (II) Im x-y-diagramm: x t und y t bewegen sich tendentiell in der Nähe einer Geraden y = α + β x. Im Diagramm von z t = y β x Abweichung vom Kointegrationsgleichgewicht : z t revertiert immer wieder auf sein langfristiges (stationäres, Gleichgewichts)-Mittel 1 1 X (=R3) Y (=R) Beispiele: Z (=R-R3) Y (=R) X (=R3) nur einige, es gibt sehr viele ökonom. Anwendungen Betrunkener (Position x) mit Hund (Position y) an (elastischer) Leine; Durch die Leine wird die Kointegrationsbindung realisiert Zinsätze zu Bonds unterschiedlicher Laufzeit (gezeichnet: R3, R der TBills) In VL: Gegeben R3, R sind I(1), ökonom. Gründe für Koint.-Bindung zwischen ihnen?

9 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 Ko-Integrationstest (bei gegebenem β ) Wir unterstellen im Folgenden, dass wir das potentielle β einer ko-integrierenden Beziehung zwischen x und y schon kennen (und nicht erst selbst noch schätzen müssen) (Es ist naheliegend, die Regressionsbeziehung y t = α + βx t + u t mit OLS zu schätzen; zu beachten ist dabei jedoch, dass y t und x t annahmegemäß nicht stationär sind, d.h. man landet möglicherweise wieder bei non-standard Verteilungen der Teststatistiken.) Also nur: Test des Vorliegens einer ko-integrierenden Beziehung mit gegebenem β (z.b. weil die ökonom. Theorie bereits einen Kandidat für den ko-integrierenden Wert β nahelegt) Man testet, ob eine vorgegebene Beziehung ko-integrierend ist, indem man einen ADF-Test der Störungen (Gleichgew.abweichungen) u t = y t β x t durchführt. In VL: Was ist dabei die Nullhypothese? Für was schafft der Test Evidenz, wenn er sie ablehnt? Wonach sucht der Test eigentlich? (Antwort: nach genügend starkem Reversionsverhalten in u t ) Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 Fehler-Korrektur-Modelle Voraussetzung: Zwei ko-integrierende Zeitreihen x t, y t : x t, y t sind beide instationär, aber z t = y t β x t ist stationär Damit x t u.y t immmer wieder ins Koint.gleichgewicht zurückkehren (damit z t revertiert),... müssen sie sich aneinander anpassen Frage, die von einem Fehler-Korrektur-Modell adressiert wird: Wer trägt mehr zu dieser Anpassung bei, x oder y? Wer trägt mehr zur Aufrechterhaltung der Koint-Beziehung bei, x oder y? D.h.: Treibt x eher y oder treibt y eher x? D.h.: Wer von beiden hat die Lead-Rolle, wer die Lag-Rolle? Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 33 Beispiel für einen Test auf Ko-Integration TBill-Daten aus INTQRT: Wir konnten (mit p-werten.5) die Nullhypothese nicht ablehnen, dass die beiden (annualisierten) Verzinsungen R3 und R des 3- und -monatigen T-Bill s jeweils Realisierungen von I(1)-Prozessen sind, siehe ADF-Tests vorne Als Kandidat für eine ko-integrierende Beziehung zwischen den beiden Variablen kommt der Spread R R3 in Frage (Arbitragefreiheit, Effizienzmarkt usw.) Ein ADF-Test bestätigt, dass wir die Nullhypothese eines I(1)-Prozesses für R R3 auf hohem Niveau (p-wert bei Lags:.) ablehnen können. Die ADF-Tests bestätigen, was wir in den Diagrammen sehen: 1 1 X (=R3) Y (=R) Z (=R-R3) Y (=R) X (=R3) Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 35 Fehler-Korrektur-Modell (für y), Grundstruktur Fehler-Korrektur-Modell (für y) in der Grundstruktur: y t = µ + α (y t 1 β }{{ x t 1 } ) + u t = z t 1 (stationär!) Modell beschreibt, wie eine Störung z t 1 der Langfrist-Beziehung zwischen x und y (der Fehler ) auf das Kurzfrist-Verhalten von y (die Korrektur ) wirkt. Im Kern: mean reversion : Dynamik der Rückkehr von y in die Ko-Integrat.Beziehung Anpassungskoeffizient α = Stärke oder Geschwindigkeit, mit der y in die Langfristbeziehung zu x zurückgezogen wird (adjustment speed, factor loading,...) Der Koeffizient α misst die Adjustierungsrate von y die Stärke bzw. Geschwindigkeit, mit der y sich zum Erreichen eines Gleichgewichtszustands z = z anpasst.

10 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 Fehler-Korrektur-Modell für x und y, Grundstruktur Um auch die Adjust.Rate von x zu ermitteln, betrachte simultan das Modell für x: x t = µ x + α x z t 1 + v t y t = µ y + α y z t 1 + u t Wenn einer der Adjustierungs-Koeffizienten, sagen wir α y, Null ist, dann passt sich zur Rückkehr in einen Gleichgewichtszustand nicht y an x an, sondern zwangsläufig x an y; in diesem Fall kommt y die Lead-Rolle, x die Lag-Rolle zu ( x folgt y oder y treibt x ). Das Umgekehrte gilt, wenn α x =. Wenn (nach Schätzung der Modelle) sowohl α y = als auch α x = abgelehnt werden, wird oft durch Vgl. der t-werte entschieden, z.b. t-wert(ˆα y ) << t-wert(ˆα x ) Lead-Rolle eher bei y Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 3 Beispiel: Fehler-Korr.-Modelle für R3 und R (ganz ohne Lags) Kointegr.Beziehung hier: z t = R t R3 t Schätzung der beiden Grundmodelle: Zins- Spread R3 t =.1.57 (R R3) t 1 R t =.3.93 (R R3) t 1 (.17) (.5) (.17) (.) [.7] [.] [1.5] [.15] T = 13, R =.3 T = 13, R =.37 AdjustierungsKoeffizient von R3: ˆα R3. (.3) AdjustierungsKoeffizient von R ˆα R.9 (.3) insignifikant. 5%-signifikant Zins des -Monats-TBill s passt sich stärker an den des 3-Monats-TBills an als umgekehrt Ergebnisse sprechen für: Lead-Rolle des 3-Monats- gegenüber dem -Monats-TBill Quantitativ: Wenn R t 1 einen Prozentpunkt über R3 t 1 lag, wird sich R t innerhalb des nä. Quartals im Schnitt um.9 Prozentpkte verkleinern,... während sich R3 t advers verhält (sogar noch weiter verkleinert, allerdings nicht statist.signifikant) Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 37 Schätzung der Fehler-Korrektur-Modelle für x und y Die Modelle waren: x t = µ x + α x z t 1 + v t y t = µ y + α y z t 1 + u t Beide Fehler-Korr.-Modelle können separat mit OLS geschätzt werden. Da beide Modelle ausschließlich stationäre Zeitreihen involvieren, sind die Schätzungen unter dem Gesichtspunkt Stationarität? unproblematisch. Andere GM-Annahmen als erfüllt angenommen, greift die normale OLS-Large-Sample-Inferenz. Beachte: Das gilt, obwohl in z t 1 die instationären Level-Größen x t 1, y t 1 stecken. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 39 Fehler-Korr.-Modelle für R3 und R mit falschen Lags Analyse des Modells mit kontemporären x als Regressor für y: Man kommt leicht auf die Idee, auch noch das kontemporäre x t in die Regression für y t hinzuzufügen, in der Grundstruktur also folg. Modell zu verwenden: y t = µ + α z t 1 + γ x t + u t Modell liefert nicht die Adjust.Rate von y! Um zu sehen, was dieses Modell schätzt, unterstellen wir, dass z t einem (stationären) AR(1)-Prozess folgt, d.h. z t = δ + ϱ z t 1 + ε t mit ϱ < 1. Einfache Umformungen von y t β x t = δ + ϱ (y t 1 β x t 1 ) + ε t zeigen, dass dann y t y t 1 = δ + β (x t x t 1 ) (1 ϱ) ( y t 1 β x t 1 ) + εt, also y t = }{{} δ (1 ϱ) z }{{} t 1 + β x }{{} t + ε }{{} t = µ = α =γ =u t { Modell schätzt mit α = (1 ϱ) die Adjustierungsrate der Kointegr.Bez. z Die Schätzung der um die kontempor. x t bzw. y t erweiterten Modelle liefert: R3 t = (R R3) t R t R t =..7 (R R3) t R3 t (.) (.9) (.) (.) (.9) (.) [ 5.] [7.3] [53.] [5.7] [ 7.7] [53.] T = 13, R =.959 T = 13, R =.91 Beachtet man, dass die Autokor. von z t mit z t 1 hier auf ˆϱ.33 geschätzt wird, sind diese Ergebnisse i.w. voraussagbar. D.h. die Schätzungen reproduzieren i.w. die eines AR(1)-Modells für z t. Rückschluss auf Lead-Lag-Beziehungen zwischen R3 und R ist damit nicht möglich (zumindest nicht auf ganz einfache Weise).

11 Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie Anhang: Akaike- u. Schwarz-Informationskriterium (überarbeiten!) Zur Modellauswahl in der Ökonometrie wird oft das Akaike- oder Schwarz-Informationskriterum (AIC bzw. SIC) minimiert. Beide Größen setzen sich zusammen aus (dem Negativen) der mittleren loglikelihood logl (vgl. Abschnitt zur ML-Schätzung) und einem Strafterm, der die Erhöhung der Zahl der Parameter K = p bestraft: AIC = logl N + K, SIC = logl N N + K log(n) N wobei im Kontext des ADF-Tests: N = T = Zahl der Beobachtungen (eigentlich N = T p???) K = p = Zahl der geschätzten Parameter (eigentlich K = p + 1???) Da das SIC eine Erhöhung von K = p stärker bestraft als das AIC, führt das SIC systematisch zu einer kleineren Wahl der Ordnung p als das AIC. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie schreiben als AIC = 1 + log(π) + log(1 R ) + log( Var(y)) + K N SIC = 1 + log(π) + log(1 R ) + log( Var(y)) + K log(n) N Da 1 + log(π) und auch log( Var(y) vollkommen unabhängig vom Modell sind, schreibt sich die zu minimierende Größe als ÃIC = log ( 1 R ) + K N SIC = log ( 1 R ) + K log(n) N Dies ist grundsätzlich nicht anders als beim adjustierten R (als zu maximierendes Zielkriterium), wo auch ein ziemlich willkürlicher Strafterm für die Erhöhung der Zahl der Parameter vom R abgezogen wird. Unit-Root-Tests (und Einführung in Kointegrationstheorie) Folie 1 Im Fall von OLS-geschätzten Regressionsbeziehungen ist (vgl. Abschn. zu ML- Schätzung): logl = N log ( π 1 N û ) N = N ( log ( 1 N û ) log(π) ) wobei û die Residualquadratsumme ist. Einsetzen in die Formeln für AIC bzw. SIC liefert: AIC = 1 + log(π) + log ( 1 N û ) + K N SIC = 1 + log(π) + log ( 1 N û ) + K log(n) N Da R = 1 Var(û)/ Var(y) (1 R ) Var(y) = Var(û) = 1 N û, lässt sich das