Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Transkript

1 7. Vorlesung

2 Bemerkung: Sei X = X 1,..., X n Zufallsvektor. Der n dimensionale Vektor EX = EX 1,..., EX n ist der Erwartungswert des Zufallsvektors X. Beispiel: Seien X, Y N0, 1. X, Y sind die Koordinaten eines zufälligen Punktes in der Ebene. Sei K ein zufälliger Kreis, so dass X, Y K und 0, 0 ist der Mittelpunkt des Kreises K. Man bestimme den Erwartungswert für den Flächeninhalt des Kreises K!

3 In Satz 27: Der Erwartungswert der stetigen ZG gx mit g : R R ist EgX = gxf X xdx, wenn gx f X xdx < gilt f X ist die Dichtefunktion von X. gz = z EX 2 E[gX ] = E[X EX 2 ] gz = z n E[gX ] = E[X n ] Definition 28 Sei X diskrete oder stetige Zufallsgröße. V X = E[X EX 2 ] StX = V X EX n Varianz bzw. Streuung, Standardabweichung, n-tes Moment, der Zufallsgröße X, n = 1, 2,...

4 Die Varianz bzw. Standardabweichung kann als Kennzahl für die Größe der Fluktuationen Streuung der ZG X um den Erwartungswert EX interpretiert werden. Matlab/Octave: mean, var, std

5 Satz 29 Eigenschaften der Varianz: 1 V X = EX 2 EX 2. 2 V ax + b = a 2 V X a, b R. 3 Sind X und Y unabhängige ZG diskret oder stetig, V X + Y = V X + V Y.

6 Mittelwert EX, Varianz V X, Standardabweichung StX in Matlab/Octave Werte der ZG X seien x = [x 1,..., x n ] varx, 1 = 1 n n i=1 meanx = 1 n x x n meanx EX wenn n groß ist x i meanx 2, varx = 1 n 1 n x i meanx 2 varx, 1 V X, varx V X wenn n groß ist n 2 stdx, 1= x i meanx 2 1 n 2, stdx= x i meanx 2 n n 1 i=1 i=1 i=1 stdx, 1 StX, stdx StX wenn n groß ist

7 Übungen: Man zeige: X Binon, p EX = np, V X = np1 p X Geop EX = 1 p p, V X = 1 p X Unif [a, b] EX = a+b b a2 2, V X = 12 X Expλ EX = 1 λ, V X = 1 λ 2 X Nm, σ 2 EX = m, V X = σ 2 p 2

8 Definition 30 covx, Y = E X EX Y EY ist die Kovarianz der Zufallsgrößen X und Y. Korrelationskoeffizient Pearson der ZG X und Y ist ρx, Y = covx, Y, V X V Y falls covx, Y, V X, V Y existiert und V X 0, V Y 0. Kovarianz covx, Y in Matlab/Octave: Werte der ZG X, Y seien x = [x 1,..., x n ] bzw. y = [y 1,..., y n ] man bezeichne: CV := 1 n x i meanxy i meany n in Matlab/Octave: i=1 covx, y, 1 = varx, 1 CV CV vary, 1

9 Korrelationskoeffizienten werden berechnet, um die Stärke des Zusammenhangs zweier metrischen Variablen zu bestimmen. Dieser Korrelationskoeffizient kann nur lineare Zusammenhänge erkennen ρx, Y 0: es lässt sich kein Zusammenhang erkennen; die Variablen sind unkorreliert z.b. X Hausnummer und Y Körpergrösse einer Person ρx, Y > 0: positive Korrelation; größere Werte von X gehen dann einher mit größeren Werten von Y z.b. X Körpergrösse und Y Schuhgröße einer Person; größere Menschen haben meistens auch größere Schuhe ρx, Y < 0: negativ Korrelation, dann hängen grössere Werte von X mit niedrigeren Werten für Y und umgekehrt zusammen z.b. X Anzahl der Skiurlauber, Y Aussentemperatur; bei niedrigeren Temperaturen sind mehr Skiurlauber ρx, Y = 1 Y hängt linear von X ab.

10 Beispiel Korrelationskoeffizient

11 Beispiel Korrelationskoeffizient

12 Satz 31 Sind X, Y ZG diskret oder stetig, dann gilt: 1 covx, X = V X. 2 covx, Y = EX Y EX EY. 3 V ax + by = a 2 V X + b 2 V Y + 2ab covx, Y a, b R. 4 1 ρx, Y 1. 5 ρx, Y = 1 Y hängt linear von X ab.

13 Definition 32 X n n ist eine Folge von unabhängigen ZG, wenn {i 1,..., i k } N die ZG X i1,..., X ik sind unabhängig, d.h. PX i1 x i1,..., X ik x ik = PX i1 x i1 PX ik x ik x i1,..., x ik R. Zum Beispiel: ZG X n = die angezeigte Zahl im n-ten Wurf eines Würfels X n n ist eine Folge von unabhängigen ZG

14 Definition 33 Die Folge X n n von ZG konvergiert fast sicher zur ZG X, wenn Bezeichnung: X n f.s. X Pω Ω : lim n X nω = X ω = 1. Beispiel: 1 1 X n n n Pω Ω : lim n X nω =??? = 1.

15 Beispiel: Ω := [0, 1] Grundraum, sei P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0, 1], d.h. für alle α < β aus [0, 1] berechnet man P [α, β] = P [α, β = P α, β] P entspricht dem Lebesgue Maß auf [0,1] = P α, β := β α X n ω = ω+ω n, ω [0, 1], n 1 Pω Ω : lim n X nω =??? = 1. Sei X ω = ω für alle ω Ω { ω für ω [0, 1 lim X nω = n 2 für ω = 1 {ω Ω : lim n X nω = ω} = [0, 1 Pω Ω : lim n X nω = X ω = P[0, 1 = 1

16 Das starke Gesetz der großen Zahlen SGGZ Definition 34 Die Folge von ZG X n n mit E X n < für alle n N erfüllt das starke Gesetz der großen Zahlen SGGZ wenn 1 n P ω Ω : lim X k ω EX k = 0 = 1. n n k=1

17 Das Starke Gesetz der großen Zahlen SGGZ Satz 35 Sei X n n Folge von unabhängigen ZG mit E X n < für alle 1 n N und n 2 V X n < X n n erfüllt das SGGZ, also P n=1 1 ω Ω : lim n n n k=1 X k ω EX k = 0 = 1, d.h. 1 n n k=1 f.s. X k EX k 0.

18 Beispiel: Sei X n n eine Folge von unabhängigen ZG mit X n N0, σn 2 mit σ n = n. Es gilt EX n = 0 und V X n = σn n 2 V X n < und n=1 anhand des Satzes 35 folgt 1 n P ω Ω : lim X k ω = 0 = 1, n n d.h. X n n erfüllt das SGGZ! k=1 Interpretation: 1 n X X n 0, wenn n hinreichend groß ist!

19 Simulations für das vorige Beispiel: SGGZ clear all n=1000; for i=1:n xi=normrnd0,1+1/i; end meanx >> ans =

20 Das Starke Gesetz der großen Zahlen SGGZ Satz 36 Sei X n n Folge von unabhängigen ZG mit der gleichen Verteilung wie eine ZG X d.h. EX n = EX für alle n N X n n erfüllt das SGGZ, d.h. 1 P ω Ω : lim n n X 1ω X n ω = EX = 1, d.h. 1 n n k=1 X k f.s. EX. In der Praxis: 1 n X X n EX, wenn n hinreichend groß ist!

21 Würfeln: Matlab Simulation Gesetz der großen Zahlen clear all clf hold on n=350; x=unidrnd6,1,n; for i=1:n si=sumx1:i/i; yi=i; plotyi,si, b. plotyi,3.5, g- end ploty,s, r- xlabel Anzahl W"urfe ylabel Durchschnittliche Summe der Zahlen

22 Gesetz der großen Zahlen

23 Relative und absolute Häufigkeit Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal unter denselben gegebenen Bedingungen; man bezeichnen mit k n A wie oft das Ereignis A auftaucht; die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl h n A = k na ; die absolute Häufigkeit des Ereignisses A ist die n Zahl k n A. Experiment: Man wirft n mal eine Münze; A: man erhält Zahl n Anzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Durchführungen Exp. k n A h n A Es gilt: h n A 1 2 wenn n hinreichend groß ist! siehe Satz 37

24 Satz 37 Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal unter denselben gegebenen Bedingungen. Das Gesetz der großen Zahlen: je öfter man das Zufallsexperiment durchführt also je größer n, desto besser approximiert die relative Häufigkeit h n A des Ereignisses A seine echte Wahrscheinlichkeit PA: P ω Ω : lim h na = PA = 1, n d.h. h n A f.s. PA. In der Praxis: h n A PA, wenn n hinreichend groß ist!