2. Elastische Bettung
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- Ida Kaufer
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1 Baustatik (Master) - WS17/18 2. Elastische Bettung 2.1 Bauwerk-Baugrund-Interaktion 2.2 Steifemodul und Bettungsmodul 2.3 Differentialgleichung elastisch gebetteter Balken 2.4 Lösung der Differentialgleichung 2.5 Beispiele LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1
2 Baustatik (Master) - WS17/ Bauwerk-Baugrund-Interaktion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 2
3 Tragwerk Das gesamte Tragwerk besteht aus dem Bauwerk und dem Baugrund bzw. Boden! Bauwerk Bauwerk Überbau Gründung Tragwerk Gründung Baugrund (Boden) Baugrund LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 3
4 Tragwerk Die Einwirkungen bzw. Belastungen aus dem Überbau werden über die Gründung in den Baugrund weitergeleitet. Dadurch entstehen Verformungen bzw. Setzungen im Baugrund, die sich wiederum auf das statische Verhalten des Bauwerks auswirken. Man spricht daher von Bauwerk-Baugrund- Wechselwirkung bzw. Bauwerk-Baugrund-Interaktion. Die Steifigkeitsverhältnisse zwischen dem Bauwerk und dem Boden spielen dabei eine entscheidende Rolle. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 4
5 Beispiele für Bauwerk-Baugrund-Interaktion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 5
6 Beispiele für Bauwerk-Baugrund-Interaktion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 6
7 Einfluss unterschiedlicher Bodensteifigkeiten Peter Bindseil: Massivbau, 3. Auflage, Vieweg, LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 7
8 Einfluss unterschiedlicher Überbausteifigkeiten Peter Bindseil: Massivbau, 3. Auflage, Vieweg, LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 8
9 Berechnungsmodelle Da die Eigenschaften des Bodens im Allgemeinen sehr kompliziert sind, ist eine genaue Erfassung der Bauwerk-Baugrund-Interaktion sehr aufwendig. Daher sind vereinfachte Berechnungsmodelle erwünscht. Zur Vereinfachung können Näherungsmodelle für den Baugrund bzw. Boden eingeführt werden, welche für die baupraktischen Anwendungen ausreichend genau sind. Zwei Näherungsmodelle bzw. verfahren: 1.) Bettungsmodul-Verfahren (Winkler, 1867) 2.) Steifemodul-Verfahren LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 9
10 Bettungsmodul-Verfahren 1.) Bettungsmodul-Verfahren (Winkler, 1867) Dabei wird der Boden durch kontinuierlich verteilte, aber unabhängige linearelastische Federn ersetzt bzw. approximiert. F Boden F c i w σ = c w LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 10
11 Bettungsmodul-Verfahren Annahme: Keine Koppelung zwischen den einzelnen Federn. Wird die i-te Feder belastet, werden die anderen Federn nicht dadurch beansprucht. Nachteile: Setzungsmulde kann in diesem Verfahren nicht richtig beschrieben werden. Kein Einfluss auf den Nachbarbaugrund neben dem Fundament. Sonderfall: Spannungstrapezverfahren Bei sehr steifen Fundamentbalken kann eine lineare Verteilung der Bodenpressung unter dem Fundament angenommen werden. Diese Vereinfachung kann z. B. bei kurzen Fundamentbalken getroffen werden. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 11
12 Spannungstrapezverfahren R M σ 1 Bodenpressung Boden σ 2 Die zwei unbekannten Randspannungen können aus den zwei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. σ 1 und σ 2 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 12
13 Spannungstrapezverfahren LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13
14 Steifemodul-Verfahren 2.) Steifemodul-Verfahren: Zwei Varianten Boden wird als ein linear elastischer und isotroper Halbraum modelliert. Boden wird durch kontinuierlich verteilte, aber miteinander gekoppelte (abhängige) linear-elastische Federn ersetzt bzw. approximiert. F Boden Setzungsmulde F Elastischer Halbraum c i w LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 14
15 Steifemodul-Verfahren Annahme: Koppelung zwischen den einzelnen Federn. Wird die i-te Feder belastet, dann werden die anderen Federn auch dadurch beansprucht. Vorteile: Setzungsmulde kann in diesem Verfahren näherungsweise beschrieben werden. Auch der Einfluss auf den Nachbarbaugrund neben dem Fundament berücksichtigt werden. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 15
16 Gegenüberstellung: Bettungsmodulverfahren und Steifemodulverfahren Spannungstrapez- Verfahren Bettungsmodul- Verfahren Steifemodul- Verfahren Boden Unabhängige Federn Unabhängige Federn Abhängige Federn / Elastischer Halbraum Annahme σ B linear σ = c w B E ( z) = E = const. s s Berechnung Handrechnung Stabtragwerk / Platte Numerische Methoden (FEM) Steigende Realitätsnähe und Komplexität LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 16
17 Bemerkungen Zwischen dem Bauwerk und dem Baugrund sollen nur Druckspannungen auftreten. Zugspannungen können nicht vom Boden aufgenommen werden. Falls Zugspannungen auftreten, dann entsteht eine klaffende Fuge. Die Federn müssen dann im Zugspannungsbereich in der Berechnung ausgeschaltet werden. Eine klaffende Fuge zwischen dem Bauwerk und dem Boden (mit Zugspannungen bzw. negativen Bodenpressungen) ist bei Teillastzuständen zulässig. Im endgültigen Zustand nach der Superposition der Teillastzustände ist eine klaffende Fuge aber nicht zulässig. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 17
18 Baustatik (Master) - WS17/ Steifemodul und Bettungsmodul LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 18
19 Steifemodul Steifemodul: E s Steifemodul ist eine reine Bodenkenngröße! Oedometerversuch: σ ε Diagramm zz zz arctan( E s ) ε zz z x σ = E ε zz s zz σ zz Steifemodul = Steigung des Spannungs- Dehnungs-Diagramms! Es 1 ν E = 3 K; K = 1+ ν 3(1 2 ν ) K : Kompressionsmodul LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 19
20 Bettungsmodul Bettungsmodul: c Plattendruckversuch: Diagramm σ w arctan( c) σ σ w w Bettungsmodul = Steigung des Druck-Setzungs- Diagramms! σ = c w LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 20
21 Bemerkungen Bettungsmodul c ist proportional zum Steifemodul E s. Bettungsmodul c ist keine Bodenkenngröße mehr. c ist abhängig von: Form des Fundaments (Kreisfundament, Rechteckfundament, etc.). Größe des Fundaments. Fundamentlasten. Belastungen aus der Nachbarschaft. Schichtung des Baugruns. Zahlenbeispiele für Steifemodul und Bettungsmodul: LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 21
22 Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul 1.) Kreisplatten Kreisplatte mit einer Steifigkeit, die eine gleichmäßig verteilte Bodenpressung erzeugt: c = 1,39 E s A A Kreisplatte mit einer unendlich großen Steifigkeit: c = 1,50 E s A LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 22
23 Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul 2.) Rechteckplatten Rechteckplatten mit einer Steifigkeit, die eine gleichmäßig verteilte Bodenpressung erzeugt. l b l > b Nach de Beer c = 1,33E s lb 3 2 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 23
24 Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul Nach Dimitrov c = b ρ E s ( 2 1 ν ) Formbeiwert ρ : Querkontraktionszahl ν : Sand- und Kiesböden: ν =0,125 bis 0,50 Tonböden: ν =0,20 bis 0,40 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 24
25 Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul Nach DIN 4019 c = bf E s ( s,0) Setzungsbeiwert f (s,0) : LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 25
26 Bemerkungen Der Setzungsbeiwert f (s,0) ist abhängig vom Seitenverhältnis l/b und Tiefenverhältnis z/b, wobei z die Dicke der wirksamen Bodenschicht ist. Gemäß DIN 4019 kann die Tiefe z auf z=2b begrenzt werden, falls die Bodenschichtdicke größer als 2b ist. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 26
27 Zahlenbeispiel Rechteckplatte l = 15 m, b = 1m l b Boden 1: Sand/Kies E = s 2 100MN/m Boden 2: Ton E = s 2 20MN/m Dicke der wirksamen Bodenschicht: z / b = 10 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 27
28 Zahlenbeispiel Bettungsmodul in MN/m 2 : Boden de Beer Dimitrov DIN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 28
29 Baustatik (Master) - WS17/ Differentialgleichung elastisch gebetteter Balken LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 29
30 Elastisch gebettete Balken Definition: Balken, die unmittelbar auf einem nachgiebigen Baugrund liegen, werden als elastisch gebettete Balken bezeichnet. Annahmen: Querschnitt ist dehn- und schubstarr, d.h., EA = =, GAs Euler-Bernoulli-Balken (siehe TM II!) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 30
![Bettungsmodul: c [kn/m ]](/docs-images/76/73662053/images/31-3.jpg "Bodenpressung: p ( x)= σ b B")
31 Elastisch gebettete Balken 2 Flächenlast: q( x, y) [kn/m ] b l 3 Bettungsmodul: c [kn/m ] Bodenpressung: p ( x)= σ b B LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 31
32 Elastisch gebettete Balken Flächenlast: 2 q( x, y) [kn/m ] Linienlast: q( x) = q( x, y) b [kn/m] Bettungsmodul: Flächige Bodenpressung: c 3 [kn/m ] σ = 2 ( x, y) c w [kn/m ] Linienförmige Bodenpressung: p( x) = σ ( x, y) b = cb w = k w [kn/m] Federkonstante (Linienfeder): k = cb 2 [kn/m ] LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 32
33 Differentialgleichung q( x) q( x) p( x) p( x) Bodenpressung entlastet den Balken! IV Aus TM II: EIw = q( x) p( x) IV EIw + p( x) = q( x) IV EIw + kw( x) = q( x) IV w + 4 λ w( x) = q( x) EI 4 1 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 33 p( x) λ = = k w k 4 4 EI Differentialgleichung für elastisch gebetteten Balken!
34 Differentialgleichung Abklingkonstante: λ = 4 4 k EI Bemerkungen: Die Lösung der Dgl. w(x) ist abhängig von l. Schwankungen in der Bettungszahl c haben nur einen relativ kleinen Einfluss auf l uns damit auf w(x), da c bzw. k unter der vierten Wurzel steht. In der Praxis ist es sinnvoll, 2 Grenzfälle zu betrachten: Kleinste c : Größte c : Größte Biegemomente Größte Bodenpressungen. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 34
35 Baustatik (Master) - WS17/ Lösung der Differentialgleichung Homogene Lösung Partikuläre Lösung Rand- und Übergangsbedingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 35
36 Lösung der Differentialgleichungen Differentialgleichung: Durchbiegung: IV w + 4 λ w( x) = q( x) EI 4 1 w( x) Drehwinkel: ϕ ( x) = w ( x) Biegemoment: Querkraft: Bodenpressung: M ( x) = EI w ( x) Q( x) = M ( x) = EI w ( x) p( x) = k w( x) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 36
37 Differentialgleichung: Gesamtlösung: Homogene Lösung: Homogene Lösung λx [ λ λ ] w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) h IV w + 4 λ w( x) = q( x) EI λx 4 1 w( x) = w ( x) + w ( x) h 1 2 [ cos( λ ) sin( λ )] + e A x + A x p 3 4 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 37
38 2.4.1 Homogene Lösung Bemerkung: Der erste Anteil der Lösung klingt mit x von links nach rechts ab, weil der zweite Anteil von rechts nach links abklingt! l x x λx λ ( l x ) [ λ λ ] w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) h 1 2 [ cos( λ( )) sin( λ( ))] + e A l x + A l x 3 4 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 38
39 2.4.1 Homogene Lösung e e λx λx cos( λx) bzw. sin( λx) Periode: λ T π 2 = 2 T = =8,9 π Je steifer der Balken bzw. je weicher der Boden, desto größer ist die Periode T! λ 4 EI k LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 39
40 2.4.1 Homogene Lösung Abklingverhalten: 0 0 λ ( x+ T ) a e = = = = 0,002 = 0,2% a e λx e λt e 2π λ ( x+ T /2) a e 1 1 1/2 = = = = 0,04 = 4% a e λx e λt /2 e π Die Amplitude ist nach einer halben Periode T/2 bis auf 4% abgeklungen! LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 40
41 2.4.2 Partikuläre Lösung Die partikuläre Lösung kann mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite gewonnen werden. Für eine Lastfunktion als Polynom bis zum 3. Grad gilt: q( x) = a + a x + a x + a x w p ( x) q( x) q( x) = = 4λ 4 EI k LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 41
42 2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen Die 4 Intergationskonstanten A 1 bis A 4 in der homogenen Lösung können aus den Randbedingungen oder Übergangsbedingungen bestimmt werden. An jedem Rand stehen 2 Randbedingungen oder Übergangsbedingunmgen zur Verfügung. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 42
43 2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 43
44 2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 44
45 Bemerkungen Bei sehr langen Balken unter einer Einzellast: In diesem Fall sind die beiden Lösungsanteile der homogenen Lösung entkoppelt und können daher getrennt betrachtet werden. Physikalisch bedeutet dies, dass die von der Einzellast F ausgehenden Lösungen der homogenen Lösung am anderen Balkenende praktisch abgeklungen sind. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 45
46 Bemerkungen Bei sehr langen Balken unter einer Randlast: F l x x π x> π λ λ w( x) 0 w( x) 0 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 46
47 Bemerkungen Bei sehr langen Balken unter einer Innenlast: l F x x > π λ a π π b x> π λ λ λ w( x) 0 w( x) 0 w( x) 0 w( x) 0 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 47
48 Einflusslinien für eine Einzelkraft Die Lösungen für eine Einzellast werden als Einflußlinien bezeichnet. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 48
49 Einflusslinien für eine Einzelkraft Durchbiegung LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 49
50 Einflusslinien für eine Einzelkraft Drehwinkel LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 50
51 Einflusslinien für eine Einzelkraft Biegemoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 51
52 Einflusslinien für eine Einzelkraft Querkraft LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 52
53 Einflusslinien für eine Einzelkraft: Tabelle LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 53
54 Einflusslinien für ein Einzelmoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 54
55 Einflusslinien für ein Einzelmoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 55
56 Einflusslinien für ein Einzelmoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 56
57 Einflusslinien für ein Einzelmoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 57
58 Einflusslinien für ein Einzelmoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 58
59 Einflusslinien für ein Einzelmoment: Tabelle LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 59
60 Baustatik (Master) - WS17/ Beispiele LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 60
61 Beispiel 1: Konstante Streckenlast M = 0 Q = 0 q( x) M Q = = 0 0 = q 0 Lösung: w = w = p Die Gesamtlösung ist gleich der partikulären Lösung, da die RB automatisch erfüllt sind! M Q q k 0 = EIw = = EIw = 0 0 p( x) = p 0 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 61
62 Lösung: M Q Beispiel 2: Lineare Streckenlast = = q( x) q q q( x) = a + a x 0 1 w = w = p q( x) k Die Gesamtlösung ist gleich der partikulären Lösung, da die RB automatisch erfüllt sind! M Q = EIw = = EIw = 0 0 M Q = = 0 0 p( x) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 62
63 Beispiel 3: Stützenlast F M M = 0 M = 0 M = 0 M = 0 Q = 0 Q = 0 Q = 0 Q = 0 Lösung: q( x ) = 0 w p = 0 w( x) = w ( x) h Die Gesamtlösung ist gleich der homogenen Lösung! LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 63
64 Beispiel 4: Einzellast M = 0 Q = 0 F Lösung: q( x ) = 0 RB: w (0) = 0 Q(0) = F 2 M = 0 Q = 0 Wegen Symmetrie! w p = 0 [ λ λ ] λx w( x) = w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) A h = A = 1 2 Fλ 2k F 2 w (0) = 0 F Q(0) = x LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 64
65 Beispiel 4: Einzellast Fλ 2k λx Durchbiegung: w( x) = e [ cos( λx) + sin( λx) ] Drehwinkel: 2 Fλ λ ϕ( x) = w ( x) = e x sin( λx) k Biegemoment: λx M ( x) = EIw ( x) = e [ cos( λx) sin( λx) ] F 4k Querkraft: Bodenpressung: F λx Q( x) = EIw ( x) = e cos( λx) 2 Fλ λx p( x) = k w = e cos( x) + sin( x) 2 [ λ λ ] LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 65
66 Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand F l > π λ x M(0) = 0 Q(0) = F Lösung: q( x ) = 0 w p = 0 [ λ λ ] λx w( x) = w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) h 1 2 RB: M(0) = 0 Q(0) = F A 2Fλ =, A = 0 k 1 2 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 66
67 Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand Durchbiegung: 2Fλ λx w( x) = e cos( λx) k 2 2Fλ k λ Drehwinkel: ϕ( x) = w ( x) = e x [ cos( λx) + sin( λx) ] Biegemoment: F λ M ( x) = EIw ( x) = e x sin( λx) λ Querkraft: [ λ λ ] λx Q( x) = EIw ( x) = Fe cos( x) sin( x) Bodenpressung: λx p( x) = k w = 2Fλe cos( λx) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 67
68 Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand Durchbiegung k w( x) 2Fλ Biegemoment λ M ( x) F Querkraft 1 F Q( x) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 68
ELASTISCHE BETTUNG (ZUSAMMENFASSUNG) y z
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