Dynamische Analyse und infinite Elemente in Abaqus

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Karoline Becke
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1 Dynamische Analyse und infinite Elemente in Abaqus nach Abaqus-Dokumentation C. Grandas, A. Niemunis, S. Chrisopoulos IBF-Karlsruhe Karlsruhe, 2012

2 Infinite Elemente (1) Infinite Elemente simulieren das Verhalten des Halbraumes. Ihre Aufgabe ist, die Reflexionen von Wellen am Rand des finiten elmenten Neztes zu vermeiden. Unter dynamischen Anregungen basiert sich ihre Formulierung auf die Antwort eines isotropen elastischen Materials auf die Ausbreitung von ebenen Wellen (Lysmer 1969). Aus erhalten wir T ij,j = ρü i Impulsbilanz (1) T ij = (λδ ij δ kl + 2GI ijkl ) ɛ kl isotrop. Elastizität (2) ɛ kl = 1 2 (u k,l + u l,k ) Kinematik (3) ρü i = (λ + G) u j,ij + Gu i,jj (4) Wobei λ, G elastische Konstanten, ρ die Wichte des Materials, ü i die Beschleunigung und u i die Verschiebung sind.

3 Dynamische Antwort von infiniten Elementen (2) Betrachten wir nun Raumwellen, die sich in x 1 Richtung ausbreiten, d.h.,1 0,,2 = 0,,3 = 0 (5) Damit können wir die Gl. (4) als drei skalare Gleichungen schreiben ρü 1 = (λ + G) (u 1,11 + u 2,12 + u 3,13) + G (u 1,11 + u 1,22 + u 1,33) = (λ + 2G) u 1,11 Druckwelle (6) ρü 2 = (λ + G) ( u 1,21 + u 2,22 + u 3,23) + G (u 2,11 + u 2,22 + u 2,33) = Gu 2,11 Scherwelle (7) ρü 3 = (λ + G) ( u 1,31 + u 2,32 + u 3,33) + G (u 3,11 + u 3,22 + u 3,33) = Gu 3,11 Scherwelle (8)

4 Dynamische Antwort von infiniten Elementen (3) Mit Hilfe von Mathematica kann man die Lösung der Druckwellegleichung ρü 1 = (λ + 2G) u 1,11 (Gl. (6)) finden DSolve[\[Rho] D[u[x,y,z,t],t,t] == (\[Lambda]+2G) D[u[x,y,z,t],x,x],u[x,y,z,t],{t,x}] u 1(x 1, t) = f I (x 1 c pt) + f R (x 1 + c pt) und u 2 = u 3 = 0 (9) λ+2g mit c p =. Analog kann man die Lösungen für die ρ Scherwellengleichungen ρü 2 = Gu 2,11 (Gl. (7)) mit c s = u 2(x 1, t) = f I (x 2 c st) + f R (x 2 + c pt) und u 1 = u 3 = 0 (10) G ρ und ρü3 = Gu3,11 (Gl. (8)) u 3(x 1, t) = f I (x 3 c st) + f R (x 3 + c pt) und u 1 = u 2 = 0 (11) finden. Die Funktionen f I und f R sind beliebig und beschreiben Wellen, die in die positive bzw. negative Richtung von x 1 mit Geschwindigkeit c p oder c s laufen. c p und c s sind die Wellengschwindigkeiten von Druck- bzw. Scherwellen.

5 Dynamische Antwort von infiniten Elementen (4) Die Funktionen f I und f R können beliebig sein. Z.B. Sinus-Funktionen f I = sin (x 1 c pt) f R = sin (x 1 + c pt)

6 Dynamische Antwort von infiniten Elementen (5) oder logarithmisch f I = ln (x 1 c pt) f R = ln (x 1 + c pt)

7 Dynamische Antwort von infiniten Elementen (6) Betrachten wir nun ein Gebiet x 1 < L, das mit finiten Elementen modelliert ist. Nach Gl. (9) ist die Verschiebung u 1 = f I (x 1 c pt) + f R (x 1 + c pt) (12) Ebene Druckwellen, die den Rand x 1 = L nähren, haben die Form der Funktion f I. Wenn sie am Rand als ebene Druckwellen reflektieren, laufen sie vom Rand weg zurück in das Gebiet x < L mit der Form f R. In diesem Gebiet ist die Spannung (nach Gl. (2)) σ A 11 = (λ + 2G) u 1,1 = (λ + 2G) (f I + f R) (13) Am Rand des Gebietes x 1 = L wird nun eine gleichmäßig verteilte Dämpfung eingeführt σ B 11 = d p u 1(x 1 = L) mit u 1 = c p( f I + f R) (14)

8 Dynamische Antwort von infiniten Elementen (7) Da bei x 1 = L beide Spannungen gleich sein müssen σ11 A = σ11, B bekommt man σ A = (λ + 2G) (f I + f R) ( d pc p f I f R ) = σ B (15) [(λ + 2G) d pc p] f I + [(λ + 2G) + d pc p] f R 0 (16) Damit die unerwünschten Reflektionen verschwinden, d.h. f R 0 (und auch f R 0), für beliebiges f I, soll die eingeführte Dämpfung so gewählt sein, dass (λ + 2G) d pc p = 0 und (λ + 2G) + d pc p 0 Mit c p = (λ + 2G) /ρ aus Gl. (9) bekommt man d p = ρc p (17) Analog kann man die geeignete Dämpfung für die Scherwellen d s = ρc s (18)

9 Infinite Elemente (8) Die perfekte Beseitigung von reflektierten Raumwellen mit den infiniten Elementen in Abaqus erfolgt, wenn die Wellen sich senkrecht zum Rand ausbreiten und wenn das Verhalten des Materials in der Nähe des Randes isotrop elastisch ist. I.d.R. hat man aber Raum- und Oberflächewellen alle mögliche Ausbreitungsrichtungen nicht linearen Materialen In allgemein wird eine gute Beseitigung von Reflektionen erreicht, wenn die infiniten Elementen bei einer angemessener Entfernung von der Region Hauptinteresse platziert werden (wo auch die Materialantwort in etwa linear ist). wenn die dominante Ausbreitungsrichtung der Wellen in etwa senkrecht zum Rand ist.

10 Beispiel: Druckwelle in Zeitdomain (9) Die Ausbreitung einer ebenen Druckwelle in elastischem Material wird simuliert. L 1 L 2 u 1 (t) h Finite Elemente Infinite Elemente Geometrie: L 1 = 150 m, L 2 = 20 m, h = 20 m Material: E = kpa, ν = , ρ = 2003 Mg/m 3 Belastung: u 1(t) = A sin(ωt), A = m, ω = Rad/s Elemente: Finite: CPE8R, Infinite: CINPE5R

11 Dynamic (10) Das Problem wird in der Zeitdomain gelöst. Dies erfolgt in einem Step mit dem Befehl *Dynamic,alpha=-0.05,haftol= ,0.2,1e-08,0.01 Dabei ist die Länge der Anfangszeitinkrement , die Simulationsdauer 0.2, die kleinste Zeitinkrement 1e 08 und die größte Zeitinkrement Mit der Option alpha=-0.05 (Default) fügt Abaqus eine kleine numerische Dämpfung ein. Mit der Option haftol=700. (wobei 700 in die Einheit von Kraft hat) kontrolliert Abaqus, dass die Residual von Kräften am Knoten in der Mitte des Zeitinkrements kleiner als 700 in bleiben. Je kleiner der Wert von haftol, desto genauer die Ergebnisse sind.

12 Simulation einer Druckwelle in Zeitdomain (11) Ohne infinite Elemente mit infiniten Elementen

13 Simulation einer Druckwelle (12) Die infiniten Elementen funktionieren nicht optimal, wenn die Welle nicht senkrecht zum Rand läuft.

14 Beispiel: Analyse in der Frequenzdomain (13) Untersuchung der Akkumulation von Setzungen infolge der Eindringen von Pfählen. Durch die Vibration F (t) verflüssigt sich der Boden ab einer Abstand r 1 des Pfahlspitzes. Nach der Verflussigung kann die Vibration F (t) als eine Druckwelle Q(t), die ab einer Abstand r 1 des Pfahles wirkt, angesehen werden. GOK F(t) Pfahl Verflüssigungszone u ampl (t)=? r 1

15 Beispiel: Analyse in der Frequenzdomain (14) Die Wellenausbreitung im Boden infolge der Vibration des Pfahles kann als ein kugelsymmetrisches (1 d) Problem vereinfacht werden. Hier wird das Problem mit axial-symmetrischen finiten Elementen simuliert. r 2 r 3 r 1 Q(t) Finite Elemente Infinite Elemente Geometrie: r1 = 0,5 m, r2 = 15 m r3 = 30 m Material: E = kpa n = r = 2003 Mg/m3 Belastung: Q(t) = Q0 sin(wt) Q0 = 100 kpa w = Rad/s, f=34 Hz Elemente: Finite: CAX8R Infinite: CINAX5R

16 Harmonische Belastung (15) Die harmonische Last Q(t) kann mit Hilfe des Befehls *amplitude definiert werden. Q(t) wird als die Summe von sinusoidalen Signalen representiert. Diese Verlauf kann normaliziert werden (max a = 1) und beim Step mit der tatsächlicher Amplitude der Belastung Q 0 multipliziert werden. a = A 0 + N [A n cos nω (t t 0) + B n sin nω (t t 0)] für t t 0 n=1 a = A 0 für t < t 0 Für unsere sinusoidale Belastung Q(t) = Q 0 sin ωt mit frequenz ω = 2πf = Rad/s haben wir: A 0 = 0, N = 1, A 1 = 0, B 1 = 1, ω = , t 0 = 0

17 Steady-State Dynamic (16) Das Problem wird in der Frequenzdomain gelöst. Die Lösung entspricht einer stationäres Antwort des Systems zu der harmonischen Belastung. Dies erfolgt in einem Step mit dem Befehl *Steady State Dynamics, direct, friction damping=no 34., 34., 0, Dabei wird die Antwort des System im Frequenzbereich von 34. bis zum 34. Hz in inkrementen von 0 Hz (also nur für die Frequenz f = 34 Hz) analysiert.

18 Steady-State Dynamic: Ergebnisse (17) Magnitude und Phase der Verschiebung entlang einer radialen Pfad infolge einer harmonischen Druckwelle Magnitude u (mm) Distance (m) Phase angle von u 1 (Deg) Distance (m)

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