2. Finite Elemente. Die Methode der finiten Elemente ist ein spezielles Bubnow-Galerkin-Verfahren:

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1 2. Finite lemente Die Methode der finiten lemente ist ein spezielles Bubnow-Galerkin-Verfahren: Zur Lösung der Gleichung K [ ~ u,u]+d [ ~ u, u]+m [ ~ u, ü]=l[ ~ u ] ~ u wird folgender Ansatz gemacht: u= q n u n, ~ u = ~ q n u n n n Dabei sind u n vorgegebene Ansatzfunktionen, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllen

2 2. Finite lemente Wird der Ansatz eingesetzt und gefordert, dass die entstehende Gleichung für beliebige ~ q n erfüllt ist, ergibt sich ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten q n. Für die Bestimmung der igenschwingungen ergibt sich das gleiche igenwertproblem wie beim Rayleigh-Ritz-Verfahren. Die Methode der finiten lemente ist ein spezielles Bubnow- Galerkin-Verfahren, bei dem die Ansatzfunktionen automatisch generiert werden

3 2. Finite lemente Grundprinzip: Die Struktur wird in lemente unterteilt, deren Geometrie einfach zu beschreiben ist: V V 5.2-3

4 2. Finite lemente Für die Linear- und Bilinearformen folgt: K [ ~ u ~,u]= ϵ :σ dv V M [ ~ u, u]= V L [ ~ u ]= ρ ~ u u dv L [ ~ u ] ~ ϵ : σ dv= K [ ~ u, u] V ρ ~ u u dv= V M [ ~ u,u] Die ckpunkte der lemente werden als Knoten bezeichnet. Die unbekannten Verschiebungen innerhalb eines lements werden durch Interpolation der Verschiebungen an den Knoten des lements dargestellt

5 2. Finite lemente Auf die gleiche Weise werden die virtuellen Verschiebungen durch Interpolation der virtuellen Verschiebungen an den Knoten des lements dargestellt. insetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit führt auf ein Gleichungssystem zur rmittlung der Verschiebungen an den lementknoten

6 2. Finite lemente 2.1 Formulierung eines finiten lements 2.2 Assemblierung 2.3 igenschaften der Matrizen 2.4 Randbedingungen 2.5 Dämpfung 5.2-6

7 2.1 Formulierung eines finiten lements Geometrie: Allgemeine Dreiecke und Vierecke lassen sich durch Abbildungen eines rechtwinkligen Dreiecks bzw. eines Quadrats beschreiben. benso lassen sich Hexaeder, Pentaeder und Tetraeder durch Abbildungen von Körpern beschreiben, deren Flächen rechtwinklige Dreiecke oder Quadrate sind. Die Abbildungen werden durch Interpolationsfunktionen zwischen den Knoten beschrieben: x (ξ, η, ζ)= k N k (ξ, η,ζ) x k 5.2-7

8 2.1 Formulierung eines finiten lements Beispiel: benes Viereck (-1, 1) η (1, 1) y y 3 y y ξ y 2 y (-1, -1) (1, -1) x 1 x 4 x x 3 x 2 x 5.2-8

9 2.1 Formulierung eines finiten lements Für die Koordinaten gilt mit 4 x (ξ, η)= k=1 4 N k (ξ, η) x k, y(ξ, η)= k=1 N k (ξ,η)y k N 1 (ξ,η)= 1 4 (1 ξ ) (1 η), N 2(ξ, η)= 1 4 (1+ξ) (1 η) N 3 (ξ, η)= 1 4 (1+ξ) (1+η), N 4(ξ,η)= 1 (1 ξ ) (1+η)

10 2.1 Formulierung eines finiten lements Darstellung der Interpolationsfunktionen:

11 2.1 Formulierung eines finiten lements Interpolation der Verschiebungen: Die Verschiebungen im Innern eines lements werden durch Interpolation der Verschiebungen an den Knoten approximiert. Die Interpolationsfunktionen müssen so gewählt werden, dass die Starrkörperbewegungen exakt dargestellt werden können. Dann ist der Schwerpunktsatz und der Drallsatz für das finite lement exakt erfüllt. Bei isoparametrischen lementen werden die gleichen Interpolationsfunktionen wie für die Geometrie verwendet: u (ξ, η,ζ)= k N k (ξ, η,ζ)u k

12 2.1 Formulierung eines finiten lements Damit können die Starrkörperbewegungen exakt dargestellt werden. Werden die Komponenten der Verschiebungen an den lementknoten durchnummeriert, dann gilt auch: u (ξ, η,ζ)= ν H ν (ξ, η,ζ)u ν Dabei beschreibt die Vektorfunktion H ν das Verschiebungsfeld, bei dem die ν-te Verschiebungskomponente den Wert eins hat und alle anderen Verschiebungskomponenten an den Knoten null sind. Die gleiche Interpolation wird auch für die virtuellen Verschiebungen verwendet

13 2.1 Formulierung eines finiten lements lementmatrizen: insetzen der Ansätze für die Verschiebungen in die Bilinearformen ergibt: K [ ~ u, u]= μ ν ~ u μ u ν K [H μ, H ν ] M [ ~ u, u]= μ ν ~ u μ u ν M [ H μ, H ν ] Für die Linearform der Belastung gilt: Die Verschiebungskomponenten eines lements werden zur Matrix der lementverschiebungen zusammengefasst: [u ] T =[u 1 u N ], [ ~ u ] T =[ ~ u 1 ~ u N ] L [ ~ u ]= μ ~ u μ L [H μ ]

14 2.1 Formulierung eines finiten lements Mit den Matrizen ]=[ K [ k [H 1, H 1 ] K [H 1, H N ] ]] K [H N, H 1 ] K [H N, H N ]=[ M [H 1, H 1 ] M [ H 1, H N [ m ] ]] M [H N, H 1 ] M [ H N, H N gilt: K [ ~ u, u]=[ ~ u ] T [k ][u ], M [ ~ u, u]=[ ~ u ] T [m ][u ]

15 2.1 Formulierung eines finiten lements Mit [l ] T =[ L [ H 1 ] L [ H N ]] gilt für die Linearform der Belastung: L [ ~ u ]=[ ~ u ] T [l ] Bezeichnungen: Steifigkeitsmatrix des lements: [k ] Massenmatrix des lements: Lastmatrix des lements: [m ] [l ]

16 2.1 Formulierung eines finiten lements Konsistente und konzentrierte Massenmatrix: Die mit den Ansatzfunktionen berechnete Massenmatrix wird als konsistente Massenmatrix bezeichnet. In der Praxis wird meist eine konzentrierte Massenmatrix verwendet. Anstelle einer kontinuierlichen Massenverteilung werden Punktmassen auf die lementknoten gesetzt, deren Gesamtmasse die Masse des lements ergibt. Konzentrierte Massen liefern zu große Werte für die Massenträgheitsmomente des lements. Die konzentrierte Massenmatrix hat den Vorteil, dass sie eine Diagonalmatrix ist

17 2.1 Formulierung eines finiten lements Strukturelemente: Finite lemente für Balken, Platten und Schalen werden als Strukturelemente bezeichnet. Dabei werden zunächst die kinematischen Annahmen der Balkentheorie bzw. der Schalentheorie in das Prinzip der virtuellen Arbeit eingearbeitet. Anschließend werden Verschiebungsansätze für die Funktionen, die die Verschiebungen beschreiben, eingeführt

18 2.2 Assemblierung Zusammenhang zwischen lement- und Strukturverschiebungen: In der Matrix der Strukturverschiebungen sind die Verschiebungen an allen Knoten der Struktur zusammengefasst: [ u ] T =[u 1 u N ] Dabei ist N die Anzahl der Freiheitsgrade des Finite-lemente-Modells, d. h. die über alle Knoten aufsummierte Anzahl der Verschiebungskomponenten

19 2.2 Assemblierung Für die Verschiebungen an den Knoten eines lements gilt: [u ]=[ a ] [u ] Die Matrix [a ] extrahiert die Verschiebungen des betrachteten lements aus der Matrix der Strukturverschiebungen. Die Anzahl ihrer Zeilen entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade des lements und die Anzahl ihrer Spalten der Gesamtanzahl der Freiheitsgrade des Finite-lemente-Modells. Jede Zeile enthält genau ein lement mit dem Wert eins, und zwar in der Spalte, die der Position des entsprechenden Freiheitsgrades in der Matrix der Strukturverschiebungen entspricht. Die übrigen lemente der Zeile sind null

20 2.2 Assemblierung Assemblierung: insetzen der Beziehung zwischen lement- und Strukturverschiebungen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt: [ ~ u ] T ( [ a ] T [ k ] [ a ] [u ]+ [a ] T [ m ] [ a ] [ ü ] [ a ] T [ l ] ) =0 Damit diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen [ ~ u ] erfüllt ist, muss gelten: [ a ] T [ k ] [ a ] [u ]+ [a ] T [ m ] [ a ] [ ü ]= [ a ] T [ l ]

21 2.2 Assemblierung Mit [ K ]= [ l ]= [ a ] T [ k ] [ a ], [M ]= [ a ] T [l ] [ a ] T [ m ] [ a ] lautet die Bewegungsgleichung der Gesamtstruktur: [ M ] [ü ]+ [ K ] [u ]=[l ] [K] ist die Steifigkeitsmatrix, [M] die Massenmatrix und [l] die Lastmatrix der Gesamtstruktur

22 2.3 igenschaften der Matrizen Aus den igenschaften der Bilinearformen K und M folgt: Die Steifigkeitsmatrix [K] und die Massenmatrix [M] sind symmetrisch: [ K ] T =[ K ], [ M ] T =[M ] Die Steifigkeitsmatrix ist positiv semidefinit: [ x ] T [ K ] [ x ] 0 [ x ] [ 0 ] Die konsistente Massenmatrix ist positiv definit: [ x ] T [ M ] [ x ]>0 [ x ] [ 0 ] Die konzentrierte Massenmatrix ist positiv semidefinit

23 2.4 Randbedingungen In der Bewegungsgleichung sind die Verschiebungen an der inspannung sowie die aufgebrachten Lasten bekannt. Unbekannt sind die übrigen Verschiebungen sowie die Lasten an der inspannung. Partitionierung: Die unbekannten Verschiebungen werden als lokale Verschiebungen bezeichnet und mit dem Index L gekennzeichnet. Die bekannten Verschiebungen an der inspannung sind vorgeschriebene Verschiebungen. Sie werden mit dem Index P gekennzeichnet

24 2.4 Randbedingungen Diese Aufteilung führt auf die partitionierte Bewegungsgleichung: [ [ M L L ] [ M L P ] ]][ [ü L ] ]] [ M L P ] T [ M P P [ü + [ [ K L L ] [ K L P ] ]][ [ u L ] ]] P [ K L P ] T [ K P P [u = [ [ l L ] ]] P [l P Auflösen nach den unbekannten Größen ergibt: [ M L L ] [ü L ]+[ K L L ] [u L ]=[l L ] [ M L P ] [ü P ] [ K L P ] [u P ] [l P ]=[ M L P ] T [ü L ]+ [ M P P ] [ü P ]+[K L P ] T [u L ]+ [ K P P ] [u P ] Aus der ersten Gleichung können die unbekannten Verschiebungen berechnet werden. insetzen in die zweite Gleichung liefert die unbekannten Lagerreaktionen

25 2.5 Dämpfung Bei realen dynamischen Systemen treten neben den elastischen Kräften, den Trägheitskräften und den aufgebrachten Kräften noch Dämpfungskräfte auf. Geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskräfte können mithilfe einer Dämpfungsmatrix beschrieben werden. Dann lautet die Bewegungsgleichung: [ M ] [ü ]+[ D ] [ u ]+ [ K ] [u ]=[l ]

26 2.5 Dämpfung Diskrete Dämpfer: Diskrete Dämpfer werden mithilfe von lementdämpfungsmatrizen beschrieben, die zur Strukturdämpfungsmatrix assembliert werden. Die lemente der Dämpfungsmatrizen werden meist experimentell bestimmt. Rayleigh-Dämpfung: Die Rayleigh-Dämpfung ist ein einfaches Dämpfungsmodell, bei dem die Dämpfungsmatrix als Linearkombination der Steifigkeits- und der Massenmatrix geschrieben wird: [ D ]=α K [ K ]+α M [ M ]

27 2.5 Dämpfung Die Koeffizienten α K und α M werden so bestimmt, dass das beobachtete Abklingverhalten möglichst gut wiedergegeben wird. Die Rayleigh-Dämpfung beschreibt Dämpfung, die über die gesamte Struktur verteilt wirkt. Lehrsches Dämpfungsmaß: Bei Rechnung mit modaler Reduktion wird Dämpfung meist mithilfe von Lehrschen Dämpfungsmaßen beschrieben. Die modalen Dämpfungsmaße beschreiben Dämpfung, die über die gesamte Struktur verteilt wirkt