3. Praktische Anwendung

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1 3. Praktische Anwendung 3.1 Berechnungsprozess 3.2 Modellbildung 3.3 Diskretisierung 3.4 Festigkeitsnachweis 3.3-1

2 3.1 Berechnungsprozess Idealisierung Physikalisches Problem Preprocessor Mathematisches Modell Diskretisierung Finite-Elemente- Modell Solver Rechnung Ergebnisse Postprocessor Bewertung 3.3-2

3 3.1 Berechnungsprozess Idealisierung: Ausgehend von einer Konstruktion oder einem Entwurf wird ein Berechnungsmodell erstellt. Dabei müssen vereinfachende Annahmen getroffen werden bezüglich der Geometrie, des Materials, der Belastung und der Einspannungen. Welche Vereinfachungen zulässig sind, hängt stark davon ab, welche Aussagen mit dem Berechnungsmodell getroffen werden sollen

4 3.1 Berechnungsprozess Beispiel: z V A W A C 1000 C B P X Y B Z x Maße in mm 3.3-4

5 3.1 Berechnungsprozess Berechnungsmodell 1: Fachwerk y A 1 A A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 1 A 1 A P x Maße in mm 3.3-5

6 3.1 Berechnungsprozess Annahme: Das Bauteil besteht aus Stäben, die an den Knoten gelenkig miteinander verbunden sind. Mit diesem Berechnungsmodell lassen sich die Normalkräfte in den Stäben ermitteln. Berechnungsmodell 2: Balkenmodell Annahme: Das Bauteil besteht aus 3-dimensionalen Balken, die an den Knoten fest miteinander verbunden sind. Mit diesem Berechnungsmodell lassen sich Normalkraft, Querkraft, Biegemoment und Torsionsmoment in den Balken ermitteln

7 3.1 Berechnungsprozess Berechnungsmodell 3: Schalenmodell 3.3-7

8 3.1 Berechnungsprozess Annahme: Die Gurte lassen sich mit der Theorie ebener Platten beschreiben. Mit diesem Berechnungsmodell lassen sich Spannungen in den Gurten ermitteln. Die Spannungen an den Fügestellen (Nietverbindung, Schweißverbindung) zwischen den einzelnen Blechen lassen sich nicht erfassen

9 3.1 Berechnungsprozess Diskretisierung: Fachwerke und Balkenmodelle führen auf diskrete Systeme. Schalenmodelle führen auf kontinuierliche Systeme. Diskrete Systeme werden durch eine endliche Anzahl von unbekannten Parametern beschrieben. Kontinuierliche Systeme werden durch unbekannte Funktionen beschrieben. Die Methode der finiten Elemente ist ein Verfahren, um ein kontinuierliches System durch ein diskretes System zu approximieren

10 3.1 Berechnungsprozess Die Unterteilung in finite Elemente wird als Vernetzung oder Diskretisierung bezeichnet. Die Genauigkeit der Näherungslösung hängt von der Feinheit der Vernetzung und den gewählten Elementen ab. Rechnung: Die Diskretisierung führt auf ein Gleichungssystem für die Verschiebungen der Knoten des Finite-Elemente-Netzes. Bei linearen statischen Analysen ist das Gleichungssystem ein lineares Gleichungssystem, das im Rahmen der Rechengenauigkeit exakt gelöst werden kann

11 3.1 Berechnungsprozess Bewertung: Ist die Diskretisierung angemessen? Hängen die Elemente korrekt zusammen? Treten Spannungskonzentrationen auf, die sich nicht erklären lassen? Kann der Spannungsverlauf durch die Diskretisierung hinreichend genau wiedergegeben werden? Ist die Idealisierung angemessen? Welche Ergebnisse sind auf die bei der Idealisierung getroffenen Vereinfachungen zurückzuführen? Genügt das Bauteil den Anforderungen?

12 3.1 Berechnungsprozess Fehler: Die bei der Idealisierung getroffenen Annahmen haben den größten Einfluss auf die Ergebnisse. Diskretisierungsfehler und Rundungsfehler bei der Lösung des Gleichungssystems lassen sich mathematisch abschätzen. Der Fehler bei der Lösung des Gleichungssystems ist in der Regel deutlich kleiner als der Diskretisierungsfehler

13 3.1 Berechnungsprozess Pre- und Postprocessing: Die Modellerstellung, bestehend aus Idealisierung und Diskretisierung, wird auch als Preprocessing bezeichnet. Die Auswertung der Ergebnisse wird als Postprocessing bezeichnet. Pre- und Postprocessing werden mit Hilfe von graphischen Programmen durchgeführt, die als Pre- und Postprocessoren bezeichnet werden. Das Programm, das die eigentliche Berechnung durchführt, wird als Solver bezeichnet

14 3.2 Modellbildung Kein Berechnungsmodell kann sämtliche Einzelheiten einer Struktur abbilden. Daher erfolgt die Modellbildung auf verschiedenen Skalen: Gesamtmodelle zur Ermittlung der Steifigkeit und des Kraftflusses Detailmodelle zur Untersuchung von Spannungen an kritischen Stellen Die Modellbildung hängt stark davon ab, welche Aussagen mit dem Modell gemacht werden sollen

15 3.2 Modellbildung Beispiel: PKW Balkenmodell der Karosserie: Voruntersuchungen zur Steifigkeit Optimierung von Querschnittsprofilen Schalenmodell der Karosserie: Steifigkeitsuntersuchungen Spannungen in ungestörten Bereichen Detailmodelle: Untersuchung von Schweißpunkten Untersuchung von Blechstößen

16 3.2 Modellbildung Gesamtfahrzeugmodell: Das Gesamtfahrzeugmodell enthält neben der Karosserie auch den Antriebsstrang, das Fahrwerk und die Innenausstattung. Es wird für Untersuchungen zur Fahrdynamik und zum Fahrkomfort verwendet. Der Fahrkomfort wird beeinflusst durch Vibrationen und Geräusche. Ein Gesamtfahrzeugmodell muss die Verteilung der Massen und der Steifigkeit gut wiedergeben

17 3.2 Modellbildung Detailuntersuchungen: Für Detailuntersuchungen wird ein genaueres Modell des zu untersuchenden Bereichs erstellt. Beispiele: Dreidimensionales Volumenmodell einer Schweißpunktverbindung Dreidimensionales Volumenmodell einer Rohrverbindung Als Randbedingung werden die mit dem Gesamtmodell ermittelten Verschiebungen am Rand des Detailmodells vorgeschrieben, da die Verschiebungen genauer als die Spannungen sind

18 3.2 Modellbildung Verschiebungen an Knoten des Detailmodells, die im Gesamtmodell nicht vorhanden sind, werden entsprechend des Verschiebungsansatzes des Gesamtmodells interpoliert. Beispiel: Übergang von Schalenmodell auf Volumenmodell v u A ϕ B

19 3.2 Modellbildung Die Kante AB des Detailmodells bewegt sich wie ein starrer Körper, dessen Translation und Rotation durch die Verschiebungen und die Verdrehungen des entsprechenden Knotens des Schalenmodells festgelegt ist. Wegen des Prinzips von de Saint-Venant beschränkt sich der Einfluss der Randbedingungen am Volumenmodell auf die Randnähe

20 3.3 Diskretisierung Auswahl der Elemente: Elemente mit einem quadratischen Verschiebungsansatz sind besser als Elemente mit einem linearen Verschiebungsansatz. Viereck-Elemente sind besser als Dreieck-Elemente. Dreieck-Elemente mit linearem Verschiebungsansatz sind möglichst zu vermeiden. Wenn eine feine Diskretisierung nötig ist, um die Details der Geometrie abzubilden, werden in der Regel Elemente mit einem linearen Verschiebungsansatz verwendet

21 3.3 Diskretisierung Diese Regeln gelten sinngemäß auch für dreidimensionale Volumenelemente und für Schalenelemente. Bei Volumenelementen sind Hexaeder-Elemente besser als Pentaederelemente. Am schlechtesten sind Tetraeder-Elemente. Tetraeder-Elemente mit einem linearen Verschiebungsansatz sind zu vermeiden

22 3.3 Diskretisierung Vernetzung: Die Ergebnisse lassen sich leichter interpretieren, wenn symmetrische Teile der Struktur auch symmetrisch vernetzt werden, die Vernetzung möglichst regelmäßig ist. Die Elemente sollten möglichst wenig verzerrt sein, d.h. Viereck-Elemente sollten möglichst wenig von der Rechteckform abweichen. Bei Elementen mit einem quadratischen Verschiebungsansatz sollten die Kanten möglichst gerade sein und die Zwischenknoten in der Mitte zwischen den Eckknoten liegen

23 3.3 Diskretisierung Elemente mit einem quadratischen Verschiebungsansatz sind weniger empfindlich gegenüber Verzerrungen als Elemente mit einem linearen Verschiebungsansatz

24 3.3 Diskretisierung Unstetigkeiten: An einspringenden Ecken ist die Spannung unendlich groß. Mit zunehmender Netzverfeinerung werden die berechneten Spannungen daher immer größer und konvergieren nicht gegen einen festen Wert. Für eine genaue Untersuchung muss daher die tatsächliche Ausrundung der einspringenden Kante mit berücksichtigt werden. Bei realen Bauteilen kann an einspringenden Ecken Plastifizierung auftreten, wodurch die Spannungsspitzen abgebaut werden

25 3.3 Diskretisierung Wenn die Länge einer Elementkante und der Radius der Ausrundung die gleiche Größenordnung haben, muss der Radius mit abgebildet werden. R

26 3.3 Diskretisierung An den Stellen, an denen Einzelkräfte angreifen, werden die Spannungen ebenfalls unendlich groß. Wenn die Krafteinleitung untersucht werden soll, muss deshalb die Einzelkraft durch die tatsächliche Flächenkraft ersetzt werden, sobald die Länge einer Elementkante und die Abmessungen der Fläche, auf der die Flächenkraft wirkt, die gleiche Größenordnung haben. F q

27 3.4 Festigkeitsnachweis In den Festigkeitsnachweis nach der FKM-Richtlinie gehen ein Spannungskennwerte Bauteilfestigkeit Sicherheitsfaktoren Daraus wird ein Auslastungsgrad berechnet, der kleiner als 100% sein muss

28 3.4 Festigkeitsnachweis Spannungskennwerte: Die Spannungskennwerte können mit der Methode der finiten Elemente ermittelt werden. Es wird unterschieden zwischen Nennspannungen örtlichen Spannungen Strukturspannungen Nennspannungen lassen sich aus den mit einem Stab- oder Balkenmodell ermittelten Schnittlasten berechnen. Örtliche Spannungen sind die im Nachweispunkt berechneten Spannungen

29 3.4 Festigkeitsnachweis Strukturspannungen werden in der Regel zum Festigkeitsnachweis von Schweißnähten verwendet. Dazu wird die unmittelbar vor der Schweißnaht auftretende Spannung durch Extrapolation aus dem Spannungsverlauf vor der Schweißnaht ermittelt. Bauteilfestigkeit: Die Bauteilfestigkeit wird aus Werkstofffestigkeitskennwerten und Konstruktionskennwerten ermittelt