Kapitel 12 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung DSM & das Eigenwertproblem

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1 Institute of Structural Engineering Page 1 Kapitel 12 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung DSM & das Eigenwertproblem

2 Institute of Structural Engineering Page 2 Lernziele: Sie können Stabilitätsprobleme lösen, d.h. die Eulerknicklast (N cr ) ermitteln i) für Balkenelemente & verschiede Randbedingungen ii) für Rahmenkonstruktionen & verschiede Randbedingungen Näherungsmethoden: Methode Vianello Energiemethode (Rayleigh Quotient)

3 Institute of Structural Engineering Page 3 Ermittlung des Knickverhaltes für Rahmenkonstruktionen Ermittlung der Eulerknicklast N cr Der Rahmen lässt sich hierbei auf den im Bild (b) dargestellten Einzelstab reduzieren, wobei der Riegel als Drehfeder berücksichtig wird Einhüftiger Rahmen - unverschieblich F C B EI R c φ F B Erläuterung durch Erinnerung an VL 2 einseitig eingespannter Balken EI S l EI S 2 3EI L φ * φ 2 3EI L (i) A b entsprechende Steifigkeit A (ii) 3EI L M = 3EI L ϕ c ϕ = 3EI R b Source: Baustatik II, Simon Zweidler

4 Institute of Structural Engineering Page 4 Rahmen: Ermittlung der Eulerknickfälle c φ F B Einhüftiger Rahmen - unverschieblich ( ) = cos( λ ) + 4sin ( λ ) ( ) = 2 λ 3sin ( λ ) + λ 4cos( λ ) 2 ( ) = λ 2 cos( λ ) λ sin ( λ ) w x C Cx C x C x w x C C x C x w x C x C x 3 4 EI S A Die unbekannten Koeffizienten werden entsprechend der angegebenen Randbedingungen bestimmt: Homogenes lineares Gleichungssystem ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ ) w 0 = 0 C1+ C2 0 + C3 cos 0 + C sin λ0 4 = 0 w 0 = 0 0 M = EIw C2 λc3 sin ( λ0) + λc cos ( λ0 1 4 ) = 0 wl = 0 C1+ Cl 2 + C3cos ( λl) + C4sin ( λl) = 0 M l = cw ϕ 2 2 EI λ C cos λl + λ C sin λl = c C λc sin λl + λc cos λl 1 ( ) ( 3 ( ) 4 ( )) ϕ 2 3 ( ) 4 ( ) 0 ( )

5 Institute of Structural Engineering Page 5 Rahmen: Ermittlung der Eulerknickfälle c φ F B Einhüftiger Rahmen - unverschieblich ( ) = cos( λ ) + 4sin ( λ ) ( ) = 2 λ 3sin ( λ ) + λ 4cos( λ ) 2 ( ) = λ 2 cos( λ ) λ sin ( λ ) w x C Cx C x C x w x C C x C x w x C x C x 3 4 EI S A Die unbekannten Koeffizienten werden entsprechend der angegebenen Randbedingungen bestimmt: C1 = C3 w 0 = 0 C = λc w = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3EI 0 0 c R ϕ = b C4 = C3 1 cos S ( λl) ( λl) wl = 0 sin λl M l = cw 3EI Rl ϕ = EI b ( 2 2 cos( λl) λl sin ( λl) ) λl λl cos( λl) sin ( λl) ( )

6 Institute of Structural Engineering Page 6 Rahmen: Ermittlung der Eulerknickfälle c φ F Einhüftiger Rahmen - unverschieblich B 3EI l S R EI b ( 2 2 cos( λl) λl sin ( λl) ) = λl λl cos( λl) sin ( λl) ( ) EI S Diese Gleichung lässt sich bei vorgegebener Biegesteifigkeit und Abmessungen l und b numerisch nach λ auflösen. A EI l R EISb NN EI Rl 0 EI b S NN Für die beiden Grenzfälle ergeben sich die abgebildeten Spezialfälle: ll EI l k S = 0.5l ll EI l k S = 0.7l 2 3

7 Institute of Structural Engineering Page 7 Ermittlung des Knickverhaltes für Rahmenkonstruktionen Ermittlung der Eulerknicklast N cr Mit einem verschieblichen Auflager in Punkt C lässt ich der in Bild (i) dargestellte Rahmen auf den im Bild (ii) dargestellten Einzelstab reduzieren, mit: c ϕ = 3EI R b Einhüftiger Rahmen - verschieblich F Δ C B EI R EI S l c φ F EI S B A A b Die RB w(l) = 0 gilt nicht mehr, sondern: (i) (ii) ( λ ) w( 0) = 0 C1+ C2 0 + C3 cos 0 + C sin λ0 4 = 0 0 w ( 0) = 0 C M = EIw 2 λc3 sin ( λ0) + λc cos ( λ0 1 4 ) = 0 V = EIw''' V ( l) = Nw ( l) 3 3 EI λ C3sin ( λl) + λ C4cos( λl) = N C1+ C2l + C3cos λl + C4sin λl M( l) = cw ϕ 2 2 EI λ C cos λl + λ C sin λl = c C λc sin λl + λc cos λl Source: Baustatik II, Simon Zweidler 1 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( 3 ( ) 4 ( )) ϕ ( 2 3 ( ) 4 ( )) 0

8 Institute of Structural Engineering Page 8 Ermittlung des Knickverhaltes für Rahmenkonstruktionen Ermittlung der Eulerknicklast N cr Mit einem verschieblichen Auflager in Punkt C lässt ich der in Bild (i) dargestellte Rahmen auf den im Bild (ii) dargestellten Einzelstab reduzieren, mit: c ϕ = 3EI R b Einhüftiger Rahmen - verschieblich F Δ C B EI R EI S l c φ F EI S B Homogenes lineares Gleichungssystem (i) A b A (ii) 3EI l S R EI b sin ( λl) = λlcos( λl)

9 Institute of Structural Engineering Page 9 Ermittlung des Knickverhaltes für Rahmenkonstruktionen Ermittlung der Eulerknicklast N cr 3EI Rl sin EI b S ( λl) = λlcos( λl) Einhüftiger Rahmen - verschieblich F Δ C B c φ F B EI R ll EI l R EISb 2 NN EI l k S = l EI Rl 0 EISb NN (i) ll 3 EI l k S = 2l A EI S b Für die beiden Grenzfälle ergeben sich die abgebildeten Spezialfälle l A EI S (ii)

10 Institute of Structural Engineering Page 10 Ermittlung des Knickverhaltens für Rahmenkonstruktionen Für die beiden Rahmen (verschieblich/unverschieblich) lassen sich nun für verschiedene Werte von EI R, EI S, b, l, die Knicklängen l k numerisch bestimmen. Die vorgegebene Werte sind hierzu mit dem Beiwert η zur neuen Variable zusammenzufassen EISb ρ = η EI l R Source: Baustatik II, Simon Zweidler

11 Institute of Structural Engineering Page 11 Ermittlung des Knickverhaltens für Rahmenkonstruktionen Source: Baustatik II, Simon Zweidler

12 Institute of Structural Engineering Page 12 Ermittlung des Knickverhaltens für Rahmenkonstruktionen Zusammenfassung Am Ende dieses Kapitels sollte man in der Lage sein: Das Stabilitätsproblem zu lösen, d.h. die Eulerknicklast (N cr ) zu ermitteln i) für Balkenelemente & verschieden Randbedingungen Stabilitätsproblem für F < N cr w(x)=0 (kein Knicken) B F EI S Zentrierte axiale Druckbelastung Keine geometrische Imperfektionen Keine Biegebelastung für F N cr w(x) ~ Knickfigur A

13 Institute of Structural Engineering Page 13 Ermittlung des Knickverhaltens für Rahmenkonstruktionen Zusammenfassung Am Ende dieses Kapitels sollte man in der Lage sein: Das Stabilitätsproblem zu lösen, d.h. die Eulerknicklast (N cr ) zu ermitteln ii) für Rahmenkonstruktionen & verschieden Randbedingungen Stabilitätsproblem für F < N cr w(x)=0 (kein Knicken) für F N cr w(x) ~ Knickfigur

14 Institute of Structural Engineering Page 14 Ermittlung des Knickverhaltens für Rahmenkonstruktionen Zusammenfassung Am Ende dieses Kapitels sollte man in der Lage sein: Berechnung nach Theorie 2. Ordnung N 1. Ordnung B F Exzentrische axiale Druckbelastung, oder Geometrische Imperfektion, w 0 oder Biegebelastung Stabilitätsproblem N cr F < N cr EI S w max Theorie 2. Ordnung a w w a a N max =, 0,max = 1 Ncr A w 0,max w0 wtot w tot w tot,max

15 Institute of Structural Engineering Page 15 Ermittlung des Knickverhaltens für Rahmenkonstruktionen Zusammenfassung Am Ende dieses Kapitels sollte man in der Lage sein: Berechnung nach Theorie 2. Ordnung N 1. Ordnung B F Näherungsmethode: Methode Vianello Energiemethode (Rayleigh Quotient) Stabilitätsproblem N cr F < N cr EI S w max Theorie 2. Ordnung a w w a a N max =, 0,max = 1 Ncr A w 0,max w0 wtot w tot w tot,max

16 Institute of Structural Engineering Page 16 Sonderthema: DSM & das Eigenwertproblem oder: Wie verformen sich Strukturen unter dynamischer Belastung? Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

17 Institute of Structural Engineering Page 17 Strukturdynamik Lasten sind selten statisch! Übliche zyklische und periodische Belastungen Rhythmisches Tanzen (0.5-3 Hz) Marschierende Soldaten (1 Hz) Rotierende Maschinerie ( Hz) Windböen (0.3 2 Hz) Erdbeben (0.4 6 Hz) Satz von Newton: Kraft= Masse x Beschleunigung Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

18 Institute of Structural Engineering Page 18 Source: YouTube

19 Institute of Structural Engineering Page 19 Dynamik - Resonanz Pendelstütze unter zyklischer Belastung M Lastfrequenz ω FF = 1 T Elastisches Material ohne Dämpfung U DYN dynamische Verformungen U STA statische Verformungen ω 1 Resonanzfrequenz = Eigenfrequenz ω 1 = 1 2π EE AA L M Lastunabhängig und proportional zu SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS Masse Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

20 Institute of Structural Engineering Page 20 Eigenformen Balken Rahmen ω i = Eigenfrequenz i Eigenmode i verformte Form= Eigenform i = Φ i Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

21 Institute of Structural Engineering Page 21 Eigenformen Wie viele Eigenmodes existieren für eine Struktur? physikalische Struktur: unendlich viele Numerisches Modell: soviele wie Anzahl DOFs Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

22 Institute of Structural Engineering Page 22 Eigenfrequenzanalysen Ziel der Bemessung für dynamische Einwirkungen: Lastfrequenzen Eigenfrequenzen Finde die dynamische Eigenmodes (Frequenz/Form) Dieser Prozess ist als Modalanalyse bekannt.

23 Institute of Structural Engineering Page 23 DSM: Dynamische Kräfte Statik Knotenverschiebungen Dynamik Knotenbeschleunigungen P 1 P 1 Knotenkräfte: p = k u Trägheits- Knotenkräfte: p = m u(t) m : (Element) Massenmatrix Gleichgewichtsgleichung: Knotenkräfte eines schwingenden Elements: p = k u(t) + m u(t) Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

24 Institute of Structural Engineering Page 24 Massen-Matrix: Balkenelement FX S = FY S = UX S UY S UZ S UX E UY E UZ E m 11 m 12 m 13 m 14 m 15 m 16 m 22 m 23 m 24 m 25 m 26 E.. UX E =1 e.g. m 24 = Reaktion in globaler Y- Richtung am Anfangsknoten S MZ S = m 33 m 34 m 35 m 36 wegen einer FX E = FY E = MZ E = symm. m 44 m 45 m 46 m 55 m 56 m 66 S FY S Einheitsbeschleunigung in globaler X-Richtung am Endknoten E p = m u(t) Element Massenmatrix im globalen Koordinatensystem Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

25 Institute of Structural Engineering Page 25 Massen-Matrix: Balkenelement Konzentrierte Masse Verteilte Masse Achtung: Dies ist nur eine Approximation! m m Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

26 Institute of Structural Engineering Page 26 Globales Gleichungssystem F(t) K M U(t) U(t) = globaler Kraftvektor = Aufbau alle f e Werte = globale Steifigkeitsmatrix = Aufbau alle k e Werte = globale Massenmatrix = Aufbau alle m e Werte = globaler Verschiebungsvektor = globaler Beschleunigungsvektor Gleichgewicht an jedem Knoten der Struktur: F(t) = K U(t) + M U(t) Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

27 Institute of Structural Engineering Page 27 Eigenfrequenzanalysen Was sind die Eigenmodes einer Struktur? Globales Gleichungssystem K U(t) + M U(t) = F(t) Harmonische Verschiebungen für Eigenmode i (E i, W i ) U i (t) = ΦΦ i cos(ω i t) ( K (ω i t) 2 M ) ΦΦ i cos(2pφφ i t) = 0 lastunabhängig! jederzeit gültig ( K (ω i t) 2 M ) ΦΦ i = 0 Lösung des Eigenwertproblems ωω i = (dynamische) Eigenfrequenzen ΦΦ i = (dynamische) Eigenform Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

28 u 5 u 6 Institute of Structural Engineering Page 28 Eigenmodes und Verformungen Numerisches Strukturmodell: Verformungen einer Struktur Jede verformte Konfiguration kann wie folgt beschrieben werden... u 3 u 4 u 1 u 2 or φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 Knoten DOF und entsprechende Amplituden u i Eigenmodes und entsprechende Amplituden φ i U = {u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 } u i Knotenverschiebungen äquivalent U= φ 1 q 1 + φ 2 q φ 6 q 6 }= Φ q φ i Modale Koordinaten Jeder Mode ist wie eine unabhängige Struktur! Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

29 Institute of Structural Engineering Page 29 Von den Traglasten zur strukturellen Antwort Zeitverlaufsanalyse Antwortspektrenanalyse Last-Zeit - Funktion T 1 T i T j Antwortspektrum Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)

30 Institute of Structural Engineering Page 30 DSM Berechnungsprozesse Workflow des Computerprogramms 1. Systemidentifikation: Elemente, Knoten, Auflager und Lasten 2. Berechnung der Elementsteifigkeit- und Massenmatrizen 3. Assemblierung der globalen Steifigkeits- und Massenmatrizen 4. Lösung des Eigenwertproblems für eine Anzahl von Eigenmodes 5. Durchführung weiterer Analysen (Zeitverlauf oder Antwortspektren) ACHTUNG: Näherungslösung! Source: Patrick Steffen (FEM I Lectures)