Fachwerksberechnung mit FEM II

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1 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 1 Florian Grabner fi.do@gmx.net Fachwerksberechnung mit FEM II Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Finite Elemente Methode Kurzzusammenfassung Anhand eines einfachen Fachwerkes wird die grunlegende Funktionsweise der FEM gezeigt. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Mathcad-Version: Angewandte Mathematik, Mechanik, 5.Jahrgang, Maschinenbau Mathcad 7 Anmerkungen bzw. Sonstiges: Diese Ausarbeitung war die Schwerpunktsarbeit bei der Reifeprüfung. Wollen Sie zum Theorieteil zurück, so doppelklicken Sie hier. 1. Das zu berechnende Fachwerk Angaben im Einheitsystem [N,mm]!! l := 2 F := 5 h := 8 β := 3 Grad b := 15 α := 6 Grad Elastizitätsmodul E := 21 Querschnittsfläche der Stäbe A := b h A = 12 Florian Grabner 21

2 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 2 2. FEM mit MathCAD 7 Sonstige Angaben Nullvektor := Berechnung der Längen und Winkel Stab 1: α 1 := 6 Grad Stab 2: α 2 := Grad Stab 3: α 3 := 12 Grad Stab 4: α 4 := Grad Stab 6: α 6 := Grad Stab 5: α 5 := 6 Grad Stab 7: α 7 := 12 Grad Aufstellen der Gesamtsteifigkeitsmatrix Nummer des Stabes n := Element der Steifigkeitsmatrix für einen Stab KE n := E A l cos( α n ) 2 sin( α n ) cos α n sin( α n ) cos α n sin( α n ) 2 Gesamte Steifigkeitsmatrix KK g := KE 1 + KE 2 KE 1 KE 2 KE 1 KE 1 + KE 3 + KE 4 KE 3 KE 4 KE 2 KE 3 KE 2 + KE 3 + KE 5 + KE 6 KE 5 KE 6 KE 4 KE 5 KE 4 + KE 5 + KE 7 KE 7 KE 6 KE 7 KE 6 + KE 7 In der oben angeführten Schreibweise steht jedes "KE i " für eine Matrix der Dimension (2x2). Um mit MathCAD weiter zu arbeiten müssen wir jedes dieser Glieder durch die entsprechenden Matrix ersetzten. Dafür bedienen wir uns des folgenden Programmes. Florian Grabner 21

3 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 3 Ges( M) := dim spalten( M) for Ges i.. dim 1 Ges tmp M i, for ii.. dim 1 Ges tmp erweitern Ges tmp, M i, ii if ii Ges Ges tmp if i = Ges stapeln Ges, Ges tmp if i KK ges := Ges( KK g ) Funktionsweise: Parameter der Funktion GES: M - Jene Matrix die umgewandelt werden soll. Die wichtigsten MathCAD-Funktionen: spalten(a) - Bestimmt die Spaltenanzahl von A erweitern(a,b) - Ordnet B rechts neben A an. stapeln(a,b) - Ordnet A über B an. Mit der Hilfe von zwei for-schleifen werden nun die einzelnen Zellen einer Spalte "erweitert" und anschließend die einzelnen Zeilenen "gestapelt". Die Gesmtsteifigkeitsmatrix wird aus Gründen der Anschaulichkeit, sie hat die Dimension (1x1), nicht angezeigt. Aufstellen des Gleichungssystemes (reduziert) Zeilen und Spalten mit dem Freiheitsgrad Null werden mit Hilfe eines weiteren Programmes gestrichen, d.h. Alle Stellen mit Null besetzen und die Stelle auf der Hauptdiagonalen mit Eins. Red( M, row) := dim spalten( M) ein if M einheit( dim) row < dim M row M M T M row ein row ein row Florian Grabner 21

4 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 4 Funktionsweise: Parameter der Funktion RED: M - Matrix die reduziert werden soll. row - Betreffende Zeile und Spalte. Die wichtigsten MathCAD-Funktionen: spalten(a) - Bestimmt die Spaltenanzahl von A einheit(n) - Erstellt eine Einheitsmatrix der Dimension (n x n) Die entsprechende Spalte wird durch die passende Spalte einer Einheitsmatrix gleicher Größe, ersetzt. Das ersetzten der Zeile erfolgt durch Transpornieren von "M". WICHTIG: Es kann immer nur eine Zeile und die dazugehörende Spalten reduziert werden! KK red := Red KK ges, KK red := Red KK red, 1 KK red := Red KK red, 9 Anzahl der Knoten m := Fx m := Fy m := Randbedingungen u 1 := v 1 := v 5 := Fx 4 := F cos( β) Schritt FRAME Fy 4 := F sin( β) Schritt FRAME reduzierter Kraftvektor Gleichungssystem FF red := ( Fx 1 Fy 1 Fx 2 Fy 2 Fx 3 Fy 3 Fx 4 Fy 4 Fx 5 Fy 5 ) T FF red = KK red uu red Lösen des Gleichungssystems Ermittlung der Auflagerkräfte uu red := llösen( KK red, FF red ) T T uu ges := uu red FF ges := KK ges uu ges F x1 := FF ges, F y1 := FF ges1, F y5 := FF ges9, Florian Grabner 21

5 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 5 Ermittlung der Verschiebungen uu xm := uu ges ( m 1) 2, uu ym := uu gesm 2 1, Ermittlung der Stabkräfte Elementsteifigkeitsmatrix KK n := KE n KE n KE n KE n KK elemn := Ges( KK n ) Elementverschiebungsvektor u_elem( a, b) := uu uu uu xa uu ya uu xb uu yb Funktionsweise: Parameter der Funktion u_elem: a - Anfangsknoten. b - Endknoten. Die einzelnen Koordinaten werden in einen Vektor verpackt. u 1 := u_elem( 1, 2) u 4 := u_elem( 2, 4) u 7 := u_elem( 4, 5) u 2 := u_elem( 1, 3) u 5 := u_elem( 3, 4) u 3 := u_elem( 2, 3) u 6 := u_elem( 3, 5) Stabkräfte FF elemn := KK elemn u n Ermittlung der Spannungen FF n := 2 ( FF elemn ) +, 2 ( FF elemn ) 1, σ n := Ermittlung der Dehnungen FF n A ε n := σ n E Florian Grabner 21

6 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 6 Gesamtsübersicht der Ergebnisse Auflagerkräfte F x1 = F y1 = F y5 = Verschiebungen uu x1 = uu y1 = uu x2 =.4 uu y2 = uu x3 =.23 uu y3 =.2 uu x4 =.63 uu y4 =.23 uu x5 =.23 uu y5 = Stabkräfte FF 1 = Druckkraft FF 5 = Druckkraft FF 2 = Druckkraft FF 6 = FF 3 = Zugkraft FF 7 = FF 4 = Druckkraft Spannungen σ 1 = σ 5 = Visualisierung σ 2 = σ 6 = σ 3 = σ 7 = σ 4 = Koordinaten der Knotenpunkte des Fachwerks K 1 := ( ) K 3 := ( l ) K 5 := ( 2 l ) l K 2 l sin 6 Grad 2 ( ) 3 l := K 4 := 2 l sin( 6 Grad) Florian Grabner 21

7 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 7 Zum Aufstellen der Funktionen der einzelnen Elementen verwenden wir wieder eine Funktion der Form: linie( n1, n2) := R llösen if xa n1, xe n2, n1, n2, n2, > n1, 1 1, n1, 1 n2, 1 otherwise xa n2, xe n1, R, R 1, xa xe Funktionsweise: Parameter der Funktion line: n1 - Vektor mit den Anfangspunkten der Geraden. n2 - Vektor mit den Endpunkten der Geraden. Die wichtigsten MathCAD-Funktionen: llösen(a,b) - Löst das lineare Gleichungssystem A x = b Die Funktion errechnet die Werte "k" und "d" der Geradengleichung und bestimmt den Anfangs- und den Endpunkt der Geraden damit die Funktion nach rechts zeigt Trass := 2 4 Trass_simpl := ns := Florian Grabner 21

8 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 8 ( k ns d ns xa ns xe ns ) := linie K Trass_simplns 1,, K ( Trass_simplns 1, 1 ) a := 1 x1 := xa a.. xe a a := 5 x5 := xa a.. xe a a := 2 a := 3 a := 4 y( x, a) := k a x x2 := xa a.. xe a x3 := xa a.. xe a x4 := xa a.. xe a + d a a := 6 y_streben1( x) := wenn x xe 3, y( x, 3), wenn x xe 4, y( x, 4), y( x, 5) y_streben2( x) := wenn x xe 6, y( x, 6), wenn x xe 7, y( x, 7), y( x, 8) Koordinaten der Knoten im belastetem Zustand: x6 := xa a.. xe a l x :=.. l + 2 l xx := l l 2 ( ) ( ) Koo_last( a) := Tmp K a Tmp, Tmp, + f st uu xa Tmp, 1 Tmp (, 1) + f st uu ya K a Tmp K a Funktionsweise: Parameter der Funktion Koo_last: a - Knotennummer Gibt eine Matrix mit den Koordinaten des unter Last stehenden Knotens unter Berücksichtigung einer Verstärkung. K 1 := Koo_last( 1) K 3 := Koo_last( 3) K 5 := Koo_last( 5) K 2 := Koo_last( 2) K 4 := Koo_last( 4) ( k lan d lan xa lan xe lan ) := linie K Trassn 1,, K ( Trassn 1, 1 ) Florian Grabner 21

9 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 9 a := 1 x1 la := xa laa, xe laa.. xe laa a := 5 x5 la := xa laa, xe laa.. xe laa a := 2 x2 la := xa laa, xe laa.. xe laa a := 6 x6 la := xa laa, xe laa.. xe laa a := 3 x3 la := xa laa, xe laa.. xe laa a := 7 x7 la := xa laa, xe laa.. xe laa a := 4 x4 la := xa laa, xe laa.. xe laa y la ( x, a) := k laa x + d laa y( x1, 1) y( x2, 2) y_streben1( x) y_streben2( xx) y la ( x1 la, 1) y la ( x2 la, 2) y la ( x3 la, 3) y la ( x4 la, 4) y la ( x5 la, 5) y la ( x6 la, 6) y la ( x7 la, 7) x1, x2, x, xx, x1 la, x2 la, x3 la, x4 la, x5 la, x6 la, x7 la Florian Grabner 21

10 HTBL-Kapfenberg Fachwerksberechnung mit FEM Seite 1 Einstellungen für die Visualisierung: Verstärkung der Verformung f st 4 Schritte für die Animation Schritt 1 Animation Zuerst Auswertung "FRAME Schritt" deaktivieren: (über rechte Maustaste im Kontextmenü): FRAME Schritt Danach Animation wie folgt durchführen: "Ansicht" - "Animieren..." - Standartwerte für FRAME übernehmen. Bereich im vorhergehenden Graph wie unten angezeigt wählen. Florian Grabner 21