Kapitel 9 Räumlicher Spannungszustand

Transkript

1 Kapitel 9 Räumlicher Spannungszustand 9

2 9 9 Räumlicher Spannungszustand 9.1 Problemdefinition Die Grundgleichungen des räumlichen Problems Die Feldgleichungen des räumlichen Problems Das Funktional des räumlichen Problems Das vierknotige Tetraederelement olumenkoordinaten Das vierknotige Tetraederelement in globalen Koordinaten Diskretisierung des Funktionals Formfunktionen des vierknotigen Tetraederelementes Dehnungs-erschiebungs-Beziehung Spannungs-erschiebungs-Beziehung ariation des diskretisierten Funktionals Steifigkeitsmatrix des vierknotigen Tetraederelementes Spannungen im vierknotigen Tetraederelement Flächenlast beim vierknotigen Tetraederelement olumenkräfte beim vierknotigen Tetraederelement Konvergenztest in den erformungen Konvergenztest in den Spannungen Beispiel zu einem räumlichen Spannungsproblem

3 9 Räumlicher Spannungszustand 9.1 Problemdefinition Das Bild 9.1 zeigt einen dreidimensionalen 1, linear elastischen Körper mit einem olumen und einer Oberfläche Ω. Er wird in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben. Die natürlichen Randbedingungen bestehen aus Flächenlasten ˆp. Die wesentlichen Randbedingungen û stellen sich als bekannte erschiebungen auf der Oberfläche Ω u dar. 9.1 Bild 9.1. Ein linear elastischer Körper mit dem olumen 9.2 Die Grundgleichungen des räumlichen Problems Im Tonti-Diagramm nach Bild 9.2 sind die drei Feldgleichungen des räumlichen Problems angeführt. Diese sind das erschiebungsfeld û, das Dehnungsfeld ε und das Spannungsfeld σ. Weiterhin sind im Tonti-Diagramm die wesentlichen und natürlichen Randbedingungen angeführt. 9.2 erschiebungen Das vektorielle erschiebungsfeld û(x, y, z)enthält die Komponenten u(x, y, z), v(x, y, z) und w(x, y, z). u ist die erschiebung in x-richtung, v die in y- Richtung und w die erschiebung in z-richtung: [ ût u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) ] (731) 1 Ausgangspunkt der Betrachtung des räumlichen Spannungszustandes ist die Darstellung elastostatischer Probleme im Kap. 3 auf der S. 61 für den dreidimensionalen Fall. P. Steinke, Finite-Elemente-Methode, DOI 1.17/ _9, Springer-erlag Berlin Heidelberg 215

4 Räumlicher Spannungszustand Bild 9.2. Das räumliche Spannungsproblem im Tonti-Diagramm dargestellt Dehnungen Das Dehnungsfeld ist ein dyadisches Feld (s. (33) auf der S. 29) mit den sechs Komponenten ε xx, ε yy, ε zz, γ xy, γ yz und γ zx. Die Dehnungen werden wie auch die Spannungen im Rahmen der FEM als ektor geschrieben: [ ε T ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx ] (732) Spannungen Das Spannungsfeld stellt sich als dyadisches Feld mit den sechs Komponenten σ xx, σ yy, σ zz, σ xy, σ yz und σ zx dar. Sie werden analog zu den Dehnungen in ektorform geschrieben: [ σ T σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx ] (733) Die Feldgleichungen des räumlichen Problems Die drei Felder des räumlichen Problems werden über die drei Feldgleichungen (Kinematik-, Stoff- und Gleichgewichtsgleichung) miteinander verknüpft. Kinematische Beziehung Die kinematische Beziehung ε L û (s. Bild 9.2) lautet in ausführlicher Schreibweise:

5 9.2 Die Grundgleichungen des räumlichen Problems 299 ε ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx u x v y w z u y + v x v z + w y u z + w x x y z y z x y z x L u v w L û (734) Über den Differentialoperator L werden die erschiebungen û mit den Dehnungen ε verknüpft. Stoffgleichungen Mit Hilfe der Stoffmatrix D und der Beziehung σ D ε lassen sich aus den Dehnungen ε die Spannungen σ berechnen. In ausführlicher Form: σ σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx α ν ν ν α ν E ν ν α (1 + ν)(1 2 ν) }{{} β γ β β D ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx D ε (735) In der Stoffmatrix D tritt für den isotropen Fall neben dem Elastizitätsmodul E noch die Querkontraktion ν auf (α 1 ν, β (1 2ν)/2). Gleichgewichtsbeziehung Die Gleichgewichtsbeziehung L T σ+ ˆb (s. Bild 9.2) schreibt sich in ausführlicher Form:

6 3 9. Räumlicher Spannungszustand x y z y x z y z x σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz + b x b y b z (736) σ zx Der ektor ˆb beschreibt sogenannte olumenkräfte. Dies sind innere Kräfte, die an das olumen gekoppelt sind. Mit Hilfe des Beschleunigungsvektors g und der Dichte ρ lassen sie sich schreiben als: ˆb [ T ρ g x g y g z ]. Randbedingungen Die wesentlichen Randbedingungen u û werden dem Rand Ω u aufgeprägt (s. Bild 9.1), wobei auch punktförmige Lagerungen möglich sind. Die natürlichen Randbedingungen der Form n σ ˆp werden dem Rand Ω p zugeordnet. Dabei stellt sich ˆp als aufgeprägte Flächenlast dar. Die Matrix n ist in (151) auf der S. 63 definiert Das Funktional des räumlichen Problems Das Gesamtpotential für den räumlichen Fall lautet: Π 1 2 ε T σd ût ˆbd ût ˆpdA u T F (737) Ω Die Formänderungsarbeit 1/2 εt σd läßt sich über die Beziehungen (734) und (735) beschreiben. In dem Potential der olumenkräfte û T ˆbd geht das erschiebungsfeld nach (731) ein. Der ektor ˆb ρ g enthält die Dichte ρ und einen Beschleunigungsvektor g. DerTerm Ω û T ˆpdA erfaßt die Flächenlast ˆp, dieaufderfläche Ω p zu finden ist. Der letzte Term in (737) beschreibt das Potential der Einzelkräfte.

7 9.4 Das vierknotige Tetraederelement Das vierknotige Tetraederelement olumenkoordinaten In Bild 9.3 ist ein Tetraeder in vier Teilvolumina zerlegt worden, wobei ein Teilvolumen aus dem Tetraeder herausgedreht worden ist. Die Eckpunkte sind jeweils mit den Ziffern 1 bis 4 belegt. Im Tetraeder wird ein Punkt P betrachtet. Die Teilvolumina werden dadurch gebildet, daß von P Kanten zu den Eckpunkten gezogen werden. Diese wiederum bilden Flächen, die sich gleichzeitig als Schnittflächen zwischen den Teilvolumina darstellen. Zur Einführung der olumenkoordinaten L 1,L 2,L 3 und L 4 werden nachfolgende erhältnisse zwischen den Teilvolumina und dem olumen des Tetraeders gebildet: L ; L ; L ; L (738) Bild 9.3. Tetraederelement in vier Teilvolumina unterteilt Das Teilvolumen ijk ist das olumen, das die Eckpunkte ijk aufweist. Mit Hilfe der nachfolgenden Beziehung lassen sich die olumenkoordinaten L 1 bis L 4 eines Punktes P, der innerhalb des Tetraeders liegt, in kartesische Koordinaten umrechnen: L 1 x x 1 x 2 x 3 x 4 L 2 y y 1 y 2 y 3 y 4 L 3 z z 1 z 2 z 3 z 4 L 4 }{{} x C L (739)

8 32 9. Räumlicher Spannungszustand Das vierknotige Tetraederelement in globalen Koordinaten In Bild 9.4 ist ein vierknotiges Tetraederelement in einem globalen Koordinatensystem dargestellt. Es weist die Knoten 1 bis 4 auf. Für den dritten Knoten sind die Freiheitsgrade des Knotens, nämlich die erschiebungen u, v und w eingezeichnet. Knoten 1 zeigt die möglichen Belastungen eines Knotens. Bild 9.4. Tetraederelement in einem globalen x, y, z-koordinatensystem Diskretisierung des Funktionals Formfunktionen des vierknotigen Tetraederelementes Ansatzfunktion für die erschiebungen Die Ansatzfunktion für die drei erschiebungen u, v, w wird in den olumenkoordinaten formuliert. Es steht φ stellvertretend für u, v oder w: φ a + a 1 L 1 + a 2 L 2 + a 3 L 3 a T x x T a (74) Interpolationsbedingungen φ(l 1 1,L 2 L 3 L 4 )φ 1 a + a 1 φ 1 φ(l 2 1,L 1 L 3 L 4 )φ 2 a + a 2 φ 2 φ(l 3 1,L 1 L 2 L 4 )φ 3 a + a 3 φ 3 φ(l 4 1,L 1 L 2 L 3 )φ 4 a φ 4 (741) Als lineares Gleichungssystem geschrieben:

9 9.5 Diskretisierung des Funktionals a 1 1 a a 2 1 a 3 A a φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ (742) Einsetzen von a A 1 φ in (74) führt auf die Formfunktionen N: [ φ x T A 1 φ 1 ] L 1 L 2 L 3 φ [ ] L 4 {}}{ φ (743) L 1 L 2 L 3 1 L 1 L 2 L 3 N T Damit lassen sich die drei erschiebungen u, v, w ausdrücken als: u L 1 u 1 + L 2 u 2 + L 3 u 3 + L 4 u 4 N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 + N 4 u 4 v L 1 v 1 + L 2 v 2 + L 3 v 3 + L 4 v 4 N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 v 4 w L 1 w 1 + L 2 w 2 + L 3 w 3 + L 4 w 4 N 1 w 1 + N 2 w 2 + N 3 w 3 + N 4 w 4 (744) Die Größen u i,v i und w i sind die erschiebungen im Knoten i. Dievoranstehenden Gleichungen lassen sich in Matrixform schreiben als:

10 34 9. Räumlicher Spannungszustand u v w û L 1 L 2 L 3 L 4 L 1 L 2 L 3 L 4 L 1 L 2 L 3 L 4 }{{} N u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 u 4 v 4 w 4 u (745) Der ektor û enthält die erschiebungen im Element, die Matrix N die Formfunktionen und der ektor u die Knotenverschiebungen Dehnungs-erschiebungs-Beziehung Der Dehnungsvektor ε in (734) läßt sich mit (745) schreiben als: ε L û L N u B u (746) Die erschiebungen sind nach (744) in olumenkoordinaten beschrieben. Daher muß der Operator L aus (746) ebenfalls in olumenkoordinaten ausgedrückt werden. Nach der Kettenregel erhält man: L 1 x L 1 x L 2 L 2 x + y L 1 x + y L 2 y + z L 1 y + z L 2 z z L 3 x L 3 x + y L 3 y + z L 3 z (747) In Matrizenform:

11