Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme

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1 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme Vorlesung Sommersemester 013 Humboldt-Universität zu Berlin Zeiten können noch nach Wunsch vereinbart werden! Kontakt: Dr. Rüdiger Müller Weierstraß-Institut Mohrenstraße Berlin 3 gängige Mythen 1) große dünn besetzte lineare Gleichungssysteme (LGS) stammen von der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen (PDEs) ) große dünn besetzte lineare Gleichungssysteme (LGS) müssen in der Praxis iterativ gelöst werden 3) die Freiheitsgrade sind so zu sortieren, dass die Bandbreite der Matrix minimiert wird

2 Sparse Matrizen Sparse Matrix Definition Eine Matrix A R N N heißt sparse (dünn besetzt), falls bei der Matrix-Vektor-Multiplikation b = Ax, d.h. b i = N A ik x k, für 1 i N k=1 der Aufwand von der Ordnung O(N) ist (und nicht O(N )) Bemerkung Def. macht keine Aussage über die Größe von N Beispiele Bandmatrix mit Bandbreite b N pro Zeile sind maximal c N Einträge 0

3 Sparse Matrix Sammlungen Harwell-Boeing Sparse Matrix Collection I. Duff, R. Grimes, J. Lewis University of Florida Sparse Matrix Collection T. Davis, Y. Hu Speicherung von Sparse Matrizen Speicheraufwand O(N), aber keine eindeutige Darstellung der Matrix kein eigener Datentyp in Programmiersprachen z.b. in Sparsekit (Y. Saad) 15 sparse Formate

4 Coordinaten-Format Sparse Matrix-Formate - Coo IA = (0,, 1, 0, 1, 4, 3, 0,, 3, 3,, 4, 1) JA = (0,, 0,, 1, 4, 4, 1, 3,, 3, 0, 3, 1) A = (4, 7, 3, 8, 1, 3, 1,, 6,, 5, 1, 8, ) Reihenfolge nicht vorgeschrieben Summation bei mehrfachen Indexpaaren flexibel, schnelles Zufügen von Einträgen ungünstig für Matrix-Vektor-Multiplikation Compressed Sparse Row Sparse Matrix-Formate - CSR IA= (0, 0, 0, 1, 1,,,, 3, 3, 3, 4, 4) IA = (0, 3, 5, 8, 11, 13) JA = (0, 1,, 0, 1, 0,, 3,, 3, 4, 3, 4) A = (4,, 8, 3, 3, 1, 7, 6,, 5, 1, 8, 3) Sortierung erschwert Zufügen von Einträgen günstig für Matrix-Vektor-Multiplikation spaltenorientiert CSC Transposition Variante: feste Anzahl pro Zeile Ellpack-Itpack Format

5 Sparse Matrix-Formate - Dia Diagonalen-Format NDiag = 5 IOff = (,, 0, 1, ) A = höherer Speicherbedarf Möglichkeit zur Vermeidung indirekter Adressierung Das Poisson Modell Problem (PMP)

6 Laplace-Operator je nach Raumdimension d=1: d=: d=3: u = x u u = x u y u u = x u y u z u = u xx = u xx u yy = u xx u yy u zz Taylor-Reihe: u (x + h) = u(x) + h u (x) + h u (x) + h3 6 u (x) + h4 4 u(iv) (x) + u (x h) = u(x) h u (x) + h u (x) h3 6 u (x) + h4 4 u(iv) (x) + = u (x) = u(x+h) +u(x) u(x h) h + O(h ) Differenzen-Stern Poisson Gleichung u = f Gitter mit Schrittweite h d = 1: U i,j u(ih) U i+1 + U i U i = h f i h d = : U i,j u(ih, jh) U i+1,j U i,j+1 + 4U i,j U i,j U i,j = h f i,j 4 h d = 3: U i,j,k u(ih, jh, kh) 6U i,j U i+1,j,k U i,j+1,k U i,j,k+1 6 U i,j,k U i,j,k U i,j,k = h f i,j,k h

7 u = f in Ω = (0, 1) d u = 0 auf Ω Gitter mit Schrittweite h = 1/(K + 1) Nur innere Knoten benötigt Lexikographische Sortierung Poisson-Modell-Problem U i+k U i+1 +4U i U i U i K = h f i S U = F, T T... S = T mit F i = h f i and T 4 4 mit T = Finite-Elemente-Methode Poisson-Problem u xx u yy = f Ansatz u h = in Ω u = 0 auf Ω N U i ϕ i i=1 P1-Ansatzfunktionen: ϕ i stückweise linear, stetig schwache Form Ω ϕ i u h dx = Ω ϕ i f dx S U = F, mit S ik = Ω ϕ i ϕ k dx

8 Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix Steifigkeitsmatrix mit S ik = Ω ϕ i ϕ k dx, S ist symmetrisch positiv definit Aus der Definition ist die Symmetrie offensichtlich min. Kantenlänge h FE-Funktion w h mit Koeffizientenvektor W W T S W = w h w h dx = w h 0. S ist dünn besetzt Differentialoperatoren lokal in Umgebung definiert S ist schlecht konditioniert für h 0 Konditionszahl ist Ω κ(s) := λ max (S) / λ min (S) h durch κ(s) h Genauigkeit noch nicht beeinträchtigt iterativen Löser: Anzahl der Iterationen hängt von κ(s) ab bei Gitterverfeinerung steigt Rechenaufwand überproportional Inhaltsübersicht LU-Zerlegung Basis-Iterationen CG-Verfahren, Krylov-Unterraum-Methoden Beschleuniger Vorkonditionierer Mehrgittermethoden Gebietszerlegung

9 Literatur Hackbusch, W. Iterative Lösung großer Gleichungssysteme. BG Teubner Verlag, Stuttgart, Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems. SIAM, saad/itermethbook_nded.pdf Barrett, R, et al. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods. SIAM, Aufgabe Löse mit LU-Zerlegung x =