Elektrischer Schaltkreis lin. Gleichungssystem
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1 Inhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme II Gestaffelte Systeme II2 LU-Zerlegung II3 QR-Algorithmen Kapitel II (UebersichtKapI) Beispiel : Elektrischer Schaltkreis I R I R 4 4 U I 2 R 2 R I 5 5 R 3 I 3 Gegeben: Klemmspannung U, Widerstände R,,R 5 Gesucht: Ströme I,,I 5 Kapitel II (numalg2) 2
2 Elektrischer Schaltkreis lin Gleichungssystem Kirchhoffsche Gesetze, Ohmsches Gesetz führen auf Ax = b mit A = R 4 R 5, x = R R 3 I I 2 I 3 I 4 I 5, b = U Kapitel II (numalg3) 3 Elektrischer Schaltkreis Gauß Algorithmus A = A () = R 4 R 5 R R 3 A () = R 4 R 5 R + R 3 R Kapitel II (numalg4) 4
3 A (2) = R 4 +R 5 R + +R 3 R R + A (3) = R 4 +R 5 R R 4 (+ R + R 3 ) R 3 R 5 (+ R + R 3 ) A (4) = R 4 +R 5 R R 3 (R 4 +R 5 )(+ R + R 3 ) Kapitel II (numalg5) 5 A = LU mit und Elektrischer Schaltkreis, Gauß Algorithmus L = R R + + R + R 3 R R 4 (+ R + R 3 ) U = A (4) = R 4 +R 5 R R 3 (R 4 +R 5 )(+ R + R 3 ) Kapitel II (numalg6) 6
4 Einfluss von Rundungsfehlern Beispiel: Löse das LGS Ax = b mit Gauß Elimination (Rechengenauigkeit fünf Dezimalstellen) Richtige Lösung A := , b := x := Gauß Elimination ohne Pivotsuche: A := x op := Kapitel II (numalg7) 7 Gauß Elimination mit Pivotsuche: x op x = x mp := ( ), x mp x = Verfahren mit Pivotsuche genauer! Kapitel II (numalg7) 8
5 LU-Zerlegung Pivotsuche Löse das LGS Ax = b mit ε A :=, b := 2 Gauß Elimination ohne Pivotsuche: ε A = L U = ε ε Gauß Elimination mit Pivotsuche: PA = L 2 U 2 = ε ε κ(u i ) in Abhängigkeit von ε 4 κ(u ) ohne PS κ(u 2 ) mit PS 2 2 Kondition wird durch Pivotsuche verbessert Kapitel II (numalg8) 9 LU-Zerlegung, Pivotsuche Vergleich mit Lösung auf 4 signifikante Stellen: ε x ( exakt ) x (ohne PS) x (mit PS) ohne PS mit PS 8 rel Residuum := A x b 6 b 2 Verfahren ohne Pivotsuche kann komplett falsche Ergebnisse liefern (Fehler > %) Kapitel II (numalg9)
6 Einfluss der Bandstruktur auf Fill-In Permutationsmatrizen P erlauben die Vertauschung der Zeilen (bei Multiplikation von links) und der Spalten (bei Multiplikation von rechts) einer Matrix A Für diese gelten P = P Ax = b (PA)x = Pb, AP Px = b (AP )ˆx = b mit ˆx = Px Die Bandstruktur der Matrix A bleibt bei der LU-Zerlegung erhalten, dh außerhalb der Bandstruktur treten keine weiteren Einträge auf, jedoch können die Nulleinträge innerhalb der Bandstruktur verschwinden (Fill-In) Ziel: Finden von geeigneten Permutationen der Matrix A, so dass möglichst geringe Bandbreite entsteht Hierzu gibt es Minimierungsalgorithmen zb von Cuthill-McKee Kapitel II (numalg) LU Zerlegung: Matrix-Struktur Beispiel: 5-Punkte-Stern aus Finite-Differenzen Diskretisierung (lexikographische Numerierung) n = 64 n = 256 n = 24 A nz = 288 nz = 26 nz = 4992 L nz = 59 nz = 4 nz = Kapitel II (numalg2) 2
7 LU Zerlegung: Matrix-Struktur Beispiel: 5-Punkte-Stern aus Finite-Differenzen Diskretisierung (Zufalls-Numerierung) n = 64 n = 256 n = 24 A nz = 288 nz = 26 nz = 4992 L nz = 622 nz = 59 nz = 7932 Kapitel II (numalg4) 3 LU Zerlegung: Rechenzeit 4 Zufall Lexikographisch n Rechenzeit stark (asymptotisch) von Nummerierung abhängig! Kapitel II (numalg5) 4
8 QR-Zerlegung mit Householder Zerlegung einer Matrix A R n m in A = QR mit orthonormaler Matrix Q R n n, dh Q Q = I, und oberer Rechtecksmatrix R R n m Q = Q n Q n 2 Q 2 Q Für den k-ten Schritt gilt Q k a = a n k Kapitel II (numalg2) 5 Householder-Transformation a = ( 8, 5) 5 β = a + a 2 sign(a )e v = a+ a 2 sign(a )e β = ( 6) Q = Id 2 ( vv ) v v = Qa = (7, ) a v H Qa Householder-Transformation entspricht Spiegelung an Hyperebene Kapitel II (numalg2) 6
9 QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen Zerlegung einer Matrix A R n m in A = QR mit orthonormaler Matrix Q R n n, dh Q Q = I, und oberer Rechtecksmatrix R R n m Q T = Q n Q 2 Q, Q k = G (k) k,(k+) G(k) (k+),(k+2) G(k) (n ),n Für die Rotation G (k) (j ),j, j > k, gilt a k G (k) (j ),j a j = a j Kapitel II (numalg23a) 7 G k,l c = cos(ϕ) = Id x k k = x l l Givens-Rotation G k,l c s Id ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ x k = x k x 2 l +x 2 r, k s c Ü Ð x k r = x l Id s = sin(ϕ) = x l = x l x 2 l +x 2 r k ³ Ü Ö Givens Rotation entspricht Drehung auf die Richtung (,,,,,,) Kapitel II (numalg23b) 8
10 Q Id QR-Zerlegung mit Givens (Algorithmus) for k=,,m- { for i=m,,k+ { Bestimme G (k) (i ),i, so dass ( G (k) (i ),i A )i,k = A G (k) (i ),i A Q G (k) (i ),i Q } } Q Q Kapitel II (numalg23c) 9 Vergleich LU mit QR Zerlegung Die Wilkinson-Matrix Löse das LGS Wx = b, W R n n, mit W :=, b := mit LU Zerlegung und mit QR Zerlegung (Exakte Lösung: x = ( n,, n, n )T ) ṇ n 2 n, Kapitel II (numalg6) 2
11 Vergleich LU mit QR Zerlegung Konditionszahl und Residuum 5 κ(w) κ(u) Residuum LU 5 Fehler LU Residuum QR Fehler QR κ(u) 2 n2n κ(w) rel Residuum := W x b b Schlechte Kondition der Rückwärtssubstitution (κ(w) κ(u)); QR robuster Kapitel II (numalg7) 2 Vergleich LU mit QR Zerlegung Nachiteration LGS Wx = b x mittels LU Zerlegung berechnete Lösung 5 Fehler LU mit Nach It Fehler QR 6 Löse W x = b Ax (mit derselben LU-Zerlegung) x := x + x Nachiteration verbessert die Robustheit der LU-Zerlegung als Löser Kapitel II (numalg8) 22
12 Residuum vs Fehler Die Hilbert-Matrix Löse das LGS Hx = b, mit H R n n gegeben durch 5 h ij := für i,j =,,n und b j := i+j n h ij für j =,,n, i= mit LU Zerlegung und mit QR Zerlegung Exakte Lösung: x = (,,) T 5 5 Fehler LU Fehler QR Residuum LU Residuum QR Bei schlecht konditionierter Systemmatrix sind beide Verfahren gleich schlecht Kapitel II (numalg9) 23
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