Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom
|
|
- Alfred Lang
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom Gaußsche Elimination und Rückwärtssubstitution: Motivation am Beispiel, Verallgemeinerung und Algorithmus. Achtung: Durchführbarkeit nur bei nichtverschwindenden Pivotelementen! Aufwand des Gaußschen Algorithmus: 1 3 n3 + O(n 2 ) (Aufwandsmaß: Punktoperationen). Gaußsche Elimination, Eliminationsmatrizen G k und LR Zerlegung A = LR. Vorteile der LR Zerlegung bei vielen rechten Seiten und gleicher Koeffizientenmatrix. Reduktion des Aufwands durch Ausnutzen von Spezialstruktur: Tridiagonalmatrizen: Invarianz der Besetzungsstruktur unter Gaußelimination. Keine Elimination der ohnehin vorhandenen Subdiagonalnullen: Aufwand O(n).
2 Problem und Algorithmus Problem: Löse das lineare Gleichungssystem Ax = b Auswertung des Lösungsoperators f(a,b) = A 1 b zu Daten A R n,n, b R n Satz 9.7 Relative Kondition des Problems κ rel = κ(a) Algorithmus: Zerlegung des Lösungsoperators in Elementaroperationen x = A 1 b = g m g 1 (A,b) Qualitätskriterien: Aufwand und Stabilität
3 Algorithmus: Gaußsche Elimination... (Algorithmus 9.12) for k = 1 : n 1 do { for i = k + 1 : n do (falls a (k 1) 0!) { } } l ik = a(k 1) ik ; b (k) a (k 1) i for j = k + 1 : n do { } a (k) ij = a (k 1) ij = b (k 1) i l ik a (k 1) kj ; l ik b (k 1) k ; a (k) ik = 0 ;
4 Gestaffeltes Gleichungssystem:...und Rückwärtssubstitution 12 a (n 1) 1n 0 a (n 1) 22 a (n 1) 2n a (n 1) nn a (n 1) 11 a (n 1) Algorithmus 9.13 (Rückwärtssubstitution) x 1 x 2. x n b (n 1) 1 b (n 1) 2. b (n 1) n x n = 1 a (n 1) b (n 1) n nn for i = n 1 : ( 1) : 1 do x i = 1 n b (n 1) a (n 1) i ii j=i+1 a (n 1) ij x j
5 Matrix-Schreibweise A (k) = (I G k )A (k 1),A (0) = A, b (k) = (I G k )b (k 1), b (0) = b x = R 1 z, R = A (n 1), z = b (n 1) Eliminationsmatrizen: G k =.. l k+1,k l n,k 0 0 0, l i,k = a(k 1) ik a (k 1)
6 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Lösung mit dem Gaußschen Algorithmus: x x x > 10 3 Von 15 gültigen Stellen sind höchstens noch 3 übrig!
7 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Lösung mit dem Gaußschen Algorithmus: x x x > 10 3 Von 15 gültigen Stellen sind höchstens noch 3 übrig!
8 Stabilität Algorithmus: Zerlegung des Lösungsoperators in Elementaroperationen x = A 1 b = f(a,b) = g m g 1 (A,b) Runden der Elementaroperationen: g i = rd(g i ) Auswertungsfehler: x x x = f(a,b) = g m g 1 (A,b) relative, normweise Stabilität: Die kleinste Zahl σ mit der Eigenschaft x x x σeps + o(eps)
9 Hochauflösendes Stabilitätsanalyse (nur Elimination) for k = 1 : n 1 do { for i = k + 1 : n do (falls ã (k 1) 0!) { } } l ik = rd (ã(k 1) ) ik ; b(k) ã (k 1) i for j = k + 1 : n do { } ã (k) ij = rd(ã (k 1) ij = rd( b (k 1) i rd( l ik ã (k 1) kj )) ; rd( l ik b(k 1) k )) ; ã (k) ik = 0 ;
10 Vereinfachtes Stabilitätsanalyse I Ã (k) = rd((i G k )Ã(k 1) )),A (0) = A, b(k) = rd((i G k )b (k 1) )), b (0) = b Elementaroperationen: x = rd( R 1 z)), R = Ã (n 1), z = b (n 1) g k (B,y) = ((I G k )B,(I G k )y), k = 1,...,n 1, g n (R,z) = R 1 z Vereinfachungen: exakte Eliminationsmatrizen G k exakte Auswertung von (I G k )Ã(k 1) und (I G k ) b (k 1) exakte Auswertung von R 1 z
11 Vereinfachtes Stabilitätsanalyse I Ã (k) = rd((i G k )Ã(k 1) ),A (0) = A, b(k) = rd((i G k )b (k 1) ), b (0) = b x = rd( R 1 z), R = Ã (n 1), z = b (n 1) Satz 9.19 x x x σ G eps + o(eps), σ G = 2κ(A)σ K σ E σ K = n 1 k=1 κ(i G k ), σ E = n 1 i=1 n 1 j=i+1 κ(i G k ),
12 Vereinfachtes Stabilitätsanalyse II A (k) = (I G k )A (k 1),A (0) = A, b (k) = (I G k )b (k 1), b (0) = b x = R 1 z, R = rd(a (n 1) ), z = rd(b (n 1) ) Vereinfachungen: exakte Auswertung des gesamten Eliminationsschritts Satz: n 1 x x 2σ II eps, σ II = κ(a) x k=1 κ(i G k ) σ I
13 Vereinfachtes Stabilitätsanalyse II A (k) = (I G k )A (k 1),A (0) = A, b (k) = (I G k )b (k 1), b (0) = b x = R 1 z, R = rd(a (n 1) ), z = rd(b (n 1) ) Vereinfachungen: exakte Auswertung des gesamten Eliminationsschritts Satz: Unter der Voraussetzung R R / R < 1/κ (R) gilt x x x 2κ(R)eps + o(eps) Beweis: Satz 9.7
14 Abschätzung der Kondition von R κ(r) = κ ) (I G n k )A ( n 1 k=1 κ(a) n 1 k=1 κ(i G k ) = κ(a)σ K Satz: Es gilt κ(i G k ) = I G k (I G k ) 1 = max i=k+1,...,n (1+ l ik ) 2, l ik = a(k 1) ik a (k 1). Insbesondere ist κ(i G k ) = 1 a (k 1) ik = 0 i = k + 1,...,n.
15 Abschätzung der Kondition von R κ(r) = κ ) (I G n k )A ( n 1 k=1 κ(a) n 1 k=1 κ(i G k ) = κ(a)σ K Satz: Es gilt κ(i G k ) = I G k (I G k ) 1 = max i=k+1,...,n (1+ l ik ) 2, l ik = a(k 1) ik a (k 1). Insbesondere ist κ(i G k ) = 1 a (k 1) ik = 0 i = k + 1,...,n.
16 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Gauß Elimination: x x x > R = /3, κ (R) > /3
17 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Gauß Elimination: R = x x x > /3, κ (R) > /3
18 Beispiel: Die Wilkinson Matrix W n W n = R n,n κ(w) κ(r) κ (W n ) und κ (R n )
19 Algorithmische Konsequenzen Satz 9.20: κ(i G k ) = I G k (I G k ) 1 = max i=k+1,...,n (1+ l ik ) 2, l ik = a(k 1) ik a (k 1) Folgerungen: a (k 1) a (k 1) ik = l ik = a (k 1) a (k 1) ik = l ik = a (k 1) ik a (k 1) a (k 1) ik a (k 1) 0 = κ(i G k) 1 0 = κ(i G k) 1 Stabilität, falls a (k 1) a (k 1) ik
20 Gaußscher Algorithmus mit Spaltenpivotsuche Algorithmus 9.23 for k = 1 : n 1 do { k 0 = k for i = k + 1 : n do { } falls a (k 1) ik > a (k 1) k 0,k, setze k 0 := i Vertausche die k te Zeile mit der k 0 ten Zeile k ter Eliminationsschritt wie in Algorithmus } Folgerung: κ(i G k ) 2 = κ(r) 4 n 1 κ(a)
21 Gaußscher Algorithmus mit Spaltenpivotsuche Algorithmus 9.23 for k = 1 : n 1 do { k 0 = k for i = k + 1 : n do { } falls a (k 1) ik > a (k 1) k 0,k, setze k 0 := i Vertausche die k te Zeile mit der k 0 ten Zeile k ter Eliminationsschritt wie in Algorithmus } Folgerung: l ik 1 = κ(i G k ) 4 = κ(r) 4 n 1 κ(a)
22 LR Zerlegung mit Spaltenpivotsuche Satz 9.25: Die Gaußsche Elimination mit Spaltenpivotsuche liefert eine Zerlegung LR = PA mit unterer Dreiecksmatrix L, oberer Dreiecksmatrix R und einer Permutationsmatrix P. P A unterscheidet sich von A also nur durch Vertauschung der Zeilen. Beispiel: A = , P = , PA =
23 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Lösung mit dem Gaußschen Algorithmus mit Spaltenpivotsuche: x x x < Lösung auf 15 gültigen Stellen!
24 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Gaußschen Algorithmus mit Spaltenpivotsuche: R = , κ (R) = x x x < Lösung auf 15 gültigen Stellen!
25 Numerisches Beispiel gut konditioniertes System: κ (A) = 32 A = , b = Ax, x = /7 1/11 1/13 Gaußschen Algorithmus mit Spaltenpivotsuche: R = , κ (R) = x x x < Lösung auf 15 gültigen Stellen!
Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom
Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom 17114 Gaußsche Elimination und Rückwärtssubstitution: Motivation am Beispiel, Verallgemeinerung und Algorithmus Achtung: Durchführbarkeit nur bei nichtverschwindenden
MehrDer Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom
Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom 19.1.18 Gaußsche Elimination und Rückwärtssubstitution: Motivation am Beispiel, Verallgemeinerung und Algorithmus. Achtung: Durchführbarkeit nur bei
MehrKondition linearer Gleichungssysteme Vorlesung vom
Kondition linearer Gleichungssysteme Vorlesung vom 8.1.16 Konvergenz in normierten Räumen Definition: x (ν) x x x (ν) 0, für ν Satz: Die Konvergenz in R n und R n,n ist äquivalent zur komponentenweise
MehrStabilitätsanalyse des Gaußsche Algorithmus Vorlesung vom
Stabilitätsanalyse des Gaußsche Algorithmus Vorlesung vom 26.1.18 Auswirkung von Auswertungsfehlern: Beispiel und Definition der Stabilität. Stabilitätsanalyse in drei verschiedenen Auflösungen. Einfachster
MehrStabilitätsanalyse des Gaußsche Algorithmus Vorlesung vom
Stabilitätsanalyse des Gaußsche Algorithmus Vorlesung vom 22.1.16 Auswirkung von Auswertungsfehlern: Beispiel und Definition der Stabilität. Stabilitätsanalyse in drei verschiedenen Auflösungen. Einfachster
MehrLineare Gleichungssysteme, Teil 2
Lineare Gleichungssysteme, Teil 2 11. Vorlesung 27.1.12 Lineare Gleichungssysteme Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse dieses Problems Stabilitätsanalyse
MehrComputerorientierte Mathematik II
Computerorientierte Mathematik II Vorlesungen: Christoph Wehmeyer, Frank Noé Übungszettel: Christoph Wehmeyer Tutorien: Anna Dittus, Felix Mann, Dominik Otto 1. Anmeldung im KVV und im Campus Management!
MehrNumerik für Informatiker und Bioinformatiker. Daniel Weiß
Numerik für Informatiker und Bioinformatiker Daniel Weiß SS 202 Folgende Literatur bildet die Grundlage dieser Vorlesung: P Deuflhard, A Hohmann, Numerische Mathematik, Eine algorithmisch orientierte Einführung,
Mehrbekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR A = LR
LR-Zerlegung bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR Definition 2.17 Unter einer LR-Zerlegung einer Matrix A R n n verstehen wir eine
MehrVektor und Matrixnormen Vorlesung vom
Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 18.12.15 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse
MehrLineare Gleichungssysteme, LR-Zerlegung
Prof Thomas Richter 2 Juni 27 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomasrichter@ovgude Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 22627 Lineare Gleichungssysteme,
MehrIn diesem Kapitel betrachten wir direkte Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.
Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme 4 Problemstellung und Einführung In diesem Kapitel betrachten wir direkte Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Lineares Gleichungssystem: Gesucht ist
MehrVektor und Matrixnormen Vorlesung vom
Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 20.12.13 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse
MehrDirekte Verfahren für Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 1 Direkte Verfahren für Lineare Gleichungssysteme 11 Einführung (mündlich) 12 Das Gaußsche Eliminationsverfahren Es sei A IK n n eine invertierbare Matrix und b IK n ein gegebener Vektor Gesucht
MehrLineares Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem Ein System von m linearen Gleichungen in n Unbekannten besteht aus einer Menge von algebraischen Relationen der Form n a ij x j = b i, i =,...,m, j= wobei a ij R, i m, j n, die
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 4): Kapitel Version: 9 Mai 4 Lineare Gleichungssysteme Gegeben: A R n n mit det(a) b R n Gesucht: x R n mit Ax = b Zeilenäquilibrierung Möchten zunächst die Kondition des
Mehr1.4 Stabilität der Gauß-Elimination
KAPIEL 1. LINEARE GLEICHUNGSSYSEME 18 1.4 Stabilität der Gauß-Elimination Bezeichne x die exakte Lösung von Ax = b bzw. ˆx die mit einem (zunächst beliebigen Algorithmus berechnete Näherungslösung (inklusive
MehrElektrischer Schaltkreis lin. Gleichungssystem
Inhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme II Gestaffelte Systeme II2 LU-Zerlegung II3 QR-Algorithmen Kapitel II (UebersichtKapI) Beispiel : Elektrischer Schaltkreis I R
MehrInhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme
Inhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme II1 Gestaffelte Systeme II2 LU-Zerlegung II3 QR-Algorithmen Kapitel II (UebersichtKapI) 1 Beispiel 1: Elektrischer Schaltkreis
MehrComputergestützte Mathematik zur Linearen Algebra
Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Pivotwahl und Gleitkommaarithmetik Achim Schädle 3. und 20. Dezember 208 Achim Schaedle (HHU) CompLinA 3. und 20. Dezember 208 Instabilitäten bei Gauß-Elimination
MehrComputer-orientierte Mathematik
Computer-orientierte Mathematik 6. Vorlesung - Christof Schuette 30.11.18 Memo: Relative und Absolute Kondition Relative Kondition der Grundrechenarten: Addition, Multiplikation und Division liefern beruhigende
Mehr4. Großübung. Lösung linearer Gleichungssysteme
4. Großübung Lösung linearer Gleichungssysteme Gesucht x, x, x 3, x 4 R, sodass gilt. mit A R 4 4, x R 4, b R 4 x x + 3x 3 + x 4 = 5 6x 3x 7x x 4 = 5 4x + 4x + 5x 3 5x 4 = 3 8x + x + x 3 + x 4 = 8 3 x
Mehr2. Lineare Gleichungssysteme: direkte und iterative Lösungsverfahren
2. Lineare Gleichungssysteme: direkte und iterative Lösungsverfahren Problem (P2): Löse Ax = b, A R n und b R. 2.1 Satz: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) Ax = b ist für jedes b eindeutig lösbar;
MehrLineare Gleichungssysteme: direkte Verfahren
Sechste Vorlesung, 24. April 2008, Inhalt Lineare Gleichungssysteme: direkte Verfahren Dreiecksmatrizen Gauß-Elimination LR-Zerlegung Anwendungen: Determinante, Inverse 1 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 6. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 25. März 2010 Nachträge Gliederung Nachträge it Nachträge Wichtige Begriffe Eine Zusammenfassung der Folien 8 16 der letzten
Mehr1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
MehrAufwand und Komplexität Vorlesung vom Komplexität und Effizienz
Aufwand und Komplexität Vorlesung vom 15.12.17 Komplexität und Effizienz Aufwand: Anzahl dominanter Operationen (worst-case). Beispiel. Landau-Symbol O(n). Beispiel. Definition: Aufwand eines Algorithmus.
MehrKapitel 2: Lineare Gleichungssysteme
Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205 HM: Numerik (SS 205), Kapitel
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Beispiel: Feder Masse System festes Ende Feder k 1 Masse m 1 k 2 m 2 k 3 m 3 k 4 festes Ende u 0 = 0 Federkraft y 1 Verschiebung u 1 y 2 u 2 y 3 u 3 y 4 u 4 = 0 Grundlagen der
Mehr3 Lineare Algebra Vektorräume
3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +
Mehr2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen
(2.1) Sei x = (x n ) n=1,...,n R N, A = (a m,n ) m=1,...,m, n=1,...,n R M,N. a) Sei 1 m n N. Dann ist x[m : n] = (x k ) k=m,...,n R 1+n m Teilvektor von x. b) Seien 1 m 1 m 2 M, 1 n 1 n 2 N. Dann ist A[m
MehrMultiplikationen und Divisionen Hauptarbeit des Algorithmus liegt somit in der Berechnung der LR-Zerlegung. (n 1)n(2n 1) 6. = n3 3 n2.
KAPITEL LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Rechenaufwand der LR-Zerlegung: A A : n Divisionen, n 2 Multiplikationen und Additionen A L, R: Also insgesamt n j= j2 + j = n3 3 n 3 Multiplikationen und Divisionen
MehrCramersche Regel. Satz Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei. A j := (a 1,...,a j 1,b,a j+1,...
Cramersche Regel Satz 2.4. Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei A j := (a,...,a j,b,a j+,...,a n ) also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-spalte durch den
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 8 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Michael Rippl Fabio Gratl Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt: Gaußelimination mit Pivotsuche,
MehrLR Zerlegung. Michael Sagraloff
LR Zerlegung Michael Sagraloff Beispiel eines linearen Gleichungssystems in der Ökonomie (Input-Output Analyse Wir nehmen an, dass es 3 Güter G, G, und G 3 gibt Dann entspricht der Eintrag a i,j der sogenannten
MehrB - 8 Gauß - Elimination (1850) Lineare Systeme in zwei Variablen
B - 8 Die Grundlage dieses Verfahrens ist die Beobachtung, daß für zwei Funktionen f (x) und g(x) eines Vektors x und jeden beliebigen Skalar λ gilt: f (x) = 0 f (x) = 0 g(x) = 0 g(x) λf (x) = 0 } {{ }
MehrLineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
MehrCramersche Regel. Satz 2.26
ramersche Regel Satz 6 Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 6= Für das LGS Ax = b sei A j := (a,,a j, b, a j+,,a n ), also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-te Spalte durch den Vektor
MehrLineare Gleichungssysteme
Numerisches Programmieren Lineare Gleichungssysteme Nikola Tchipev 8..4 NumPro, 8..4 Folien von Professor Huckle, SoSe 4 NumPro, 8..4 Folien von Professor Huckle, SoSe 4 (mit Einschub) NumPro, 8..4 Übersicht
MehrDrehungen und Spiegelungen in R 2
Drehungen und Spiegelungen in R 2 Ist A eine orthogonale 2 2-Matrix, so ist A von der Form ( ) cos α sin α A = Drehung um den Winkel α sin α cos α oder ( ) cos α sin α A = Spiegelung an Achse mit Steigung
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
Höhere Ableitungen Interpolationsbedingungen d k Φ dx k (x j) = y (k) j, ( j =,,..., n; k =,,..., c j ) bestimmen das Hermite Interpolationspolynom Φ Π r mit r + = n ( + c j ). j= 2 Lineare Gleichungssysteme
MehrKlausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), Samstag, 19. August 2017
Verständnisfragen-Teil (5 Punkte) Jeder der 5 Verständnisfragenblöcke besteht aus 5 Verständnisfragen. Werden alle 5 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block
MehrDrehungen und Spiegelungen in R 2
Drehungen und Spiegelungen in R 2 Ist A eine orthogonale 2 2-Matrix, so ist A von der Form ( ) cos α sin α A = Drehung um den Winkel α sin α cos α oder ( ) cos α sin α A = Spiegelung an Achse mit Steigung
Mehr2. Direkte Verfahren zur Lösung. linearer Gleichungssysteme
2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 1 Einleitung (1) Eine zentrale Rolle bei numerischen Berechnungen spielen lineare Gleichungssysteme Es sind die am häufigsten auftretenden numerischen
MehrLösung Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 06 Dr. Meike Akveld Lösung Serie : Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung. Um zu zeigen, dass es sich bei den gegebenen Vektoren um Basen handelt,
MehrLineare Gleichungssysteme und die Methode der kleinsten Quadrate
Ludwig-Maximilians-Universität München Department für Computerlinguistik WS 2010/11 Hauptseminar Matrixmethoden in Textmining Dozent: Prof. Dr. Klaus Schulz Referentin: Sarah Söhlemann Lineare Gleichungssysteme
MehrAusgleichsprobleme. 3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme
1 Normalengleichung Ausgleichsprobleme A T A T = AA 2 Orthogonalisierungsverfahren A = Q R 3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme Typeset by FoilTEX 1 Motivation Ausgleichsprobleme treten meist dann auf, wenn
MehrLinear Systems and Least Squares
Linear Systems and Least Squares Vortragender: Gelin Jiofack Nguedong Betreuer: Prof. Dr. Joachim Weickert Proseminar: Matrixmethoden in Datenanalyse und Mustererkennung Wintersemester 2015/2016 18. November
Mehr1 Euklidische Approximation
1 Euklidische Approximation Sei V ein reeller euklidischer Vektorraum. Das Skalarprodukt in V wird mit, V und die Norm mit V bezeichnet. V N V sei ein Teilraum der Dimension N < mit Basis {φ n } n=1,...,n.
MehrBeginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011)
M. Sc. Frank Gimbel Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) 1 Motivation Ziel ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b (1) mit x, b R n und A R n n zu lösen.
MehrNumerik I. Universität zu Köln SS 2009 Mathematisches Institut Prof. Dr. C. Tischendorf Dr. M. Selva,
Universität zu Köln SS 009 Mathematisches Institut Prof. Dr. C. Tischendorf Dr. M. Selva, mselva@math.uni-koeln.de Numerik I Musterlösung 1. praktische Aufgabe, Bandmatrizen Bei der Diskretisierung von
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München WiSe 7 / 8 Institut für Informatik Univ.-Prof. Dr. Hans-Joachim Bungartz Michael Obersteiner Philipp Samfass Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 8. Übungsblatt:
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2015 Dr. Tobias Lasser Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8 Such-Algorithmen
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
Mehra ij x j max a ik = x 1 max max a ij x 0. a ij = e k 1 max
2.1 a) Sei x R n fest, aber beliebig gewählt. Sei i 0 {1,...,n} ein Index mit Dann gilt zunächst x i0 = max,...,n x i. x = max x i = x i0 = ( x i0 p) ( ) 1/p 1/p x i p = x p,...,n für alle p 1. Umgekehrt
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2017 Dr. Stefanie Demirci Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 3 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt:
MehrSerie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 06 Dr. Meike Akveld Serie : Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung. Gegeben seien die folgenden geordneten Basen B = (v, v, v, v ) und C = (w, w,
MehrEigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen.
Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen. Lineare Algebra I Kapitel 4 23. April 2013 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/
Mehr4 Determinanten. 4.1 Eigenschaften der Determinante. ME Lineare Algebra HT
ME Lineare Algebra HT 2008 86 4 Determinanten 4. Eigenschaften der Determinante Anstatt die Determinante als eine Funktion IC n n IC durch eine explizite Formel zu definieren, bringen wir zunächst eine
Mehr4.2.5 Das Cholesky-Verfahren
S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 34 4.2.5 Das Cholesky-Verfahren Für allgemeine invertierbare Matrizen kann das Gauß-Verfahren ohne Pivotsuche zusammenbrechen
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 3 und lineare Gleichungssysteme und
MehrKurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen
Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen Wintersemester 2012/201 Zwischentest Teil 1: 1. Was bedeuten die Bezeichnungen O(h) und o(h)? (Definition) (siehe Skript!)
MehrWirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 +
Mehr6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 208 6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations.
Mehr19. Januar Universität Erlangen-Nürnberg Department Mathematik PD Dr. Markus Bause. . Danach liefert die Gauss-Elinination. .
Universität Erlangen-Nürnberg Department Mathematik PD Dr Markus Bause Numerik I 9 Januar A Gegeben sei die Matrix A = a Führen Sie eine Zeilenskalierung der Matrix durch Klausur b Bestimmen Sie mit Hilfe
Mehr6 Lineare Gleichungssysteme
6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α
MehrErweiterungen der LR-Zerlegung
Prof. Thomas Richter 6. Juli 2017 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomas.richter@ovgu.de Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 06.07.2017 Erweiterungen
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 12. Übung: Woche vom (Lin.Alg.
Übungsaufgaben 12. Übung: Woche vom 16. 1.-20. 1. 2017 (Lin.Alg. I): Heft Ü 3: 2.1.11; 2.1.8; 2.1.17; 2.2.1; 2.2.3; 1.1.1; 1.1.4; Hinweis 1: 3. Test (Integration, analyt. Geom.) ist seit 9.1. freigeschalten
MehrDeterminanten - II. Falls n = 1, gibt es offenbar nur die identische Permutation, und für eine 1 1 Matrix A = (a) gilt det A = a.
Determinanten - II. Berechnung von Determinanten Wir erinnern, dass für A M(n n; K) gilt : det A = σ S n signσ a σ() a 2σ(2)...a nσ(n). Falls n =, gibt es offenbar nur die identische Permutation, und für
MehrLineare Algebra. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching October 6, 017 1 Erinnerung: Lineare Gleichungssysteme LGS Der allgemeine Fall hat m lineare Gleichungen, n
MehrOrthogonale Matrix. Definition 4.19
Orthogonale Matrix Ausgleichsprobleme sind häufig schlecht konditioniert. Matrix des Normalengleichungssystems kann nahezu singulär sein. Spezielle Matrixzerlegung für höhere numerische Stabilität: QR-Zerlegung
MehrRechenaufwand der LR- und LDL T - Zerlegung
6. Großübung Rechenaufwand der LR- und LDL T - Zerlegung Rückwärtseinsetzen Der Algorithmus kann der Folie 3.0 entnommen werden. Dieser kann in die folgenden Rechenoperationen aufgesplittet werden: Für
Mehr7 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus Anwendungen Determinanten
7 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus Anwendungen Determinanten 7.1 Dreiecks- und Diagonalmatrizen Linke untere bzw. rechte obere Dreiecksmatrizen sind
MehrSerie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 2017 Dr. Meike Akveld Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung 1. In dieser Aufgabe beweisen wir die Existenz der LR-Zerlegung einer quadratischen
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben).
Mehr2 Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme
2 Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme 2 Gauß Elimination Zu b Ê n und A Ê n n ist ein x Ê n gesucht mit Ax = b Die Lösung eines solchen n n-gleichungssystems ist sicherlich das am häufigsten in der
MehrTeil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.
Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 2 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr 4-6 und nv holtz@mathtu-berlinde Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do 2-4 und nv jokar@mathtu-berlinde Kapitel 4 Der
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrRückwärts-Einsetzen. Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n. = x n = b n /r n,n
Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b 1..... =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander
MehrKapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
Mehr3 Lineare Gleichungssysteme
3 Lineare Gleichungssysteme 3 Fortsetzung des Matrizenkalküls Als erstes beweisen wir einen einfachen Satz über den Rang von Matrizenprodukten Satz 3 (a) Für Matrizen A : Ã l m, B : Ã m n gilt rang AB
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 =
Mehr3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
MehrVorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel
Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3
Mehr4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen
4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme 4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen Satz 4.28 besagt, dass die LR-Zerlegung für beliebige reguläre Matrizen mit Pivotierung möglich ist.
Mehr(c) x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 2 6x 1 + 6x x 3 = 5
Musterlösungen zu Mathematik II (Elementare Lineare Algebra) Blatt Nathan Bowler A: Präsenzaufgaben. Zeilenstufenform und reduzierte Zeilenstufenform erkennen Welche der folgenden Matrizen sind in Zeilenstufenform?
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R. Käppeli L. Herrmann W. Wu Herbstsemester 2016 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6.1 Berechnen Sie die Determinanten der beiden
MehrTeil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.
Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 0 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr 4-6 und nv holtz@mathtu-berlinde Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do -4 und nv jokar@mathtu-berlinde Kapitel Die Determinante
Mehr7 Matrizen über R und C
$Id: matrix.tex,v. 0/0/0 5:7:7 hk Exp $ 7 Matrizen über R und C 7. Inverse Matrizen und reguläre lineare Gleichungssysteme In der letzten Sitzung hatten wir eine quadratische Matrix A regulär oder invertierbar
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
2 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b mit der n n-koeffizientenmatrix A und der rechten Seite b R n. Wir leiten zuerst eine Variante des Gauss-Algorithmus (LR-Zerlegung)
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 18.10.2012 Alexander Lytchak 1 / 12 Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Multiple-Choice-Test NumaMB F08 (30 Punkte) Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine
MehrMAV-NUM Applied Numerics Frühlingssemester Serie 4. (a) Berechnen Sie per Hand die LR-Zerlegung der Matrix
MAV-NUM Applied Numerics Frühlingssemester 08 Dr. Evelyne Knapp ZHAW Winterthur Serie 4 Aufgabe (LR Zerlegung Theorie): (a) Berechnen Sie per Hand die LR-Zerlegung der Matrix 3 0 0 0 (b) Lösen Sie mit
MehrSerie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:
Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]
MehrDeterminanten. I. Permutationen
Determinanten Durch Bildung der Determinante wird einer quadratischen (! Matrix eine gewisse Zahl zuordnet. Die Determinante tritt besonders bei Fragen der Flächen- bzw. Volumsberechnung auf (siehe auch
Mehr36 2 Lineare Algebra
6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so
MehrTEIL II LINEARE ALGEBRA
TEIL II LINEARE ALGEBRA 1 Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 101 Motivation Sei K ein fest gewählter Körper (zb K = R, C, Q, F p ) Betrachten das lineare Gleichungssystem (L) α 11 x 1 + α 12 x 2 + +
MehrFerienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 ( )
Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 2016/17 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 (29032017) 1 Lineare Gleichungssysteme Oft hat man es in der Physik mit unbekannten Größen zu tun, für
Mehr