Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen.

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1 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen. Lineare Algebra I Kapitel April 2013

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Agnieszka Miedlar, MA 462, Sprechstunden Dienstag Tutoren: Clauß, Große, Reinke, Sieg Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag, Mittwoch im MA004 (ausnahmsweise am im HE 101) Zulassung zur Klausur: mit 50% Punkten für Hausaufgaben in jeder Semesterhälfte Klausur: Mitte Juli

3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB).

4 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt d ij = ( s m ) a ik b kl c lj = l=1 k=1 s m (a ik b kl ) c lj l=1 k=1

5 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt d ij = ( s m ) s m a ik b kl c lj = (a ik b kl ) c lj l=1 k=1 l=1 k=1! Distributivität in R

6 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt ( s m ) s m d ij = a ik b kl c lj = (a ik b kl ) c lj = l=1 k=1 l=1 k=1! Distributivität in R ) s m m a ik (b kl c lj ) = b kl c lj l=1 k=1 k=1 a ik ( s l=1 = d ij. b)-e) Übung!

7 Matrizenmultiplikation und Block-Struktur NB: Matrizenmultiplikation respektiert Block-Struktur von Matrizen: z.b. A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 B C 11 B 11 C B 21 B 22 = C 21 C 22 C B A 41 A 42 A 31 B 31 C C 41 C 42 wo A ik, B kj, C ij Blockmatrizen der richtigen Grösse sind. D.h., alle Blöcke in einer Zeile müssen die gleiche Anzahl von Zeilen haben und alle Blöcke in einer Spalte die gleiche Anzahl von Spalten. Dazu müssen immer die Anzahl von Spalten von A ik und die Anzahl von Spalten von B kj übereinstimmen. Dann gilt C ij = 3 A ik B kj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + A 13 B 3j k=1 für alle i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2. Aufgabe: mit konkreten Zahlen ausprobieren!

8 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T.

9 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ ],

10 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ ], A T =

11 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ A = ], A T = ,.

12 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ A = ], A T = , A T = A..

13 Eigenschaften der Transponierten Lemma. Seien A, Ã Rn,m, B R m,s, r R. Dann gilt a) (A + Ã) T = A T + Ã T, b) (ra) T = ra T, c) (AB) T = B T A T, d) (A T ) T = A.

14 Eigenschaften der Transponierten Lemma. Seien A, Ã Rn,m, B R m,s, r R. Dann gilt a) (A + Ã) T = A T + Ã T, b) (ra) T = ra T, c) (AB) T = B T A T, d) (A T ) T = A. Beweis. a), b), d) sind offensichtlich. c) Sei A B = C = [c ij ] mit c ij = m C T = [c ij ]. Es gilt k=1 a ik b kj und A T = [a ij ], BT = [b ij ], c ij = c ji = m a jk b ki = k=1 m a kj b ik = k=1 m b ik a kj. k=1 und damit C T = B T A T.

15 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T.

16 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1.

17 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist.

18 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist.

19 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind.

20 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind. Beispiele: [ ], [ ], [ ].