Das characteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton

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1 Das characteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton Lineare Algebra I Kapitel Juni 2013

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Agnieszka Miedlar, MA 462, Sprechstunden Dienstag Tutoren: Clauß, Große, Reinke, Sieg Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag, Mittwoch im MA004 (ausnahmsweise am im HE 101) Zulassung zur Klausur: mit 50% Punkten für Hausaufgaben in jeder Semesterhälfte Klausur: Mitte Juli

3 Begleitmatrix Lemma Sei p(λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, so ist p(λ) charakteristisches Polynom von 0 a n 1 0 A p = a2 1 a 1

4 Begleitmatrix Lemma Sei p(λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, so ist p(λ) charakteristisches Polynom von 0 a n 1 0 A p = a2 1 a 1 Definition Die zu einem Polynom p(λ) konstruierte Matrix aus diesem Lemma heißt Begleitmatrix zu p(λ).

5 Begleitmatrix: Beweis Wir verwenden vollständige Induktion: I.A.: Für n = 1, d.h. p(λ) = λ + a 1, gilt mit A p = [ a 1 ] P Ap (λ) = det(λi 1 A p ) = λ + a 1 = p(λ). I.V.: Für Polynome kleineren Grades als n sei die Behauptung bewiesen. I.S.: λ a n. det(λi n A p ) = det λ a2 1 λ + a 1 λ a n a n. =λ det λ 0 a n det λ a2.. 1 λ a 2 1 λ + a 1 1 λ + a }{{} 1 nach I.V.

6 Begleitmatrix: Beweis II = λ (λ n 1 + a 1 λ n a n 2 λ + a n 1 ) 1 λ +( 1) (n 1) a n det 1 λ } {{ 1 } n 2 = λ n + a 1 λ n 1 + a n 2 λ 2 + a n 1 λ + ( 1) 2n 2 a n = p(λ).

7 Ähnliche Matrizen Definition Sei K ein Körper und seien A, B K n,n. A und B heißen ähnlich, falls es ein invertierbares Z K n,n gibt, so dass A = Z 1 BZ.

8 Ähnliche Matrizen Definition Sei K ein Körper und seien A, B K n,n. A und B heißen ähnlich, falls es ein invertierbares Z K n,n gibt, so dass A = Z 1 BZ. Theorem Wenn zwei Matrizen A, B K n,n ähnlich sind, so besitzen sie das gleiche charakteristische Polynom.

9 Ähnliche Matrizen Definition Sei K ein Körper und seien A, B K n,n. A und B heißen ähnlich, falls es ein invertierbares Z K n,n gibt, so dass A = Z 1 BZ. Theorem Wenn zwei Matrizen A, B K n,n ähnlich sind, so besitzen sie das gleiche charakteristische Polynom. Beweis: Sei A = Z 1 BZ, dann ist det(λi A) = det(λi Z 1 BZ) = det ( Z 1 (λzz 1 B)Z ) = det Z 1 det(λi B) det Z = det ( Z 1 Z ) det(λi B) = det(λi B).

10 Satz von Cayley und Hamilton Die Umkehrung von dem letzten Satz gilt nicht immer. Genauer werden wir das später sehen.

11 Satz von Cayley und Hamilton Die Umkehrung von dem letzten Satz gilt nicht immer. Genauer werden wir das später sehen. Ein fundamentaler Satz der Linearen Algebra ist der folgende Satz von Cayley und Hamilton. Satz von Cayley und Hamilton Sei K ein Körper und A K n,n mit dem charakteristischen Polynom P A (λ). Dann erfüllt A die Gleichung 0 = P A (A) = A n + a 1 A n a n 1 A + a n I n. Beweis: Für n = 1 ist der Satz klar. Für n 2 betrachte die Matrix Adj(λI A). Alle Einträge sind Polynome vom Grad n 1, es sind Minoren von λi A.

12 Satz von Cayley und Hamilton: Beweis Wir können also Adj(λI A) schreiben als n 1 Adj(λI A) = B i λ i mit B i K n,n. i=0

13 Satz von Cayley und Hamilton: Beweis Wir können also Adj(λI A) schreiben als n 1 Adj(λI A) = B i λ i mit B i K n,n. i=0 Nach dem Satz über die Adjungte folgt (λi A)Adj(λI A) = (λi A) ( n 1 ) B i λ i = P A (λ)i. i=0

14 Satz von Cayley und Hamilton: Beweis Wir können also Adj(λI A) schreiben als n 1 Adj(λI A) = B i λ i mit B i K n,n. i=0 Nach dem Satz über die Adjungte folgt und damit folgt (λi A)Adj(λI A) = (λi A) n 1 B i λ i+1 i=0 } {{ } n B i 1 λ i i=1 AB i λ i = n 1 i=0 ( n 1 ) B i λ i = P A (λ)i. i=0 P A (λ) P A (λ) = P A (λi ) mit P A (λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n.

15 Satz von Cayley und Hamilton: Beweis II Der Koeffizientenvergleich (für gleiche Potenzen von λ) ergibt λ n : A n B n 1 = I = A n B n 1 = A n λ n 1 : A n 1 B n 2 AB n 1 = a 1 I = A n 1 B n 2 A n B n 1 = a 1 A n 1. λ 1 : A B 0 AB 1 = a n 1 I = AB 0 A 2 B 1 = a n 1 A λ 0 : AB 0 = a n I = AB 0 = a n I

16 Satz von Cayley und Hamilton: Beweis II Der Koeffizientenvergleich (für gleiche Potenzen von λ) ergibt λ n : A n B n 1 = I = A n B n 1 = A n λ n 1 : A n 1 B n 2 AB n 1 = a 1 I = A n 1 B n 2 A n B n 1 = a 1 A n 1. λ 1 : A B 0 AB 1 = a n 1 I = AB 0 A 2 B 1 = a n 1 A λ 0 : AB 0 = a n I = AB 0 = a n I Addieren ergibt A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0.

17 Satz von Cayley und Hamilton: Beweis II Der Koeffizientenvergleich (für gleiche Potenzen von λ) ergibt λ n : A n B n 1 = I = A n B n 1 = A n λ n 1 : A n 1 B n 2 AB n 1 = a 1 I = A n 1 B n 2 A n B n 1 = a 1 A n 1. λ 1 : A B 0 AB 1 = a n 1 I = AB 0 A 2 B 1 = a n 1 A λ 0 : AB 0 = a n I = AB 0 = a n I Addieren ergibt A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0. Eigentlich hätten wir um diesen Beweis so durchzuführen erst einmal etwas detaillierter das Rechnen mit Variablen diskutieren müssen, denn der exakte mathematische Umgang mit Variablen ist mit großer Vorsicht zu betrachten. Dies würde aber einen großen formalen Aufwand erfordern und dafür ist hier nicht der richtige Platz.