Eigenwerte und Eigenvektoren

Transkript

1 Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra I Kapitel Juni 2013

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Agnieszka Miedlar, MA 462, Sprechstunden Dienstag Tutoren: Clauß, Große, Reinke, Sieg Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag, Mittwoch im MA004 (ausnahmsweise am im HE 101) Zulassung zur Klausur: mit 50% Punkten für Hausaufgaben in jeder Semesterhälfte Klausur: Mitte Juli

3 Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Sei K ein Körper und sei A K n,n. Falls u K n,1, u 0, und λ K die Gleichung Au = λu erfüllen, so heißt u Eigenvektor von A zum zugehörigen Eigenwert λ.

4 Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Sei K ein Körper und sei A K n,n. Falls u K n,1, u 0, und λ K die Gleichung Au = λu erfüllen, so heißt u Eigenvektor von A zum zugehörigen Eigenwert λ. Da Eigenvektoren immer ungleich 0 sind, folgt aus λ 1 u = λ 2 u, dass λ 1 = λ 2. Der Eigenwert zu u ist also eindeutig.

5 Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Sei K ein Körper und sei A K n,n. Falls u K n,1, u 0, und λ K die Gleichung Au = λu erfüllen, so heißt u Eigenvektor von A zum zugehörigen Eigenwert λ. Da Eigenvektoren immer ungleich 0 sind, folgt aus λ 1 u = λ 2 u, dass λ 1 = λ 2. Der Eigenwert zu u ist also eindeutig. Theorem Zu A K n,n gibt es einen Eigenvektor u mit Eigenwert λ genau dann, wenn λ Nullstelle des charakteristischen Polynoms P A (λ) ist.

6 Eigenwerte und das characteristische Polynom Theorem Zu A K n,n gibt es einen Eigenvektor u mit Eigenwert λ genau dann, wenn λ Nullstelle des charakteristischen Polynoms P A (λ) ist.

7 Eigenwerte und das characteristische Polynom Theorem Zu A K n,n gibt es einen Eigenvektor u mit Eigenwert λ genau dann, wenn λ Nullstelle des charakteristischen Polynoms P A (λ) ist. Beweis: P A (λ) = 0 det(λi A) = 0 das homogene Gleichungssystem (λi A)u = 0 hat mindestens eine nichttriviale Lösung, d.h. eine Lösung ungleich 0. u K n,1, u 0 mit λu = Au.

8 Eigenwerte und Eigenvektoren: Beispiel Eigenwerte und Eigenvektoren von A K 2,2 det(λi A) = det [ ] λ a11 a 12 a 21 λ a 22 = λ 2 (a 11 + a 22 ) }{{} Spur(A) λ 1,2 = Spur(A) 2 ± 1 2 Spur(A)2 4 det(a) x 2 ] y1 Eigenvektoren erhält man als Lösung von a 21 λ 1 a 22 [ ] [ λ2 a 11 a 12 [ λ1 a 11 a 12 ] [ x1 ] a 21 λ 2 a 22 y 2 λ + a 11 a 22 a 12 a }{{ 21 = 0 } det(a) = 0, = 0.

9 Eigenwerte in der Technik f 1, f, f 2 - Federkonstanten

10 Eigenwerte in der Technik f 1, f, f 2 - Federkonstanten Bewegungsgleichungen im Gleichgewicht: m 1 d 2 x 1 2 = f 1 x 1 + f (x 2 x 1 ) m 2 d 2 x 2 2 = f 2 x 2 f (x 2 x 1 )

11 Eigenwerte in der Technik II Führe Geschwindigkeiten v 1 = dx1, v 2 = dx2 ein. Dann gilt dv 1 dv 2 dx 1 dx 2 = 1 m 1 ( f 1 x 1 + f (x 2 x 1 )) = f 1 + f m 1 x 1 + f m 1 x 2, = 1 m 2 ( f 2 x 2 f (x 2 x 1 )) = f m 2 x 1 f + f 2 m 2 x 2, = v 1, = v 2.

12 Eigenwerte in der Technik II Führe Geschwindigkeiten v 1 = dx1, v 2 = dx2 dv 1 dv 2 dx 1 dx 2 y := ein. Dann gilt = 1 m 1 ( f 1 x 1 + f (x 2 x 1 )) = f 1 + f m 1 x 1 + f m 1 x 2, = 1 m 2 ( f 2 x 2 f (x 2 x 1 )) = f m 2 x 1 f + f 2 m 2 x 2, = v 1, = v 2. x 1 x 2 v 1 v 2 dy = = Ay = m 1 f m m f1+f f m 2 f +f2 y.

13 Eigenwerte in der Technik III Ansatz: y = e λt z wobei z C 4. dy = e λt λeλt z = Ae λt z = λz = Az = (λi A)z = 0 = λ ist Eigenwert und z Eigenvektor. Die Eigenwerte λ sind die Eigenfrequenzen des Systems.

14 Eigenwerte in der Technik III Ansatz: y = e λt z wobei z C 4. dy = e λt λeλt z = Ae λt z = λz = Az = (λi A)z = 0 = λ ist Eigenwert und z Eigenvektor. Die Eigenwerte λ sind die Eigenfrequenzen des Systems. Konkret wählen wir f 1 = f 2 = f = 1, m 1 = m 2 = 1 und erhalten: A =

15 Eigenwerte in der Technik IV det(λi A) = det λ λ λ λ = λ det 1 λ 0 λ λ det λ λ = λ(λ 3 + 2λ) ( λ 2 ) = λ 4 + 4λ = ω 2 + 4ω + 3 mit ω = λ 2 ω = 4± = 4± 4 2 = 2 ± 1, ω 1 = 1, ω 2 = 3, λ 1,2 = ±i, λ 3,4 = ± 3i.