PLU Zerlegung, Rang und Äquivalenz von Matrizen

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1 PLU Zerlegung, Rang und Äquivalenz von Matrizen Lineare Algebra I Kapitel 5 5. Mai 202

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 4-6 Webseite: holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag :30-3 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag 0-2 im MA004, Mittwoch 8-0 im H004 Klausur? Mittwoch 8-0 H004 Der Kurs gilt mit 50% Punkten für Hausaufgaben als bestanden Achtung: Die nächste Vorlesung ( um 8:00) ist in A 5.

3 PLU Zerlegung Theorem. Für jede Matrix A K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P K n,n, eine untere Dreiecksmatrix L GL n (K) mit -Diagonale und eine obere Dreiecksmatrix U K n,n so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist.

4 PLU Zerlegung Theorem. Für jede Matrix A K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P K n,n, eine untere Dreiecksmatrix L GL n (K) mit -Diagonale und eine obere Dreiecksmatrix U K n,n so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. Beweis: A hat ihre TNF Ũ: S n S n S A = Ũ, wobei Ũ eine obere Dreiecksmatrix ist. Da die Matrizen S bis S n invertierbar sind, ist A genau dann invertierbar, wenn Ũ invertierbar ist: Ũ = S n S A = A = S S n Ũ.

5 PLU Zerlegung Theorem. Für jede Matrix A K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P K n,n, eine untere Dreiecksmatrix L GL n (K) mit -Diagonale und eine obere Dreiecksmatrix U K n,n so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. Beweis: A hat ihre TNF Ũ: S n S n S A = Ũ, wobei Ũ eine obere Dreiecksmatrix ist. Da die Matrizen S bis S n invertierbar sind, ist A genau dann invertierbar, wenn Ũ invertierbar ist: Ũ = S n S A = A = S S n Ũ. Jedes S i hat die Form S i = s i,i s i+,i s n,i P i,ji mit j i i.

6 PLU Zerlegung: Beweis I Also S n S =... s n,n s 22 s s n,2... P 2,j2 s n,n s n,n s s 2 s s n, P n,jn P,j mit j i i für alle i =,..., n.

7 PLU Zerlegung: Beweis II Es gilt aber, dass durch die Multiplikation mit P n,jn... s n 2,n 2 s n,n 2 s n,n 2 0 in höchstens die letzten beiden Zeilen vertauscht werden, also kann man schreiben P n,jn s n 2,n 2 = s n 2,n 2 P n,jn. s n,n 2 s n,n 2 s n,n 2 s n,n 2 (Durch die Multiplikation AP ij werden die Spalten i und j in A vertauscht.)

8 PLU Zerlegung: Beweis III Analog gilt P k,jk s l,l s l+,l.... s n,l = s l,l s l+,l.... s n,l P k,jk für k = 2,..., n, l =,..., k.

9 PLU Zerlegung: Beweis III Analog gilt P k,jk s l,l s l+,l.... s n,l = s l,l s l+,l.... s n,l P k,jk für k = 2,..., n, l =,..., k. Es folgt per Induktion, dass S n S die Form L P hat, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und P eine Permutationsmatrix ist.

10 PLU Zerlegung: Beweis III Analog gilt P k,jk s l,l s l+,l.... s n,l = s l,l s l+,l.... s n,l P k,jk für k = 2,..., n, l =,..., k. Es folgt per Induktion, dass S n S die Form L P hat, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und P eine Permutationsmatrix ist. Also ist A = S Sn Ũ = P L Ũ = PLU.

11 Rang Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.

12 Rang Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang. Rang(A) min{m, n}.

13 Rang Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang. Rang(A) min{m, n}. 2. A K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.

14 Rang Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang. Rang(A) min{m, n}. 2. A K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n. 3. Ist A = BC, so gilt Rang(A) Rang(B).

15 Rang Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang. Rang(A) min{m, n}. 2. A K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n. 3. Ist A = BC, so gilt Rang(A) Rang(B). Beweis. Sei Q GL n (K), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC. In der Matrix QBC sind höchstens die ersten Rang(B) Zeilen von Null verscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit können in der TNF von A ebenfalls höchstens die ersten Rang(B) Zeilen von Null verschieden sein. Also Rang(A) Rang(B).

16 Weitere Eigenschaften von Rang 4. Es gibt Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit [ ] Ir 0 QAZ = 0 0 genau dann wenn Rang(A) = r.

17 Weitere Eigenschaften von Rang 4. Es gibt Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit [ ] Ir 0 QAZ = 0 0 genau dann wenn Rang(A) = r. Beweis. Ist Rang(A) = r = 0, dann ist A = 0. Sonst gibt es Q GL n (K) so dass QA in TNF ist. Es gibt dann eine Permutationsmatrix P K n,n, so dass wobei V K m r,r. PA T Q T = [ Ir 0 V 0 ],

18 Weitere Eigenschaften von Rang 4. Es gibt Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit [ ] Ir 0 QAZ = 0 0 genau dann wenn Rang(A) = r. Beweis. Ist Rang(A) = r = 0, dann ist A = 0. Sonst gibt es Q GL n (K) so dass QA in TNF ist. Es gibt dann eine Permutationsmatrix P K n,n, so dass PA T Q T = [ Ir 0 V 0 wobei V K m r,r. Nehmen wir nun [ Ir 0 Y = V Es folgt YPA T Q T = Mit Z = P T Y T ergibt sich das Resultat. I m r [ Ir ], ]. ].

19 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt.

20 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit

21 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m.

22 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m. Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist

23 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m. Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist B = Q AZ.

24 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m. Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist B = Q AZ. Reflexivität: Sind A = Q BZ, B = Q 2 CZ 2, dann ist

25 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m. Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist B = Q AZ. Reflexivität: Sind A = Q BZ, B = Q 2 CZ 2, dann ist A = (Q Q 2 )C(Z 2 Z ).

26 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m. Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist B = Q AZ. Reflexivität: Sind A = Q BZ, B = Q 2 CZ 2, dann ist A = (Q Q 2 )C(Z 2 Z ). Frage: Was bildet eine vollständige Menge von Repräsentanten dieser Äquivalenz?

27 Äquivalenz von Matrizen Zwei Matrizen A, B K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit A = QBZ gibt. Reflexivität: A = QAZ mit Q = I n und Z = I m. Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist B = Q AZ. Reflexivität: Sind A = Q BZ, B = Q 2 CZ 2, dann ist A = (Q Q 2 )C(Z 2 Z ). Frage: Was bildet eine vollständige Menge von Repräsentanten dieser Äquivalenz? Antwort: Die Menge [ ] Ir 0 { K n,m : r min{n, m}}. 0 0