Lineare Abbildungen und Matrizen

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1 Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Algebra I Kapitel 10 9 Juli 2013

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag Webseite: wwwmathtu-berlinde/ holtz Assistent: Agnieszka Miedlar, MA 462, Sprechstunden Dienstag Tutoren: Clauß, Große, Reinke, Sieg Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag, Mittwoch im MA004 (ausnahmsweise am im HE 101) Zulassung zur Klausur: mit 50% Punkten für Hausaufgaben in jeder Semesterhälfte Klausur: Mitte Juli

3 Darstellende Matrix Seien V, W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen { v 1,, v m } von V und { w 1,, w n } von W und sei f L(V, W ) Es gibt zu jedem f ( v j ) W, j = 1,, m, eindeutig bestimmte Koordinaten a ij K, i = 1,, n, so dass f ( v j ) = a 1j w a nj w n

4 Darstellende Matrix Seien V, W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen { v 1,, v m } von V und { w 1,, w n } von W und sei f L(V, W ) Es gibt zu jedem f ( v j ) W, j = 1,, m, eindeutig bestimmte Koordinaten a ij K, i = 1,, n, so dass f ( v j ) = a 1j w a nj w n Wir können mit Hilfe der Matrix A := [a ij ] K n,m die m Gleichungen für die Vektoren f ( v j ) als System schreiben: (f ( v 1 ),, f ( v m )) = ( w 1,, w n ) A Die Matrix A ist durch f und die gewählten Basen von V und W eindeutig bestimmt Sie heißt die Matrixdarstellung oder die darstellende Matrix der Abbildung f

5 Wirkung auf Koordinaten Ist v = λ 1 v λ m v m V, dann gilt f ( v) = f (λ 1 v 1 + λ m v m ) = λ 1 f ( v 1 ) + + λ m f ( v m ) = (f ( v 1 ),, f ( v m )) = ( w 1,, w n ) A λ 1 λ m λ 1 λ m = (( w 1,, w n ) A) λ 1 λ m

6 Wirkung auf Koordinaten Ist v = λ 1 v λ m v m V, dann gilt f ( v) = f (λ 1 v 1 + λ m v m ) = λ 1 f ( v 1 ) + + λ m f ( v m ) = (f ( v 1 ),, f ( v m )) = ( w 1,, w n ) A λ 1 λ m λ 1 λ m = (( w 1,, w n ) A) λ 1 λ m Die Koordinaten des Bildvektors f ( v) bezüglich der Basis { w 1,, w n } von W sind somit gegeben durch A λ 1 λ m

7 Matrixdarstellung ist selbst Isomorphismus Theorem Seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen B 1 = { v 1,, v m } von V und B 2 = { w 1,, w n } von W Dann ist die Abbildung L(V, W ) K n,m, f [f ] B1,B 2 ein Isomorphismus, wobei [f ] B1,B 2 die darstellende Matrix von f bezüglich B 1 und B 2 bedeutet Also L(V, W ) = K n,m und dim(l(v, W )) = dim(k n,m ) = n m Beweis: Zunächst zeigen wir, dass die Abbildung linear ist Sei die Abbildung dazu bezeichnet mit Mat, also Mat(f ) = [f ] B1,B 2 und seien f, g L(V, W ), sowie Mat(f ) = [f ] B1,B 2 = [f ij ] und Mat(g) = [g] B1,B 2 = [g ij ]

8 Für j = 1,, m gilt (f + g)( v j ) = f ( v j ) + g( v j ) = f ij w i + g ij w i = (f ij + g ij ) w i und somit Mat(f + g) = [f ij + g ij ] = [f ij ] + [g ij ] = Mat(f ) + Mat(g)

9 Für j = 1,, m gilt (f + g)( v j ) = f ( v j ) + g( v j ) = f ij w i + g ij w i = (f ij + g ij ) w i und somit Mat(f + g) = [f ij + g ij ] = [f ij ] + [g ij ] = Mat(f ) + Mat(g) Für λ K und j = 1,, m gilt (λf )( v j ) = λf ( v j ) = λ f ij w i = (λf ij ) w i und daher Mat(λf ) = [λf ij ] = λ [f ij ] = λ Mat(f )

10 Für j = 1,, m gilt (f + g)( v j ) = f ( v j ) + g( v j ) = f ij w i + g ij w i = (f ij + g ij ) w i und somit Mat(f + g) = [f ij + g ij ] = [f ij ] + [g ij ] = Mat(f ) + Mat(g) Für λ K und j = 1,, m gilt (λf )( v j ) = λf ( v j ) = λ f ij w i = (λf ij ) w i und daher Mat(λf ) = [λf ij ] = λ [f ij ] = λ Mat(f ) Die Abbildung f [f ] B1,B 2 ist deswegen linear

11 Für j = 1,, m gilt (f + g)( v j ) = f ( v j ) + g( v j ) = f ij w i + g ij w i = (f ij + g ij ) w i und somit Mat(f + g) = [f ij + g ij ] = [f ij ] + [g ij ] = Mat(f ) + Mat(g) Für λ K und j = 1,, m gilt (λf )( v j ) = λf ( v j ) = λ f ij w i = (λf ij ) w i und daher Mat(λf ) = [λf ij ] = λ [f ij ] = λ Mat(f ) Die Abbildung f [f ] B1,B 2 ist deswegen linear Bijektivität von Mat Ist f Kern(Mat), so gilt Mat(f ) = 0 K n,m, also f ( v j ) = 0, für j = 1,, m Daher ist f ( v) = 0 für alle v V, also f = 0 (die Nullabbildung) Somit ist f injektiv

12 Für j = 1,, m gilt (f + g)( v j ) = f ( v j ) + g( v j ) = f ij w i + g ij w i = (f ij + g ij ) w i und somit Mat(f + g) = [f ij + g ij ] = [f ij ] + [g ij ] = Mat(f ) + Mat(g) Für λ K und j = 1,, m gilt (λf )( v j ) = λf ( v j ) = λ f ij w i = (λf ij ) w i und daher Mat(λf ) = [λf ij ] = λ [f ij ] = λ Mat(f ) Die Abbildung f [f ] B1,B 2 ist deswegen linear Bijektivität von Mat Ist f Kern(Mat), so gilt Mat(f ) = 0 K n,m, also f ( v j ) = 0, für j = 1,, m Daher ist f ( v) = 0 für alle v V, also f = 0 (die Nullabbildung) Somit ist f injektiv Surjektivität Ist A = [a ij ] K n,m beliebig, so definieren wir die Abbildung f : V W durch f ( v j ) := n a ij w i, j = 1,, m Dann ist f linear und es gilt Mat(f ) = A, also ist Mat auch surjektiv

13 Für j = 1,, m gilt (f + g)( v j ) = f ( v j ) + g( v j ) = f ij w i + g ij w i = (f ij + g ij ) w i und somit Mat(f + g) = [f ij + g ij ] = [f ij ] + [g ij ] = Mat(f ) + Mat(g) Für λ K und j = 1,, m gilt (λf )( v j ) = λf ( v j ) = λ f ij w i = (λf ij ) w i und daher Mat(λf ) = [λf ij ] = λ [f ij ] = λ Mat(f ) Die Abbildung f [f ] B1,B 2 ist deswegen linear Bijektivität von Mat Ist f Kern(Mat), so gilt Mat(f ) = 0 K n,m, also f ( v j ) = 0, für j = 1,, m Daher ist f ( v) = 0 für alle v V, also f = 0 (die Nullabbildung) Somit ist f injektiv Surjektivität Ist A = [a ij ] K n,m beliebig, so definieren wir die Abbildung f : V W durch f ( v j ) := n a ij w i, j = 1,, m Dann ist f linear und es gilt Mat(f ) = A, also ist Mat auch surjektiv Es gilt damit dim(l(v, W )) = dim(k n,m ) = n m

14 Koordinatenabbildung Definition Ist B = {v 1,, v n } eine Basis des K-Vektorraumes V, so ist die Abbildung Φ B : V K n,1, v = λ 1 v λ n v n Φ B ( v) := λ 1 λ n, ein Isomorphismus, den wir die Koordinatenabbildung von V bezüglich der Basis B nennen

15 Koordinatenabbildung Definition Ist B = {v 1,, v n } eine Basis des K-Vektorraumes V, so ist die Abbildung Φ B : V K n,1, v = λ 1 v λ n v n Φ B ( v) := λ 1 λ n, ein Isomorphismus, den wir die Koordinatenabbildung von V bezüglich der Basis B nennen Beweis: Die Linearität von Φ B ist klar Zudem gilt offensichtlich Φ B (V ) = K n,1, dh Φ B ist surjektiv Ist v Kern(Φ B ), dann sind die Koordinaten von v bezüglich der Basis B gegeben durch λ 1 = = λ n = 0, woraus v = 0 und damit Kern(Φ B ) = { 0} folgt Also ist Φ B injektiv

16 Koordinatenabbildung und Basisübergang Sind Φ B1 und Φ B2 die Koordinatenabbildungen von Vektorräumen V und W der Dimensionen m bzw n, bezüglich der Basen B 1 und B 2, dann gilt f = Φ 1 B 2 [f ] B1,B 2 Φ B1, wobei die Matrix [f ] B1,B 2 K n,m als lineare Abbildung von K m,1 nach K n,1 interpretiert wird ( Die Abbildung Φ B2 ist invertierbar)

17 Koordinatenabbildung und Basisübergang Sind Φ B1 und Φ B2 die Koordinatenabbildungen von Vektorräumen V und W der Dimensionen m bzw n, bezüglich der Basen B 1 und B 2, dann gilt f = Φ 1 B 2 [f ] B1,B 2 Φ B1, wobei die Matrix [f ] B1,B 2 K n,m als lineare Abbildung von K m,1 nach K n,1 interpretiert wird ( Die Abbildung Φ B2 ist invertierbar) Spezialfall: V = W, also m = n, und f = Id V (die Identität auf V ) Für die Matrixdarstellung von Id V bez Basen B 1 = {v 1,, v n } und B 2 = {w 1,, w n } von V gilt ( v 1,, v n ) = ( w 1,, w n ) [Id V ] B1,B 2 Die Matrix [Id V ] B1,B 2 ist somit genau die Basisübergangsmatrix, mit der man die Koordinaten von v V bezüglich B 1 in Koordinaten bezüglich B 2 umrechnen kann Andererseits ( w 1,, w n ) = ( v 1,, v n ) [Id V ] B2,B 1 und daher gilt ([Id V ] B1,B 2 ) 1 = [Id V ] B2,B 1

18 Matrizenmultiplikation entspricht Komposition Hauptsatz Seien V, W und Y drei K-Vektorräume Sind f L(V, W ) und g L(W, Y ), dann gilt g f L(V, Y ) Sind V, W und Y endlichdimensional mit entsprechenden Basen B 1 = { v 1,, v m }, B 2 = { w 1,, w n } und B 3 = { y 1,, y s }, so gilt [g f ] B1,B 3 = [g] B2,B 3 [f ] B1,B 2

19 Matrizenmultiplikation entspricht Komposition Hauptsatz Seien V, W und Y drei K-Vektorräume Sind f L(V, W ) und g L(W, Y ), dann gilt g f L(V, Y ) Sind V, W und Y endlichdimensional mit entsprechenden Basen B 1 = { v 1,, v m }, B 2 = { w 1,, w n } und B 3 = { y 1,, y s }, so gilt [g f ] B1,B 3 = [g] B2,B 3 [f ] B1,B 2 Beweis Sei h := g f Wir zeigen zunächst, dass h L(V, Y ) ist Für u, v V und λ, µ K gilt h(λ u + µ v) = g(f (λ u + µ v)) = g(λf ( u) + µf ( v)) = λg(f ( u)) + µg(f ( v)) = λh( u) + µh( v)

20 Matrizenmultiplikation entspricht Komposition Hauptsatz Seien V, W und Y drei K-Vektorräume Sind f L(V, W ) und g L(W, Y ), dann gilt g f L(V, Y ) Sind V, W und Y endlichdimensional mit entsprechenden Basen B 1 = { v 1,, v m }, B 2 = { w 1,, w n } und B 3 = { y 1,, y s }, so gilt [g f ] B1,B 3 = [g] B2,B 3 [f ] B1,B 2 Beweis Sei h := g f Wir zeigen zunächst, dass h L(V, Y ) ist Für u, v V und λ, µ K gilt h(λ u + µ v) = g(f (λ u + µ v)) = g(λf ( u) + µf ( v)) = λg(f ( u)) + µg(f ( v)) = λh( u) + µh( v) Sind [f ] B1,B 2 = [f ij ] und [g] B2,B 3 = [g ij ], dann gilt für j = 1,, m, ( ) h( v j ) = g(f ( v j )) = g f kj w k = f kj g( w k ) = ( k=1 k=1 s ) ( s ) = f kj g ik y i = g ik f kj y i k=1 k=1 } {{ } =: h ij k=1 f kj s g ik y i

21 Matrizenmultiplikation entspricht Komposition Hauptsatz Seien V, W und Y drei K-Vektorräume Sind f L(V, W ) und g L(W, Y ), dann gilt g f L(V, Y ) Sind V, W und Y endlichdimensional mit entsprechenden Basen B 1 = { v 1,, v m }, B 2 = { w 1,, w n } und B 3 = { y 1,, y s }, so gilt [g f ] B1,B 3 = [g] B2,B 3 [f ] B1,B 2 Beweis Sei h := g f Wir zeigen zunächst, dass h L(V, Y ) ist Für u, v V und λ, µ K gilt h(λ u + µ v) = g(f (λ u + µ v)) = g(λf ( u) + µf ( v)) = λg(f ( u)) + µg(f ( v)) = λh( u) + µh( v) Sind [f ] B1,B 2 = [f ij ] und [g] B2,B 3 = [g ij ], dann gilt für j = 1,, m, ( ) h( v j ) = g(f ( v j )) = g f kj w k = f kj g( w k ) = ( k=1 k=1 s ) ( s ) = f kj g ik y i = g ik f kj y i k=1 k=1 } {{ } =: h ij Also gilt [h] B1,B 3 = [h ij ] = [g ij ] [f ij ] = [g] B2,B 3 [f ] B1,B 2, wie behauptet k=1 f kj s g ik y i