Koordinaten und darstellende Matrizen

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1 Koordinaten und darstellende Matrizen Olivier Sète 4 Juli 2008 Inhaltsverzeichnis Koordinatenabbildung 2 Definition und Eigenschaften 2 2 Beispiel 3 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus 3 2 Berechnung einer darstellenden Matrix 4 22 Zusammenhang zwischen darstellender Matrix und linearer Abbildung 5 23 Mehr Übersicht durch Diagramme 6 24 Beispiel 7 25 Matrixdarstellung von Verknüpfungen von linearen Abbildungen 9 3 Basiswechsel 0 3 Basiswechselmatrizen 0 32 Beispiel 2 33 Basiswechsel und darstellende Matrizen 3 34 Beispiel 4 4 Matrixdarstellung von Bilinearformen Sesquilinearformen) 5 4 Berechnung einer darstellenden Matrix 5 42 Basiswechsel und darstellende Matrizen bei Bilinearformen Sesquilinearform) 7 43 Beispiel 8

2 2 KOORDINATENABBILDUNG Koordinatenabbildung Ziel: Von einem beliebigen abstrakten) endlichdimensionalen K-Vektorraum in den konkreteren) K-Vektorraum K n wechseln, da man dort leichter rechnen kann viele Hilfsmittel) Definition und Eigenschaften Sei K ein Körper zum Beispiel R oder C, aber es funktioniert für jeden erdenklichen Körper!), und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit dim K V ) = n Bekanntlich existieren dann Basen, und wir wählen eine aus: Sei in dieser Reihenfolge) eine K-Basis von V B = {v,, v n } Dann gilt: für jedes v V existieren Koeffizienten α j K, j n, so dass sich v als Linearkombination der v j darstellen lässt: v = α j v j j= Die Koeffizienten α,, α n heißen Koordinaten von v bezüglich B) Schreibt man α,, α n als Vektor, nennt man das den Koordinatenvektor von v Wichtig: da B eine Basis ist, sind die α j eindeutig durch das v bestimmt Daher können wir eine Abbildung definieren, die dem v die α j, genauer den Koordinatenvektor, zuordnet Das ist die sogenannte Koordinatenabbildung Φ B bezüglich der Basis B): Φ B : V K n v Φ B v) := B Achtung: Φ B hängt natürlich von der Wahl der Basis ab Eine andere Basis definiert eine andere Koordinatenabbildung Der Index B am Vektor in K n soll andeuten, dass es sich um Koordinaten bezüglich der Basis B handelt Dies dient nur der Übersicht wo lebt dieses Objekt?), und wird natürlich meistens weggelassen Wir wollen ihn aber erstmal mitnehmen, da die Koordinaten eben von der Wahl der Basis abhängen α α n Man kann zeigen, dass Φ B ein Vektorraumisomorphismus zwischen V und K n ist dh Φ B ist ein bijektiver Vektorraumhomomorphismus) Dieser Sachverhalt wird oft ausgenutzt, um ein Problem von einem abstrakten Vektorraum V ein den konkreten Matrizenvektorraum K n zu übersetzen, da zu lösen, und dann zurückzurechnen zb um den Kern von linearen Abbildungen zu berechnen)

3 2 Beispiel 3 2 Beispiel Betrachte C[t] 3, den Raum der Polynome in t über C vom Grad kleiner gleich 3, als C- Vektorraum Es ist C[t] 3 = { a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 a0, a, a 2, a 3 C } Dann ist B = {, t, t 2, t 3} eine C-Basis von C[t] 3 dies ist die sogenannte kanonische Basis) Dann sieht die Koordinatenabbildung Φ B bezüglich der Basis B so aus: Φ B a3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ) = a a 2 a 3 Um einmal an einem Beispiel zu sehen, dass sich Koordinaten bezüglich verschiedener Basen unterscheiden, betrachten wir eine weitere Basis B = {, + t, t 2, t 3} Bezeichnet Φ eb die zu dieser Basis gehörige Koordinatenabbildung, so folgt Φ eb a3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ) = Φ eb a3 t 3 + a 2 t 2 + a + t) + a 0 a ) ) a 0 a = a a 2 a 3 Wir stellen fest: die Koordinatenvektoren des Polynoms sind bezüglich verschiedener Basen B und B) verschieden Andersherum kann es sein, dass Koordinatenvektoren bezüglich verschiedener Basen gleich aussehen, aber verschiedene Vektoren darstellen Zum Beispiel ist 0 Φ B t) = 0 0 B und eb eb a 0 B = Φ eb + t), von daher sind die Koordinatenvektoren nicht gleich, auch wenn es die selben 4 -Matrizen sind 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus Ziel: Beschreibe eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix, da man für Matrizen sehr gute Rechenverfahren hat auch computertaugliche!) ZB lässt sich ein Kern dann als Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems berechnen, wo man den Gauß-Algorithmus anwenden kann

4 4 2 MATRIXDARSTELLUNG EINES VEKTORRAUMHOMOMORPHISMUS 2 Berechnung einer darstellenden Matrix Sei K ein Körper und V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K V ) = n, dim K W ) = m und B V = {v,, v n } eine K-Basis von V, B W = {w,, w m } eine K- Basis von W Sei f : V W ein Vektorraumhomomorphismus =lineare Abbildung) Berechne die Bilder f v j ) der Basisvektoren v j von V Da j n : f v j ) W, lässt sich f v j ) in der Basis B W von W darstellen Dh es existieren eindeutige Elemente a ij K i m, j n) mit f v ) = a w + a 2 w a m w m f v 2 ) = a 2 w + a 22 w a m2 w m f v j ) = a j w + a 2j w a mj w m f v n ) = a n w + a 2n w a mn w m Dabei sind die Koeffizienten a ij die Koordinaten von f v j ), genauer ist [ a j a 2j ] T a mj B W der Koordinatenvektor von f v j ) Möchte man dies mit der Koordinatenabbildung schreiben, sieht dies so aus: Φ BW f v j )) = a j a 2j a mj B W Dann ist die darstellende Matrix f) von f bezüglich den Basen B V gegeben durch a a 2 a n a 2 a 22 a 2n f) = Km,n a m a m2 a mn und B W Beachte, dass die Koordinaten von f v ) in die erste Spalte kommen, die von f v 2 ) in die zweite, Nutzt man die Koordinatenabbildung, so kann man dies auch so schreiben: f) = [ Φ BW f v )) Φ BW f v 2 )) Φ BW f v n )) ] Wir haben eben gesehen, dass wir jeder linearen Abbildung f : V W eine eindeutige Matrix f) zuordnen können Dies können wir als Abbildung : L V, W ) K m,n f f)

5 22 Zusammenhang zwischen darstellender Matrix und linearer Abbildung 5 interpretieren dabei bezeichnet L V, W ) = Hom K V, W ) die Menge der linearen Abbildungen von V nach W ) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sogar ein Vektorraumisomorphismus ist 22 Zusammenhang zwischen darstellender Matrix und linearer Abbildung Frage: Was hat die berechnete Matrix mit der linearen Abbildung f zu tun? Wir werden beweisen, dass f v) = w f) Φ BV v) = Φ BW f v)) f) β β n BV = γ γ m BW, wobei v V und w := fv) W, mit Koordinatendarstellung in der jeweiligen Basis: v = w = β j v j =: [ β ] v v n j= β n m γ j w j =: [ w ] w m j= γ γ m B V B W Dabei ist das hintere formale Matrixprodukt durch die vordere Summe definiert) Dh die darstellende Matrix von f bildet die Koordinaten von v auf die Koordinaten von w ab entsprechend der Basen, die bei der Berechnung von f) benutzt wurden) Anders gesagt macht f) mit den Koordinatenvektoren das, was f mit den Vektoren macht In der Tat gilt: Speziell sind die Koordinaten von v j durch den kanonischen Einheitsvektor e j gegeben: Φ BV v j ) = e j Also folgt: f) Φ BV v j ) = f) e j = a j a mj BW = Φ BW f v j))

6 6 2 MATRIXDARSTELLUNG EINES VEKTORRAUMHOMOMORPHISMUS Dann gilt: f) β β n Dies zeigt unsere Behauptung BV = f) Φ B V v) = mat B V B W f) = β j f) e j = j= β j e j j= β j Φ BW f v j )) j= = Φ BW β j f v j ) = Φ BW f v)) = Φ BW w) = γ γ m B W j= Damit haben wir geschafft: gehen wir von V und W zu K n und K m über mit den Koordinatenabbildungen, die Isomorphismen sind), können wir die Aktion von f durch eine Matrixmultiplikation beschreiben Achtung: Die darstellende Matrix kann immer nur auf Koordinatenvektoren bzgl B V ) angewandt werden selbst wenn V schon ein K n ist), und liefert immer nur Koordinatenvektoren bzgl B W ) Andersherum kann die Abbildung selbst nur auf Vektoren aus V angewandt werden, nicht auf die Koordinatenvektoren dies wird am Beispiel 24 deutlich, siehe unten) Man stelle sich zb vor, dass V und W Polynomvektorräume sind Was soll dann bitte die Multiplikation einer Matrix mit einem Polynom sein? Da kommt eine ganze Matrix voller Polynome heraus, nicht ein einzelnes Polynom aus W 23 Mehr Übersicht durch Diagramme Die bisherigen Resultate können wir in Form eines Bildes darstellen Dies hat als Vorteil, dass man sich das ganze vielleicht leichter merken kann, und nicht so schnell die Übersicht verliert, in welchem Raum man sich gerade befindet Φ BV V K n f f) W K m Φ B W So ein Bild wird Diagramm genannt Es beschreibt wie die verchiedenen vorhandenen Abbildungen zusammenhängen Hier haben wir f, f), Φ BV, Φ BW und die Inverse Koordinatenabbildung Φ B W

7 24 Beispiel 7 Ein Diagramm heißt kommutativ, falls folgendes gilt: Können wir einen Punkt im Diagramm auf zwei verschiedene Weisen auf einen anderen Raum abbilden, so sind die Bilder gleich Dies ist sicher nicht für jedes Diagramm, was wir aufmalen können, richtig Beispiel: Ersetze in obigem Diagramm zb Φ BV durch die Konstante Nullabbildung, und betrachte f 0 LV,W ) Dann gibt es v V mit f v) 0 W, aber Φ B W f) 0 LV,K )) n v) = 0W f v) Damit ist klar, dass nur vom Aufmalen eines Diagramms noch nichts folgt Eigenschaften müssen immer noch richtig bewiesen werden auch wenn das gerne mal bei den Leuten wegfällt, die Diagramme oft benutzen) In unserem Fall ist das Diagramm aber kommutativ Das haben wir oben nachgerechnet! Und zwar haben wir gesehen, dass v V : f) Φ BV v) = f) Dies ist äquivalent zu = Φ BW f) v) β β n BV = γ γ m f) Φ BV = Φ BW f, = Φ BW BW w) = Φ B W f v)) und da Φ BW bijetiv ist, zu Φ B W f) Φ BV = f Also haben wir es wirklich mit einem kommutativen Diagramm zu tun Der Nutzen ist dann, das man immer auf so einem Diagramm schauen kann, in welchem Raum man sich befindet, und wie eben die Abbildungen zusammenhängen Besonders interessant wird es, wenn man dann noch verschiedene Basen und dazugehörige darstellende Matrizen betrachtet, und wie die untereinander zusammenhängen Siehe dazu den nächsten Abschnitt Am Anfang sind Diagramme gewöhnungsbedürftig, aber wenn man sich ein bischen mit ihnen beschäftigt, sind sie sehr praktisch, da man ohne Formeln viel sagen kann 24 Beispiel Betrachte wie im ersten Abschnitt V = C[t] 3 = { a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 a 0, a, a 2, a 3 C } als C-Vektorraum Als lineare Abbildung wollen wir die Ableitung von Polynomen betrachten: D : C[t] 3 C[t] 3 a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 3a 3 t 2 + 2a 2 t + a

8 8 2 MATRIXDARSTELLUNG EINES VEKTORRAUMHOMOMORPHISMUS Für eine darstellende Matrix brauchen wir jetzt zwei Basen Wir wählen beide gleich der kanonischen Basis: Berechne die Bilder der Basisvektoren: B V = B W := B = {, t, t 2, t 3} D ) = 0 = t + 0 t t 3, D t) = = + 0 t + 0 t t 3, D t 2) = 2t = t + 0 t t 3, D t 3) = 3t 2 = t + 3 t t 3 Damit hat die darstellende Matrix bzgl B die Gestalt mat B B D) = Hier sehen wir noch einmal am Beispiel, dass die darstellende Matrix mat B B D) nur auf Koordinatenvektoren angewandt werden kann, nicht aber auf die Polynome: Matrix mal Polynom ergibt einfach nichts sinnvolles Andersherum kann die lineare Abbildung D nur auf Polynome angewandt werden, nicht aber auf Koordinatenvektoren: Die Polynomableitung macht für Spaltenvektoren nun einmal keinen Sinn In beiden Fällen sind die Räume einfach falsch, was man auch im folgenden Diagramm wiederfinden kann: C[t] 3 Φ B C 4 D mat B B D) C[t] 3 C 4 Φ B Dieses Diagramm kommutiert, wie wir in Abschnitt 23 gesehen haben Wir wollen noch die darstellende Matrix bezüglich anderer Basen berechnen, und zwar bezüglich der bereits aus dem ersten Abschnitt bekannten Basis B V = B W := B = {, + t, t 2, t 3} Wir berechnen wieder die Bilder der Basisvektoren und stellen diese in der Basis B W dar: D ) = 0 = t) + 0 t t 3, D + t) = = t) + 0 t t 3, D t 2) = 2t = t) + 0 t t 3, D t 3) = 3t 2 = t) + 3 t t 3

9 25 Matrixdarstellung von Verknüpfungen von linearen Abbildungen 9 Also hat die darstellende Matrix von D bezüglich B die Gestalt mat eb B e D) = Wir halten noch fest, dass mat B B D) einfacher aussieht als mat eb e B D) Hier lässt sich erahnen, dass es Basen gibt, in denen die darstellende Matrix einer linearen Abbildung schöner aussieht dh eine einfachere Gestalt besitzt) als in anderen Basen Dies ist insbesondere bei Endomorphismen von Interesse, und führt auf das Diagonalisieren von quadratischen Matrizen und letztendlich auf die Jordannormalform 25 Matrixdarstellung von Verknüpfungen von linearen Abbildungen Sei K ein Körper, V, W, X endlichdimensionale K-Vektorräume Seien B V, B W und B X K- Basen von respektive V, W und X Seien weiter f L V, W ) und g L W, X) Dann ist g f : V X wieder linear, also g f L V, X), und wir können die Matrixdarstellung dieser Abbildung betrachten Für diese gilt: mat BV B X g f) = mat BW B X g) f) In Worten bedeutet das: die Matrixdarstellung der Verknüpfung von Abbildungen ist das Produkt der Matrxidarstellungen der einzelnen Abbildungen, oder noch anders: beim Übergang zu Matrizen geht Hintereinanderausführung in Multiplikation über Oder in Diagramm-Sprache formuliert: Ist das kommutative Diagramm V f W g g f X gegeben dieses Diagramm ist kommutativ nach Definition der Verknüpfung von zwei Abbildungen!), dann ist auch ein kommutatives Diagramm K dim f) KV ) K mat BV dim KW ) mat BW B X g) B X g f) K dim KX) Der Beweis wurde in der Vorlesung erbracht, die Formel lässt sich aber auch leicht nachrechnen Die größte Schwierigkeit ist, sich nicht in Indizes zu verlieren Daher ist es sehr empfehlenswert, die Formel einmal selbst nachzurechnen Training!)

10 0 3 BASISWECHSEL Als wichtige Konsequenz wollen wir untersuchen, wie die darstellende Matrix der Inversen f eines Isomorphismus mit der Matrixdarstellung f zusammenhängt Sei K ein Körper, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K V ) = n = dim K W ) Seien B V eine K-Basis von V und B W eine K-Basis von W Sei f : V W ein Isomorphismus Dann existiert die Umkehrabbildung f und ist wieder linear Es gelten: id V = f f und id W = f f Wenden wir mat BV B V auf die erste und mat BW B W auf die zweite Gleichung an, so folgt: und I n = mat BV B V id V ) = mat BV B V f f ) = mat BW B V f ) f) I n = mat BW B W id W ) = mat BW B W f f ) = f) mat BW B V f ) Damit ist mat BW B V f ) eine Links- und Rechtsinverse für f), und daher die eindeutig bestimmte inverse Matrix von f) In Formeln: mat BW B V f ) = f)) Also ist die darstellende Matrix der inversen Abbildung f die Inverse der darstellenden Matrix von f Wir halten noch den folgenden Spezialfall fest, da wir ihn im nächsten Abschnitt 3 benötigen Seien V = W, f = id V und B := B V, B := B W zwei K-Basen von V Dann folgt: mat eb B id V ) = mat B e B id V ) ) 3 Basiswechsel Ziel: Koordinaten bezüglich verschiedener Basen ineinander umrechnen, sowie darstellende Matrizen bezüglich verschiedener Basen ineinander umrechnen 3 Basiswechselmatrizen Bisher haben wir immer nur eine Basis pro Vektorraum betrachtet Wir wissen aber, dass es ia verschiedene Basen gibt Wir wollen nun untersuchen, wie sich Koordinatenvektoren bezüglich verschiedener Basen ineinander umrechnen lassen

11 3 Basiswechselmatrizen Sei also K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit dim K V ) = n Seien B = {v,, v n } und B = {ṽ,, ṽ n } zwei K-Basen von V, und Φ B und Φ eb die zugehörigen Koordinatenabbildungen Wie hängen diese zusammen? Die Situation lässt sich wie folgt darstellen: V? V Φ B Φ eb K n K n? 2 Gesucht ist nun, was anstelle der? stehen soll Beachte, dass der Zusammenhang bijektiv sein muss, da wir von den einen Koordinaten auf die zugehörigen Vektoren und dann auf die anderen Koordinaten umrechnen können in beide Richtungen) Da wir verschiedene Koordinatendarstellungen eines Vektors v V untersuchen wollen, darf die Abbildung von V nach V die Vektoren nicht verändern, womit nur die Identität auf V in Frage kommt! Wir ersetzen also? = id V Wir bemerken auch, dass id V bijektiv ist, was unserer ersten Überlegung Rechnung trägt Da wir nun herausgefunden haben, das id V die gesuchte Abbildugn von V nach V ist, wissen wir aus dem vorherigen Abschnitt sofort, welche Abbildung wir zwischen K n und K n wählen müssen: die Matrixdarstellung von id V bezüglich der Basen B und B Daher erhalten wir folgendes kommutatives Diagramm: V id V V Φ B K n mat B B e id V ) K n Φ eb Wir halten fest: Hier schreibt sich die vorletzte Formel aus Abschnitt 23: mat B e B id V ) Φ B = Φ eb id V = Φ eb, Daher: Um Koordinaten bzgl B in Koordinaten bzgl B umzurechnen, wird der Koordinatenvektor bzgl B mit mat B e B id V ) multipliziert, das Ergebnis ist der Koordinatenvektor bzgl B In Formeln schreibt sich das für v V : mat B e B id V ) Φ B v) = Φ eb v), Die Matrix mat B e B id V ) wird dann Basisübergangsmatrix oder Basiswechselmatrix) von der Basis B in die Basis B genannt Im Abschnitt 25 haben wir gezeigt, dass mat eb B id V ) = mat B e B id V ) )

12 2 3 BASISWECHSEL gilt Also wird der umgekehrte Basiswechsel durch die Inverse der ursprünglichen Basiswechselmatrix beschrieben Wir wollen noch einmal aufschreiben, wie sich die Koeffizienten der Matrix mat B e B id V ) berechnen Setze mat B e B id V ) =: [ p ij ] = P, so sind die pij durch eindeutig bestimmt Dies lässt sich auch als v = p ṽ + p 2 ṽ p n ṽ n v 2 = p 2 ṽ + p 22 ṽ p n2 ṽ n v n = p n ṽ + p 2n ṽ p nn ṽ n [ v v 2 v n ] = [ṽ ṽ 2 ṽ n ] P schreiben, wobei diese Matrixmultiplikation rein formal zu verstehen ist Schließlich müssen weder v j noch ṽ j Spaltenvektoren sein) Damit haben wir genau die Definition der Basisübergangsmatrix aus der Vorlesung und dem Skript) wiedergefunden Achtung: Die Basisübergangsmatrix mat B e B id V ) wird von links an die Koordinatenvektoren multipliziert, aber von rechts an die Basisvektoren von V 32 Beispiel Betrachte wieder den Vektorraum V = C[t] 3, mit den beiden Basen B = {, t, t 2, t 3} und B = {, + t, t 2, t 3} Die Basiswechselmatrix mat B e B id V ) von B nach B berechnet sich dann als: id V ) = = t) + 0 t t 3, id V t) = t = + + t) + 0 t t 3, id V t 2 ) = t 2 = t) + t t 3, id V t 3 ) = t 3 = t) + 0 t 2 + t 3, also 0 0 mat B B e id V ) =

13 33 Basiswechsel und darstellende Matrizen 3 Mit den bereits in Abschnitt 2 berechneten Koordinatendarstellungen folgt 0 0 a 0 mat B B e id V ) Φ B a3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ) = a a a 3 B a 0 a = wie es nach unseren theoretischen Überlegungen auch sein muss 33 Basiswechsel und darstellende Matrizen a a 2 a 3 B = Φ eb a3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ), Wir wollen nun betrachten, wie sich darstellende Matrizen einer linearen Abbildung bzgl verschiedener Basen ineinander umrechnen lassen Sei K ein Körper, und V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K V ) = n und dim K W ) = m Seien B V = {v,, v n } und B = {ṽ,, ṽ n } zwei Basen von V und B W = {w,, w m } und B W = { w,, w m } zwei Basen von W Sei weiter f : V W ein Vektorraumhomomorphismus Wir haben bereits gesehen, wie f) und mat ebv e B W f) aus f berechnet werden können Aber wie hängen beide darstellende Matrizen zusammen? Es ist f = id W f id V, da beide Identitäten nichts bewirken Übergang zur Matrixdarstellung mit mat ebv e B W liefert: mat ebv e B W f) = mat ebv e B W id W f id V ) Nun nutzen wir das Ergebnis aus Abschnitt 25 und schieben in V die Basis B V die Basis B W dazwischen: und in W mat ebv e B W f) = mat ebv e B W id W f id V ) = mat BV e B W id W f) mat ebv B V id V ) = mat BW e B W id W ) f) mat ebv B V id V ) Damit haben wir den gesuchten Zusammenhang zwischen zwei darstellenden Matrizen einer linearen Abbildung bzgl verschiedener Basen gefunden Dieser lässt sich wieder in einem

14 4 3 BASISWECHSEL kommutativen Diagramm darstellen: mat BV e B V id V ) K n K n f) mat ebv e B W f) K m K m mat ebw B W id W ) Als Letztes wollen wir die Ergebnisse aus diesem Abschnitt Zusammenhang zwischen darstellenden Matrizen bzgl verschiedener Basen) und die aus Abschnitt 23 Zusammenhang zwischen Abbildung und ihrer Matrixdarstellung bzgl gegebener Basen) zu einem großen kommutativen Diagramm zusammenfassen Dabei behalten wir die Bezeichnungen von eben bei mat BV e B V id V ) K n Φ BV K n V Φ ebv f) f mat ebv e B W f) W K m Φ BW mat ebw id B W ) W Φ ebw K m 34 Beispiel Betrachte wieder den C-Vektorraum V = C[t] 3 mit den beiden C-Basen B = {, t, t 2, t 3} und B = {, + t, t 2, t 3}, und als lineare Abbildung die Ableitung D Aus den vorigen Beispielen ist bereits bekannt: mat B B D) = , mat eb B e D) = , mat B B e id V ) =

15 5 Wir berechnen noch die inverse Matrix der Basisübergangsmatrix: Nun ist 0 0 mat eb B id V ) = mat B B e id V ) ) = mat B B e id V ) mat B B D) mat eb B id V ) = = = = mat eb e B D) 0 0 = Somit hätten wir uns früher eine der beiden darstellenden Matrizen von D sparen können Wir können nun noch darstellende Matrizen von D bezüglich anderen Kombination von Basen berechnen, zb mat B e B D): mat B B e D) = mat B B e id V ) mat B B D) = = Matrixdarstellung von Bilinearformen Sesquilinearformen) Ziel: Beschreibe Bilinearformen oder Sesquilinearformen) auf endlich-dimensionalen Vektorräumen durch Matrizen, wieder um gut rechnen zu können 4 Berechnung einer darstellenden Matrix Seien K ein Körper, V, W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K V ) = n, dim K W ) = m, B V = {v,, v n } eine K-Basis von V und B W = {w,, w m } eine K-Basis von W Sei β : V W K eine Bilinearform bzw Sesquilinearform)

16 6 4 MATRIXDARSTELLUNG VON BILINEARFORMEN SESQUILINEARFORMEN) Dann ist mat BV B W β) := [ b i,j ] = [ β vj, w i ) ] i m, j n Km,n die Matrixdarstellung von β bzgl der Basen B V und B W Wie bei linearen Abbildungen kann man für festes B V und B W zeigen, dass mat BV B W : {β : V W K β bilinear sesquilinear)} K m,n β mat BV B W β) ein Vektorraumisomorphismus ist Übungsaufgabe!) Bemerkung: Oft wird der Spezialfall V = W und B V = B W betrachtet Dann erhalten wir quadratische Matrizen Wir zeigen zuerst, dass die Matrixdarstellung mit der Bilinearform Sesquilinearform) übereinstimmt Genauer zeigen wir, dass v V, w W mit λ m µ v = λ j v j, w = µ j w j, also Φ BV v) = =: λ, Φ BW w) = =: µ, j= j= λ n µ m gilt: falls β eine Bilinearform ist, und µ T mat BV B W β) λ = β v, w) µ H mat BV B W β) λ = β v, w) falls β eine Sesquilinearform ist Dabei haben wir K und K, identifiziert) Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen: µ T mat BV B W β) λ = [ ] [ µ µ m β vj, w i ) ] i m, j n = [ ] [ ] µ µ m β v j, w i ) λ j [ m = i= j= j= i m λ λ n [ m ] = µ i β v j, w i ) λ j i= j= ] [ )] β λ j v j, µ i w i ) = β λ j v j, m µ i w i = [ β v, w) ] = β v, w) In einigen Büchern wird die Matrixdarstellung genau durch die Transponierte unserer Matrix definiert Das ändert nichts an der Theorie, und wir erhalten Sätze für diese andere Definition aus den hier gezeigten durch transponieren der Gleichungen j= i=

17 42 Basiswechsel und darstellende Matrizen bei Bilinearformen Sesquilinearform) 7 Im Falle einer Sesquilinearform geht die Rechnung analog, das komplex konjugieren der µ i am Anfang verschwindet beim hineinziehen der µ i ins zweite Argument von β Damit ist gezeigt, dass die Matrixdarstelleung einer Bilinearform Sesquilinearform) mit der Bilinearform Sesquilinearform) übereinstimmt, also ist die Definition sinnvoll 42 Basiswechsel und darstellende Matrizen bei Bilinearformen Sesquilinearform) Ziel: Darstellende Matrizen von Bilinearformen Sesquilinearformen) bezüglich verschiedener Basen ineinander Umrechnen Sei K ein Körper Seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K V ) = n und dim K W ) = m Seien B V = {v,, v n } und B V = {ṽ,, ṽ n } zwei K-Basen von V und B W = {w,, w m } und B W = { w,, w m } zwei K-Basen von W Seien P = [ p ij ] := mat ebv B V id V ) und Q = [ q ij ] := mat ebw B W id W ), dann gilt mat ebv e B W β) = Q T mat BV B W β) P falls β eine Bilinearform ist, und entsprechend falls β eine Sesquilinearform ist mat ebv e B W β) = Q H mat BV B W β) P Der Beweis erfolgt wieder durch Nachrechnen Ist β eine Bilinearform so ist: Q T mat BV B W β) P = Q T [ β v j, w i ) ] i m, j n [ P ] = Q T β v k, w i ) p kj k= [ m ] = β v k, w l ) p kj [ m = = q li l= k= l= k= [ β i m, j n i m, j n ] β p kj v k, q li w l ) i m, j n p kj v k, m )] q li w l k= l= i m, j n = [ β ṽ j, w i ) ] i m, j n = mat ebv e B W β) Die Aussage für Sesquilinearformen folgt wieder analog, das komplex konjugieren der q ij kompensiert sich, da die q ij in das zweite Argument von β gezogen werden Bemerkung: Im Spezialfall V = W, B V = B W erhalten wir gerade eine Kongruenztransformation der darstellenden Matrix bei Basistransformation: mat ebv e B V β) = P T mat BV B V β) P

18 8 4 MATRIXDARSTELLUNG VON BILINEARFORMEN SESQUILINEARFORMEN) 43 Beispiel Betrachte den R-Vektorraum V = P 3 R) der polynomialen Abbildungen von R nach R mit Grad kleiner gleich 3, also Definiere für j 4 P 3 R) = {f : R R p R[t] 3 mit f x) := p x) für alle x R} p j : R R, x x j Dann sind B := {p, p 2, p 3, p 4 } und B := {p, p + p 2, p 3, p 4 } zwei R-Basen von P 3 R) Definiere β : P 3 R) P 3 R) R β ist eine Bilinearform auf P 3 R) p, q) β p, q) = 0 p x) q x) dx, Wir berechnen die Matrixdarstellung mat B B β) von β bezüglich der Basen B und B Wir berechnen nur einige Einträge, die anderen bleiben zur Übung: b,j = β p j, p ) = b 3,4 = β p 4, p 3 ) = 0 0 x j dx = j xj x 3 x 2 dx = 6, 0 = j, Als Matrixdarstellung ergibt sich mat B B β) = Das die Matrixdarstellung von Vorteil sein kann, lässt sich hier nun gut erkennen Wenn wir einmal die darstellende Matrix haben, so können wir β p, q) statt dem Integral nun als Produkt Vektor mal Matrix mal Vektor mit den Koordinatenvektoren berechnen Bezüglich einer geeigneten Basis, wie der kanonischen Basis B, lassen sich die Koordinaten der Polynome sofort hinschreiben, und wir können β p, q) rasch berechnen Andernfalls müssen erst die Polynome p und q ausmultipliziert werden, was bei Polynomen vom Grad 3 bereits keinen Spaß mehr macht, und dann das Ergebnis integriert werden

19 43 Beispiel 9 Nun berechnen wir mat eb e B β) über einen Basiswechsel Die Basistransformationsmatrix ist Damit folgt: 0 0 P = mat eb B id V ) = mat eb B e β) = P T mat B B β) P = = = Auch hier sehen wir: Die Transformation mit der Basisübergangsmatrix geht relativ schnell wenn die Basisübergangsmatrix gegeben ist oder sich leicht berechnen lässt) Die alternative wäre hier einige Integrale zu berechnen, wobei hier, wegen der Symmetrie dieses β, nur 0 Integrale berechnet werden müssen