Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

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1 Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg

2 Argumentationstechniken PLUS Direkter Beweis einer Implikation A B (analog Äquivalenz A B): A C 1 C 2... B Beweis von A B durch Gegenbeispiel Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n (oft n = 0 oder n = 1 ) Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die Aussage auch für n + 1 gültig ist Beispiel (vollst. Induktion): A(n) = n i=1 1 Ind.-Anfang: n = 1 : i = 1 = = 1 i=1 Ind.-Schluss: i = n(n+1) 2 ; n N n+1 i = n i + (n + 1) = n(n+1) 2 + (n + 1) = n(n+1)+2(n+1) 2 = i=1 i=1 (n+1)(n+2) Einführung 3.2. Aussagenverknüpfungen 3.3. Argumentieren 55

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6 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel PLUS Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: 3.1. Einführung 3.2. Aussagenverknüpfungen 3.3. Argumentieren 56

7 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel PLUS Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: Für zwei Produkte gegeben: Umsätze u 1 = 2, u 2 = 5 Kosten c 1 = 1, c 2 = 4 Dann ist g 1 = u 1 c 1 = 2 1 = 1 = u 2 c 2 = 5 4 = g 2, aber u 1 u 2, c 1 c Einführung 3.2. Aussagenverknüpfungen 3.3. Argumentieren 56

8 : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra 5 Lineare Programme 6 Folgen und Reihen 7 Finanzmathematik 8 Reelle Funktionen 9 Differenzieren 1 4 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte 10 Differenzieren 2 11 Integration

9 Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 58

10 Einführung Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 zwei Produkte P 1, P 2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch Grafisch dargestellt: für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 P 1 P 2 a 31 a 32 59

11 Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B 60

12 Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Fragen: Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten Marktforschung 60

13 Definitionen Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n A =.... a i1 a i2... a ij... a in = (a ij ) m,n.... a m1 a m2... a mj... a mn mit m, n N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m n-matrix (Im Folgenden: a ij R). a 11,..., a mn heißen Komponenten der Matrix. Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der a ij steht. i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von a ij. Sind alle Komponenten a ij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix. 61

14 Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix 62

15 Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix ( A T ) T = A 62

16 Beispiel transponierte Matrix a) A = ( ) A T =

17 Beispiel transponierte Matrix a) A = ( ) A T = b) A T = ( A ) T T = A =

18 Vektoren Definition n 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a = a 1. a n 1 n-matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: a T = (a 1,..., a n ) 64

19 Geometrische Veranschaulichung von Vektoren a ( ) a 2 1 ( 1 2) 1 ( ) 0 1 a 1 a 3 a

20 Relationen zwischen Matrizen Definition Seien A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n reelle Matrizen mit übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n. Dann wird definiert: A = B a ij = b ij für alle i = 1,..., m, j = 1,..., n A B a ij b ij für mindestens ein Indexpaar (i, j) A B a ij b ij (i, j) A < B a ij < b ij (i, j) Entsprechend A B und A > B. 66

21 Spezielle Matrizen Definition a) A = (a ij ) n,n heißt quadratisch b) A = (a ij ) n,n mit A = A T heißt symmetrisch c) A = (a ij ) n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder a ij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) d) A = (a ij ) n,n heißt Diagonalmatrix, wenn a ij = 0 für alle i j e) A = (a ij ) n,n heißt Einheitsmatrix, wenn a ii = 1 für alle i und a ij = 0 für alle j j 67

22 Addition und Subtraktion von Matrizen Definition Gegeben: A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n. Dann gilt: Addition: A + B = (a ij ) m,n + (b ij ) m,n = (a ij + b ij ) m,n Subtraktion: A B = (a ij ) m,n (b ij ) m,n = (a ij b ij ) m,n Damit: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw. Spaltenzahl nicht übereinstimmen 68

23 Skalare Multiplikation Definition Gegeben: A = (a ij ) m,n und r R (Skalar). Dann gilt: Beispiel: r A = r (a ij ) m,n = (r a ij ) m,n = (a ij r) m,n = A r Außerdem gilt: 5 ( ) 1 2 = 3 5 ( 5 ) (rs)a = r(sa) (Assoziativgesetz) (r + s)a = ra + sa (Distributivgesetz) r(a + B) = ra + rb 69

24 Matrixmultiplikation Gegeben: A = (a ik ) m,p und B = ( b kj )p,n. Dann gilt: A B = (a ik ) n,p (b ) kj p,q ( p ) = a ik b kj k=1 Merke: Zeile mal Spalte! n,q a 21 b a 22 b 22 a 11 a a 1p a 21 a a 2p a n1 a n2... a np a 2p b p2 B : p Zeilen q Spalten b 11 b b 1q b 21 b b 2q b p1 b p2... b pq c 11 c c 1q c 21 c c 2q c n1 c n2... c nq A : n Zeilen p Spalten C = A B : n Zeilen q Spalten Quelle Grafik: Alain Matthes, altermundus.com 70

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