7 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus Anwendungen Determinanten

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1 7 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus Anwendungen Determinanten

2 7.1 Dreiecks- und Diagonalmatrizen Linke untere bzw. rechte obere Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen von der Gestalt... L = 0..., R =

3 7.1 Dreiecks- und Diagonalmatrizen Linke untere bzw. rechte obere Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen von der Gestalt... L = 0..., R = L = (l ij ) ist linke untere Dreiecksmatrix l ij = 0 für i < j.

4 7.1 Dreiecks- und Diagonalmatrizen Linke untere bzw. rechte obere Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen von der Gestalt... L = 0..., R = L = (l ij ) ist linke untere Dreiecksmatrix l ij = 0 für i < j. R = (r ij ) ist rechte obere Dreiecksmatrix r ij = 0 für i > j.

5 Dreiecksmatrizen Der Raum der linken unteren bzw. rechten oberen Dreiecksmatrizen ist abgeschlossen gegenüber allen bisher definierten Operationen.

6 Dreiecksmatrizen Der Raum der linken unteren bzw. rechten oberen Dreiecksmatrizen ist abgeschlossen gegenüber allen bisher definierten Operationen. Sind L 1, L 2 linke untere Dreiecksmatrizen gleicher Dimension und α Ã, so sind auch L 1 + L 2, αl, L 1 L 2, L 1 1 falls L 1 regulär, linke untere Dreiecksmatrizen.

7 Regularität von Dreiecksmatrizen Lemma Eine rechte obere (linke untere) Dreiecksmatrix ist genau dann regulär, wenn r ii 0 (l ii 0) für alle 1 i n.

8 Beweis Wir zeigen das nur für eine rechte obere Dreiecksmatrix.

9 Beweis Wir zeigen das nur für eine rechte obere Dreiecksmatrix. Ist r 11 = 0, so ist die erste Spalte Null und die Matrix besitzt e 1 als nichttrivialen Vektor im Kern.

10 Beweis Wir zeigen das nur für eine rechte obere Dreiecksmatrix. Ist r 11 = 0, so ist die erste Spalte Null und die Matrix besitzt e 1 als nichttrivialen Vektor im Kern. Sei r 11,...,r kk 0, r k+1 k+1 = 0.

11 Beweis Wir zeigen das nur für eine rechte obere Dreiecksmatrix. Ist r 11 = 0, so ist die erste Spalte Null und die Matrix besitzt e 1 als nichttrivialen Vektor im Kern. Sei r 11,...,r kk 0, r k+1 k+1 = 0. Die Spaltenvektoren r 1,...,r k+1 sind l.a., denn diese Vektoren liegen de facto in einem à k, wenn man nur die oberen k Komponenten betrachtet.

12 Beweis Wir zeigen das nur für eine rechte obere Dreiecksmatrix. Ist r 11 = 0, so ist die erste Spalte Null und die Matrix besitzt e 1 als nichttrivialen Vektor im Kern. Sei r 11,...,r kk 0, r k+1 k+1 = 0. Die Spaltenvektoren r 1,...,r k+1 sind l.a., denn diese Vektoren liegen de facto in einem à k, wenn man nur die oberen k Komponenten betrachtet. Die umgekehrte Richtung kommt später.

13 Diagonalmatrizen Quadratische Matrizen D = (d ij ) mit d ij = 0 für i j heißen Diagonalmatrizen.

14 Diagonalmatrizen Quadratische Matrizen D = (d ij ) mit d ij = 0 für i j heißen Diagonalmatrizen. Wir schreiben auch kurz diag D = (d 1,...,d n ). Z.B.: d D = 0 d 2 0 diag D = (d 1, d 2, d 3 ). 0 0 d 3

15 Diagonalmatrizen Quadratische Matrizen D = (d ij ) mit d ij = 0 für i j heißen Diagonalmatrizen. Wir schreiben auch kurz Z.B.: diag D = (d 1,...,d n ). d D = 0 d 2 0 diag D = (d 1, d 2, d 3 ). 0 0 d 3 Auch der Raum der Diagonalmatrizen ist abgeschlossen gegenüber Addition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation.

16 Diagonalmatrizen Quadratische Matrizen D = (d ij ) mit d ij = 0 für i j heißen Diagonalmatrizen. Wir schreiben auch kurz Z.B.: diag D = (d 1,...,d n ). d D = 0 d 2 0 diag D = (d 1, d 2, d 3 ). 0 0 d 3 Auch der Raum der Diagonalmatrizen ist abgeschlossen gegenüber Addition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation. Das letzte Lemma gilt auch für Diagonalmatrizen, sind diese doch gleichzeitig rechte obere und linke untere Dreiecksmatrizen.

17 7.2 Problemstellung Ein lineares Gleichungssystem (LGS) über einem Körper à besteht aus A à m n = Systemmatrix, b à m = rechte Seite.

18 7.2 Problemstellung Ein lineares Gleichungssystem (LGS) über einem Körper à besteht aus A à m n = Systemmatrix, b à m = rechte Seite. Gesucht wird ein x à n mit Ax = b.

19 LGS Ax = b oder ausgeschrieben a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n =b m.

20 LGS Ax = b oder ausgeschrieben a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n =b m. Die Gleichungen müssen alle erfüllt sein, nur dann sprechen wir davon, dass das LGS lösbar ist.

21 Lösbarkeit, Lösungsmenge des LGS Satz (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A.

22 Lösbarkeit, Lösungsmenge des LGS Satz (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A. (b) Dies ist genau dann der Fall, wenn rang A = rang(a b), wobei die Matrix (A b) Ã m (n+1) von der Form (a 1... a n b) ist. Die Spalten von A werden durch b als Spalte n+1 ergänzt.

23 Lösbarkeit, Lösungsmenge des LGS Satz (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A. (b) Dies ist genau dann der Fall, wenn rang A = rang(a b), wobei die Matrix (A b) Ã m (n+1) von der Form (a 1... a n b) ist. Die Spalten von A werden durch b als Spalte n+1 ergänzt. (c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösungsmenge von der Form x + KernA, wobei x eine beliebige Lösung von Ax = b ist.

24 Beweis (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A.

25 Beweis (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A. Das Gleichungssystem wird durch eine Linearkombination der Form n x i a i = b gelöst. i=1

26 Beweis (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A. Das Gleichungssystem wird durch eine Linearkombination der Form n x i a i = b i=1 gelöst. a i Ê m sind die Spaltenvektoren von A.

27 Beweis (a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b Bild A. Das Gleichungssystem wird durch eine Linearkombination der Form n x i a i = b i=1 gelöst. a i Ê m sind die Spaltenvektoren von A. Dies ist aber gleichbedeutend damit, dass b Bild A ist.

28 Beweis (b) Dies ist genau dann der Fall, wenn rang A = rang(a b), wobei die Matrix (A b) Ã m (n+1) von der Form (a 1... a n b) ist. Die Spalten von A werden durch b als Spalte n+1 ergänzt.

29 Beweis (b) Dies ist genau dann der Fall, wenn rang A = rang(a b), wobei die Matrix (A b) Ã m (n+1) von der Form (a 1... a n b) ist. Die Spalten von A werden durch b als Spalte n+1 ergänzt. Werden die Spaltenvektoren um den Vektor b ergänzt, dann vergrößert er span{a 1,...,a n } oder er tut das nicht.

30 Beweis (b) Dies ist genau dann der Fall, wenn rang A = rang(a b), wobei die Matrix (A b) Ã m (n+1) von der Form (a 1... a n b) ist. Die Spalten von A werden durch b als Spalte n+1 ergänzt. Werden die Spaltenvektoren um den Vektor b ergänzt, dann vergrößert er span{a 1,...,a n } oder er tut das nicht. Im ersten Fall ist dimbild(a b) > dim Bild A rang(a b) > ranga b / Bild A.

31 Beweis (b) Dies ist genau dann der Fall, wenn rang A = rang(a b), wobei die Matrix (A b) Ã m (n+1) von der Form (a 1... a n b) ist. Die Spalten von A werden durch b als Spalte n+1 ergänzt. Werden die Spaltenvektoren um den Vektor b ergänzt, dann vergrößert er span{a 1,...,a n } oder er tut das nicht. Im ersten Fall ist dimbild(a b) > dim Bild A rang(a b) > ranga b / Bild A. Im zweiten Fall ist rang(a b) = ranga und b liegt in Bild A.

32 Beweis (c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösungsmenge von der Form x + KernA, wobei x eine beliebige Lösung von Ax = b ist.

33 Beweis (c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösungsmenge von der Form x + KernA, wobei x eine beliebige Lösung von Ax = b ist. Wir können auf eine Lösung x einen beliebigen Vektor y KernA addieren und es gilt A(x + y) = Ax + Ay = b.

34 Beweis (c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösungsmenge von der Form x + KernA, wobei x eine beliebige Lösung von Ax = b ist. Wir können auf eine Lösung x einen beliebigen Vektor y KernA addieren und es gilt A(x + y) = Ax + Ay = b. Haben wir zwei Lösungen x, x, dann Ax = Ax = b A(x x ) = 0. Damit unterscheiden sich zwei Lösungen nur um einen Vektor im Kern.

35 Beweis (c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösungsmenge von der Form x + KernA, wobei x eine beliebige Lösung von Ax = b ist. Wir können auf eine Lösung x einen beliebigen Vektor y KernA addieren und es gilt A(x + y) = Ax + Ay = b. Haben wir zwei Lösungen x, x, dann Ax = Ax = b A(x x ) = 0. Damit unterscheiden sich zwei Lösungen nur um einen Vektor im Kern. Die Lösungsmenge ist von der Form x + KernA wie angegeben.

36 Eindeutige Lösbarkeit Korollar Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn ranga = rang(a b) = n = Anzahl der Spalten von A.

37 Eindeutige Lösbarkeit Korollar Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn ranga = rang(a b) = n = Anzahl der Spalten von A. Beweis Das erste Gleichheitszeichen ist das Lösbarkeitskriterium aus dem letzten Satz.

38 Eindeutige Lösbarkeit Korollar Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn ranga = rang(a b) = n = Anzahl der Spalten von A. Beweis Das erste Gleichheitszeichen ist das Lösbarkeitskriterium aus dem letzten Satz. Wenn ranga = n, so folgt aus der Rangformel dim KernA = 0 KernA = {0}.

39 7.3 Der Gauß-Algorithmus Im Folgenden ist immer A à m n, b à m und zu lösen ist das LGS Ax = b für x à n.

40 7.3 Der Gauß-Algorithmus Im Folgenden ist immer A à m n, b à m und zu lösen ist das LGS Ax = b für x à n. Forme mittels regulären B i à m m das LGS um. Es gilt ja Ax = b B i Ax = B i b.

41 7.3 Der Gauß-Algorithmus Im Folgenden ist immer A à m n, b à m und zu lösen ist das LGS Ax = b für x à n. Forme mittels regulären B i à m m das LGS um. Es gilt ja Ax = b B i Ax = B i b. Die Lösungsmenge ändert sich nicht, sofern die Matrizen B i regulär sind.

42 Zeilenstufenform (ZSF) Ziel der Umformungen ist es, eine Zeilenstufenform (ZSF) für die umgeformte Matrix zu erreichen.

43 Zeilenstufenform (ZSF) Ziel der Umformungen ist es, eine Zeilenstufenform (ZSF) für die umgeformte Matrix zu erreichen. Dabei liegt eine Matrix in ZSF vor, wenn für alle i = 1,...,m 1 gilt: Zeile i + 1 besitzt mehr führende Nullen als Zeile i, wenn allerdings Zeile i eine Nullzeile ist, muss auch Zeile i + 1 eine Nullzeile sein.

44 Beispiele In den folgenden Beispielen bezeichnen wir mit ein Element 0 und mit a ein beliebiges Element.

45 Beispiele In den folgenden Beispielen bezeichnen wir mit ein Element 0 und mit a ein beliebiges Element. Beispiele für Matrizen in ZFS sind: a a a a a A = 0 a a, R = 0 a a 0 0

46 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen.

47 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen. Die Lösung von Rx = b bestimmt man von unten nach oben, beginnt also mit der n-ten Gleichung r nn x n = b n.

48 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen. Die Lösung von Rx = b bestimmt man von unten nach oben, beginnt also mit der n-ten Gleichung r nn x n = b n. Daraus bestimmt man x n = b n /r nn und setzt diesen Wert in die oberen Gleichungen ein.

49 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen. Die Lösung von Rx = b bestimmt man von unten nach oben, beginnt also mit der n-ten Gleichung r nn x n = b n. Daraus bestimmt man x n = b n /r nn und setzt diesen Wert in die oberen Gleichungen ein. Dann geht man zur Gleichung n 1 und bestimmt daraus x n 1.

50 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen. Die Lösung von Rx = b bestimmt man von unten nach oben, beginnt also mit der n-ten Gleichung r nn x n = b n. Daraus bestimmt man x n = b n /r nn und setzt diesen Wert in die oberen Gleichungen ein. Dann geht man zur Gleichung n 1 und bestimmt daraus x n 1. Wir können daher immer eindeutig lösen, eine solche Dreiecksmatrix ist also regulär.

51 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 Beim Gauß-Algorithmus für quadratische Matrizen erreicht man immer eine solche rechte obere Dreiecksmatrix, wenn die Ausgangsmatrix regulär ist.

52 Reguläre rechte obere Dreiecksmatrix a a R = 0 a. 0 0 Beim Gauß-Algorithmus für quadratische Matrizen erreicht man immer eine solche rechte obere Dreiecksmatrix, wenn die Ausgangsmatrix regulär ist. Klar, bei einer allgemeinen Matrix in ZSF kann man ähnlich vorgehen.

53 Äquivalenzumformungen: Typ I Vertauschung zweier Zeilen i und j,

54 Äquivalenzumformungen: Typ I Vertauschung zweier Zeilen i und j, wird geleistet mit der Multiplikation von links mit der Permutationsmatrix E i P ij = E j i E m i

55 Äquivalenzumformungen: Typ I Vertauschung zweier Zeilen i und j, wird geleistet mit der Multiplikation von links mit der Permutationsmatrix E i P ij = E j i E m i Anders ausgedrückt: In der Einheitsmatrix wird d ii, d jj = 0 gesetzt sowie d ij = d ji = 1.

56 Äquivalenzumformungen: Typ I Vertauschung zweier Zeilen i und j, wird geleistet mit der Multiplikation von links mit der Permutationsmatrix E i P ij = E j i E m i Anders ausgedrückt: In der Einheitsmatrix wird d ii, d jj = 0 gesetzt sowie d ij = d ji = 1. P ij ist regulär, weil die Spalten von P ij aus den kanonischen Einheitsvektoren bestehen.

57 Äquivalenzumformungen: Typ II Addition des α-fachen der Zeile j auf die Zeile i > j,

58 Äquivalenzumformungen: Typ II Addition des α-fachen der Zeile j auf die Zeile i > j, wird geleistet durch Multiplikation von links mit der Matrix 1... G ij,α = α.. α an Position i, j.. 1

59 Äquivalenzumformungen: Typ II Addition des α-fachen der Zeile j auf die Zeile i > j, wird geleistet durch Multiplikation von links mit der Matrix 1... G ij,α = α.. α an Position i, j.. 1 Als linke untere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen ist G ij,α nach einem Lemma regulär.

60 Äquivalenzumformungen: Typ II Addition des α-fachen der Zeile j auf die Zeile i > j, wird geleistet durch Multiplikation von links mit der Matrix 1... G ij,α = α.. α an Position i, j.. 1 Als linke untere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen ist G ij,α nach einem Lemma regulär. Beispiel ( )( ) ( ) = α α+11 2α+12

61 Gauß-Algorithmus Wir erläutern den Gauß-Algorithmus an Hand des Beispiels in à = Ê A = 1 4 4, b 1 = 5, b 2 =

62 Gauß-Algorithmus Wir erläutern den Gauß-Algorithmus an Hand des Beispiels in à = Ê A = 1 4 4, b 1 = 5, b 2 = Wir wollen simultan die beiden Gleichungssysteme lösen. Ax 1 = b 1, Ax 2 = b 2

63 Gauß-Algorithmus Wir erläutern den Gauß-Algorithmus an Hand des Beispiels in à = Ê A = 1 4 4, b 1 = 5, b 2 = Wir wollen simultan die beiden Gleichungssysteme lösen. Ax 1 = b 1, Ax 2 = b 2 Zur Durchführung des Gauß-Algorithmus schreiben wir die um die rechten Seiten erweiterte Matrix (A b 1 b 2 ) Ê 3 5 auf:

64 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) =

65 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = Wir nehmen uns Spalte für Spalte vor, um im unteren Bereich der Spalte möglichst viele Nullen zu produzieren..

66 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = Wir nehmen uns Spalte für Spalte vor, um im unteren Bereich der Spalte möglichst viele Nullen zu produzieren.. Ist eine Spalte komplett Null, gehen wir zur nächsten über.

67 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = Wir nehmen uns Spalte für Spalte vor, um im unteren Bereich der Spalte möglichst viele Nullen zu produzieren.. Ist eine Spalte komplett Null, gehen wir zur nächsten über. Für die erste Spalte bedeutet diese Vorgehensweise, dass nach erfolgter Umformung höchstens a 11 0 ist.

68 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = Wir nehmen uns Spalte für Spalte vor, um im unteren Bereich der Spalte möglichst viele Nullen zu produzieren.. Ist eine Spalte komplett Null, gehen wir zur nächsten über. Für die erste Spalte bedeutet diese Vorgehensweise, dass nach erfolgter Umformung höchstens a 11 0 ist. In unserem konkreten Fall müssen wir Zeile 2 oder Zeile 3 mit Zeile 1 vertauschen.

69 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = In einem endlichen Körper wäre es gleichgültig, welche Zeile wir vertauschen..

70 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = In einem endlichen Körper wäre es gleichgültig, welche Zeile wir vertauschen. Bei Rechnung in Ê oder durch ein Computerprogramm fallen Rundungsfehler an..

71 1. Spalte bearbeiten (A b 1 b 2 ) = In einem endlichen Körper wäre es gleichgültig, welche Zeile wir vertauschen. Bei Rechnung in Ê oder durch ein Computerprogramm fallen Rundungsfehler an. In diesem Fall soll man das betragsmäßig größte Element der Spalte nach oben bringen. Wir tun das auch hier (=Typ I) und erhalten

72 Nach Vertauschung der Zeilen 2 und 3 kommt die Elimination Im nächsten Schritt ziehen wir das 1/2-fache der ersten Zeile von der zweiten ab (=Typ II)..

73 Nach Vertauschung der Zeilen 2 und 3 kommt die Elimination Im nächsten Schritt ziehen wir das 1/2-fache der ersten Zeile von der zweiten ab (=Typ II). Weil man das betragsgrößte Element zur Elimination genommen hat, hält man die Elemente klein, die auf die zweite Zeile addiert werden..

74 2. Spalte bearbeiten Da man die Nullen in der ersten Spalte erhalten möchte, wird nun mit dem zweiten Element in der zweiten Spalte eliminiert.

75 2. Spalte bearbeiten Da man die Nullen in der ersten Spalte erhalten möchte, wird nun mit dem zweiten Element in der zweiten Spalte eliminiert. Auch hier vertauschen wir die Zeile 2 mit 3, um das betragsgrößte Element nach oben zu bringen.

76 2. Spalte bearbeiten Da man die Nullen in der ersten Spalte erhalten möchte, wird nun mit dem zweiten Element in der zweiten Spalte eliminiert. Auch hier vertauschen wir die Zeile 2 mit 3, um das betragsgrößte Element nach oben zu bringen. Schließlich wird die zweite Spalte eliminiert, indem das 1/2-fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile addiert wird.

77 2. Spalte bearbeiten Schließlich wird die zweite Spalte eliminiert, indem das 1/2-fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile addiert wird.

78 2. Spalte bearbeiten Schließlich wird die zweite Spalte eliminiert, indem das 1/2-fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile addiert wird. Da in der neuen Matrix a 33 = 0 gilt, besitzt die Matrix nur Rang 2 und die beiden ersten Spalten bilden eine Basis des Bildes.

79 Bestimmung der Lösung Für das LGS Ax 1 = b 1 liegt die rechte Seite im Bild der ersten beiden Spaltenvektoren. Wir können daher x 1,3 = 0 setzen und erhalten mit x 1,2 = x 1,2 = 1 eine Lösung.

80 Bestimmung der Lösung

81 Bestimmung der Lösung Wegen rang A = 2 ist dimkern = 1.

82 Bestimmung der Lösung Wegen rang A = 2 ist dimkern = 1. Da die dritte Spalte von den ersten beiden abhängig ist, gilt a 3 = α 1 a 1 +α 2 a 2.

83 Bestimmung der Lösung Wegen rang A = 2 ist dimkern = 1. Da die dritte Spalte von den ersten beiden abhängig ist, gilt a 3 = α 1 a 1 +α 2 a 2. Wir finden daher eine Kernfunktion, indem wir mit y h,3 = 1 eine Lösung des homogenen Problems Ay h = 0 bestimmen.

84 Bestimmung der Lösung Wegen rang A = 2 ist dimkern = 1. Da die dritte Spalte von den ersten beiden abhängig ist, gilt a 3 = α 1 a 1 +α 2 a 2. Wir finden daher eine Kernfunktion, indem wir mit y h,3 = 1 eine Lösung des homogenen Problems Ay h = 0 bestimmen. Aus der zweiten Gleichung (mit rechter Seite 0) folgt y h,2 = 2 und aus der ersten schließlich y h,1 = 4. Der Lösungsraum ist daher α 2, α Ê. 0 1

85 Ax 2 = b 2 ist unlösbar

86 Rang von ZSF-Matrizen Satz Für eine ZSF-Matrix Z Ã m n gilt rang Z = Anzahl der Zeilen mit nichtverschwindenden Elementen.

87 Beweis Wir streichen aus Z alle Zeilen, die aus lauter Nullen bestehen.

88 Beweis Wir streichen aus Z alle Zeilen, die aus lauter Nullen bestehen. Es verbleibt eine Matrix Z Ã r n, die den gleichen Rang wie Z besitzt.

89 Beweis Wir streichen aus Z alle Zeilen, die aus lauter Nullen bestehen. Es verbleibt eine Matrix Z Ã r n, die den gleichen Rang wie Z besitzt. Aus den Spalten von Z wählen wir diejenigen aus, die ein nichtverschwindendes Element in einer Zeile haben, das führend in dieser Zeile ist.

90 Beweis Wir streichen aus Z alle Zeilen, die aus lauter Nullen bestehen. Es verbleibt eine Matrix Z Ã r n, die den gleichen Rang wie Z besitzt. Aus den Spalten von Z wählen wir diejenigen aus, die ein nichtverschwindendes Element in einer Zeile haben, das führend in dieser Zeile ist. Die zugehörige Zeile ist von der Form (0,...,0,, a,...,a).

91 Beweis Wir streichen aus Z alle Zeilen, die aus lauter Nullen bestehen. Es verbleibt eine Matrix Z Ã r n, die den gleichen Rang wie Z besitzt. Aus den Spalten von Z wählen wir diejenigen aus, die ein nichtverschwindendes Element in einer Zeile haben, das führend in dieser Zeile ist. Die zugehörige Zeile ist von der Form (0,...,0,, a,...,a). ist dann das führende Element und die zugehörige Spalte wird ausgewählt.

92 Beweis Die zugehörige Zeile ist von der Form (0,...,0,, a,...,a). ist dann das führende Element und die zugehörige Spalte wird ausgewählt.

93 Beweis Die zugehörige Zeile ist von der Form (0,...,0,, a,...,a). ist dann das führende Element und die zugehörige Spalte wird ausgewählt. Es entsteht eine (r r)-matrix Z, die eine rechte obere Dreiecksmatrix ist mit nichtverschwindenden Elementen in der Haupdiagonalen.

94 Beweis Die zugehörige Zeile ist von der Form (0,...,0,, a,...,a). ist dann das führende Element und die zugehörige Spalte wird ausgewählt. Es entsteht eine (r r)-matrix Z, die eine rechte obere Dreiecksmatrix ist mit nichtverschwindenden Elementen in der Haupdiagonalen. Diese Matrix ist regulär, also ist rang Z r.

95 Beweis Die zugehörige Zeile ist von der Form (0,...,0,, a,...,a). ist dann das führende Element und die zugehörige Spalte wird ausgewählt. Es entsteht eine (r r)-matrix Z, die eine rechte obere Dreiecksmatrix ist mit nichtverschwindenden Elementen in der Haupdiagonalen. Diese Matrix ist regulär, also ist rang Z r. Die (r n)-matrix Z kann aber höchstens Rang r haben, also ist rangz = r.

96 Beispiel Wir betrachten in 2 das lineare Gleichungssystem Zx = x = b = 1 Z =

97 Beispiel Wir betrachten in 2 das lineare Gleichungssystem Zx = x = b = 1 Z = Hier liegt die Systemmatrix Z bereits in ZSF vor, rechts ist die Matrix Z aus dem Beweis des letzten Satzes angegeben, zusammen mit der Spaltennnummer, die jeder Spaltenvektor in Z besitzt.

98 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Die Spalten der Matrix Z bilden eine Basis des Bildes

99 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Die Spalten der Matrix Z bilden eine Basis des Bildes Im Allgemeinen ist das LGS bereits durch eine Linearkombination der Spalten von Z lösbar oder überhaupt unlösbar.

100 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Die Spalten der Matrix Z bilden eine Basis des Bildes Im Allgemeinen ist das LGS bereits durch eine Linearkombination der Spalten von Z lösbar oder überhaupt unlösbar. Im vorliegenden Fall ist rangz = rangz = 3. Wir haben also Vollrang und das LGS ist für jede rechte Seite lösbar.

101 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Die Spalten der Matrix Z bilden eine Basis des Bildes Im Allgemeinen ist das LGS bereits durch eine Linearkombination der Spalten von Z lösbar oder überhaupt unlösbar. Im vorliegenden Fall ist rangz = rangz = 3. Wir haben also Vollrang und das LGS ist für jede rechte Seite lösbar. Das LGS Z y = b besitzt die eindeutige Lösung y = (0, 1, 1) T.

102 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Die Spalten der Matrix Z bilden eine Basis des Bildes Im Allgemeinen ist das LGS bereits durch eine Linearkombination der Spalten von Z lösbar oder überhaupt unlösbar. Im vorliegenden Fall ist rangz = rangz = 3. Wir haben also Vollrang und das LGS ist für jede rechte Seite lösbar. Das LGS Z y = b besitzt die eindeutige Lösung y = (0, 1, 1) T. Wir müssen nun noch beachten, zu welchen Spalten von Z die Komponenten dieses Vektors gehören, und wir erhalten mit x = (0, 0, 1, 1, 0, 0) T eine Lösung von Zx = b.

103 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Nach der Rangformel benötigen wir drei linear unabhängige Kernfunktionen, die wir den Spaltenindizes von Z zuordnen, die nicht in Z auftreten

104 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Nach der Rangformel benötigen wir drei linear unabhängige Kernfunktionen, die wir den Spaltenindizes von Z zuordnen, die nicht in Z auftreten. In unserem Fall sind das 2, 5,

105 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Nach der Rangformel benötigen wir drei linear unabhängige Kernfunktionen, die wir den Spaltenindizes von Z zuordnen, die nicht in Z auftreten. In unserem Fall sind das 2, 5, 6. Wir garantieren die lineare Unabhängigkeit der Kernfunktionen, indem wir eine dieser Komponenten = 1 setzen und die anderen =

106 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Nach der Rangformel benötigen wir drei linear unabhängige Kernfunktionen, die wir den Spaltenindizes von Z zuordnen, die nicht in Z auftreten. In unserem Fall sind das 2, 5, 6. Wir garantieren die lineare Unabhängigkeit der Kernfunktionen, indem wir eine dieser Komponenten = 1 setzen und die anderen = Wir bringen die zugehörige Spalte von Z auf die andere Seite und lösen dann Z y i = z i für i = 2, 5, 6.

107 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Wir bringen die zugehörige Spalte von Z auf die andere Seite und lösen dann Z y i = z i für i = 2, 5, 6.

108 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = Wir bringen die zugehörige Spalte von Z auf die andere Seite und lösen dann Z y i = z i für i = 2, 5, 6. Damit haben wir die rechten Seiten und Lösungen (man beachte 1+1 = 0) y 2 = 0, y 5 = 0, y 6 =

109 Beispiel Zx = x = b = 1 Z = y 2 = 0, y 5 = 0, y 6 =

110 Beispiel Zx = x = b = Z = y 2 = 1 0 0, y 5 = 1 0 1, y 6 = Insgesamt erhalten wir die Lösungsmenge x = α α α , α 1,α 2,α 3 2

111 Testen auf linear Unabhängigkeit, Rangbestimmung Sind die Vektoren linear unabhängig? v 1,...,v k à m

112 Testen auf linear Unabhängigkeit, Rangbestimmung Sind die Vektoren v 1,...,v k à m linear unabhängig? Wir stellen sie zu einer (m k)-matrix V = (v 1 v 2... v k ) zusammen.

113 Testen auf linear Unabhängigkeit, Rangbestimmung Sind die Vektoren linear unabhängig? v 1,...,v k à m Wir stellen sie zu einer (m k)-matrix zusammen. V = (v 1 v 2... v k ) Wir bringen sie auf ZSF und bestimmen den Rang der zugehörigen ZSF-Matrix mit dem letzten Satz.

114 Inverse einer Matrix Wollen zur Matrix A Ã n n die Inverse A 1 bestimmen.

115 Inverse einer Matrix Wollen zur Matrix A Ã n n die Inverse A 1 bestimmen. Führen den simultanen Gauß-Algorithmus mit Matrix A und rechten Seiten e 1,...,e n durch.

116 Inverse einer Matrix Wollen zur Matrix A Ã n n die Inverse A 1 bestimmen. Führen den simultanen Gauß-Algorithmus mit Matrix A und rechten Seiten e 1,...,e n durch. Die Lösungen v i mit Av i = e i stellen wir (wie immer als Spaltenvektoren) zur Matrix zusammen. A 1 = (v 1... v n )

117 Inverse einer Matrix Wollen zur Matrix A Ã n n die Inverse A 1 bestimmen. Führen den simultanen Gauß-Algorithmus mit Matrix A und rechten Seiten e 1,...,e n durch. Die Lösungen v i mit Av i = e i stellen wir (wie immer als Spaltenvektoren) zur Matrix zusammen. A 1 = (v 1... v n ) Wie man aus der Regel Zeile mal Spalte erkennt, gilt nun in der Tat AA 1 = E n.

118 Zeilenrang=Spaltenrang Wir bringen eine beliebige Matrix A Ã m n auf ZSF, Z = BA mit einer regulären (m m)-matrix B.

119 Zeilenrang=Spaltenrang Wir bringen eine beliebige Matrix A Ã m n auf ZSF, Z = BA mit einer regulären (m m)-matrix B. a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a In der Beispielmatrix links bezeichnen die Sterne Elemente ungleich 0, die mit a bezeichneten Elemente sind beliebig.

120 Zeilenrang=Spaltenrang Wir bringen eine beliebige Matrix A Ã m n auf ZSF, Z = BA mit einer regulären (m m)-matrix B. a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a In der Beispielmatrix links bezeichnen die Sterne Elemente ungleich 0, die mit a bezeichneten Elemente sind beliebig. Wir arbeiten nun zeilenweise von oben nach unten und beginnen mit der ersten Zeile. Durch Addition eines Vielfachen der ersten Spalte auf die zweite Spalte erzielen wir auf der Position (1, 2) eine Null.

121 Zeilenrang=Spaltenrang Wir bringen eine beliebige Matrix A Ã m n auf ZSF, Z = BA mit einer regulären (m m)-matrix B. a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a In der Beispielmatrix links bezeichnen die Sterne Elemente ungleich 0, die mit a bezeichneten Elemente sind beliebig. Wir arbeiten nun zeilenweise von oben nach unten und beginnen mit der ersten Zeile. Durch Addition eines Vielfachen der ersten Spalte auf die zweite Spalte erzielen wir auf der Position (1, 2) eine Null. Dies ist aber gleichbedeutend mit der Multiplikation einer Matrix vom Typ II von rechts.

122 Zeilenrang=Spaltenrang a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a Auf diese Weise erzeugen wir lauter Nullen rechts von in der ersten Zeile.

123 Zeilenrang=Spaltenrang a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a Auf diese Weise erzeugen wir lauter Nullen rechts von in der ersten Zeile. Für die übrigen Zeilen verfahren wir genauso und erhalten schließlich die Matrix Z rechts.

124 Zeilenrang=Spaltenrang a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a Auf diese Weise erzeugen wir lauter Nullen rechts von in der ersten Zeile. Für die übrigen Zeilen verfahren wir genauso und erhalten schließlich die Matrix Z rechts. Es gilt Z = ZC = BAC mit regulären Matrizen B, C, Nach einem Satz haben Z und A den gleichen Rang.

125 Zeilenrang=Spaltenrang a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a Auf diese Weise erzeugen wir lauter Nullen rechts von in der ersten Zeile. Für die übrigen Zeilen verfahren wir genauso und erhalten schließlich die Matrix Z rechts. Es gilt Z = ZC = BAC mit regulären Matrizen B, C, Nach einem Satz haben Z und A den gleichen Rang. Die Matrix Z T hat ebenfalls ZSF.

126 Zeilenrang=Spaltenrang a a a a Z = 0 0 a a Z = ZC = a Auf diese Weise erzeugen wir lauter Nullen rechts von in der ersten Zeile. Für die übrigen Zeilen verfahren wir genauso und erhalten schließlich die Matrix Z rechts. Es gilt Z = ZC = BAC mit regulären Matrizen B, C, Nach einem Satz haben Z und A den gleichen Rang. Die Matrix Z T hat ebenfalls ZSF. Wende den Satz über den Rang von ZSF-Matrizen an!

127 Zeilenrang=Spaltenrang Satz Für eine beliebige Matrix A Ã m n gilt rang A = Anzahl der l.u Zeilen von A = Zeilenrang von A, oder anders ausgedrückt ranga = ranga T.

128 7.4 Permutationen Eine Permutation π ist eine bijektive Abbildung der Menge {1,...,n} auf sich selbst.

129 7.4 Permutationen Eine Permutation π ist eine bijektive Abbildung der Menge {1,...,n} auf sich selbst. Statt π(i) = a i {1,...,n} schreiben wir kürzer (a 1, a 2,...,a n ).

130 7.4 Permutationen Eine Permutation π ist eine bijektive Abbildung der Menge {1,...,n} auf sich selbst. Statt π(i) = a i {1,...,n} schreiben wir kürzer (a 1, a 2,...,a n ). Beispielsweise wird die Permutation π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 1 kurz (2, 3, 1) geschrieben.

131 Elementare Permutation Die Vertauschung zweier benachbarter Fächer nennen wir eine elementare Permutation.

132 Elementare Permutation Die Vertauschung zweier benachbarter Fächer nennen wir eine elementare Permutation. Jede Permutation lässt sich durch eine Folge elementarer Permutationen aus der Identität (1, 2,..., n) erzeugen.

133 Elementare Permutation Die Vertauschung zweier benachbarter Fächer nennen wir eine elementare Permutation. Jede Permutation lässt sich durch eine Folge elementarer Permutationen aus der Identität (1, 2,..., n) erzeugen. Wir bringen als erstes das Element a 1 an die erste Position und verfahren mit den folgenden Elementen genauso.

134 Elementare Permutation Die Vertauschung zweier benachbarter Fächer nennen wir eine elementare Permutation. Jede Permutation lässt sich durch eine Folge elementarer Permutationen aus der Identität (1, 2,..., n) erzeugen. Wir bringen als erstes das Element a 1 an die erste Position und verfahren mit den folgenden Elementen genauso. Beispielsweise erzeugen wir (2, 4, 1, 3) durch (1, 2, 3, 4) (2, 1, 3, 4) (2, 1, 4, 3) (2, 4, 1, 3).

135 Fehlstellen einer Permutation Die Anzahl der Fehlstellen einer Permutation π ist F(π) = {(i, j) : i < j und π(i) > π(j) für 1 i < j n}

136 Fehlstellen einer Permutation Die Anzahl der Fehlstellen einer Permutation π ist F(π) = {(i, j) : i < j und π(i) > π(j) für 1 i < j n} Wie immer bezeichnen wir mit M die Kardinalität der Menge M.

137 Fehlstellen einer Permutation Die Anzahl der Fehlstellen einer Permutation π ist F(π) = {(i, j) : i < j und π(i) > π(j) für 1 i < j n} Wie immer bezeichnen wir mit M die Kardinalität der Menge M. Beispiel F ( (1, 2,...,n) ) = 0, F ( (n, n 1,...,1) ) = 1 2 n(n 1).

138 Signum oder Vorzeichen einer Permutation Das Signum oder Vorzeichen einer Permutation π ist { 1 falls F(π) gerade sign(π) = 1 falls F(π) ungerade.

139 Signum oder Vorzeichen einer Permutation Das Signum oder Vorzeichen einer Permutation π ist { 1 falls F(π) gerade sign(π) = 1 falls F(π) ungerade. Wir nennen eine Permutation gerade, wenn sign(π) = 1, andernfalls ungerade.

140 Signum oder Vorzeichen einer Permutation Jede Permutation lässt sich auf vielfältige Weise durch Hintereinanderschaltung von einfachen Permutationen, bei denen nur π(i) und π(j) vertauscht werden, aus der Identität erzeugen.

141 Signum oder Vorzeichen einer Permutation Jede Permutation lässt sich auf vielfältige Weise durch Hintereinanderschaltung von einfachen Permutationen, bei denen nur π(i) und π(j) vertauscht werden, aus der Identität erzeugen. Bei einer geraden Permutation brauchen wir immer eine gerade Zahl von einfachen Permutationen, um sie zu erzeugen.

142 Signum oder Vorzeichen einer Permutation Jede Permutation lässt sich auf vielfältige Weise durch Hintereinanderschaltung von einfachen Permutationen, bei denen nur π(i) und π(j) vertauscht werden, aus der Identität erzeugen. Bei einer geraden Permutation brauchen wir immer eine gerade Zahl von einfachen Permutationen, um sie zu erzeugen. Jede einfache Permutation lässt sich nur durch eine ungerade Zahl von elementaren Permutationen erzeugen.

143 Signum oder Vorzeichen einer Permutation Jede Permutation lässt sich auf vielfältige Weise durch Hintereinanderschaltung von einfachen Permutationen, bei denen nur π(i) und π(j) vertauscht werden, aus der Identität erzeugen. Bei einer geraden Permutation brauchen wir immer eine gerade Zahl von einfachen Permutationen, um sie zu erzeugen. Jede einfache Permutation lässt sich nur durch eine ungerade Zahl von elementaren Permutationen erzeugen. Bei einer elementaren Permutation ändert sich die Anzahl der Fehlstellen um ±1, gleiches gilt demnach auch für eine einfache Permutation.

144 7.5 Determinanten Die Determinante ist eine Abbildung det : Ã n n Ã.

145 7.5 Determinanten Die Determinante ist eine Abbildung det : Ã n n Ã. Historisch gesehen hat es verschiedene äquivalente Definitionen gegeben.

146 7.5 Determinanten Die Determinante ist eine Abbildung det : Ã n n Ã. Historisch gesehen hat es verschiedene äquivalente Definitionen gegeben. Diese stammt von Leibniz: det A = π sign(π) n a i π(i). In jedem einzelnen Summanden kommt aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix nur ein Element vor. i=1

147 Determinante von (2 2)-Matrizen Bei n = 2 gibt es nur zwei Permutationen, nämlich die Identität mit positivem Signum und die Vertauschung von 1 und 2 mit negativem Signum.

148 Determinante von (2 2)-Matrizen Bei n = 2 gibt es nur zwei Permutationen, nämlich die Identität mit positivem Signum und die Vertauschung von 1 und 2 mit negativem Signum. Daher gilt für A = (a ij ) 1 i,j 2 det A = a 11 a 22 a 12 a 21.

149 Determinante von (3 3)-Matrizen Für n = 3 gilt (1, 3, 2),(3, 2, 1),(2, 1, 3) haben negatives Signum, (1, 2, 3),(2, 3, 1),(3, 1, 2) haben positives Signum.

150 Determinante von (3 3)-Matrizen Für n = 3 gilt (1, 3, 2),(3, 2, 1),(2, 1, 3) haben negatives Signum, (1, 2, 3),(2, 3, 1),(3, 1, 2) haben positives Signum. Für eine (3 3)-Matrix gilt daher det A =a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33.

151 Determinante von Dreiecksmatrizen Es gilt offenbar dete n = 1. Für eine rechte obere (oder linke untere) Dreiecksmatrix R = (r ij ) gilt det R = n i=1 r ii

152 Determinante von Dreiecksmatrizen Es gilt offenbar dete n = 1. Für eine rechte obere (oder linke untere) Dreiecksmatrix R = (r ij ) gilt det R = nur Permutationen mit π(1) = 1 liefern nichtverschwindende Werte, n i=1 r ii

153 Determinante von Dreiecksmatrizen Es gilt offenbar dete n = 1. Für eine rechte obere (oder linke untere) Dreiecksmatrix R = (r ij ) gilt det R = n i=1 r ii nur Permutationen mit π(1) = 1 liefern nichtverschwindende Werte, π(2) = 1 ist durch π(1) schon vergeben, bleibt also nur π(2) = 2, um etwas Nichtverschwindendes zu erreichen.

154 Entwicklungssatz von Laplace Für eine (n n)-matrix A bezeichnen wir mit A ij à (n 1) (n 1) die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht.

155 Entwicklungssatz von Laplace Für eine (n n)-matrix A bezeichnen wir mit A ij à (n 1) (n 1) die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht. Satz Die Determinante einer Matrix A à n n lässt sich mit den folgenden Formeln nach einer Zeile oder einer Spalte entwickeln det A = n ( 1) i+j a ij det A ij j=1 (Entwicklung nach der i-ten Zeile)

156 Entwicklungssatz von Laplace Für eine (n n)-matrix A bezeichnen wir mit A ij à (n 1) (n 1) die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht. Satz Die Determinante einer Matrix A à n n lässt sich mit den folgenden Formeln nach einer Zeile oder einer Spalte entwickeln det A = det A = n ( 1) i+j a ij det A ij j=1 n ( 1) i+j a ij det A ij i=1 (Entwicklung nach der i-ten Zeile) (Entwicklung nach der j-ten Spalte).

157 Beweis Ein richtiger Satz ist das eigentlich nicht: Man stellt in der Leibnizschen Definition der Determinante nur fest, in welchen Summanden das Element a ij vorkommt.

158 Beweis Ein richtiger Satz ist das eigentlich nicht: Man stellt in der Leibnizschen Definition der Determinante nur fest, in welchen Summanden das Element a ij vorkommt. Der Rechenaufwand zur Berechnung der Determinante nach der Laplace-Formel ist genauso gewaltig wie nach der Definition.

159 Beispiel n = 3 Für n = 3 erhalten wir bei Entwicklung nach der ersten Spalte ( ) ( ) ( ) a22 a det A =a 11 det 23 a12 a a a 32 a 21 det 13 a12 a + a 33 a 32 a 31 det a 22 a 23

160 Beispiel n = 3 Für n = 3 erhalten wir bei Entwicklung nach der ersten Spalte ( ) ( ) ( ) a22 a det A =a 11 det 23 a12 a a a 32 a 21 det 13 a12 a + a 33 a 32 a 31 det a 22 a 23 =a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 21 (a 12 a 33 a 32 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 a 22 a 13 ).

161 Alternierende Multilinearform Satz Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Spalten von A. Das heißt:

162 Alternierende Multilinearform Satz Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Spalten von A. Das heißt: (a) Ist b à n,1 ein beliebiger Spaltenvektor, so gilt det(a 1... a i 1 a i +b a i+1...) = det A+det(a 1... a i 1 b a i+1...).

163 Alternierende Multilinearform Satz Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Spalten von A. Das heißt: (a) Ist b à n,1 ein beliebiger Spaltenvektor, so gilt det(a 1... a i 1 a i +b a i+1...) = det A+det(a 1... a i 1 b a i+1...). (b) Für α à gilt det(a 1... a i 1 αa i a i+1...) = α det A.

164 Alternierende Multilinearform Satz Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Spalten von A. Das heißt: (a) Ist b à n,1 ein beliebiger Spaltenvektor, so gilt det(a 1... a i 1 a i +b a i+1...) = det A+det(a 1... a i 1 b a i+1...). (b) Für α à gilt det(a 1... a i 1 αa i a i+1...) = α det A. (c) Besitzt A zwei identische Spalten, so gilt deta = 0.

165 Beweis (a) Ist b à n,1 ein beliebiger Spaltenvektor, so gilt det(a 1... a i 1 a i +b a i+1...) = det A+det(a 1... a i 1 b a i+1...).

166 Beweis (a) Ist b à n,1 ein beliebiger Spaltenvektor, so gilt det(a 1... a i 1 a i +b a i+1...) = det A+det(a 1... a i 1 b a i+1...). In der Definition der Determinante kommt in jedem Summanden genau ein Element der i-ten Spalte vor.

167 Beweis (a) Ist b à n,1 ein beliebiger Spaltenvektor, so gilt det(a 1... a i 1 a i +b a i+1...) = det A+det(a 1... a i 1 b a i+1...). In der Definition der Determinante kommt in jedem Summanden genau ein Element der i-ten Spalte vor. Wenn also die i-te Spalte durch a i + b ersetzt wird, ist dieses Element von der Form a ij + b j und kann mit dem Distributivgesetz auseinandergezogen werden.

168 Beweis (b) Für α Ã gilt det(a 1... a i 1 αa i a i+1...) = α det A. Wird die i-te Spalte durch αa i ersetzt, erscheint in jedem Summanden ein αa ij an Stelle von a ij.

169 Beweis (c) Besitzt A zwei identische Spalten, so gilt deta = 0.

170 Beweis (c) Besitzt A zwei identische Spalten, so gilt deta = 0. Wir verwenden Induktion über n. Für n = 2 ist die Behauptung richtig.

171 Beweis (c) Besitzt A zwei identische Spalten, so gilt deta = 0. Wir verwenden Induktion über n. Für n = 2 ist die Behauptung richtig. Für den Schluss n n+1 entwickeln wir die Determinante mit Laplaceschen Entwicklungssatz nach der ersten Zeile.

172 Beweis (c) Besitzt A zwei identische Spalten, so gilt deta = 0. Wir verwenden Induktion über n. Für n = 2 ist die Behauptung richtig. Für den Schluss n n+1 entwickeln wir die Determinante mit Laplaceschen Entwicklungssatz nach der ersten Zeile. Enthält A 1,l die beiden identischen Spalten, so verschwindet ihre Determinante nach Induktionsvoraussetzung.

173 Beweis (c) Besitzt A zwei identische Spalten, so gilt deta = 0. Wir verwenden Induktion über n. Für n = 2 ist die Behauptung richtig. Für den Schluss n n+1 entwickeln wir die Determinante mit Laplaceschen Entwicklungssatz nach der ersten Zeile. Enthält A 1,l die beiden identischen Spalten, so verschwindet ihre Determinante nach Induktionsvoraussetzung. Sind l, l die beiden identischen Spalten, so besitzen ( 1) l+1 det A l,1 und ( 1) l +1 det A l,1 entgegengesetztes Vorzeichen.

174 Auch multilinear in den Zeilen Bemerkung Die Determinante ist ebenso eine alternierende Multilinearform in den Zeilen der Matrix.

175 Auch multilinear in den Zeilen Bemerkung Die Determinante ist ebenso eine alternierende Multilinearform in den Zeilen der Matrix. Die Aussagen (a)-(c) im letzten Satz bleiben richtig, wenn man das Wort Spalte durch Zeile ersetzt. Die Beweise sind genauso einfach.

176 Vertauschung von Zeilen oder Spalten Bemerkung In einer alternierenden Multilinearform wechselt das Vorzeichen, wenn die Komponenten vertauscht werden. Daher der Name!

177 Vertauschung von Zeilen oder Spalten Bemerkung In einer alternierenden Multilinearform wechselt das Vorzeichen, wenn die Komponenten vertauscht werden. Daher der Name! Entsteht A aus A durch Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten, so gilt deta = det A.

178 Vertauschung von Zeilen oder Spalten Bemerkung In einer alternierenden Multilinearform wechselt das Vorzeichen, wenn die Komponenten vertauscht werden. Daher der Name! Entsteht A aus A durch Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten, so gilt deta = det A. Zu beweisen brauchen wir dieses Prinzip nur für eine alternierende Multilinearform a(v 1, v 2 ) in zwei Komponenten. Es gilt 0 = a(v 1 + v 2, v 1 + v 2 ) = a(v 1 + v 2, v 1 )+a(v 1 + v 2, v 2 )

179 Vertauschung von Zeilen oder Spalten Bemerkung In einer alternierenden Multilinearform wechselt das Vorzeichen, wenn die Komponenten vertauscht werden. Daher der Name! Entsteht A aus A durch Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten, so gilt deta = det A. Zu beweisen brauchen wir dieses Prinzip nur für eine alternierende Multilinearform a(v 1, v 2 ) in zwei Komponenten. Es gilt 0 = a(v 1 + v 2, v 1 + v 2 ) = a(v 1 + v 2, v 1 )+a(v 1 + v 2, v 2 ) = a(v 1, v 1 )+a(v 2, v 1 )+a(v 1, v 2 )+a(v 2, v 2 ) = a(v 2, v 1 )+a(v 1, v 2 )

180 Vorsicht Man beachte, dass bei αa das α in jeder Zeile erscheint, daher detαa = α n det A.

181 Multiplikationssatz für Determinanten Satz Für (n n)-matrizen A, B gilt detab = det A det B.

182 Beweis Seien A = (a ik ), B = (b kj ), C = (c ij ) mit c ij = n k=1 a ikb kj. Mit der Definition der Determinante gilt dann det AB = π = π sign(π)c 1π(1)... c nπ(n) ( n ) ( n ) sign(π) a 1 j1 b j1 π(1)... a 1 jn b jn π(n) j 1 =1 j n=1

183 Beweis Seien A = (a ik ), B = (b kj ), C = (c ij ) mit c ij = n k=1 a ikb kj. Mit der Definition der Determinante gilt dann det AB = π sign(π)c 1π(1)... c nπ(n) = ( n ) ( n ) sign(π) a 1 j1 b j1 π(1)... a 1 jn b jn π(n) π = π = sign(π) 1 j 1,...,j n n j 1 =1 1 j 1,...,j n n j n=1 a 1 j1...a n jn b j1 π(1)...b jn π(n) [ ] a 1 j1...a n jn sign(π)b j1 π(1)...b jn π(n) π

184 Beweis det AB = 1 j 1,...,j n n [ ] a 1 j1...a n jn sign(π)b j1 π(1)...b jn π(n) Den Ausdruck in den eckigen Klammern können wir interpretieren als die Determinante der Matrix, die in der ersten Zeile die Zeile j 1 von B, in der zweiten Zeile die Zeile j 2 von B besitzt, oder allgemein: In der i-ten Zeile steht die Zeile j i. π

185 Beweis det AB = 1 j 1,...,j n n [ ] a 1 j1...a n jn sign(π)b j1 π(1)...b jn π(n) Den Ausdruck in den eckigen Klammern können wir interpretieren als die Determinante der Matrix, die in der ersten Zeile die Zeile j 1 von B, in der zweiten Zeile die Zeile j 2 von B besitzt, oder allgemein: In der i-ten Zeile steht die Zeile j i. Bezeichnen wir diese Matrix mit B(j 1,...,j n ), so ist det AB = a 1 j1...a n jn det B(j 1,...,j n ). 1 j 1,...,j n n π

186 Beweis det AB = 1 j 1,...,j n n a 1 j1...a n jn det B(j 1,...,j n ). B(j 1,...,j n ) = 0, wenn Zeilen mehrfach auftreten.

187 Beweis det AB = 1 j 1,...,j n n a 1 j1...a n jn det B(j 1,...,j n ). B(j 1,...,j n ) = 0, wenn Zeilen mehrfach auftreten. Brauchen daher nur über alle Permutationen der Zahlen 1,...,n zu summieren det AB = π a 1π(1)...a nπ(n) det B(π(1),...,π(n)).

188 Beweis det AB = 1 j 1,...,j n n a 1 j1...a n jn det B(j 1,...,j n ). B(j 1,...,j n ) = 0, wenn Zeilen mehrfach auftreten. Brauchen daher nur über alle Permutationen der Zahlen 1,...,n zu summieren det AB = π a 1π(1)...a nπ(n) det B(π(1),...,π(n)). Die Matrix B(π(1),...,π(n)) geht aus einer Permutation der Zeilen von B hervor. Daher det B(π(1),...,π(n)) = signπ det B.

189 Beweis det AB = 1 j 1,...,j n n a 1 j1...a n jn det B(j 1,...,j n ). B(j 1,...,j n ) = 0, wenn Zeilen mehrfach auftreten. Brauchen daher nur über alle Permutationen der Zahlen 1,...,n zu summieren det AB = π a 1π(1)...a nπ(n) det B(π(1),...,π(n)). Die Matrix B(π(1),...,π(n)) geht aus einer Permutation der Zeilen von B hervor. Daher det B(π(1),...,π(n)) = signπ det B. det AB = π a 1π(1)...a nπ(n) signπ det B. = det A det B.

190 Determinante der Inversen Korollar Für eine reguläre Matrix gilt det A 1 = 1 det A.

191 Determinante der Inversen Korollar Für eine reguläre Matrix gilt det A 1 = 1 det A. Beweis Nach der Multiplikationsformel gilt 1 = det E n = det(aa 1 ) = det A det A 1.

192 Berechnung der Determinante Im Gauß-Algorithmus hatten wir die Matrix A durch eine Folge von Umformungen auf eine rechte obere Dreiecksmatrix gebracht.

193 Berechnung der Determinante Im Gauß-Algorithmus hatten wir die Matrix A durch eine Folge von Umformungen auf eine rechte obere Dreiecksmatrix gebracht. Genauer gibt es Permutationsmatrizen P k und Eliminationsmatrizen G k für k = 1,...,n 1 mit R = G n 1 P n 1...G 1 P 1 A.

194 Berechnung der Determinante R = G n 1 P n 1...G 1 P 1 A Mit der Matrix P k wird die k-te Zeile mit einer anderen Zeile vertauscht oder es ist P k = E n, wenn keine Vertauschung notwendig ist.

195 Berechnung der Determinante R = G n 1 P n 1...G 1 P 1 A Mit der Matrix P k wird die k-te Zeile mit einer anderen Zeile vertauscht oder es ist P k = E n, wenn keine Vertauschung notwendig ist. Die Anzahl der echten Vertauschungen sei l.

196 Berechnung der Determinante R = G n 1 P n 1...G 1 P 1 A Mit der Matrix P k wird die k-te Zeile mit einer anderen Zeile vertauscht oder es ist P k = E n, wenn keine Vertauschung notwendig ist. Die Anzahl der echten Vertauschungen sei l. G k ist ein Produkt von Matrizen G ik,α, um die k-te Spalte zu eliminieren.

197 Berechnung der Determinante R = G n 1 P n 1...G 1 P 1 A Mit der Matrix P k wird die k-te Zeile mit einer anderen Zeile vertauscht oder es ist P k = E n, wenn keine Vertauschung notwendig ist. Die Anzahl der echten Vertauschungen sei l. G k ist ein Produkt von Matrizen G ik,α, um die k-te Spalte zu eliminieren. Die G i,k,α sind linke untere Dreiecksmatrizen mit lauter Einser in der Hauptdiagonalen, daher detg k = 1.

198 Berechnung der Determinante R = G n 1 P n 1...G 1 P 1 A Mit der Matrix P k wird die k-te Zeile mit einer anderen Zeile vertauscht oder es ist P k = E n, wenn keine Vertauschung notwendig ist. Die Anzahl der echten Vertauschungen sei l. G k ist ein Produkt von Matrizen G ik,α, um die k-te Spalte zu eliminieren. Die G i,k,α sind linke untere Dreiecksmatrizen mit lauter Einser in der Hauptdiagonalen, daher detg k = 1. Aus dem Multiplikationssatz für Determinanten folgt daher n det A = ( 1) l det R = ( 1) l r ii. i=1