TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Invertierung von Matrizen und Multilinearformen

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof Dr Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 2006/07 en Blatt Invertierung von Matrizen und Multilinearformen Zentralübungsaufgaben Z30 Erzeugendensystem von GL K (n) Zeigen Sie, dass die Gruppe der invertierbaren Matrizen von den Elementarmatrizen erzeugt wird, das heißt jede Untergruppe von GL K (n), die die Elementarmatrizen enthält, ist wieder GL K (n) Es gibt drei Typen von Elementarmatrizen: multipliziert man N i j (λ) von links, N i j (λ), so wird zur i-ten Zeile das λ-fache der j-ten addiert; möchten wir Spalten manipulieren, so müssen wir A mit N i j (λ) von rechts multiplizieren, dann wird zur j-ten Spalte, das λ-fache der i-ten addiert j-te Spalte λ i-te Zeile N i j (λ) = Der zweite Typ, D i (λ) multipliziert die i-te Zeile bzw Spalte mit λ i-te Spalte D i (λ) = λ i-te Zeile

2 Der letzte Typ sind solche Matrizen, die die i-te und j-te Zeile (bzw Spalte) miteinander vertauschen Diese haben die Form 0 i-te Zeile P i j = 0 j-te Zeile Wir werden zeigen, dass diese drei Matrizentypen GL K (n) erzeugen (Man kann sogar zeigen, dass N i j () und D i (λ) GL K (n) erzeugen) Der Beweis ist konstruktiv und funktioniert nach einem einfachen Schema: wir werden das Inverse zu einer beliebigen invertierbaren Matrix A GL K (n) durch Elementarmatrizen konstruieren; da trivialerweise auch A GL K (n) liegt, können wir seinerseits für A das Inverse konstruieren nämlich A selbst Bezeichne a j die j-te Spalte der Matrix A = (a i j ) i,j n GL K (n) n (K) Die Spalten invertierbarer Matrizen müssen linear unabhängig sein Sei E GL K (n); dann sind auch A E GL K (n) und E A GL K (n) und die Spaltenvektoren von E A = Ea Ea n ) sind ebenfalls wieder linear unabhängig Daher muss ein a i 0 existieren (mindestens ein Eintrag in der ersten Spalte ist also nicht 0) Wir vertauschen nun die i -te und die erste Zeile miteinander und multiplizieren die erste Zeile mit /a i Wir erhalten so A := D (/a i ) P i A = a 2 a n Im nächsten Schritt eliminieren wir die restlichen Einträge in der ersten Spalte Man kann zeigen, dass n A 2 := N j ( a j ) A = 0 j=2 0 N j ( a j ) addiert das a j-fache der ersten Zeile hinzu; der erste Eintrag in der ersten Zeile ist aber und somit werden sämtliche ersten Einträge der ersten Zeile gelöscht Diese Prozedur kann für die anderen Spalten genauso wiederholt werden: da A 2 GL K (n) sind auch hier die Spalten linear unabhängig und mindestens ein Eintrag z B a i 2 2 0, in der zweiten Spalte ist nicht 0 Wir dürfen allerdings nicht a 2 wählen, da wir ansonsten die in der ersten Spalte in eine andere Zeile mitverschieben würden Wir bemühen wieder die lineare Unabhängigkeit der 2

3 Spalten, um zu schließen, dass auch ein a i 2 2 0, i 2 existiert Dann ist a 2 0 A 3 := D 2 (/a ) P i 2 2 i 2 2 A 2 = a 3 0 a n Wir eliminieren die restlichen Einträge aus der zweiten Zeile; die Einträge in der ersten Spalte bleiben dadurch unberührt, da a 2 = 0 ist A 4 := 0 n 0 N j2 ( a j2 ) A 3 = j= j 2 Man fährt bis zur letzten Spalte fort und erhält so die Einheitsmatrix Gleichzeitig haben wir ein Verfahren konstruiert, um das Inverse einer Matrix zu bestimmen, es gilt nämlich n A = N jn ( a (2n ) jn ) D n (/a i nn) P in n j= n j= j 2 N j2 ( a j2 ) D 2(/a i2 2) P i2 2 n N j ( a j ) D (/a i ) P i Die Moral der Geschicht ist, dass jede invertierbare Matrix aus Elementarmatrizen dargestellt werden kann Von den Elementarmatrizen brauchen wir eigentlich auch nur zwei, nämlich N i j () und D i (λ), λ K Für Rechnungen ist es aber umständlich ohne Permutationen und N i j (λ), λ K auszukommen j=2 Z3 Invertieren einer Matrix Invertieren Sie die Matrix A = Wir benutzen folgende Kurzschreibweise: Z Z Z Z /2 9/2 7/2 0 2 Z 2 0 3/2 39/2 7/2 0 2 Z 3 3

4 /2 5/ Z 3 + 3Z 2 39 Z Z 2 2 Z 3 Z 5 2 Z 3 Z 2 + 9Z 3 Z 3 2 Z 2 Daher ist das Inverse von A die Matrix A = Wir machen die Probe: A A = = = = Z32 Normalform einer Matrix Zeigen Sie, dass alle Abbildungen f K (K n ) vom Rang r n äquivalent zu sind Modifizieren Sie dazu den Beweis aus Z30 4

5 Zur Erinnerung: zwei Endomorphismen f und g aus K (K n ) heißen äquivalent, f g, wenn Automorphismen ψ, ϕ GL(K n ) existieren mit f = ψ g ϕ Es ist bereits in der Vorlesung gezeigt worden, dass Abbildungen mit gleichem Rang äquivalent sind (K-lineare Bijektionen verändern den Rang bekannterweise nicht, siehe Eigenschaften des Ranges aus der Vorlesung) Da rg f = r, existieren r linear unabhängige Bildvektoren Den Fall r = n haben wir bereits in Z30 behandelt Sei nun also r < n Falls die erste Zeile die Nullspalte ist, vertauschen wir die erste Spalte mit einer anderen Spalte, der k -ten (die mindestens einen nichtverschwindenden Eintrag besitzt), indem wir von rechts mit P k multiplizieren Nun wenden wir Schritt (Normierung des Diagonalelements) und Schritt 2 (Eliminierung der restlichen Elemente der Spalte) an und wir erhalten wie vorher folgende Matrix: A 3 = 0 0 Falls in der zweiten Spalte kein nichtverschwindender Eintrag in der zweiten Zeile oder darunter zu finden ist, vertauschen wir sie mit einer, bei der das der Fall ist der k 2 -ten (da es noch r linear unabhängige Spaltenvektoren gibt, muss es eine solche Spalte geben) Nach der r-ten Umformung sind nur noch linear abhängige Spalten übrig; wir können also jede dieser Spalten als Linearkombination der ersten r schreiben 0 0 b r+ b n 0 0 A 2r = br r+ b r n Die Einträge unterhalb der r-ten Zeile müssen alle 0 sein, denn sonst wäre mindestens eine Zeile nicht als Linearkombination der ersten r darstellbar (nämlich der ersten r kanonischen Einheitsvektoren) Daher lassen sich die restlichen Spalten leicht eliminieren: die r + -te Spalte wird durch Multiplikation von rechts mit n j= N j r+( b j r+ ) eliminiert, usw Wir sehen also, dass sich jede Abbildung mit Rang r in höchstens 2r +(n r) Schritten auf die oben genannte Form bringen lassen kann (Selbstverständlich heißt das nicht, dass das der effektivste Weg ist) Außerdem sei erwähnt, dass hier Zeilen- und Spaltenmanipulationen gemischt worden sind 5

6 Tutoraufgaben T30 Invertieren mittels Elementarmatrizen Wiederholen Sie die Rechnung in Z3 indem Sie Elementarmatrizen miteinander multiplizieren Wir übersetzen schrittweise die Umformungen in Matrizenschreibweise und erhalten so D (/)D 2 (/)D 3 (/)N 2 ( 3/2)N 23 (9)N 3 ( 5/2)D (39)D 2 ()D 3 ( /2)N 32 (3) D 2 (2)D 3 (2)N 2 ( 7/2)N 3 ( 7/2) = = / / = / / = / / = = / / /2 5/2 = / / /2 5/2 = / / = T3 Invertieren Sie folgende Matrizen: 0 0 A = B =

7 Z Z 4 Z 4 Z Z 2 Z Z 3 Z 3 Z ( 3) Z 2 ( 3) Z 3 Z 4 + Z 2 + Z 3 Z 2 + Z 4 Z 3 + Z 4 Z Z 2 Z 3 Also ist A gegeben durch 2 A =

8 Nun zur zweiten Matrix Z 0 0 Z 2 2 Z Z 3 Z 2 3 /2 0 0 Z + Z /2 0 Z 2 Z /2 0 0 / Z 3 2Z /2 0 0 /2 Z 2 + Z ( ) Z / / Wir erhalten also für B B = T32 Multilinearität der Determinante Sei A = (a i j ) i, j 3 3 (K) mit Spaltenvektoren a j, j =, 2, 3 Auf 3 3-Martizen ist die Determinante durch definiert det A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a3 a 22 a 3 + a 2 a 2 a 33 + a a 32 a 23 (i) Zeigen Sie durch explizites Ausrechnen, dass det a a 2 + λa a 3 = det a a 2 a 3 gilt (ii) Zeigen Sie durch abstraktere Argumente, dass det a a 2 + λa a 3 = det a a 2 a 3 gilt (i) Wir zeigen explizit bloß det a a 2 + λa a 3 = det a a 2 a 3, die Rechnungen für andere Spalten gehen ganz analog Es ist wichtig, dass ganz analoge Formeln auch für Determinanten von n n-matrizen gelten, dort aber nicht so leicht explizit nachzurechnen sind det a a 2 + λa a 3 = a (a 22 + λa 2 )a 33 + (a 2 + λa )a 23 a 3 + a 3 a 2 (a 32 + λa 3 ) + a 3 (a 22 + λa 2 )a 3 + a 2 (a 2 + λa )a 33 + a (a 32 + λa 3 )a 23 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a3 a 22 a 3 + a 2 a 2 a 33 + a a 32 a λ(a a 2 a 33 + a a 23 a 3 + a 3 a 2 a 3 a 3 a 2 a 3 a 2 a a 33 a a 3 a 23 ) = det a a 2 a 3 8

9 (ii) Für alternierende Multilinearformen wie der Determinante gilt per definitionem det a a 2 a 3 = det a 2 a a 3 Falls also zwei Spalten gleich sind, muss die Determinante verschwinden: det a a a 3 = det a a a 3 = + det a a a 3 = det a a a 3 = 0 Daher haben wir det a a 2 + λa a 3 = det a a 2 a 3 + λ det a a a 3 = det a a 2 a 3 Dieses Argument ist selbstverständlich nicht auf 3 3-Matrizen beschränkt Im mit markierten Schritt haben wir die Multilinearität ausgenutzt, im letzten dass die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten verschwindet So kann man auch leicht zeigen, dass eine Matrix mit einer linear abhängigen Spalte die Determinate 0 hat 9