Kondition linearer Gleichungssysteme Vorlesung vom
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- Helmuth Hertz
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1 Kondition linearer Gleichungssysteme Vorlesung vom Konvergenz in normierten Räumen Definition: x (ν) x x x (ν) 0, für ν Satz: Die Konvergenz in R n und R n,n ist äquivalent zur komponentenweise Konvergenz. Existenz und Eindeutigkeit: Reguläre und singuläre Matrizen. Inverse Matrix. Die Regularität von A ist äquivalent zur Existenz eindeutig bestimmter Lösungen. Störungen von Koeffizientenmatrix A und rechter Seite b: Normweiser absoluter und relativer Fehler. Definition: κ(a) = A A 1 heißt Kondition von A. Beispiele. Satz: κ(a) ist der maximale Verstärkungsfaktor des rel. Fehlers bei Störungen von b. Satz: κ(a) ist der maximale Verstärkungsfaktor des rel. Fehlers bei Störungen von A. Satz: κ(a) ist der maximale Verstärkungsfaktor des rel. Fehlers bei Störungen von A, b. Numerische Beispiele.
2 Auswirkungen von Störungen von A und b Satz 9.12 Sei x die Lösung von Ax = b, b 0, und x die Lösung des gestörten Systems à x = b mit à Rn,n und A à / A < 1/κ(A) sowie b R n. Dann gilt x x x κ(a) ( A à A ) + b b b +o( A à + b b ). Es existieren rechte Seiten b, b R n und Matrizen A, à R n,n, so daß in dieser Abschätzung Gleichheit vorliegt.
3 Die Kondition als Quantifizierung der Regularität singulären Matrizen: S := {M R n,n M singulär} R n,n relativer Abstand von A 0 zu S: dist(a,s) := inf { A B A } B S Satz 9.9 Für alle regulären Matrizen A gilt dist(a,s) 1 κ(a). Folgerung: A fast singulär, d.h. dist(a,s) klein = κ(a) groß!
4 Die Kondition als Quantifizierung der Regularität singulären Matrizen: S := {M R n,n M singulär} R n,n relativer Abstand von A 0 zu S: dist(a,s) := inf { A B A } B S Satz 9.9 Für alle regulären Matrizen A gilt dist(a,s) 1 κ(a). Folgerung: A fast singulär, d.h. dist(a,s) klein = κ(a) groß!
5 Die Kondition als Quantifizierung der Regularität singulären Matrizen: S := {M R n,n M singulär} R n,n relativer Abstand von A 0 zu S: dist(a,s) := inf { A B A } B S Satz 9.9 Für alle regulären Matrizen A gilt dist(a,s) 1 κ(a). Folgerung: A fast singulär, d.h. dist(a,s) klein = κ(a) groß!
6 Die Kondition als Quantifizierung der Regularität singulären Matrizen: S := {M R n,n M singulär} R n,n relativer Abstand von A 0 zu S: dist(a,s) := inf { A B A } B S Satz 9.9 Für alle regulären Matrizen A gilt dist(a,s) 1 κ(a). Folgerung: A fast singulär, d.h. dist(a,s) klein = κ(a) groß!
7 Beispiel: Schleifender Schnitt A = ( ) ε ( ), A 1 = ε 1 1+ε κ = A A 1 = (2+ε)ε 1 (2+ε) = (2+ε)2 für ε 0 ( ε 1+ ε ) B = 2+ε 1 A B 1 ε S, = 1 2+ε 1+ε A κ (A) Bemerkung: Allgemein existiert ein B S mit dist(a,s) = A B A = 1 κ(a) Folgerung: Schlecht konditionierte Matrizen sind fast singulär!
8 Beispiel: Schleifender Schnitt A = ( ) ε ( ), A 1 = ε 1 1+ε κ = A A 1 = (2+ε)ε 1 (2+ε) = (2+ε)2 für ε 0 ( ε 1+ ε ) B = 2+ε 1 A B 1 ε S, = 1 2+ε 1+ε A κ (A) Bemerkung: Allgemein existiert ein B S mit dist(a,s) = A B A = 1 κ (A) Folgerung: Schlecht konditionierte Matrizen sind fast singulär!
9 Beispiel: Schleifender Schnitt A = ( ) ε ( ), A 1 = ε 1 1+ε κ = A A 1 = (2+ε)ε 1 (2+ε) = (2+ε)2 für ε 0 ( ε 1+ ε ) B = 2+ε 1 A B 1 ε S, = 1 2+ε 1+ε A κ (A) Bemerkung: Allgemein ex. ein B S mit dist (A,S) = A B A = 1 κ (A) Folgerung: Schlecht konditionierte Matrizen sind fast singulär!
10 Beispiel: Schleifender Schnitt A = ( ) ε ( ), A 1 = ε 1 1+ε κ = A A 1 = (2+ε)ε 1 (2+ε) = (2+ε)2 für ε 0 ( ε 1+ ε ) B = 2+ε 1 A B 1 ε S, = 1 2+ε 1+ε A κ (A) Bemerkung: Allgemein ex. ein B S mit dist (A,S) = A B A = 1 κ (A) Folgerung: Schlecht konditionierte Matrizen sind fast singulär!
11 Problem und Algorithmus Problem: Löse das lineare Gleichungssystem Ax = b Auswertung des Lösungsoperators f(a,b) = A 1 b zu Daten A R n,n, b R n Satz 9.12 Relative Kondition des Problems κ rel = κ(a) Algorithmus: Zerlegung des Lösungsoperators in Elementaroperationen x = A 1 b = G m G 1 (A,b) Qualitätskriterien: Aufwand und Stabilität
12 Problem und Algorithmus Problem: Löse das lineare Gleichungssystem Ax = b Auswertung des Lösungsoperators f(a,b) = A 1 b zu Daten A R n,n, b R n Satz 9.12 Relative Kondition des Problems κ rel = κ(a) Algorithmus: Zerlegung des Lösungsoperators in Elementaroperationen x = A 1 b = G m G 1 (A,b) Qualitätskriterien: Aufwand und Stabilität
13 Lineare Gleichungssysteme Matrixschreibweise: x 1 = x 2 x A x = b erweiterte Matrix:
14 Lineare Gleichungssysteme Matrixschreibweise: x 1 = x 2 x A x = b erweiterte Matrix:
15 Gaußscher Algorithmus eliminieren von x 1 : Zeile Zeile eliminieren von x 2 : Zeile
16 Gaußscher Algorithmus eliminieren von x 1 : Zeile Zeile eliminieren von x 2 : Zeile
17 Gestaffeltes Gleichungssystem x 1 = x 2 x R x = z Lösung durch Rückwärtssubstitution: x 1 +4x 2 +7x 3 3x 2 6x 3 = 5 11 = x = 7 x 3 8/3 31/3 7
18 Gestaffeltes Gleichungssystem x 1 = x 2 x R x = z Lösung durch Rückwärtssubstitution: x 1 +4x 2 +7x 3 3x 2 6x 3 = x = x = 7 8/3 31/3 7
19 Gestaffeltes Gleichungssystem x 1 = x 2 x R x = z Lösung durch Rückwärtssubstitution: x 1 +4x 2 +7x 3 3x 2 6x 3 = x = x = 7 8/3 31/3 7
20 Gestaffeltes Gleichungssystem x 1 = x 2 x R x = z Lösung durch Rückwärtssubstitution: x 1 +4x 2 +7x 3 3x 2 6x 3 = x = x = 7 8/3 31/3 7
21 Gesetz oder Zufall? = L R = A LR Zerlegung
22 Gesetz oder Zufall? = L R = A LR Zerlegung
23 Gesetz oder Zufall? = L R = A LR Zerlegung
24 Der 1. Eliminationsschritt Voraussetzung: Pivotelement a 11 0 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn b 1.. b n a (1) 11 a (1) 12 a (1) 1n 0 a (1) 22 a (1) 2n... 0 a (1) n2 a (1) nn b (1) 1.. b (1) n (A b) = (A (0) b (0) ) (A (1) b (1) ) Berechnung von (A (0) b (0) ) (A (1) b (1) ): a (1) 1j = a 1j, b (1) 1 = b 1, j = 1,...,n, a (1) ij = a ij l i1 a 1j, b (1) i = b i l i1 b i, l i1 := a i1 a 11, i,j = 2,...,n,
25 Gaußsche Elimination (Algorithmus 9.12) for k = 1 : n 1 do { for i = k +1 : n do (falls a (k 1) kk 0!) { } } l ik = a(k 1) ik a (k 1) kk ; b (k) i for j = k +1 : n do { } a (k) ij = a (k 1) ij = b (k 1) i l ik a (k 1) kj ; l ik b (k 1) k ; a (k) ik = 0 ;
26 Gestaffeltes Gleichungssystem: a (n 1) 11 a (n 1) Rückwärtssubstitution 12 a (n 1) 1n 0 a (n 1) 22 a (n 1) 2n a nn (n 1) Algorithmus 10.2 (Rückwärtssubstitution) x 1 x 2. x n b (n 1) 1 b (n 1) 2. b (n 1) n x n = 1 a (n 1) nn b (n 1) n for i = n 1 : ( 1) : 1 do x i = 1 n b (n 1) a (n 1) i ii j=i+1 a (n 1) ij x j
27 Carl Friedrich Gauß ( ) 1799 Promotion (Hauptsatz der Algebra) 1801 Disquisitiones Arithmeticae (Kongruenzen,...) 1801 Berechnung der Ceres Bahn (Fehlerquadrate, Gaußscher Algorithmus) 1807 Direktor der Göttinger Sternwarte 1818 Vermessung des Königreichs Hannover (bis 1830 ca. 70 Arbeiten zu Geodäsie) Carl Friedrich Gauß im Jahre Erforschung des Erdmagnetismus (Potentialtheorie, Gaußscher Satz,...) Antarktis Expedition der Royal Society (James Clarke Ross) angeregt von Gauß, Weber und Humboldt Feldstärke des Erdmagnetfelds 1 Gauß
28 Eliminationsmatrizen G k = l k+1,k l n,k 0 0 0, l i,k = a(k 1) ik a (k 1) kk Lemma 10.3: Mit A (0) = A und b (0) = b gilt A (k) = (I G k )A (k 1), b (k) = (I G k )b (k 1), k = 1,...,n 1.
29 LR Zerlegung von A Satz 10.4 Ist der Gaußsche Algorithmus für A R n,n durchführbar (d.h. erhält man Pivotelemente a (k 1) kk 0) und ergeben sich dabei die Eliminationsmatrizen G 1,...,G n 1, so gilt A = LR mit L = I + n 1 k=1 G k, R = (I G n k )A n 1 k=1 und L = l , R = l n1 l n,n a (n 1) 1n a (n 1) nn a (n 1)
30 Aufwandsbetrachtungen Aufwandsmaß: Anzahl der Punktoperationen Aufwand des Gaußschen Algorithmus Aufwand des Eliminationsschritts: ( n 1 n k=1 i=k+1 1+ ) n j=k n i=1 = 1 3 (n3 n)+ 1 2 (n2 n) = 1 3 n3 +O(n 2 ) ( 1+ n j=i+1 1 ) Aufwand der Rücksubstitution: n i=1(1+ ) n j=i+1 1 = n i=1 (n i+1) = n j=1 j = 1 2 (n2 +n) Gesamtaufwand: 1 3 n3 +n n = 1 3 n3 +O(n 2 )
31 Aufwandsbetrachtungen Aufwandsmaß: Anzahl der Punktoperationen Aufwand des Gaußschen Algorithmus: Aufwand des Eliminationsschritts: ( n 1 n k=1 i=k+1 1+ ) n j=k n 1 n k=1 i=k+1 1 = 1 3 (n3 n)+ 1 2 (n2 n) = 1 3 n3 +O(n 2 ) Aufwand der Rücksubstitution: n i=1(1+ ) n j=i+1 1 = n i=1 (n i+1) = n j=1 j = 1 2 (n2 +n) Gesamtaufwand: 1 3 n3 +n n = 1 3 n3 +O(n 2 )
32 Aufwandsbetrachtungen Aufwandsmaß: Anzahl der Punktoperationen Aufwand des Gaußschen Algorithmus: Aufwand des Eliminationsschritts: ( n 1 n k=1 i=k+1 1+ ) n j=k n 1 n k=1 i=k+1 1 = 1 3 (n3 n)+ 1 2 (n2 n) = 1 3 n3 +O(n 2 ) Aufwand der Rücksubstitution: n i=1(1+ ) n j=i+1 1 = n i=1 (n i+1) = n j=1 j = 1 2 (n2 +n) Gesamtaufwand: 1 3 n3 +n n = 1 3 n3 +O(n 2 )
33 Aufwandsbetrachtungen Aufwandsmaß: Anzahl der Punktoperationen Aufwand des Gaußschen Algorithmus: Aufwand des Eliminationsschritts: ( n 1 n k=1 i=k+1 1+ ) n j=k n 1 n k=1 i=k+1 1 = 1 3 (n3 n)+ 1 2 (n2 n) = 1 3 n3 +O(n 2 ) Aufwand der Rücksubstitution: 1+ ( n 1 i=1 1+ ) n j=i+1 1 = n i=1 (n i+1) = n j=1 j = 1 2 (n2 +n) Gesamtaufwand: 1 3 n3 +n n = 1 3 n3 +O(n 2 )
34 Aufwandsbetrachtungen Aufwandsmaß: Anzahl der Punktoperationen Aufwand des Gaußschen Algorithmus: Aufwand des Eliminationsschritts: ( n 1 n k=1 i=k+1 1+ ) n j=k n 1 n k=1 i=k+1 1 = 1 3 (n3 n)+ 1 2 (n2 n) = 1 3 n3 +O(n 2 ) Aufwand der Rücksubstitution: 1+ ( n 1 i=1 1+ ) n j=i+1 1 = n i=1 (n i+1) = n j=1 j = 1 2 (n2 +n) Gesamtaufwand: 1 3 n3 +n n = 1 3 n3 +O(n 2 )
35 Lösung von Ax = b mit LR Zerlegung Gauß Elimination: Berechnung von A = LR Aufwand: 1 3 n3 +O(n 2 ) Vorwärtssubstitution: Löse Lz = b O(n 2 ) Rückwärtssubstitution: Löse Rx = z O(n 2 ) Aufwand bei der Lösung von Ax j = b j, j = 1,...,J: 1 3J n3 +O(n 2 )
36 Lösung von Ax = b mit LR Zerlegung Gauß Elimination: Berechnung von A = LR Aufwand: 1 3 n3 +O(n 2 ) Vorwärtssubstitution: Löse Lz = b O(n 2 ) Rückwärtssubstitution: Löse Rx = z O(n 2 ) Viele Systeme mit verschiedenen rechten Seiten: Ax j = b j, j = 1,...,J, Aufwand: 1 3 n3 +J O(n 2 )
37 Ausnutzen von Spezialstruktur:Tridiagonalmatrizen A n = a 1 b c 1 a 2 b c n 1 a n 1 b n c n 1 a n Rn,n Beobachtung: a (k) ij = a (k 1) ij l ik a (k 1) kj = 0 0, i > k +1 Thomas-Algorithmus: a (k) ij =: 0 i > k +1 = {Aufwand: 5n 4 = O(n)
38 Ausnutzen von Spezialstruktur:Tridiagonalmatrizen A n = a 1 b c 1 a 2 b c n 1 a n 1 b n c n 1 a n Rn,n Beobachtung: a (k) ij = a (k 1) ij l ik a (k 1) kj = 0 0, i > k +1 Thomas-Algorithmus: a (k) ij =: 0 i > k +1 = {Aufwand: 5n 4 = O(n)
39 Ausnutzen von Spezialstruktur:Tridiagonalmatrizen A n = a 1 b c 1 a 2 b c n 1 a n 1 b n c n 1 a n Rn,n Beobachtung: a (k) ij = a (k 1) ij l ik a (k 1) kj = 0 0, i > k +1 Thomas-Algorithmus: a (k) ij =: 0 i > k+1 = Aufwand:5n 4 = O(n)
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