( u(x, t) + f(x, t)) v(x) dx

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1 Ÿ 8. Anfangsrandwertprobleme 113 abhängt. Funktionswerte am Rand Γ wurden entfernt, da direkt die Randbedingung u(x, t) = 0 für x Γ eingesetzt wurde. Einige Eigenschaften der Systemmatrizen A 1D, A 2D etc.: (a) Die Matrizen sind groÿ, symmetrisch und dünn besetzt, d. h., eine feste, kleine Anzahl von Nicht-Null-Einträgen pro Zeile (1D drei, 2D fünf, 3D sieben). (b) Im 1D-Fall ist die Matrix A 1D sogar tridiagonal. (c) Die Matrizen sind schwach diagonaldominant. (d) Alle Eigenwerte sind reell und positiv. (e) Die Matrizen sind schlecht konditioniert mit O(h 2 ). Dim. d 1D 2D 3D Gröÿe n = N 1 = O(h 1 ) n = (N 1) 2 = O(h 2 ) n = (N 1) 3 = O(h 3 ) nnz(zeile) λ min λ max 4 sin 2 π h 2 h 0 π 2 8 sin 2 π 4 sin 2 (N 1)π h 2 = O(h 2 ) h 2 h 0 2π 2 12 sin 2 π 8 sin 2 (N 1)π h 2 = O(h 2 ) h 2 h 0 3π 2 12 sin 2 (N 1)π h 2 = O(h 2 ) SQ = λmax λ min O(h 2 ) = O(n 2 ) O(h 2 ) = O(n) O(h 2 ) = O(n 2/3 ) Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind evtl. bereits aus der Vorlesung Numerik bekannt. Beachte: Die entstehenden ODE-Systeme sind steif mit SQ = O(h 2 ). (Der Steigkeitsquotient SQ entspricht gerade der Konditionszahl von A dd.) Bei der Behandlung mit nicht A-stabilen Verfahren ergibt sich die bekannte Schrittweitenbegrenzung, etwa beim expliziten Euler-Verfahren (vgl. Ÿ und Ÿ 3.4.2) τ 2 λ max = O(h2 ). Wir behandeln noch eine andere Technik der Ortsdiskretisierung, die ebenfalls auf ein groÿes ODE-System führt. Beispiel 8.2 (Finite Elemente) Wir gehen zunächst zur Variationsformulierung der Aufgabe (8.1) bzgl. des Ortes über. Dazu multiplizieren wir (8.1a) mit einer (stationären) Testfunktion v und integrieren über das Gebiet : u(x, t) v(x) dx = t ( u(x, t) + f(x, t)) v(x) dx = ( u(x, t) v(x)) dx + Γ u(x, t) v(x) ds + f(x, t) v(x) dx n

2 114 Kapitel 2. Weiterführende Themen (partielle Integration). Die Randbedingungen verankern wir im (Sobolev-)Raum für die Testfunktion v: und analog im Raum für die Lösung u: V := {v H 1 () : v = 0 auf Γ} = H 1 0() V t := C 1 ([0, T ]; V ). Beachte: V besteht hier aus verallgemeinert dierenzierbaren Funktionen aus dem Sobolev-Raum H 1 (), daher spricht man bei der Variationsformulierung genauer von einer schwachen Formulierung. Aufgrund der Null-Randbedingungen v = 0 auf Γ verschwindet der Randintegral- Term, und wir erhalten die schwache Formulierung: Finde u V t, sodass gilt: u t v dx = u v dx + f v dx v V t [0, T ]. (8.2) Die Ortsdiskretisierung ndet statt, indem man V durch einen endlichdimensionalen Teilraum V h von V ersetzt, insbesondere auch in der Denition für V t. Typisch für eine Finite-Elemente-Diskretisierung ist: V h besteht aus Funktionen, die auf jedem Element K (Zelle) eines Ortsgitters polynomial sind und insgesamt stetig in, z. B. V h = {v K Π 1 (K), v C 0 ()} V. Es sei {ϕ i } n i=1 eine Basis des Unterraumes V h. Wir stellen u Vh t zeitabhängigen Koezientenvektors: u(x, t) = n u j (t) ϕ j (x). j=1 dar mit Hilfe des Wir setzen dies in (8.2) ein und setzen nacheinander v = ϕ i. Es ergibt sich das Dgl-System M u = A u + f(t). (8.3)

3 Ÿ 8. Anfangsrandwertprobleme 115 mit der Anfangsbedingung u(0) = 0. Dabei sind [ ] M = ϕ j (x) ϕ i (x) dx i,j=1,...,n [ ] A = ϕ j (x) ϕ i (x) dx [ ] f(t) = f(x, t) ϕ i dx i=1,...,n i,j=1,...,n die Massenmatrix die Steigkeitsmatrix der Lastvektor. Die Eigenschaften der FE-Matrizen A und M hängen von der Wahl des Funktionenraumes V h (der Wahl der Elemente) und der Wahl seiner Basis ab. Typisch sind aber folgende Eigenschaften: (a) A und M sind groÿ, symmetrisch und dünn besetzt. (b) A und M sind schwach diagonaldominant. (c) Alle Eigenwerte vom M und A reell und positiv. (d) M ist gut konditioniert, wohingegen A wieder mit O(h 2 ) schlecht konditioniert ist. Es ergibt sich eine Steifheit des Systems (8.3) in gleichem Ausmaÿ wie bei der Diskretisierung mittels niter Dierenzen (Beispiel 8.1). 27 Zur numerischen Behandlung sind also bevorzugt implizite ESV oder MSV zu verwenden. Man kann (8.3) noch mit M 1 durchmultiplizieren oder aber stehenlassen und wie bei DAE-Systemen vorgehen (vgl. (7.7)). In jedem Fall erfordert jeder Schritt eines MSV bzw. jede Stufe eines RKV die Lösung eines LGS. Im Fall des impliziten Euler-Verfahrens ergibt sich beispielsweise in jedem Schritt das LGS [M + τ A] u(t n+1 ) = M u(t n ) + τ f(t n+1 ). 27 Eine Herleitung von Schranken für die Eigenwerte von A und M ndet man z. B. in Elman et al. [2005].

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5 Literaturverzeichnis Uri M. Ascher and Linda R. Petzold. Computer methods for ordinary dierential equations and dierential-algebraic equations. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, R. Becker, D. Meidner, and B. Vexler. Ecient numerical solution of parabolic optimization problems by nite element methods. Optimization Methods and Software, 22(5):813833, doi: / Germund Dahlquist. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary dierential equations. Mathematica Scandinavica, 4:3353, ISSN Germund G. Dahlquist. A special stability problem for linear multistep methods. BIT, 3:2743, P. Deuhard and F. Bornemann. Numerische Mathematik II. de Gruyter, Berlin, H.C. Elman, D.J. Silvester, and A.J. Wathen. Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible uid dynamics. Numerical Mathematics and Scientic Computation. Oxford University Press, New York, E. Hairer and G. Wanner. Solving Ordinary Dierential Equations II. Sti and Dierential-Algebraic Problems, volume 14 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, E. Hairer, S. Nørsett, and G. Wanner. Solving Ordinary Dierential Equations I. Nonsti Problems, volume 8 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, M. Hanke-Bourgeois. Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Teubner, Stuttgart, M. Hermann. Numerik gewöhnlicher Dierentialgleichungen. Oldenbourg, München, H. Heuser. Gewöhnliche Dierentialgleichungen. Teubner, Stuttgart, H. Heuser. Lehrbuch der Analysis - Teil 2. B.G.Teubner, Stuttgart, P. Kunkel and V. Mehrmann. Analysis und Numerik linearer dierentiellalgebraischer Gleichungen. Technical Report SFB393/9427, TU Chemnitz, D. Meidner and B. Vexler. A priori error estimates for space-time nite element discretization of parabolic optimal control problems. Part I: Problems without control constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, 47(3): , R. Plato. Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, Wiesbaden, second edition, R. Rannacher. Numerische Mathematik I Numerik gewönlicher Dierentialgleichungen. Vorlesung an der Universität Heidelberg, D. Schötzau and C. Schwab. An hp a priori error analysis of the DG time-stepping method for initial value problems. Calcolo, 37(4):207232,

6 118 Kapitel 2. Literaturverzeichnis J. Stoer. Numerische Mathematik Band 1. Springer, Berlin, ninth edition, J. Stoer and R. Bulirsch. Numerische Mathematik Band 2. Springer, Berlin, fourth edition, 2005.