16 A-posteriori-Fehlerabschätzungen

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1 Numerik partieller Differentialgleichungen 16 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Die A-priori-Fehlerabschätzungen u u h # c h p u H m (Ω) aus 15 haben folgende praktische Nachteile: Die Konstante c und die Norm der Lösung u H m (Ω) sind unbekannt. Sie liefern nur globale Informationen über den Fehler. Sie hängen von der globalen Regularität von u ab. A-posteriori-Fehlerschätzer dagegen liefern auch Informationen darüber, wo die größten Beiträge zum Fehler entstehen. Sie haben die Struktur 1 wobei η eine aus u h berechenbare und u u h # D η, lokalisierte (auf Elemente des Gitters bezogene) Größe ist. Zum Beispiel: ( η = mit zellweisen Fehlerindikatoren η K. Ein Schätzer heißt (unter geeigneten Annahmen an die Lösung, das Gitter, den FE-Raum) zuverlässig, wenn gilt: u u h # D 2 η η 2 K effizient, wenn gilt: u u h # D 1 η. A-posteriori-Schätzer kann man nutzen, um die zusätzlichen Freiheitsgrade bei Netzverfeinerung möglichst effektiv einzusetzen: 1: Setze fertig := false 2: repeat 3: Berechne die Lösung u h auf dem aktuellen Gitter T {SOLVE} 4: Werte den A-posteriori-Fehlerschätzer η aus {ESTIMATE} 5: if Fehlerschranke nicht erreicht then 6: Markiere zu verfeinernde Gitterentitäten mit Hilfe der Fehlerindikatoren {MARK} 7: Verfeinere das Gitter (evtl. mit Abschluss) {REFINE} 8: else 9: Setze fertig := true 10: end if 11: until fertig 1 In D steckt z. B. eine höhere Norm der Lösung u, siehe (16.5).

2 Die Gittermodifikation geschieht i. d. R. durch lokale Verfeinerung der Zellen mit den größten Beiträgen zum Gesamtfehler, aber auch lokale Vergröberung und Verschiebung von Gitterpunkten sind möglich. Dabei ist auf die Formregularität der entstehenden Gitterfamilie zu achten. Beispiel 16.1 (Verfeinerungsstrategie) Oft wird das Bulk-Kriterium benutzt: Markiere eine (möglichst kleine) Teilmenge von Zellen T T zur Verfeinerung, für die gilt: für ein θ (0, 1). ( η 2 K θ ( Wir betrachten wieder das Poisson-Problem für Ω R 2 v u dx = f(x) v dx für alle v V = H0(Ω) 1 (16.1) Ω Ω und dessen Diskretisierung mit den konformen Standard-FE-Räumen V h basierend auf Lagrange"=Elementen P 1 oder Q 1 in 2D. Wir beschränken uns auf einen sogenannten residuen"=basierten Fehlerschätzer für die H 1 (Ω)-Norm. Die Gleichung ( f, v ) L 2 (Ω) ( u h, v ) L 2 (Ω) =: R(u h), v, (16.2) für v V definiert das Residuum R(u h ) der diskreten Lösung u h als Element von H0(Ω) 1 = H 1 (Ω) in Abhängigkeit von u h V h. 2 Das Residuum der exakten Lösung ist 0 = ( f, v ) ( u, v ) =: R(u), v, (16.3) L 2 (Ω) L 2 (Ω) η 2 K daraus ergibt sich R(u h ), v = ( (u u h ), v ) L 2 (Ω). (16.4) Idee 1: Aus (16.4) folgt mit v = u u h und der Poincaré-Friedrichs-Ungleichung (Lemma 8.4): c u u h 2 H 1 (Ω) u u h 2 H 1 (Ω) = R(u h), u u h ( ) R(u h ) H 1 (Ω) u u h H 1 (Ω) u u h H 1 (Ω) c 1 R(u h ) H 1 (Ω) mit c 1 = 1+d 2 Ω. Die Norm R(u h ) H 1 (Ω) kann jedoch nicht lokalisiert (in zellweise Beiträge zerlegt) werden. Idee 2: Ziel ist deshalb eine Abschätzung der Gestalt R(u h ), v C η v H 1 (Ω) für alle v V (16.5) 2 Das Residuum verschwindet auf dem Unterraum V h V. Das gilt auch unter dem Einfluss von Q-Fehlern, den wir hier nicht betrachten.

3 mit lokalisierbaren Indikatoren η. Diese Abschätzung ergibt dann mit der speziellen Wahl v = u u h und ( ) den A"=posteriori"=Fehlerschätzer 3 u u h H 1 (Ω) c 1 C η. (16.6) Wir formen (16.2) um: R(u h ), v = = = K f v dx K u h v dx + u h ) v dx K(f (n u h ) v ds K }{{} u h / n r K (u h ) v dx r E (u h ) v ds für alle v V, K E E E wobei E die Menge der Kanten des Gitters ist und r K (u h ) := (f + u h ) K, r E (u h ) := u h E (16.7) die zellorienten bzw. kantenorientierten Residuen sind. Beachte: Bei P 1 -Elementen ist u h = 0 auf jeder Zelle K, nicht jedoch bei höheren FE-Ansätzen. Ähnlich wie in 12 ist hier u h E = ( ( u h ) K1 n 1 +( u h ) K2 n 2 der (skalarwertige) Sprung der Normalenableitung n u h über die Kante E. Auf Außenkanten ) E der Zelle K setzt man u h E = ( ( u h ) K n ). E Wegen der Galerkin-Orthogonalität (Residuum verschwindet auf V h ) gilt also folgt R(u h ), v = R(u h ), v v h für alle v V, v h V h, R(u h ), v r K (u h ) L 2 (K) v v h L 2 (K) + E (u h ) L E E r 2 (E) v v h L 2 (E) (16.8) für alle v V und v h V h. Zur Abschätzung von v v h L 2 (K) und v v h L 2 (E) können wir keine Standard- Interpolationsabschätzungen (Satz 14.12) mit v h = I T v verwenden, da die Regularität v V = H0(Ω) 1 in 2D/3D zur Punktauswertung nicht ausreicht. (Voraussetzung 14.1 (b) ist nicht erfüllt.) Idee: Definiere eine Quasi-Interpolierende von v, indem v zunächst durch patchweise konstante Funktionen ersetzt wird, für die dann die Punktauswertung definiert ist. Definition 16.2 (Clément-Quasi-Interpolierende) Es sei T ein konformes Dreiecks-Gitter auf Ω R 2 und {(K, P K, Σ K )} eine affine Familie von Lagrange"=Elementen P 1. Es sei V h V = H0(Ω) 1 der dazugehörige V -konforme Standard-FE-Raum mit den globalen Basisfunktionen ϕ j, die den Lagrange-Punkten a j, j = 1,..., M im Inneren von Ω zugeordnet sind. 3 Hier wird i. A. wieder die Konstante D nicht bekannt sein, aber η ist lokalisierbar und erlaubt daher eine adaptive Gitterverfeinerung.

4 (a) Die Menge Ω j bestehe aus den Zellen, die an den Knoten a j grenzen: Ω j = {K T : a j K} Knotenpatch. (b) Es sei π j : V P 0 (Ω j ) die L 2 -orthogonale Projektion auf die konstanten Funktionen auf dem Knotenpatch Ω j, d. h., π j v = 1 v dx. Ω j Ω j (c) Die Clément-Quasi-Interpolierende ist definiert durch I Cl v = M (π j v)(a j ) ϕ j V h. j=1 Wir verwenden also bei der Quasi-Interpolation eine patchweise Mittelwertbildung statt Punktauswertungen. (d) Es seien Ω E und Ω K diejenigen Zellen, die an die Kante E bzw. die Zelle K anstoßen: Ω E = {K T : E K } Kantenpatch Ω K = {K T : K K } Zellpatch. Abbildung 1: Beispiele der Patches Ω K (links), Ω E (Mitte) und Ω j (rechts) bei der Clément-Interpolation Bemerkung 16.3 (zur Clément-Quasi-Interpolation) (a) Die Clément-Quasi-Interpolation ist i. A. keine Projektion, da sie nicht idempotent ist. (b) Die Anzahl der Zellen in Ω K und Ω E ist auf einem beliebigen Gitter auf Ω beschränkt durch eine Konstante, die monoton vom maximalen Aspektverhältnis abhängt: #(Ω K ) c K (max γ K), #(Ω E ) c E (max γ K). (16.9)

5 Lemma 16.4 (Eigenschaften der Clément-Quasi-Interpolation) Es sei {T h } h>0 eine formreguläre Familie von Gittern auf Ω R 2 mit den Voraussetzungen wie in Definition Dann gelten die Quasi-Interpolationsabschätzungen v I Cl v L 2 (K) c Cl (γ) h K v H 1 (Ω K ), (16.10a) v I Cl v L 2 (E) c Cl (γ) h 1/2 E v H 1 (Ω E ) (16.10b) für alle v H 1 (Ω) mit einer Konstanten c Cl (γ), die nicht von v und nicht vom konkreten Gitter (jedoch vom maximalen Aspektverhältnis γ) abhängt. Dabei ist h E die Länge der Kante E. Beweis: ohne Beweis Satz 16.5 (Residuenbasierter A"=posteriori"=Fehlerschätzer) Es sei {T h } h>0 eine formreguläre Familie von Gittern auf Ω R 2 mit maximalem Aspektverhältnis γ und mit den Voraussetzungen wie in Definition 16.2 (insbesondere Verwendung von P 1 -Elementen). Wählt man in (16.8) v h = I Cl v, so folgt die A-posteriori-Abschätzung für das Poisson-Problem (16.1) u u h H 1 (Ω) c 1 c Cl (γ) ( c K (γ) 1/2 ηk) 2 + c 1 c Cl (γ) ( c E (γ) mit c 1 = 1 + d 2 Ω und den zell- und kantenbasierten Fehlerindikatoren E E η 2 E (16.11) η 2 K = h 2 K r K (u h ) 2 L 2 (K) η 2 E = h E r E (u h ) 2 L 2 (E). Beweis: Wir beginnen mit (16.8), wählen v h Interpolationsabschätzung Lemma 16.4: := I Cl v und benutzen die Quasi- R(u h ), v c Cl (γ) r K (u h ) L 2 (K) v v h L 2 (K) + E E r E (u h ) L 2 (E) v v h L 2 (E) r K (u h ) L 2 (K) h K v H 1 (Ω K ) + c Cl (γ) E E r E (u h ) L 2 (E) h 1/2 E v H 1 (Ω E ). Nun müssen wir von v H 1 (Ω K ) bzw. v H 1 (Ω E ) zur Norm v H 1 (Ω) übergehen: 4 ( ( r K (u h ) L 2 (K) h K v H 1 (Ω K ) r K (u h ) 2 L 2 (K) h2 K v 2 H 1 (Ω K ) ( v H c K (γ) r K (u h ) 2 L 2 (K) h2 K }{{} 1 (Ω) =:ηk 2 4 Hier wird benutzt, dass in der zweiten Summe rechts jede Zelle mehrfach vorkommt, einmal als Element ihres eigenen Patches Ω K und dann noch als Element des Patches aller Nachbarzellen, insgesamt also höchstens #(Ω K ) Mal.

6 mit c K (γ) aus (16.9). Analog gilt für den zweiten Term r E (u h ) L 2 (E) h 1/2 E v H 1 (Ω E ) ( v H c E (γ) r E (u h ) 2 L 2 (E) h E }{{} 1 (Ω). E E E E =:ηe 2 Wir haben also eine Abschätzung der Form (16.5) gezeigt. Die Behauptung folgt jetzt mit v = u u h wie in (16.6). Bemerkung 16.6 (Residuenbasierter A"=posteriori"=Fehlerschätzer) (a) Der Fehlerschätzer besteht aus zell- und kantenbasierten Fehlerindikatoren η K und η E, die zur Markierung der zu verfeinernden Gitterbestandteile benutzt werden können. (b) Für die hier verwendeten P 1 -Elemente kann man zeigen (Carstensen and Verfürth [1999]), dass die kantenbasierten Residuen η E im Fehlerschätzer dominieren. (c) Man kann die Indikatoren η K und η E auch zu ausschließlich zellweisen Indikatoren zusammenfassen: η K 2 := h 2 K r K (u h ) 2 L 2 (K) + g E h E r E (u h ) 2 L 2 (E) mit den Gewichten g E = Man erhält dann die Abschätzung E K { 1/2, falls E Innenkante ist 1, falls E Außenkante ist. u u h H 1 (Ω) c 1 c Cl (γ) ( c K (γ) + c E (γ) ) ( 1/2 1/2. η K) 2 (d) Der residuen-basierte Fehlerschätzer (16.11) ist nach Konstruktion zuverlässig. Der Beweis der Effizienz wird in [Grossmann et al., 2007, Section 4.7, S. 290] angedeutet, siehe auch [Ainsworth and Oden, 2000, Section 2.3, S. 23]. (e) Der erste Konvergenzbeweis für die adaptive FEM gelang Dörfler [1996]. (f) Bei der Lösung auf verfeinerten Gittern sind entweder hängende Knoten zu berücksichtigen, oder es muss ein Gitterabschluss durchgeführt werden, bei dem durch Verfeinerung benachbarter Zellen hängende Knoten vermieden werden. Hierbei ist das Aspektverhältnis (Winkelgrößen) zu beachten! Alternativen zu residuen-basierten Fehlerschätzern sind z. B. sogenannte recovery"=basierte Schätzer, zielorientierte Schätzer (goal-oriented), bei denen statt u u h # der Fehler in einer skalaren Quantity of Interest i(u) geschätzt wird, also der Fehler i(u) i(u h ) durch Fehlerindikatoren lokalisiert werden soll.

7 Abbildung 2: Adaptiv (links) und uniform verfeinertes Gitter (rechts). Abbildung 3: Darstellung des Fehlers u u h L (Ω) über der Anzahl der globalen Freiheitsgrade (Dimension des zu lösenden linearen Gleichungssystems) bei uniformer bzw. adaptiver Gitterfeinerung (auf Basis eines A-posteriori-Fehlerschätzers). Literatur M. Ainsworth and J. T. Oden. A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, New York, Carsten Carstensen and Rüdiger Verfürth. Edge residuals dominate a posteriori error estimates for low order finite element methods. SIAM Journal on Numerical Analysis, 36(5): (electronic), ISSN doi: /S X. Willy Dörfler. A convergent adaptive algorithm for Poisson s equation. SIAM

8 Journal on Numerical Analysis, 33(3): , ISSN doi: / C. Grossmann, H.-G. Roos, and M. Stynes. Numerical Treatment of Partial Differential Equations. Springer, Berlin, 2007.