Quantengraphen. Sebastian Haeseler Technische Universität Chemnitz. Abstrakte Versionen klassischer. Ungleichungen und Anwendungen auf

Transkript

1 en und Technische Universität Chemnitz en und

2 Gliederung en und

3 Gliederung en und

4 Gliederung en und

5 Gliederung en und

6 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus en und

7 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus Knoten en und

8 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus v 2 v 1 Knoten: V = {v i } v 7 v 5 v 8 v 4 v 3 v 6 v 9 en und

9 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus v 7 v 2 v 8 v 5 v 9 v 1 v v 3 4 v Knoten: V = {v 6 i } Kanten en und

10 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus e 8 e 3 e 9 e 1 e 10 e 7 e 6 e 2 e 4 e 5 Knoten: V = {v i } Kanten: E = {e i } en und

11 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus e 8 e 3 e 9 e 1 e 10 e 7 e 6 e 2 e 4 e 5 Knoten: V = {v i } Kanten: E = {e i } Länge der Kanten: l : E (0, ) Anfangsknoten der Kanten: i : E V Endpunkt der Kanten: j : E V en und

12 Definition Ein metrischer Graph X Γ besteht aus e 8 e 3 e 9 e 1 e 10 e 7 e 6 e 2 e 4 e 5 Knoten: V = {v i } Kanten: E = {e i } Länge der Kanten: l : E (0, ) Anfangsknoten der Kanten: i : E V Endpunkt der Kanten: j : E V en und Unterschied zu diskreten Graphen: Kanten werden als zusammengeklebte Intervalle aufgefasst!

13 Metrische Graphen Annahme (lokale Endlichkeit): v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. en und

14 Metrische Graphen Annahme (lokale Endlichkeit): v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. Definieren Metrik wie folgt: d : X Γ X Γ [0, ), d(x, y) := inf L(p) p P y x wobei P y x die Menge der Polygonzüge von x nach y ist. en und

15 Metrische Graphen Annahme (lokale Endlichkeit): v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. Definieren Metrik wie folgt: d : X Γ X Γ [0, ), d(x, y) := inf L(p) p P y x wobei P y x die Menge der Polygonzüge von x nach y ist. Stetige Funktionen f : X Γ R, f = (f e ) e E : en und e : f e C(0, l(e)) und e v : lim x v f e (x) = f (v)

16 Metrische Graphen Annahme (lokale Endlichkeit): v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. Definieren Metrik wie folgt: d : X Γ X Γ [0, ), d(x, y) := inf L(p) p P y x wobei P y x die Menge der Polygonzüge von x nach y ist. Stetige Funktionen f : X Γ R, f = (f e ) e E : en und e : f e C(0, l(e)) und e v : lim x v f e (x) = f (v) Integration: für Y X Γ ist ˆ f (x) dm(x) = ˆ e E Y Y e f e (x) dm e (x)

17 Energieform Betrachten folgende Bilinearform: D = D(E) = W 1,2 0 (X Γ ) := W 1,2 (X Γ ) C 0 (X Γ ), E : D D, E(u, v) := ˆ u e(x)v e(x) dm e (x) e E wobei W 1,2 (X Γ ) := {u C(X Γ ) u 2 E := u E(u) < }. e en und

18 Energieform Betrachten folgende Bilinearform: D = D(E) = W 1,2 0 (X Γ ) := W 1,2 (X Γ ) C 0 (X Γ ), E : D D, E(u, v) := ˆ u e(x)v e(x) dm e (x) e E wobei W 1,2 (X Γ ) := {u C(X Γ ) u 2 E := u E(u) < }. e en und Dies ist eine stark-lokale, reguläre Dirichletform mit dem Energiemaß dγ (u, v) = e E u e(π e (x))v e(π e (x)) dm e (x).

19 Ohne weitere Einschränkungen gilt damit Satz Für alle u W 1,2 0 (X Γ ) gilt u c u E wobei c > 0 nur vom Durchmesser en und diam(x Γ ) := sup{d(x, y) x, y X Γ } und der Gesamtmasse m(x Γ ) des Graphen abhängt.

20 Beschränkte Geometrie Betrachten ab jetzt Graphen beschränkter Geometrie, d.h. en und

21 Beschränkte Geometrie Betrachten ab jetzt Graphen beschränkter Geometrie, d.h. Die Knotengrade sind gleichmäßig nach oben beschränkt, d.h. d Γ := sup d v <. v V en und

22 Beschränkte Geometrie Betrachten ab jetzt Graphen beschränkter Geometrie, d.h. Die Knotengrade sind gleichmäßig nach oben beschränkt, d.h. d Γ := sup d v <. v V Die Längen der Kanten sind gleichmäßig nach unten beschränkt, d.h. en und l Γ := inf l(e) > 0. e E

23 Satz Das Tripel (X Γ, d, m) ist ein Raum homogenen Types, d.h. m hat die Eigenschaft 0 < m(b(x, 2r)) (1 + d Γ 2 ) m(b(x, r)) < für alle x X Γ und 0 < r l Γ 4. Insbesondere gilt en und m(b(x, r)) 2m(B(x, s)) ( ) r ν s für 0 < s < r l Γ 2 und ν = log c 0 log 2.

24 Poincaré- Satz Für r l Γ 2, x 0 X Γ und u W 1,2 loc (X Γ ) gilt ˆ ˆ u(x) u B 2 dm(x) c 1 r 2 B(x 0,r) B(x 0,r) dγ (u(x)) mit c 1 = 16dΓ 2, wobei mit u B := ffl u(x) dm(x) := 1 m(b) u(x) dm(x) der Mittelwert B B der Funktion u auf B = B(x 0, r) bezeichnet wird. en und

25 Lokale Minimierer Ziel ist eine a priori Abschätzung für lokale Minimierer der Energieform. Definition u W 1,2 loc ist Minimierer von E in X 0 X Γ offen, falls für alle v W 1,2 (X 0 ) mit supp v X 0 ˆ ˆ dγ (u) dγ (u + v) X 0 X 0 en und gilt. Dies führt zum Begriff der (lokalen) schwachen Lösung.

26 Schwache Lösungen Definition Sei X 0 X Γ offen und u W 1,2 loc (X 0), u 0. Bezeichnen u als schwache Sub-, bzw. Superlösung falls für alle v W 1,2 0 (X 0 ), v 0 gilt, dass bzw. E(u, v) 0 E(u, v) 0 gilt. Ist u zugleich schwache Sub- und Superlösung ist, so nennt man u schwache Lösung. en und

27 Satz Sei u 0 ein schwache Lösung in B(x, 2r), wobei x X Γ und 0 < 2r < l Γ 4. Dann gilt sup u C inf u, B(x,r) B(x,r) wobei C nur vom Parameter d Γ abhängt. en und

28 Satz Sei u 0 ein schwache Lösung in B(x, 2r), wobei x X Γ und 0 < 2r < l Γ 4. Dann gilt sup u C inf u, B(x,r) B(x,r) wobei C nur vom Parameter d Γ abhängt. Insbesondere gilt, falls u schwache Lösung in X X Γ offen ist, dass für jede relativ kompakte und zusammenhängende Teilmenge X 0 X die en und sup u C inf u X 0 X 0 gilt, wobei diese Konstante C zusätzlich auch von X 0 abhängt.

29 Bemerkungen zum Beweis Für stark lokale Dirichletformen wurde dies in Biroli/Mosco 95 gezeigt. Die Beweisidee geht auf Moser 61 zurück, und beruht auf der Gültigkeit der Abschätzungen en und

30 Bemerkungen zum Beweis Für stark lokale Dirichletformen wurde dies in Biroli/Mosco 95 gezeigt. Die Beweisidee geht auf Moser 61 zurück, und beruht auf der Gültigkeit der Abschätzungen sup u C B(x,r) ( B(x, 5 4 r) u(x) p dm(x) ) 1 p gilt für schwache Sublösungen u, p > 1 und C hängt nur von d Γ und p ab; en und

31 Bemerkungen zum Beweis Für stark lokale Dirichletformen wurde dies in Biroli/Mosco 95 gezeigt. Die Beweisidee geht auf Moser 61 zurück, und beruht auf der Gültigkeit der Abschätzungen sup u C B(x,r) ( B(x, 5 4 r) u(x) p dm(x) ) 1 p gilt für schwache Sublösungen u, p > 1 und C hängt nur von d Γ und p ab; ( B(x, 5 4 r) u(x) p dm(x) ) 1 p C inf u B(x,r) en und gilt für schwache Superlösungen u, p < nur von d Γ und p ab; ν ν 2 und C hängt

32 Bemerkungen zum Beweis Die Grundstrategie ist die sogenannte Moseriteration, deren Herz die folgende ist: Bs u 2ν ν 2 p dm ν 2 ν c Γ Br u p dm, mit 0 < s < r, die für schwache Sublösungen u 0 und p > 1, und für schwache Superlösungen u 0 und p < 1 gilt. Für die zweite Abschätzung benötigt man jedoch zusätzlich noch eine geeignete Form des John-Nirenberg Lemmas. en und

33 en und Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit