Adaptive Finite Volumen Methode

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1 D I P L O M A R B I Adaptive Finite Volumen Methode ausgeführt am Institut für Analysis und Scientific Computing der echnischen Universität Wien unter Anleitung von Ao.Univ.Prof. Dipl.Math. Dr.techn. Dirk Praetorius durch Christoph rath Steinwiesen 4 A-6824 Schlins Schlins, am 0. September 2005 Datum Unterschrift

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3 Kurzfassung Ziel dieser Arbeit ist die mathematische Rechtfertigung einer adaptiven Netzverfeinerung für die zellenorientierte Finite Volumen Methode zur Lösung eines elliptischen Modellproblems zweiter Ordnung in R 2. Als Grundlage dient eine Arbeit von Nicaise [3], in der ein residualbasierter a posteriori Fehlerschätzer eingeführt wird. Auf dessen Grundlage erhalten wir heuristische Verfeinerungsindikatoren, die den lokalen Fehler schätzen und zu einer lokalen Netzverfeinerung herangezogen werden können. Die Analysis in Nicaise [3] lässt aber keine hängenden Knoten zu, so dass die a posteriori Abschätzung de facto nur für uniforme riangulierungen rigoros ist. In dieser Arbeit wird die Analysis deshalb modifiziert, um auch den Fall hängender Knoten zuzulassen. Wir beweisen (globale) Zuverlässigkeit und (quasi-lokale) ffizienz des Residualschätzers für riangulierungen mit hängenden Knoten. Die in den Abschätzungen involvierten Konstanten werden in numerischen Beispielen untersucht. Die Finite Volumen Methode führt für ein lineares konvektiv-diffusives Problem auf eine Bilanzgleichung von konvektivem und diffusivem Fluss. Um auch auf unstrukturierten riangulierungen rechnen zu können (im Hinblick auf adaptive Verfeinerung), wird der konvektive Fluss mit dem Upwind-Verfahren und der diffusive Fluss mit der Diamond Path Methode approximiert (Coudiere und Villedieu [9]). Leider benötigt die Diamond Path Methode die numerisch aufwendige Berechnung von gewissen Interpolationsgewichten, die von der lokalen Geometrie der riangulierung abhängen. s ist daher sinnvoll, a priori nur endlich viele Winkel in der riangulierung zuzulassen und die Ordnungen der hängenden Knoten nach oben zu beschränken. Für den Fall quadratischer lemente, auf deren Kanten höchstens ein hängender Knoten liegt, können alle auftrenden Interpolationsgewichte a priori analytisch berechnet werden. Die Idee in der Arbeit von Nicaise [3] ist es, die stückweise konstante Finite Volumen Lösung u h geeignet zu interpolieren, so dass der Interpolant I M u h neben der lokalen Flusserhaltung zusätzliche Orthogonalitätseigenschaften besitzt. Dies erlaubt es dann, die analytischen echniken aus dem Kontext der Finite lemente Methode anzuwenden, um einen a posteriori Fehlerschätzer zu konstruieren, der den Fehler e := u I M u h in ermen des Residuums zu I M u h abschätzt (vergleiche Verfürth [20]). Grundlage für den Interpolationsoperator sind nichtkonforme lemente vom Morley-yp. Der Residualschätzer enthält deshalb neben den Sprüngen der Richtungsableitung in Normalrichtung auch die Sprünge der Richtungsableitung in angentialrichtung des Interpolanten. Wir adaptieren die Ideen von Nicaise [3] auf lokal verfeinerte riangulierungen mit hängenden Knoten. Dazu wird der Begriff der fastregulären riangulierung eingeführt. Die Definition des Morley-Interpolanten wird so abgeändert, dass die Orthogonalitätseigenschaft des Residuums auch für die fastregulären riangulierungen erhalten bleibt. Auftretende Spurterme über Kanten werden mit einer Spurungleichung abgeschätzt, die nicht wie in der Literatur üblich den Patch der Kante involviert, sondern nur ein an der Kante gelegenes lement. Dies erlaubt die Behandlung von eilkanten und damit von hängenden Knoten. Mit diesen Ideen kann der Beweis der (globalen) Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers auf fastreguläre riangulierungen erweitert werden. Der Beweis der (quasi-lokalen) ffizienz basiert wie bei dem entsprechenden Finite lemente Methode Resultat (Verfürth [20]) auf inversen Abschätzungen für Normen, die auf gewissen Bubble-Funktionen basieren. In der Literatur finden sich diese nur für reguläre riangulierungen. Mit geeigneter Definition der Bubble-Funktionen für fastreguläre riangulierungen lässt sich auch die ffizienz unseres Residualschätzers beweisen. Abschließende numerische xperimente bestätigen die theoretischen rgebnisse.

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5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis inleitung i iii riangulierung. Notationen Knoten- und Kantenmengen, fastreguläre riangulierung Patches Bezeichnungen anhand einer einfachen riangulierung Durchmesser h und ϱ Wahl der Normalvektoren und angentialvektoren Normalvektor n und angentialvektor t Vorzeichen σ,, n, und t, Die Finite Volumen Methode 0 2. Das Grundprinzip der Diskretisierung Der konvektive numerische Fluss F C (u h) Der diffusive numerische Fluss F D (u h) Die Differenzen Methode Diamond Path Methode Herleitung der Diamond Path Methode Berechnung von ψ (a) Residualschätzer Das Laplace Problem mit reinem Dirichlet-Rand Das Morley-lement Der Morley-Interpolant A posteriori Fehlerschätzer Zuverlässigkeit ffizienz Numerische xperimente Algorithmen und Datenstrukturen Datenstrukturen Adaptiver Algorithmus Netzverfeinerung Berechnung der Finite Volumen Lösung Berechnung des Morley-Interpolanten

6 INHALSVRZICHNIS ii 4.2 Uniforme und adaptive Resultate Beispiel mit glatter Lösung und Nullranddaten Beispiel mit glatter Lösung und inhomogenen Dirichlet-Daten Beispiel mit ckensingularität und inhomogenen Dirichlet-Daten Symbolverzeichnis 78 Literaturverzeichnis 8

7 inleitung Die Finite Volumen Methode wird hauptsächlich für die numerische Lösung von Problemen der Strömungsmechanik eingesetzt. Dort wurde sie zu Beginn der 70-er Jahre von McDonald, MacCormack und Paullay [8] eingeführt. Die Anwendungsmöglichkeiten sind jedoch keineswegs auf Problemstellungen aus diesem Bereich beschränkt. ine der wichtigsten igenschaften von Finite Volumen Methoden ist, dass die rhaltungsprinzipien, die den mathematischen Modellen kontinuumsmechanischer Problemstellungen zugrunde liegen, per Definition auch für die diskretisierten Gleichungen erfüllt sind (Konservativität). Ziel dieser Arbeit Im Gegensatz zur Finite Differenzen Methode oder zur Finite lemente Methode verharrte die mathematische Untersuchung der Finite Volumen Methode lange nur in Ansätzen. rst in den letzten Jahren sind wesentliche rkenntnisfortschritte zu verzeichnen, auch in der ntwicklung von geeigneten Fehlerschätzern. In der Arbeit von Nicaise [3] wird ein a posteriori Fehlerschätzer für die zellenorientierte Finite Volumen Methode eingeführt, de facto allerdings nur für uniforme Netzverfeinerung. Die Analysis adaptiert echniken aus dem Kontext der Finite lemente Methode, wie sie z.b. im Buch von Verfürth [20, Kapitel ] zu finden sind. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die ntwicklung eines a posteriori Residualschätzers zur adaptiven Netzverfeinerung für die Finite Volumen Diskretisierung eines elliptischen Modellproblems zweiter Ordnung. Aufbau der Arbeit In dieser Arbeit betrachten wir ausschließlich den zweidimensionalen Fall. Falls nicht anders erwähnt, sind die lemente der riangulierung Dreiecke oder Rechtecke. In Kapitel wird der Begriff einer fastregulären riangulierung eingeführt. ine Kante, auf der keine hängenden Knoten liegen, heißt elementare Kante, andernfalls nicht-elementare oder hängende Kante. ine riangulierung heißt fastregulär, falls jede hängende Kante die Vereinigung von lementarkanten ist. Im Gegensatz zu einer regulären riangulierung lässt also die fastreguläre riangulierung hängende Knoten zu. Die Notationen für die Verwaltung des Netzes werden eingeführt und neben den üblichen Begriffen Knotenpatch, Kantenpatch und lementpatch definieren wir auch einen elementaren Kantenpatch. Abbildung zeigt den Unterschied zwischen dem klassischen und elementaren Kantenpatch auf einer fastregulären riangulierung. Kapitel 2 stellt das Grundprinzip der Finite Volumen Methode anhand der linearen elliptischen

8 INLIUNG iv PSfrag replacements a PSfrag replacements a Abbildung : Der Kantenpatch links und der neu-eingeführte elementare Kantenpatch rechts auf einer fastregulären riangulierung. partiellen Differentialgleichung (gesucht sei u H (Ω)) div( ν u + u v) = f auf Ω, u = u D auf Γ = Ω, () mit ν C 2 (Ω, R >0 ), v = (v x, v y ) C (Ω, R 2 ), f L 2 (Ω) und u D H /2 (Γ) vor. Das Verfahren der Finite Volumen Methode arbeitet wie die Finite lemente Methode auf einer Partition (in diesem Kapitel nicht zwingend Dreiecke oder Rechtecke, sei aber eine fastreguläre riangulierung) des Gebietes Ω und führt auf die sogenannte Bilanzgleichung ( Φ C (u) Φ D (u) ) = f(x) dx. (2) σ, Wir bezeichnen mit die Menge der Kanten von. Das Vorzeichen σ, ist abhängig von der Richtung des a priori festgelegten Normalvektors auf. Der konvektive Fluss Φ C (u) und der diffusive Fluss Φ D (u) werden durch numerische Flüsse F C (u h) und F D (u h) ersetzt. Dies führt auf ein lineares Gleichungssystems. Die Finite Volumen Methode projiziert u auf eine zu den lementen stückweise konstante Funktion u h. Die Approximation des konvektiven Flusses Φ C (u) wurde in den letzten 20 Jahren sogar auf unstrukturierten Netzen weitgehendst untersucht (Coudière und Villedieu [9]). Für den diffusiven Fluss Φ D (u) wird hingegen meist einfach eine Differenzen Methode gewählt. Diese Methode hat jedoch den schwerwiegenden Nachteil, dass wir in der Wahl der riangulierungselmente stark eingeschränkt sind, da die Diskretisierung sonst inkonsistent wird (Handbook of Numerical Analysis [0]). Im Hinblick auf adaptive Verfeinerung wird deshalb die Diamond Path Methode für die Approximation von Φ D (u) verwendet, wobei der Diamond Path konvex sein muss. Bei dieser Methode wird der ganze Gradient auf einer Kante approximiert. Dies bedarf einer linearen Interpolation der zusätzlichen Unbekannten an den Knoten. Die Berechnung der Interpolationsgewichte, die von der lokalen Geometrie der riangulierung abhängen, ist numerisch aufwendig. s ist daher sinnvoll, a priori nur endlich viele Winkel in der riangulierung zuzulassen und die Ordnungen der hängenden Knoten nach oben zu beschränken. Für den Fall quadratischer lemente, auf deren Kanten höchstens ein hängender Knoten liegt, können alle auftretenden Interpolationsgewichte a priori analytisch berechnet werden (vergleiche dazu Abbildung 2.5). Das sogenannte Upwind-Verfahren für die Approximation von Φ C (u) und die Diamond Path Methode garantieren, dass das Verfahren für eine hinreichend glatte exakte Lösung u H 2 (Ω) konvergiert. s gilt dann u u h,h = O(h), wobei,h eine diskrete H -Norm bezeichnet und u P 0 ( ) das -stückweise Integralmittel der exakten Lösung u ist (Coudière und Villedieu [9]).

9 INLIUNG v In Kapitel 3 wird für das Laplace-Problem mit reinem Dirichlet-Rand ein residualbasierter a posteriori Fehlerschätzer hergeleitet. Wie schon in Nicaise [3] werden dabei die analytischen echniken aus der Finite lemente Methode adaptiert. Aufgrund zugelassener hängender Knoten müssen die Beweise allerdings teilweise stark modifiziert werden. Im Ansatz von Nicaise [3] wird die diskrete Finite Volumen Approximation u h P 0 ( ) zunächst durch einen geeigneten Interpolanten I M u h ersetzt. Dieser liegt in einem nicht-konformen Ansatzraum aus Morley-artigen lementen. Die prinzipielle igenschaft des Interpolanten ist die Flusserhaltung auf der fastregulären riangulierung. Diese kann auf hängenden Kanten sowie Kanten, die nicht eil einer hängenden Kante sind, erreicht werden, das heißt, der Fluss des Interpolanten ist gleich dem numerischen Fluss der diskreten Lösung. Ferner erzwingen wir die Stetigkeit des Interpolanten in allen Knoten. Aufgrund der Flusseigenschaft lässt sich beweisen, dass das Residuum R := f + I M u h im L 2 -Sinn orthogonal ist zu P 0 ( ). Diese Orthogonalität ersetzt im Beweis die Galerkin-Orthogonalität einer konformen Finite lemente Approximation. Wir zeigen, dass der Fehlerschätzer ( η := η 2 ) /2 (3) mit Verfeinerungsindikatoren η 2 := h ( h f f 2 L 2 ( ) + + ( \ Γ ) [ IM u h t ] ( \ Γ ) 2 + L 2 () [ IM u h n ] 2 L 2 () ( Γ ) (I Mu h u D ) 2 t L 2 () ) (4) (5) global zuverlässig ist (Satz 3.4.9) und (quasi-)lokal auch effizient bis auf erme höherer Ordnung (Satz 3.4.6), wobei [ ] den Kantensprung und n bzw. t den Normal- bzw. angentialvektor über eine Kante, die Menge der Kanten des lements, Γ die Menge der Randkanten und f P 0 ( ) das -stückweise Integralmittel von f bezeichne. Das heißt, es gelten für den Fehler e := u I M u h H ( ) die Abschätzungen und ( ) /2, e L 2 (Ω) C η 2 (6) η 2 C 2 ( e 2 L 2 (ω ) + h2 f f 2 L 2 (ω )), (7) wobei ω der lementpatch ist. Die Konstanten C und C 2 hängen nur von der Form der lemente in, nicht aber der Größe (Durchmesser h ) oder der Anzahl der lemente in ab. Insgesamt ist die H -Halbnorm des Fehlers e := u I M u h also äquivalent zum Fehlerschätzer. Die Idee bei der adaptiven Netzverfeinerung ist es, die lemente zu verfeinern, bei denen η relativ großen Anteil am Gesamtwert des Fehlerschätzers η hat, vergleiche dazu Algorithmus Der Morley-Interpolant ist eine nichtkonforme Approximation der exakten Lösung. Zum Beweis der Zuverlässigkeit wird wie bei der nichtkonformen Finite lemente Methode die Helmholtz- Zerlegung e = ρ + curl ξ mit ρ H0 (Ω) und ξ H (Ω), Ω ξ dx = 0 angewandt. Dies führt

10 INLIUNG vi uns im Beweis auf die Berechnung zweier Integrale, wobei dann die Sprünge der Richtungsableitung in Normal- bzw. in angentialrichtung des Morley-Interpolanten auftreten. Auftretende Spurterme über Kanten werden mit der Spurungleichung v v L 2 () Ch /2 v L 2 ( ) (8) abgeschätzt. Dabei ist v H ( ) (v bezeichnet dabei das Integralmittel von v über die Kante ) und die Konstante C > 0 hängt nur von der Form von ab. Die Spurungleichung wird mit Hilfe der Spurgleichung in Lemma für Rechtecke bewiesen. Der Beweis für Dreiecke ist analog. Anders als in der Literatur betrachten wir hier auf der rechten Seite lediglich die Norm über und nicht über den Kantenpatch. Dies ist vor allem bei riangulierungen von Vorteil, die hängende Knoten zulassen. Der Beweis der ffizienz wird im Wesentlichen aus dem Kontext der Finite lemente Methode adaptiert (vergleiche dazu Verfürth [20] für einen Beweis auf regulären Gittern im Kontext der Finite lemente Methode). Wir brauchen dazu inverse Abschätzungen für Normen, die auf gewissen Bubble-Funktionen basieren. In der Literatur finden sich diese nur für reguläre riangulierungen. Mit geeigneter Definition der Bubble-Funktionen für fastreguläre riangulierungen lässt sich auch die ffizienz unseres Residualschätzers beweisen. Kapitel 4 widmet sich numerischen xperimenten. Zunächst erfolgt eine kurze Übersicht über die verwendete riangulierung, die adaptive Netzverfeinerung und zugehörige Algorithmen. Drei Beispiele zeigen die Zuverlässigkeit und ffizienz des Residualschätzers bei uniformer und adaptiver Verfeinerung. Danksagung Mein Dank gilt Professor Dr. Dirk Praetorius für die Idee und die ausgezeichnete Betreuung dieser Arbeit und allen, die zum Gelingen dieser Arbeit in irgendeiner Weise beigetragen haben. Außerdem möchte ich meiner Familie danken, die mich während meines Studiums der echnischen Mathematik unterstützt hat. Schlins, im September 2005 Christoph rath

11 Kapitel riangulierung Sowohl bei der Finite lemente Methode als auch bei der Finite Volumen Methode wird das gegebene Gebiet Ω in eilgebiete zerlegt. Diese Zerlegung wird als riangulierung bezeichnet. Bevor wir uns der Finite Volumen Methode widmen, führen wir in diesem Kapitel einige wichtige Bezeichnungen und Vereinbarungen bezogen auf die riangulierung ein.. Notationen s sei Ω R 2 ein beschränktes Lipschitz-Gebiet mit dem Rand Γ = Ω. Die riangulierung ist eine endliche Menge von paarweise disjunkten, einfach-zusammenhängenden, beschränkten Lipschitz-Gebieten, so dass Ω = { } gilt. Außerdem sei angenommen, dass die lemente (und damit auch Ω) stückweise polygonalen Rand haben... Knoten- und Kantenmengen, fastreguläre riangulierung Mit N bezeichnen wir die Menge aller Knoten von, und N Γ := {a N a Γ} sei die Menge aller Randknoten, also Knoten die auf Γ liegen. Definition.. (Hängender Knoten). Wenn a 2 mit, 2 eine cke von aber nicht von 2 ist, dann heißt a N hängender Knoten. Die Menge aller hängenden Knoten bezeichnen wir mit N h. Dies führt uns zur Definition der Menge aller nichthängenden inneren Knoten N := N \(N h N Γ ). Die Menge aller lementkanten sei. Mit := { und, : = } bezeichnen wir die Menge der Kanten von. Definition..2 (lementarkanten). ine Kante heißt elementar, falls auf ihr keine hängenden Knoten liegen. Definition..3 (Hängende Kante). Wir bezeichnen eine Kante als hängend, wenn nicht elementar ist. Die Menge aller hängenden Kanten wird mit h bezeichnet.

12 KAPIL. RIANGULIRUNG 2 Definition..4 (Fastreguläre riangulierungen). s sei eine riangulierung von Ω, und der Rand Ω von Ω sei in einen abgeschlossenen eil Γ D und Γ N := Ω\Γ D zerlegt. Dann heißt fastreguläre riangulierung von Ω (bzgl. Γ D und Γ N ), wenn. für alle gilt Γ D = oder Γ D, 2. für verschiedene, 2 ist 2 entweder leer, ein Knoten a N oder eine Kante, d.h. und 2, 3. jede hängende Kante h sich darstellen lässt als n = i, i, i elementar, n N, (.) i= 4. jedes nichtleeres Inneres hat, d.h. int. Γ D heißt Dirichlet-Rand und Γ N Neumann-Rand. Bemerkung. Der Name fastreguläre riangulierung ist damit begründet, dass sich Definition..4 nur im Punkt 2. der Definition einer regulären riangulierung nach Ciarlet (siehe z.b. Carstensen [6]) unterscheidet. Bei einer regulären riangulierung muss = 2 eine gemeinsame Kante sein, d.h. und 2. Somit sind keine hängenden Kanten zugelassen und Punkt 3. damit überflüssig. Bei einer fastregulären riangulierung ist sichergestellt, dass ein Randknoten a N Γ niemals ein hängender Knoten sein kann, da dann Punkt 3. von Definition..4 verletzt ist. Daher ist eine Kante Γ stets elementar. Vergleiche dazu Abbildung.(a) und beachte, dass S keine Kante aus ist. Falls S auf Γ D liegt, ist auch Punkt. nicht erfüllt. O( ) sei das kleinste n, sodass (.) für alle hängenden Kanten gilt. Wir bezeichnen O( ) auch als Ordnung der fastregulären riangulierung. Die Ordnung gibt also an, dass jede Kante h die Vereinigung von maximal O( ) lementarkanten ist. Außerdem liegen auf jeder Kante h höchstens O( )+ hängende Knoten. Insbesondere haben reguläre riangulierungen Ordnung. Im Folgenden sei immer als fastreguläre riangulierung vorausgesetzt, wobei die lemente Dreiecke oder Rechtecke sind. Wir wollen deshalb noch drei weitere Mengen definieren. Mit Γ := { Γ} bezeichnen wir die Menge aller Randkanten. Die Menge der inneren elementaren Kanten ist := \( h Γ ). Außerdem sei o := { \ Γ \ Γ : }. In o sind daher alle inneren lementarkanten, die nicht eil von hängenden Kanten sind, sowie alle hängenden Kanten enthalten. Da wir in dieser Arbeit nur Probleme mit reinem Dirichlet-Rand betrachten, gilt Γ D = Γ.

13 KAPIL. RIANGULIRUNG 3 PSfrag replacements PSfrag replacements 3 4 S 4 S (a) (b) Abbildung.: Zwei einfache riangulierungen, die beide nicht fastregulär sind, da Bedingung 3. von Definition..4 nicht erfüllt ist (beachte S ). PSfrag replacements PSfrag replacements 3 S 5 S (a) (b) Abbildung.2: Durch Hinzunahme einer Kante können aus den nicht fastregulären riangulierungen aus Abbildung. fastreguläre riangulierungen erstellt werden...2 Patches Knotenpatch Der Knotenpatch von a N ist ω a := { a }, und für die lemente des Knotenpatch von a N sei ω a := { ω a }, d.h. ω a = ω a. Kantenpatch Der Kantenpatch für \ h ist ω := { }. Für die lemente des Kantenpatch von \ h schreiben wir ω := { ω }.

14 KAPIL. RIANGULIRUNG 4 Für h definiere n ω := ω i, ω = i= lementarer Kantenpatch n ω i mit = i= n i, i. i= Dazu betrachten wir zunächst eine Kante h. Dann ist das lement mit eindeutig bestimmt. Außerdem ist n = i, i. i= a hj N h (j =... n ) seien die hängenden Knoten, die auf liegen, a S und a N der Anfangsund ndknoten von. O.B.d.A. seien die Anfangs- und ndknoten von i folgendermaßen zugeordnet: a S, a h von, a h, a h2 von 2,..., a hn, a N von n. spsfrag sei nunreplacements = conv{a S, a N, a G } ein Dreieck, dann gilt (siehe Abbildung.3) a G a S a h a h2 a h3 a N Abbildung.3: Beispiel der Dreiecksunterteilung für n = 4. i sind keine lemente aus. = n i, wobei die Dreiecke i wie folgt definiert sind: i= = conv{a S, a h, a G }, 2 = conv{a h, a h2, a G },..., n = conv{a hn, a N, a G }. Wenn ein Rechteck ist, dann gibt es zu jedem hängenden Knoten a hj eine Gerade, die orthogonal auf steht und in zwei Rechtecke unterteilt. s gilt also n = i, i sind wieder Rechtecke mit der Kante i. i= Bemerkung. Beachte, i sind keine lemente aus! Wir definieren daher den elementaren Kantenpatch für die elementaren Kanten i, die eil der hängenden Kante sind, mit ω i := i W, ω i := { i, W }, wobei W mit i W eindeutig bestimmt ist. Für alle anderen Kanten \{, h, h h } ω := ω, ω := ω. definieren wir:

15 KAPIL. RIANGULIRUNG 5 lementpatch Der lementpatch von ist ω := { } und analog zu oben ω := { ω }. PSfrag replacements a PSfrag replacements a (a) ω a (b) ω PSfrag replacements a PSfrag replacements a (c) ω (d) ω Abbildung.4: Die verschiedenen Patches...3 Bezeichnungen anhand einer einfachen riangulierung Anhand der einfachen fastregulären riangulierung in Abbildung.5 zeigen wir, wie sich die oben definierten Mengen zusammensetzen.

16 KAPIL. RIANGULIRUNG , , Abbildung.5: Beispieltriangulierung mit 5 lementen. 5, und 5,2 sind keine lemente der riangulierung. Sie dienen lediglich der Veranschaulichung von ω 3 bzw. ω 5. = {, 2, 3, 4, 5 }, 5, 5, 5,2 5, 5 = 5, 5,2, 5,, 5,2 N = {,..., }, N h = {}, N Γ = {,..., 9}, N = {0}, = {,..., 6 }, Γ = {,..., 9 }, = { 0,..., 5 }, h = { 6 }, 6 = 3 5, o = { 0,, 2, 4, 6 }, = {, 9, 0, 2 }, 2 = { 2, 3, 0, }, 3 = { 4,, 3, 4 }, 4 = { 5, 6, 4, 5 }, 5 = { 7, 8, 2, 6 }. Die Kante 6 geht also vom Knoten 7 bis zum Knoten 0. Da sie jedoch auch den Knoten enthält, ist sie eine hängende Kante. Für den Kantenpatch geben wir stellvertretend vier an: ω =, ω 0 = 2, ω 5 = 4 5, ω 6 = Der elementare Kantenpatch ω unterscheidet sich nur an den Kanten 3 und 5 vom Kantenpatch ω : ω 3 = 3 5,2 ω 5 = 4 5,. Der Knotenpatch für den Knoten 0 ist zum Beispiel ω 0 = und der lementpatch für 3 ist ω 3 = Durchmesser h und ϱ Mit h := diam( ) bezeichnen wir den Durchmesser von und mit ϱ die Höhe von. Wenn h die Länge einer Kante von ist, gilt h h und h Ch, wobei die Konstante C nur von der Form von abhängt. Beim Dreieck entspricht h der längsten Seite, dann sei ϱ die Höhe auf h. s gilt außerdem ϱ < h. Annahme ϱ h, dann gilt a = ϱ 2 + h2, h und damit a = h := diam( ), also h, = 0. Dann ist h = h,2, aber b > h, was zum Widerspruch führt. Beim Rechteck ist h gerade die Diagonale. e 2 = ϱ sei die kürzere Seite.

17 PSfrag replacements PSfrag replacements KAPIL. RIANGULIRUNG 7 (x,y ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) e a ϱ b h, h,2 a b (x,y ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) e 2 h ϱ e 2 σ h, h,2 h σ e Abbildung.6: Der Durchmesser h und die Höhe ϱ. Dann gelten die Abschätzungen ϱ < h, e 2 e, e h und h 2 = e2 + e2 2 2e2 h 2e. Die Größe und somit κ := h ϱ > beschreibt die Form des lements. Wird z.b. bei einem Dreieck ein Winkel immer kleiner, so wird auch ϱ kleiner und somit wächst κ. Wenn bei einem Rechteck eine Seite kleiner wird, verkleinert sich ebenfalls ϱ und κ wächst. s sei nun h := max h. Dann heißt eine Folge h von riangulierungen formregulär (engl. shape regular), wenn κ = h /ϱ für alle h und alle h > 0 nach oben begrenzt bleibt. In dieser Arbeit werden wir Abschätzungen beweisen, die eine von der Form der lemente abhängige Konstante enthalten. Diese hängen somit von κ ab, κ muss also beschränkt bleiben. Zu heißt κ := max h κ formreguläre Konstante..2 Wahl der Normalvektoren und angentialvektoren Im Laufe dieser Arbeit benötigen wir Normal- und angentialvektoren auf einer Kante. s ist günstig, diese für die riangulierung zu fixieren..2. Normalvektor n und angentialvektor t A priori legen wir eine Richtung für den Normalvektor n auf der lementarkante Γ fest. Dabei haben wir bei inneren lementarkanten, die nicht eil einer hängenden Kante sind, freie Wahl. Für Randkanten Γ sei n der nach außen gerichtete Normalvektor. xistiert zu einer lementarkante eine hängende Kante h h mit h, dann gibt es eindeutige lemente W und, so dass h eine Kante von und eine Kante von W ist. Als Normalvektor n auf sei derjenige gewählt, der vom lement W zum lement zeigt (West nach ast). Ist h eine hängende Kante und sind i ( i n) lementarkanten mit = n i= i, so existieren eindeutige lemente Wi, mit i = Wi für alle i n.

18 PSfrag replacements KAPIL. RIANGULIRUNG PSfrag replacements 8 W W W2 W W2 2 n 2 2 n n n n n 2 W Abbildung.7: Wahl der Normalvektoren im Fall nicht hängender Knoten links und einem hängendem Knoten (n = 2). Die gewählten Normalvektoren n i stimmen dann überein und zeigen alle zum großen lement. Abbildung.7 skizziert die Situation für eine Kante ohne hängenden Knoten und eine Kante mit hängendem Knoten (n = 2). Der Normalvektor n von zeigt also immer von W nach. Für eine Randkante Γ zeigt der Normalvektor nach Definition immer nach außen, somit bezeichnen wir das dazugehörige lement mit W. Auf diese Vereinbarung werden wir später immer wieder zurückkommen. Den angentialvektor t einer Kante wählen wir orthogonal zu n, und zwar mathematisch positiv..2.2 Vorzeichen σ,, n, und t, In der Analysis kommt es aber auch vor, dass wir eine Kante betrachten und dabei den nach außen gerichteten Normalvektor n, := n bezüglich benötigen. Da wir nun aber den Normalvektor n zur Kante schon fixiert haben, kann dieser unter Umständen nach innen zeigen. In Formeln führen wir deshalb das Vorzeichen σ, = ± ein, das so gewählt wird, dass σ, n = n, die äußere Normale auf bezüglich ist. Wir legen deshalb fest: σ, = {, falls n nach außen zeigt auf der Kante bezogen auf,, falls n nach innen zeigt auf der Kante bezogen auf. (.2) Bemerkung. Wollen wir die Richtungsableitung von u H (Ω) in Richtung des nach außen gerichteten Normalvektors der Kante von berechnen, so gilt u (σ, n ) = σ u,. n Wird der angentialvektor t, := t auf einer Kante des lements gebraucht, erfolgt die Multiplikation ebenfalls mit σ,. Da wir per Definition ein lement immer mathematisch positiv umlaufen, zeigt σ, t = t, genau die Umlaufrichtung an. Die ndpunkte a S und a N von erfüllen die igenschaft (a N a S ) t > 0

19 KAPIL. RIANGULIRUNG 9 PSfrag replacements PSfrag replacements a N a N σ, t σ, n x t σ, n t σ, t x n n Durchlaufsinn a S a S Durchlaufsinn (a) σ,= (b) σ,=- Abbildung.8: Die strichlierten Vektoren zeigen die a priori gewählten Normal- bzw. angentialvektoren, die eingezeichneten Vektoren geben nur die Richtung an, die Position ist dabei nur symbolisch zu verstehen. und werden somit ebenfalls a priori für jede Kante Γ gewählt, d.h. t zeigt von a S nach a N. Die Abbildung.8 veranschaulicht die Wirkung von σ,.

20 Kapitel 2 Die Finite Volumen Methode Die Finite Volumen Methode wird anhand eines zweidimensionalen konvektiven-diffusiven Problems hergeleitet. Das Schema führt uns zu einer Bilanzgleichung von Flüssen über eine Kante, die die Konservativitätseigenschaft erfüllen. Die Konvergenz des Verfahrens hängt entscheidend von der Approximation dieser konvektiven und diffusiven Flüsse ab. Das sogenannte Upwind- Verfahren und die Diamond Path Methode garantieren nach Coudière und Villedieu [9], dass das Verfahren für eine hinreichend glatte exakte Lösung u H 2 (Ω) konvergiert. Die lemente seien in diesem Kapitel nicht ausschließlich Dreiecke oder Rechtecke. 2. Das Grundprinzip der Diskretisierung Die Methode wird anhand folgender Aufgabe hergeleitet: Finde ein u H (Ω), so dass div( ν u + u v) = f auf Ω, u = u D auf Γ = Ω, (2.) mit ν > 0, ν C 2 (Ω), v = (v x, v y ) C (Ω, R 2 ), f L 2 (Ω) und u D H /2 (Γ) gilt. Für die Approximation durch die Finite Volumen Methode wird das Gebiet Ω zunächst in eine endliche Anzahl paarweiser disjunkter finiter Volumina (Kontrollvolumina) unterteilt. sei dabei eine fastreguläre riangulierung. Bemerkung. s sei darauf hingewiesen, dass die Methode nicht ausschließlich auf fastreguläre riangulierungen angewendet werden kann. Die Diskretisierung bezüglich anderer riangulierungen kann jedoch anhand dieser Herleitung rasch nachvollzogen werden. Das Grundprinzip der Finite Volumen Methode besteht nun darin, Gleichung (2.) über jedes lement zu integrieren und den Gaußschen Integralsatz anzuwenden. s gilt f(x) dx = div( ν u + uv) dx = ( ν u + uv) n ds = (2.2) ( ν u + uv) (σ, n )ds für alle, wobei n der nach außen gerichtete Normalvektor bezüglich ist. Nach (.2) gilt dann n = σ, n für jede Kante von.

21 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD Wir bezeichnen mit Φ C (u) = uv n ds den konvektiven Fluss und mit Φ D (u) = (ν u) n ds den diffusiven Fluss σ, und schreiben (2.2) in der Form ( Φ C (u) Φ D (u) ) = Diese Gleichung wird auch als Bilanzgleichung bezeichnet. f(x) dx. (2.3) Konservativität. Betrachten wir eine Kante = W, so ist der Gesamtfluss σ W,(Φ C (u) ΦD (u)) bezogen auf n W, und σ,(φ C (u) ΦD (u)) bezogen auf n, durch diese Kante für beide Kontrollvolumina W und betragsmäßig gleich. Lediglich das Vorzeichen unterscheidet sich, welches durch σ W, bzw. σ, bestimmt wird. Dieses Vorzeichen gibt jedoch an, ob der Gesamtfluss ins lement reinfließt, oder vom lement wegfließt. Somit gilt auf einer Kante immer, dass der Fluss von einem lement ins andere lement fließt. Wir sprechen von der Konservativität des Verfahrens. s sei darauf hingewiesen, dass wir bis zu dieser Stelle noch keine einzige Approximation durchgeführt haben. Wir suchen nun eine auf jedem lement stückweise konstante Funktion u h (x) := u x, (2.4) wobei u die Approximation des Integralmittels von u auf darstellt, d.h. u / u dx. Der konvektive Fluss Φ C (u) über eine Kante Γ wird dazu durch einen numerischen Fluss F C (u h) ersetzt. Den diffusiven Fluss Φ D (u) über eine Kante Γ approximieren wir durch einen numerischen Fluss F D (u h). Der numerische Fluss über eine hängende Kante h berechnet sich dann als Summe der eilflüsse der dazugehörigen lementarkanten: F C (u h ) = n F C i (u h ), F D (u h ) = i= für h, = n F D i (u h ) (2.5) i= n i,,..., n, (2.6) i= was durch die entsprechende Additivität Φ C (u) = n Φ C i (u), Φ D (u) = i= für h, = n i, i= n Φ D i (u) i=,..., n motiviert wird. s genügt daher, die eigentliche Approximation der Flüsse über die Kanten aus Γ zu betrachten. Beide numerischen Flüsse werden dabei so gewählt, dass die Konservativität erhalten bleibt. Somit erhalten wir die folgende Finite Volumen Diskretisierung: Finde die Lösung u h P 0 ( ) für von ( F C (u h ) F D (u h ) ) = f dx. (2.7) σ,

22 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD 2 Bezeichnet N := # die Anzahl der lemente, so führt (2.7) auf ein lineares Gleichungssystem mit der Systemmatrix A R N N. Bemerkung. Wir betrachten hier ein reines Dirichlet-Problem. Für Probleme mit zusätzlichem Neumann-Rand müssen nur die Flussapproximationen, die in den nächsten zwei Abschnitten vorgestellt werden, entsprechend modifiziert werden. Die eigentliche Diskretisierung ändert sich nicht. Siehe dazu Coudière und Villedieu [9]. Fazit. Die Finite Volumen Methode projiziert u auf eine zu den lementen stückweise konstante Funktion u h. 2.2 Der konvektive numerische Fluss F C (u h) Für die Approximation von Φ C (u) = uv n ds entlang wenden wir das sogenannte Upwind-Verfahren an. Die prinzipielle Idee ist es, die Approximation abhänging von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors v zu machen. Damit nützen wir die ransporteigenschaft von Konvektions-Diffusions-Problemen aus, die besagt, dass der konvektive ransport von u nur stromabwärts erfolgt. Auf einer Kante soll der bereits festgelegte Normalvektor n von W nach zeigen. s ist v n der Anteil des Geschwindigkeitsvektors v in n Richtung. Wir berechnen den Mittelwert dieses Anteils auf jeder Kante v = h v n ds. Beim Upwind-Verfahren erster Ordnung ordnen wir u entlang der Kante einen Wert unserer Finite Volumen Lösung u h in Abhängigkeit der Richtung von v (genauer: in Abhängigkeit von v ) zu und können somit das Integral lösen. Somit ergibt sich (2.8) { F C h v n (u h ) = u W falls v 0, h v n u sonst, { Γ F C h v n (u h ) = u W falls v 0, h v n g(x ) sonst. (2.9) (2.0) Im zweiten Fall von Γ reduziert sich auf die Kante, deshalb nehmen wir u = g(x ), wobei x der Mittelpunkt von ist. Beachte, dass n auf Randkanten nach Definition immer nach außen zeigt und somit W existiert. 2.3 Der diffusive numerische Fluss F D (u h) Für die Approximation beim diffusiven Fluss wird u als diskrete Variable betrachtet, welche u in einem Punkt des Kontrollvolumens approximiert. Da wir genau eine diskrete Unbekannte u pro Kontrollvolumen betrachten, die innerhalb von liegt, sprechen wir auch von der zellenorientierten (engl. cell-centered) Finite Volumen Methode. Für die Berechnung von F D (u h) müssen wir zunächst die Richtungsableitung u n = u/ n auf mit Hilfe der diskreten Unbekannten u annähern. Im Unterschied dazu sei auf die eckenorientierte (engl. cell vertex) Methode verwiesen. Hier wird auf zwei verschiedenen riangulierungen gerechnet. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns allerdings ausschließlich mit der zellenorientierten Methode, weshalb wir auf die eckenorientierte Methode nicht näher eingehen wollen.

23 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD Die Differenzen Methode ine einfache Approximation der Richtungsableitung ist u n u u W d(x W, x ), (2.) wobei = W, und d(x W, x ) der Abstand zwischen den Mittelpunkten x W und x der Volumina W und ist. u W bzw. u ist dabei die Approximation von u(x W ) bzw. u(x ). Handelt es sich um eine Randkante, so wird anstelle von u ein Wert von g(x) mit x genommen. d(x W, Γ) ist entsprechend der Abstand von x W zum Rand. Nach dem Handbook of Numerical Analysis [0] ist diese Flussapproximation für allgemeine riangulierungen nicht konsistent. ine konsistente Approximation kann nur dann erreicht werden, wenn die Unbekannten u W und u auf einer orthogonalen Line zur Kante liegen. Wollen wir für den diffusiven Fluss Approximation (2.) verwenden, muss die riangulierung zulässig im folgenden Sinn sein: Definition 2.3. (Zulässige riangulierung). ine zulässige riangulierung von Ω mit den Punkten M, wobei jedes Kontrollvolumen genau einen Punkt x M enthält, erfüllt folgende igenschaften:. = Ω 2. Für alle Kontrollvolumen und 2 ist 2 entweder leer, ein Punkt oder eine gemeinsame Kante. 3. s seien x W, x M mit x W W und x, W,. Falls W := eine Kante ist, so ist die Verbindung x W und x orthogonal zu (Abbildung 2.). 4. Ist Γ eine Kante auf dem Rand, so gilt δ. Dabei sei δ die Linie zwischen x und, wobei δ orthogonal auf steht (Abbildung 2.). PSfrag replacements PSfrag replacements W W x x W x x δ x x W δ Abbildung 2.: Veranschaulichung der Bedingungen 3. und 4. von Definition Die ersten beiden Bedingungen werden auch als Regularität der riangulierung nach Ciarlet bezeichnet. Diese lässt keine hängenden Knoten zu. Auch die Bedingungen 3. und 4. stellen eine massive inschränkung in der Wahl der riangulierungselemente dar. ine riangulierung aus lauter Dreiecke erfülle die beiden ersten Bedingungen. Damit auch die Bedingungen 3. und 4. erfüllt sind, müssen die Innenwinkel aller Dreiecke echt kleiner π/2 bleiben. Denn als x kommt nur der Umkreismittelpunkt in Frage, der durch den Schnittpunkt der Seitensymmetralen gebildet wird. Dieser liegt jedoch nur innerhalb von, wenn alle Winkel von echt kleiner π/2 sind. Wählen wir für x einen anderen Punkt im Dreieck, so ist es unmöglich, zumindest Bedingung 3. zu erfüllen.

24 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD Diamond Path Methode Im Hinblick auf adaptive Verfeinerung sind die inschränkungen aus Definition 2.3. sehr unangenehm. s ist z.b. schwer, eine Dreieckstriangulierung lokal zu verfeinern, ohne dass ein Winkel eines Dreiecks größer gleich π/2 wird. Auch die lokale Verfeinerung von Rechteckstriangulierungen ist nahezu unmöglich. Verfeinern wir von einer zulässigen Rechteckstriangulierung ein Rechteck, so entstehen hängende Knoten. Somit ist die diffusive Flussapproximation nach der Differenzen Methode für uns nicht geeignet. Wollen wir daher den diffusiven Fluss über eine Kante für allgemeine riangulierungen approximieren, so müssen wir den ganzen Gradienten auf jeder Kante betrachten. In der Literatur werden dazu die Konstruktionsmethoden prinzipiell in zwei Klassen unterteilt, die eine ist bekannt als Green-Gauss-Klasse, die andere als polynomiale Lagrange-Interpolations- Klasse. Die Methoden in beiden Klassen verwenden für die Approximation mehr Kontrollvolumen als nur die zwei, die eine gemeinsame Kante enthalten. In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf die Diamond Path Methode. Sie ist vom Green-Gauss-yp. Der Diamond Path wird dabei durch die zwei Mittelpunkte x W und x der beiden Volumen W und ( = W ) und der beiden ndknoten (x S := a S und x N := a N ) der Kante gebildet. Ist Γ eine Randkante, so ist x = m, wobei m der Mittelpunkt der Kante ist. Abbildung 2.2 veranschaulicht die Wahl. Abbildung 2.2: Drei verschiedene Diamond Pathes. inschränkung. sei von nun an wieder eine fastreguläre riangulierung. Außerdem fordern wir, dass der Diamond Path χ := conv{x, x S, x W, x N } konvex ist. Wir führen folgende Approximationen von u ein: u W u(x W ) und u u(x ) mit u W = u h W, u = u h, u N u(x N ), u S u(x S ). Falls Γ eine Randkante ist, gilt u = g(m ). Der Diamond Path selbst arbeitet lokal (in Bezug auf ). s gilt aber zu beachten, dass u N und u S ebenfalls unbekannte Werte sind. Diese werden durch lineare Interpolation der Werte u = u h mit ω xn bzw. ω xs dargestellt. Wir schreiben daher allgemein a N N h u a = ψ (a) u, ω a a N Γ u a = g(a).

25 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD 5 Zur Berechnung der Gewichte ψ (a) vergleiche Abschnitt Bei der Approximation sind somit sämtliche lemente mit für einbezogen. In Abschnitt wird hergeleitet, dass die Näherung des Gradienten u auf ( Γ ) mittels der Diamond Path Methode [ u u W u = d α u N u S h ] n + u N u S h t, α = (x x W ) t (x x W ) n, d = (x x W ) n (2.2) ergibt. u erhalten wir ist dabei in den Basisvektoren (n, t ) dargestellt. Für die Richtungsableitung u n = u n = u u W d α u N u S h. Bemerkung. Liegt die Verbindung der Punkte x W und x orthogonal auf, so ist α = 0. Das führt zur exakt gleichen Näherung für u/ n wie bei (2.). Für die Approximation von Φ D (u) erhalten wir somit den numerischen diffusiven Fluss ( ) F D u u W u N u S (u h ) = h ν α d h mit ν = ν ds, α = (x x W ) t, h (x x W ) n d = (x x W ) n Herleitung der Diamond Path Methode (2.3) In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie u auf einer Kante ( Γ ) mit der Diamond Path Methode approximiert wird, d.h. u u R 2 für. Die Bezeichnungen werden aus Abbildung 2.3 entnommen. Wie oben schon erwähnt, fordern wir von unserer fastregulären riangulierung, dass das sogenannten Co-Volumen χ := conv{x, x N, x W, x S } konvex ist. Außerdem gilt für Γ x = m und u = g(m ) (m ist Mittelpunkt der Kante ). Das Integralmittel des Gradienten u auf χ lässt sich mit Hilfe der partiellen Integration auf ein Randintegral über χ reduzieren. u χ = χ χ u dx = χ χ un χ dx, (2.4) wobei n χ der auf χ nach außen gerichtete Normalvektor ist. Um nun das rechte Integral zu approximieren, wird u auf einer Kante e i von χ einfach durch den Mittelwert der Werte an den ndpunkten ersetzt. Auf der Kante e z.b. nähern wir mit (u w + u s )/2 an. Für die Approximation von u auf χ und somit für die Approximation u von u auf erhalten wir u = [ uw + u S h e n e + u S + u h e2 n e2 + u + u N h e3 n e3 + u N + u W h e4 n e4 ], χ (2.5)

26 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD 6 χ x N n e4 e 3 n e3 W e 4 d = (x x W ) n (x x W ) t x W e t n e h n n e2 e2 x χ x S Abbildung 2.3: Diamond Path mit Fläche χ, die punktierten Linien geben die Begrenzung der Kontrollvolumina W und an. wobei h ei die Länge der Kante e i bezeichne und n ei = n χ ei der dazugehörige Normalvektor bzgl. χ sei. s gilt beispielsweise ( ) 0 xs x W h e = x S x W, n e = 0 x S x W. Bemerkung. Die Abbildung ( ) cos ϕ sin ϕ x sin ϕ cos ϕ erzeugt eine Drehung des Vektors x um den Winkel ϕ (im mathematisch positiven Sinn). Um die Normale auf x zu erhalten, müssen wir um π 2 drehen. Somit erhalten wir eine Drehmatrix ( 0 0 ). Die Werte h e2, h e3 und h e4 bzw. die Vektoren n e2, n e3 und n e4 werden analog berechnet. Somit erhalten wir ( ) ( ) 0 0 h e n e = (x 0 S x W ), h e2 n e2 = (x 0 x S ), ( ) ( ) 0 0 h e3 n e3 = (x 0 N x ), h e4 n e4 = (x 0 W x N ). insetzen und Zusammenfassen der erme bei u W, u S, u und u N ergibt u = [ ( ) ( ) 0 0 u W (x 2 χ 0 S x N ) + u S (x 0 x W ) + u ( 0 0 ) (x N x S ) + u N ( 0 0 ) ] (x W x ). (2.6) Berechnung von χ. Nach Abbildung 2.4 berechnen wir die Fläche des Rechtecks und ziehen die Flächen der 4 Dreiecke (grau) ab. Dies ist in dieser einfachen Weise nur deshalb möglich, da

27 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD 7 PSfrag replacements x N χ h 2 h x W x t n h x S d d Abbildung 2.4: Das Rechteck, das den Diamond Path umschließt, hat die Seiten d und h. wir für χ Konvexität voraussetzen. Die Seiten des Rechtecks haben gerade die Länge d und h. [ h d χ = d h + (h h )d + h 2 (d d ) + (h ] h 2 )(d d ) = d h 2[ h d + h d h d + h 2 d h 2 d ] d h + h d h d h 2 d + h 2 d =. 2 Weiters schreiben wir ( 0 0 Nach Abbildung 2.3 gilt ) = h t {}}{ (x S x N ) = h n, ( 0 0 ) =h t {}}{ (x N x S ) = h n. x x W = d n + α d t mit d = (x x W ) n, α = (x x W ) t (x x W ) n. Wir stellen den Vektor x x W also in der Basis (n, t ) dar. Beachte, dass (x x W ) t positiv als auch negativ sein kann. ( ) 0 (x 0 x W ) = d t + α d n, ( ) 0 (x 0 W x ) = d t α d n. Aufgrund dieser Überlegungen erhalten wir für (2.6) u = d h [ (u u W )h n α (u N u S )d n + (u N u s )d t ] und somit die Darstellung des Gradienten u in den Basisvektoren (n, t ) [ ] u u W u N u S u = α n + u N u S t. (2.7) d h h

28 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD Berechnung von ψ (a) Für die Flussapproximation brauchen wir die Werte von u auch an den Knoten. Diese interpolieren wir linear aus u h. Im Folgenden wird gezeigt, wie sich die Gewichte ψ (a) berechnen lassen. In diesem Abschnitt bezeichnet x bzw. y die x- bzw. y-koordinate des Mittelpunkts m von. Weiters ist x a bzw. y a die x- bzw. y-koordinate des Punktes a N. Für jeden Knoten a (N N h ) einer riangulierung ist nach Abschnitt..2 der Knotenpatch ω a die Vereinigung aller lemente, die a enthalten. Zur stückweisen konstanten Funktion u h suchen wir jene affine Funktion φ auf ω a, die J(φ) = φ(m ) u 2 minimiert. (2.8) ω a Für die affine Funktion φ setzen wir allgemein an: φ(x) = M x + c M = (m, m 2 ) R 2, c R, x R 2. (2.9) Wir setzen φ in (2.8) ein und bestimmen das Minimum von J(φ). J(φ) = 2 (m x + m 2 y + c u ) x = 0, m ω a J(φ) = 2 (m x + m 2 y + c u ) y = 0, m 2 ω a J(φ) = 2 (m x + m 2 y + c u ) = 0. c ω a (2.20) Wir fassen in jeder Gleichung die Koeffizienten der Unbekannten m, m 2, c zusammen und erhalten drei Gleichungen mit den drei Unbekannten, die sogenannten Gaußschen Normalgleichungen. n bezeichnet dabei die Anzahl der lemente in ω a. m x 2 + m 2 x y + c x = u x, ω a ω a ω a ω a m x y + m 2 y 2 + c y = u y, (2.2) ω a ω a ω a ω a m x + m 2 y + cn = u. ω a ω a ω a Um die Übersicht zu bewahren, schreiben wir für die Summen folgende Abkürzungen: k = x 2, k 2 = x y, k 3 = x, k 4 = u x, ω a ω a ω a ω a k 5 = y 2, k 6 = y, k 7 = u y, k 8 = u. ω a ω a ω a ω a Wir erhalten folgende Lösung m = N ( nk2 k 7 k 2 6k 4 + k 6 k 3 k 7 + nk 5 k 4 k 5 k 3 k 8 + k 2 k 6 k 8 ), m 2 = N ( nk2 k 4 + k 2 k 3 k 8 + k 6 k 3 k 4 + nk 7 k k 7 k 2 3 k 6 k 8 k ), c = N ( k3 k 2 k 7 k 3 k 5 k 4 + k 6 k 2 k 4 k 6 k 7 k + k 8 k 5 k k 8 k 2 2), (2.22) mit N = k 2 6k + nk 5 k k 5 k 2 3 nk k 2 k 6 k 3.

29 KAPIL 2. DI FINI VOLUMN MHOD 9 Die Lösung g hängt aber auch linear von (u ω a ) R n (n = ω a ) ab. Daher gilt für einen Knoten a u a = φ(a) = m x a + m 2 y a + c = ω a ψ (a)u, (2.23) wobei u a der approximierte Wert von u am Knoten a ist. Wenn wir nun die Gewichte ψ (a) berechnen wollen, müssen wir nur einen Koeffizientenvergleich durchführen. Die u kommen nur in den Zählern von m, m 2, c vor. ψ (a) = ( ( nk2 y k 2 ) N 6x + k 6 k 3 y + nk 5 x k 5 k 3 + k 2 k 6 ax + ( nk2 x + k 2 k 3 + k 6 k 3 x + nk y k3y 2 ) k 6 k ay + ( k3 k 2 y k 3 k 5 x + k 6 k 2 x k 6 k y + k 5 k k2 2 ) ) (2.24) Diese Formel ist sehr kompliziert und benötigt sehr viel Rechenzeit. Deshalb ist es günstig, gewisse Anforderungen an die riangulierung zu stellen, so dass nur endlich viele Anordnungen vorkommen. Somit können die Gewichte a priori berechnet werden und müssen nicht für jeden PSfrag replacements KnotenPSfrag aufs Neue replacements berechnetpsfrag werden. replacements Außerdem werden PSfragsie replacements nur für die inneren Knoten a N N h benötigt PSfrag replacements PSfrag replacements PSfrag replacements Abbildung 2.5: Bei einer riangulierung in lauter Quadrate mit höchstens einem hängenden Knoten pro lementkante, gibt es bis auf Drehungen 7 verschiedene Gewichtskombinationen ψ (a) für einen Knotenpatch ω a, die a priori berechnet werden können. Für eine Dreieckstriangulierung ist es schwer, eine geeignete inschränkung zu finden.

30 Kapitel 3 Residualschätzer In diesem Kapitel beweisen wir die Zuverlässigkeit und ffizienz eines Residual-Fehlerschätzers, der auf Morley-Interpolation basiert. Wir beschränken uns dabei auf das Laplace Problem mit reinem Dirichlet-Rand. Außerdem sei eine fastreguläre riangulierung nach (..4) in Dreiecke oder Rechtecke vorausgesetzt. 3. Das Laplace Problem mit reinem Dirichlet-Rand Gegeben sei ein f L 2 (Ω). Finde ein u H (Ω) mit { u = f auf Ω, u = u D auf Γ = Γ D, (3.) wobei der Differentialoperator in schwacher Form verstanden wird und u D L 2 (Γ D ) ist. Da wir im Folgenden ein reines Dirichlet-Randproblem betrachten, gilt H D(Ω) := { v H (Ω) v ΓD = 0 } = H 0 (Ω). (3.2) Die schwache Form. Die schwache Form des Laplace Problems lautet u v dx = fv dx, v HD(Ω) ( = H0 (Ω) ). (3.3) Ω Ω Die Diskretisierung von (3.) erfolgt gemäß Kapitel 2. Beachte, dass für das Laplace-Problem kein konvektiver Fluss auftritt. Zusammenfassend erhalten wir folgende Finite Volumen Diskretisierung des Laplace-Problems mit reinem Dirichlet-Rand nach (3.): Finde die Lösung u h P 0 ( ) für von σ, F D (u h ) = f dx, (3.4) wobei F D (u h), der diffusive numerische Fluss, nach Abschnitt berechnet wird. 3.2 Das Morley-lement Die Idee der Morley-Interpolation beruht auf dem sogenannten Morley-lement. Dazu benötigen wir zunächst eine Definition eines Finiten lements. Wir folgen der Charakterisierung nach P. Ciarlet.

31 KAPIL 3. RSIDUALSCHÄZR 2 Definition 3.2. (Finites lement nach P. Ciarlet). Das ripel (, P, Σ) heißt Finites lement, wenn. ein beschränktes Lipschitz-Gebiet im R d ist, 2. P ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Dimension m von Funktionen p : R ist, 3. Σ eine Basis für den dualen Vektorraum P = {F : P R F linear} von P ist. Bemerkung. Die Definition ist in dem Sinne unvollständig, als dass wir unten annehmen, dass F P sich von P auf gewisse (eben hier nicht bezeichnete) Sobolev-Räume fortsetzen lässt. atsächlich sind P meist analytische Funktionen, so dass diese technische Anmerkung marginal wird. s gilt dim P = dim P = m. Da P endlich-dimensional ist, sind alle Funktionen F P stetig. Definition (Nodale Basis). Wenn (, P, Σ) ein Finites lement ist mit Σ = {S,..., S m }, dann heißt (ϕ,..., ϕ m ) nodale Basis von (, P, Σ), falls ϕ j P für alle j m und S i (ϕ j ) = δ ij für i, j =... m (3.5) gelten, wobei δ ij das Kronecker-Symbol bezeichne. Wenn ein ripel (, P, Σ) gegeben ist, dann ist meist unmittelbar klar, dass die igenschaften. und 2. von Definition 3.2. erfüllt sind. Aus der heorie der dualen Vektorräume wissen wir, dass eine Basis des Dualraums P gerade durch (3.5) definiert wird. Somit ist es also hinreichend, eine nodale Basis anzugeben, um die igenschaft 3. von Definition 3.2. zu zeigen. Lemma Für ein Rechteck = conv{a, a 2, a 3, a 4 } R 2 und P = P 2 Span{x 3 3xy 2, y 3 3yx 2 } sowie Σ = (S,..., S 8 ) mit { S i (p) = p(a i ), i =... 4, i 4 p/ n,i 4 ds, i = , ist (, P, Σ) ein Finites lement, das Morley-lement für Rechtecke. Beweis. s genügt, den Beweis für das Referenzelement nach Abbildung 3. zu zeigen. s ist unmittelbar klar, dass die igenschaften. und 2. von Definition (3.2.) erfüllt sind. Für igenschaft 3. suchen wir eine nodale Basis, sodass (3.5) gilt. s sei nun ϕ P und ϕ(x, y) := k + k 2 x + k 3 y + k 4 xy + k 5 x 2 + k 6 y 2 + k 7 (x 3 3xy 2 ) + k 8 (y 3 3x 2 y) mit k = (k, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7, k 8 ) R 8. Dann gilt ϕ(a ) = k, ϕ(a 2 ) = k + k 2 + k 5 + k 7, ϕ(a 3 ) = k + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k 6 2k 7 2k 8, ϕ(a 4 ) = k + k 3 + k 6 + k 8. (3.6)

32 KAPIL 3. RSIDUALSCHÄZR 22 PSfrag replacements a 4 = (0, ) n,3 a 3 = (, ) 3 n,4 4 2 n,2 a = (0, 0) a 2 = (, 0) n, Abbildung 3.: Das Referenzelement [0, ] [0, ] Mit ϕ(x, y) = ( k 2 + k 4 y + 2k 5 x + 3k 7 (x 2 y 2 ) 6k 8 xy, k 3 + k 4 x + 2k 6 y 6k 7 xy + 3k 8 (y 2 x 2 ) ), n, = (0, ), n,2 = (, 0), n,3 = (0, ), n,4 = (, 0) und dem ransformationssatz berechnet sich ( ϕ n, ds = k3 k 4 x 2k 6 y + 6k 7 xy 3k 8 (y 2 x 2 ) ) ds (x,y) = ( k 3 k 4 t + 3k 8 t 2 ) dt = k k 4 + k 8, ( ϕ n,2 ds = k2 + k 4 y + 2k 5 x + 3k 7 (x 2 y 2 ) 6k 8 xy ) ds (x,y) 2 2 = 0 (k 2 + k 4 t + 2k 5 + 3k 7 ( t 2 ) 6k 8 t) dt = k k 4 + 2k 5 + 2k 7 3k 8, ( ϕ n,3 ds = k3 + k 4 x + 2k 6 y 6k 7 xy + 3k 8 (y 2 x 2 ) ) ds (x,y) 3 3 = 0 (k 3 + k 4 ( t) + 2k 6 6k 7 ( t) + 3k 8 ( ( t) 2 )) dt = k k 4 + 2k 6 3k 7 + 2k 8, ( ϕ n,4 ds = k2 k 4 y 2k 5 x 3k 7 (x 2 y 2 ) + 6k 8 xy ) ds (x,y) 4 4 = 0 ( k 2 k 4 ( t) + 3k 7 ( t) 2 ) dt = k 2 2 k 4 + k 7.