A posteriori Fehlerschätzer für nicht-konforme Finite-Elemente-Methoden

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1 A posteriori Fehlerschätzer für nicht-konforme Finite-lemente-Methoden Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Masterarbeit von Marc Naujoks Bochum, März 014

2 Inhaltsverzeichnis 1 inführung 3 Mathematische Grundlagen und Definitionen 5.1 Definitionen zur Zerlegung T Funktionenräume und Normen Schwache Differenzierbarkeit auf Vereinigungen von Teilgebieten 11.4 indeutige Lösbarkeit des diskreten Problems Quasi-Interpolationsoperator und Abschätzungen Abschätzungen des Residuums Inverse Abschätzungen Rotationsoperator und partielle Integrations-Formeln Helmholtz-Zerlegung Herleitung des Fehlerschätzers Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers ffizienz des Fehlerschätzers Implementierung der nicht-konformen Finite-lemente-Methode Hinweise zur Implementierung rzeugung des diskreten Problems Lösen des diskreten Problems Berechnung der Fehlerindikatoren Berechnung der tatsächlichen Fehler Zeichnen der diskreten Lösung Datenstrukturen Numerische Beispiele Testproblem Testproblem Testproblem Literatur 56

3 1 inführung In dieser Arbeit wird ein a posteriori Fehlerschätzer für eine nicht-konforme Finite-lemente-Methode hergeleitet. in Fehlerschätzer ist eine Größe, die, bis auf multiplikative onstanten, eine obere und untere Schranke für den Fehler zwischen einer exakten und einer genäherten Lösung liefern soll. Im Fehlerschätzer sollten nur Größen enthalten sein, die, im Gegensatz zur Berechnung der tatsächlichen Lösung, relativ einfach berechenbar sind. Als Modellproblem betrachten wir im Folgenden die Poisson-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen, also: u = f u = 0 in auf Γ (1.1) Hierbei wird f L () angenommen. Außer wenn explizit anders angegeben, sei im Folgenden stets ein zusammenhängendes, beschränktes, polygonales Gebiet mit R. Außerdem sei der Rand Γ von zusammenhängend. Die schwache Formulierung von (1.1) lautet: Finde u H0 1 () mit: u v = fv v H0 1 () (1.) H 1 () bezeichnet dabei den Sobolev-Raum aller L () Funktionen, deren schwache Ableitungen erster Ordnung ebenfalls in L () liegen. H 1 0 () sind die Funktionen aus H 1 (), die zusätzlich homogene Randwerte haben. Sei nun T eine Zerlegung von in Dreiecke. Der Raum der konformen Finiten-lemente der niedrigsten Ordnung S 1,0 0 (T ) besteht aus den stetigen Funktionen auf, die auf den einzelnen Dreiecken aus T affin linear und auf dem Rand identisch null sind. ine exakte Definition von S 1,0 0 (T ) sowie die genauen igenschaften von T werden in apitel angegeben. Sei nun u T,k S 1,0 0 (T ) die Lösung zur konformen F-Methode der niedrigsten Ordnung. s gelte also: u T,k v T,k = fv T,k v T,k S 1,0 0 (T ) (1.3) Für die konforme F-Methode gibt es eine weit verbreitete Theorie zu a posteriori Fehlerschätzern (siehe z.b. [3], S. 166ff). Diese haben üblicherweise die igenschaft, dass sie zuverlässig und effizient sind. Zuverlässigkeit bedeutet hier, dass der Fehler u u T,k, in einer geeigneten Norm und bis auf onstanten, nach oben durch den Fehlerschätzer beschränkt ist. ffizienz bedeutet, dass der Fehler lokal oder global nach unten, bis auf onstanten, durch den Fehlerschätzer beschränkt ist. 3

4 Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, einen Fehlerschätzer mit den gerade genannten igenschaften für eine nicht-konforme Finite-lemente Methode herzuleiten. Die nicht-konforme Finite-lemente-Methode ist eine Verallgemeinerung der konformen Finite-lemente-Methode. Im Unterschied zum konformen Fall gilt hier für den betrachteten diskreten Raum X T nicht mehr X T H0 1 (). Genauer sei X T der Vektorraum der Funktionen, die stückweise polynomiell auf den einzelnen lementen von T ist. Zusätzlich sollen für u X T die folgenden igenschaften gelten: S 1,0 0 (T ) X T J (u) = 0 (1.4) u = 0 Γ (1.5) Die letzten beiden Bedingungen besagen, dass das Integral des Sprunges von u über die inneren anten beziehungsweise das Integral von u über die anten am Rand null sein soll. Dies wird auch als schwache Stetigkeit beziehungsweise schwache Homogenität auf dem Rand bezeichnet. Diese Arbeit wird sich allerdings nur mit einem nicht-konformen Finite-lemente- Raum der niedrigsten Ordnung beschäftigen, nämlich den Crouzeix-Raviart lementen. In diesem Fall sind die Polynome auf den einzelnen Dreiecken stückweise affinlineare Funktionen. Außerdem sollen die Crouzeix-Raviart lemente auf den Mittelpunkten innerer anten stetig sein und auf den Mittelpunkten von anten auf dem Rand verschwinden. Da die Tangententrapezformel für Polynome vom Grad 1 exakt ist, sind die letzten beiden igenschaften zu (1.4) und (1.5) äquivalent. Der so definierte Raum der Crouzeix-Raviart lemente werde mit CR 1 0(T ) bezeichnet. Mit Hilfe von Satz (.) aus apitel sieht man, dass lemente aus CR 1 0(T ) im Allgemeinen nicht schwach ableitbar sind. Deswegen werden die Integrale aus (1.3) auf die einzelnen Dreiecke aufgespalten. Definiere also: B T (u T, v T ) := T l T (v T ) := T u T v T So kann weiterhin der Gradient auf die Funktionen angewendet werden, wobei aber hier der elementweise klassische Gradient gemeint ist. fv T 4

5 Das diskrete Problem für die Crouzeix-Raviart lemente wird dann zu: Bestimme u T CR 1 0(T ) mit: B T (u T, v T ) = l T (v T ) v T CR 1 0(T ) (1.6) Außerdem wird der Vektorraum CR 1 0(T ) mit der Norm T ausgestattet: { T = ( ) T Im apitel 3 wird der Ausdruck u u T T zunächst nach oben abgeschätzt. Dabei wird auf die rgebnisse aus dem konformen Fall zurückgegriffen. Bei der Abschätzung im nicht-konformen Fall ergibt sich hierbei gegenüber dem konformen Fall noch ein zusätzlicher Term. Mithilfe dieser Abschätzungen ist man dann in der Lage, einen zuverlässigen Fehlerschätzer zu definieren. Schließlich kann man zeigen, dass sich alle Terme des Fehlerschätzers nach oben durch u u T T abschätzen lassen, wodurch die ffizienz gezeigt wird. In apitel werden die theoretischen Grundlagen für apitel 3 gelegt. Außerdem werden die notwendigen Definitionen eingeführt. Für das abschließende apitel 4 wurde die SciLab-Bibliothek AF M (siehe [1]) an die nicht-konforme Finite-lemente-Methode angepasst. In Unterkapitel (4.1) werden Hinweise zur Implementierung gegeben. In Unterkapitel (4.) wird das Programm getestet und mit einer konformen Finite-lemente-Methode verglichen. } 1 Mathematische Grundlagen und Definitionen.1 Definitionen zur Zerlegung T Die Menge der anten und lementeckpunkte von T werden mit beziehungsweise N bezeichnet. Das Skelett Σ bezeichnet die Vereinigung über alle anten in. Zu oder N tiefgestellte Symbole wie,, Γ bedeuten, dass nur diejenigen Objekte gemeint sind, die sich in der tiefgestellten Menge befinden. Für T sei h der Durchmesser von und ρ der Durchmesser des größten in einschreibbaren reises. Für sei h die Länge der ante. Wir h definieren die Regularitätskonstante C T durch C T := max T ρ. Zusätzlich dazu, dass die Zerlegung T von aus Dreiecken besteht, sollen die folgenden beiden Bedingungen gelten: Zulässigkeit: Zwei verschiedene lemente aus T sind entweder disjunkt oder haben eine gemeinsame ante oder haben einen gemeinsamen lementeckpunkt. 5

6 Regularität: ine Familie von Partitionen heißt regulär, wenn die Regularitätskonstante C T unabhängig von der Partition nach oben beschränkt ist. Bemerkung: In dem hier vorgestellten, zweidimensionalen Fall ist die Regularität äquivalent dazu, dass der minimale Winkel innerhalb der Partition gleichmäßig nach unten beschränkt ist. Aus der Regularität folgt, dass für lemente und beziehungsweise anten und, die mindestens einen lementeckpunkt gemeinsam haben, die Verhältnisse h h, h h und h h nach oben und unten durch onstanten beschränkt sind, die nur von der Regularitätskonstanten abhängen. Für T, und z N werden die folgenden Hilfsmengen definiert: ω = ω = N N ω = ω = N N 6

7 ω z = z N σ z = z N. Funktionenräume und Normen Sei ω eine offene Teilmenge von mit Lipschitz-Rand γ. L (ω) und L (γ) sind als die üblichen Lebesgue-Räume mit den Normen φ ω := ω φ γ := γ φ dx φ ds 1 1 definiert. Für v : ω R ist v ω durch v ω definiert. Hierbei bezeichnet die euklidische Norm auf R. Falls ω = gilt wird das tiefgestellte weggelassen. Später wird im Zusammenhang mit Distributionen und schwacher Ableitbarkeit der Raum der Testfunktionen C0 () benötigt. Sei dazu α = (α 1, α ) N 0 ein Multiindex mit α := α 1 + α und α u := α u. Wir definieren: x α 1 1 xα C 0 () := {u ist eine stetige Funktion auf } C m () := {u C 0 () α u C 0 () α m} C () := {u C 0 () α u C 0 () α N 0} C 0 () := {u C () {x R u(x) 0} ist kompakt in enthalten} Die Funktionenräume der stetigen oder sogar stetig differenzierbaren Funktionen haben sich allerdings für die vorliegende Problemstellung als zu klein erwiesen. inen besseren Rahmen bieten die Funktionenräume der schwach differenzierbaren Funktionen. 7

8 Seien u, v L 1 (). v heißt α-te schwache Ableitung von u, kurz v = α u, genau dann, wenn für alle ρ C0 () gilt: u α ρ = ( 1) α vρ Der zugehörige Funktionenraum ist durch H m () gegeben: H m () := {u L () α u L () α m} H m () wird mit der folgenden Norm ausgestattet: H m 0 () wird definiert durch: u m := α u α m H m 0 () := C 0 () m Man kann zeigen, dass, wie in der inführung angegeben, H 1 0 () = {φ H 1 () φ = 0 auf Γ} gilt. Deswegen ist H 1 0 () der passende Raum für die hier besprochene Poisson-Gleichung mit homogenen Randwerten. Auf dem Vektorraum H 1 () ist u := u = u nur eine Semi-Norm. Aus der Friedrich schen Ungleichung (siehe [9], S.6) folgt allerdings, dass und 1 äquivalente Normen auf H 1 0 () sind. Deswegen wird H 1 0 () mit ausgestattet. Für mehr Informationen zu Funktionen- und Sobolev-Räumen siehe zum Beispiel [], apitel 1. Nun folgt eine exakte Definition der Räume S 1,0 0 (T ) beziehungsweise CR1 0(T ): 1 1 S 1,0 (T ) = {φ C() : φ span {1, x 1, x } T } S 1,0 0 (T ) = { φ S 1,0 (T ) : φ = 0 auf Γ } Für die Definition des Crouzeix-Raviart-Raums brauchen wir die Definition von Sprüngen über einer ante. Hierzu wird jeder ante ein Normalenvektor n zugeordnet. Für ist die Orientierung dieses Vektors beliebig. Für Γ wird n als der aus dem Gebiet hinauszeigende Normalenvektor definiert. Für Gebiete ω mit Lipschitz-stetigem Rand (siehe [5], S.4) bezeichne n ω die äußere Normale. 8

9 Für eine stückweise stetige Funktion v und eine ante wird dann der Sprung über entlang n definiert durch: J (v)(x) := lim v(x tn ) lim v(x + tn ) x t 0 + t 0 + Im Allgemeinen hängt der Sprung J (v) von der Orientierung der Normalen ab. Weil Ausdrucke von der Form J (n v) nicht von der Orientierung der Normalen abhängen, wird sich herausstellen, dass es hier nicht notwendig ist die Orientierung der Normalen für innere anten festzulegen. (T ) dadurch, dass die Stetigkeitsbedingung an den Rändern der lemente beziehungsweise auf dem Rand des Gebietes abgeschwächt werden: Der Raum CR 1 0(T ) ergibt sich aus S 1,0 0 CR 1 (T ) := { φ L () : φ span {1, x 1, x } T, J (φ) = 0 } { } CR 1 0(T ) := φ CR 1 (T ) : φ = 0 Γ Dementsprechend gilt S 1,0 0 (T ) CR1 0(T ). Für z N wird die nodale Basisfunktion λ z definiert durch: λ z S 1,0 (T ), λ z (z) = 1, λ z (x) = 0 x N \ {z} Falls z N gilt, ist λ z in S 1,0 0 (T ) enthalten. Für z 1 z N sind λ z1 und λ z linear unabhängig. Außerdem erzeugen die λ z mit z N den Vektorraum S 1,0 0 (), denn für Funktionen in S1,0 0 () können genau die Funktionswerte auf den inneren lementeckpunkten frei gewählt werden. Folglich gilt: dim(s 1,0 0 (T )) = #N (.1) Bei dem Raum der Crouzeix-Raviart lemente CR 1 0(T ) können hingegen genau die Funktionswerte an den Mittelpunkten innerer anten frei gewählt werden. s gilt also: dim(cr 1 0(T )) = # (.) In Analogie zu den Basisfunktionen λ z von S 1,0 0 (T ) werden die Basisfunktionen µ i von CR 1 (T ) definiert. Sei dazu ι : {1,.., #} eine Bijektion, die außerdem {1,.., # } auf abbildet. Mit i ist dann die ante ι(i) gemeint. Außerdem bezeichne m i den antenmittelpunkt der ante i. 9

10 µ i ist dann für i = 1,.., # definiert durch: Damit gilt: µ i CR 1 (T ), µ i (m i ) = 1, µ i (m j ) = 0 j {1,.., #}, j i CR 1 (T ) = span(µ 1,.., µ # ) CR 1 0(T ) = span(µ 1,.., µ # ) s besteht der folgende Zusammenhang zwischen den Dimensionen der konformen und nicht-konformen Vektorräume: Lemma.1. dim(cr 1 0(T )) = 3 dim(s 1,0 0 (T )) + # Γ 3 Beweis: Die eulersche Polyederformel besagt: Außerdem gilt: #T # + #N = 1 (.3) 3#T = # + # Γ (.4) Dies folgt daraus, dass jedes Dreieck 3 anten hat, aber die inneren anten, da sie zwei Nachbarelemente haben, doppelt gezählt werden. Da Γ zusammenhängend ist, gilt außerdem: Aus Gleichung (.3) und # = # + # Γ folgt: # Γ = #N Γ (.5) 3 = 3#T 3# 3# Γ + 3#N Aus (.4) folgt: = # + # Γ 3# 3# Γ + 3#N = # # Γ + 3#N Mit #N = #N + #N Γ und (.5) ergibt sich: = # # Γ + 3#N + 3# Γ = # + # Γ + 3#N 10

11 Umformen und insetzen von (.1) und (.) liefert die Behauptung..3 Schwache Differenzierbarkeit auf Vereinigungen von Teilgebieten Satz.. Sei ω eine beschränkte, offene Teilmenge von R. Seien ω 1 und ω zwei nicht leere, offene und beschränkte Teilmengen von ω mit stückweise glattem Rand und ω = ω 1 ω. Weiter sei φ L (ω) und φ ωi C 1 (ω i ), i = 1,. Dann ist φ H 1 (ω) genau dann, wenn φ C 0 (ω) gilt. Beweis: Siehe [9], S.4. Lemma.3. Im Allgemeinen gilt: CR 1 0(T ) H 1 () Beweis: Bei einem aus ausreichend vielen Dreiecken bestehenden Gebiet kann man ein w T CR 1 0(T ) wählen, so dass w T an einer inneren ante unstetig ist. Seien 1 und die zu benachbarten Dreiecke. Wähle nun zur Anwendung von Satz. ω 1 = 1, ω = und ω = ( 1 ). Wegen der Unstetigkeit von w T an folgt, dass w T H 1 (ω) gilt. Wegen ω gilt H 1 () H 1 (ω). Also folgt w T H 1 (). Lemma.4. Sei wie in der inführung definiert und T eine Triangulierung von. s gilt: CR 1 0(T ) H 1 0 () = S 1,0 0 (T ) Beweis: ist offensichtlich. : Sei w CR 1 0(T ) H0 1 (). Seien 1 und zwei beliebige, aneinander grenzende Dreiecke aus T und ω wie in Satz.3 als ω = ( 1 ) gewählt. Aus w H 1 () folgt w H 1 (ω). Da w stückweise aus affin-linearen Funktionen besteht, sind die Voraussetzungen aus Satz (.) erfüllt und es folgt w C 0 (ω). Folglich ist w an allen inneren anten stetig. 11

12 Außerdem hat w wegen w H 1 0 () homogene Randwerte. Damit gilt w S 1 0(T )..4 indeutige Lösbarkeit des diskreten Problems Zum Beweis der eindeutigen Lösbarkeit des diskreten Problems (1.6) benötigen wir den Satz von Lax-Milgram: Satz.5 (Lax-Milgram). Sei (X, X ) ein Banachraum, l : X R ein stetiges, lineares Funktional und a : X X R eine stetige Bilinearform. Außerdem sei a symmetrisch und koerziv, das heißt a(x, y) = a(y, x) x, y X beziehungsweise a(u, u) α u X u X mit einem α > 0. Dann gibt es ein eindeutiges u X mit a(u, v) = l(v) v X. Beweis: Siehe [9], S.15. Lemma.6. Die schwache Formulierung der Poisson-Gleichung (1.) und das diskrete Problem zur nicht-konformen Finite-lemente-Methode (1.6) besitzen eindeutige Lösungen u H 1 0 () beziehungsweise u T CR 1 0(T ). Beweis: Für das Problem (1.) siehe [9], S.31. Beweis zu (1.6): 1. (CR 1 0(T ), T ) ist ein Banachraum: Durch die Charakterisierung über die Stetigkeit an den Mittelpunkten innerer anten und Nullwerte an den Mittelpunkten äußerer anten sieht man leicht, dass CR 1 0(T ) ein Vektorraum ist. Wie man leicht nachrechnet, ist durch T eine Seminorm definiert. Sei nun w T CR 1 0(T ) gegeben mit w T T = 0. s folgt, dass die Gradienten auf allen Dreiecken identisch null sind. Also ist w T konstant auf allen Dreiecken. Wegen der Stetigkeit an den inneren antenmittelpunkten und da w T = 0 auf den Mittelpunkten der anten auf dem Rand gilt, muss w T 0 auf gelten. Also ist T eine Norm auf CR 1 0(T ). Da CR 1 0(T ) endlich-dimensional ist, ist CR 1 0(T ) also ein Banachraum. 1

13 . B T ist koerziv: B T (u T, u T ) = T = T u T u T u T = T u T Also gilt die Behauptung mit α = 1. = u T T Auf endlich-dimensionalen Vektorräumen sind Bilinearformen und lineare Funktionale stets stetig (s. [], S.148). Da B T offensichtlich symmetrisch ist, sind also alle Vorraussetzungen von Satz.5 erfüllt. Damit hat das diskrete Problem zur nicht-konformen Finite-lemente-Methode eine eindeutige Lösung..5 Quasi-Interpolationsoperator und Abschätzungen Im nächsten apitel werden wir Schranken für duale Normen von Residuen herleiten. Hierzu ist ein Quasi-Interpolationsoperator und die zugehörigen Abschätzungen von großer Bedeutung. Sei z N und v L 1 (ω z ), definiere: v z := ω z λ z v ω z λ z Dies definiert einen mit λ z gewichteten Mittelwert. Definiere nun den Quasi-Interpolationsoperator I T : L 1 () S 1,0 0 (T ) durch: I T v := v z λ z z N 13

14 Satz.7 (Abschätzungen zum Quasi-Interpolationsoperator). Seien v H0 1 (), T und beliebig. Dann gelten die folgenden Abschätzungen: v I T v C A,1 v ω v I T v C A, h v ω (v I T v) C A,3 v ω v I T v C A,4 h 1 v ω Die onstanten C A,1,..,C A,4 hängen dabei nur von C T ab. Beweis: Siehe [8], S.109. Außerdem benötigen wir noch einen Quasi-Interpolationsoperator zur Interpolation von H 1 () Funktionen. Dieser werde mit ĨT bezeichnet. Definiere Ĩ T : L 1 () S 1,0 (T ) durch: Ĩ T v := z N v z λ z Dieser Quasi-Interpolationsoperator unterscheidet sich zu dem Vorherigen also nur dadurch, dass hier auch die nodalen Basisfunktionen der lementeckpunkte auf dem Rand zur Interpolation genutzt werden. Satz.8. Seien v H 1 (), T und beliebig. Dann gelten exakt dieselben Abschätzungen wie aus Satz.7 mit ĨT anstelle von I T und onstanten C A,1,.., C A,4 anstelle von C A,1,..,C A,4, die ebenfalls nur von C T abhängen. Beweis: Siehe [8], S.109. Die Annahme eines nicht leeren Dirichlet-Randes ist für den Satz nicht notwendig..6 Abschätzungen des Residuums ine für die Abschätzung des Fehlers u u T T sehr wichtige Größe ist das Residuum. s ist als lement des Dualraums von H0 1 () für w H0 1 () durch definiert. < R, w >:= B T (u u T, w) (.6) An dieser Stelle soll zum Vergleich noch einmal kurz die konforme Situation aufgriffen werden. 14

15 Auch im konformen Fall können die vorkommenden Integrale auf die einzelnen lemente aufgespalten werden, so dass die Definition von u T,k (1.3) äquivalent ist zu: B T (u T,k, v T,k ) = l T (v T,k ) v T,k S 1,0 0 (T ) Dasselbe gilt für die Definition der schwachen Lösung u. (1.) ist äquivalent zu: B T (u, v) = l T (v) v H 1 0 () (.7) Aus diesen beiden Gleichungen folgt die Galerkin-Orthogonalität: B T (u u T,k, v T,k ) = l T (v T,k ) l T (v T,k ) = 0 v T,k S 1,0 0 (T ) (.8) Das Residuum ist im konformen Fall, analog zu (.6), für w H 1 0 () definiert durch: < S, w >:= B T (u u T,k, w) Aus der Galerkin-Orthogonalität (.8) folgt dann: S 1,0 0 (T ) er(s) er(s) bezeichnet dabei den ern von S, also diejenigen w H0 1 () mit < S, w > = 0. Der gesamte zur Diskretisierung gehörende Raum S 1,0 0 (T ) ist also im ern von S enthalten. Im nicht-konformen Fall ist die Situation etwas anders. Da die Definition der schwachen Lösung u (.7) gleich bleibt, kann aus (.7) und der Definition der diskreten Lösung im nicht-konformen Fall (1.6) nur gefolgert werden: B T (u u T, v T ) = 0 Wegen Lemma (.4) erhält man also: v T CR 1 0(T ) H 1 0 () Für das Residuum R bedeutet dies: B T (u u T, v T ) = 0 v T S 1,0 0 (T ) S 1,0 0 (T ) er(r) Diese igenschaft wird wie im konformen Fall als Galerkin-Orthogonalität bezeichnet. Im Gegensatz zum konformen Fall ist also im nicht-konformen Fall nur ein Teilraum des diskreten Raumes im ern des entsprechenden Residuums enthalten. 15

16 Man kann außerdem eine L -Darstellung für das Residuum herleiten. s gilt für beliebige w H 1 0 (): B T (u u T, w) = T (u u T ) w = fw + u T w T T n u T w = (f + u T )w J (n u T )w T n ist hierbei die äußere Normale zu. u T verschwindet, da u T auf den Dreiecken affin linear ist, wird aber zur Anschaulichkeit nicht weggelassen. Bei den obigen Umformungen wird ausgenutzt, dass u T, trotz globaler Unstetigkeit, auf den einzelnen Dreiecken glatt ist und dass w keine antensprünge im L 1 -Sinn hat. Damit kann man Funktionen r : R, j : Σ R definieren, so dass die folgende L -Darstellung gilt: < R, w > = rw + Σ jw r = f + u T für T { J (n j = u T ), 0, Γ Das Residuum kann nun folgendermaßen abgeschätzt werden: Sei I T (w) die Quasi-Interpolation von w aus apitel.5. Wegen S 1,0 0 (T ) er(r) gilt < R, I T (w) >= 0. Mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung und Satz.7 folgt dann: < R, w > =< R, w I T (w) > = T T T r(w I T (w)) + r w I T (w) + j(w I T (w)) j w I T (w) r C A, h w ω + 1 j C A,4 h w ω 16

17 Im konformen Fall wird dieser Ausdruck noch weiter abgeschätzt, so dass schließlich eine obere Schranke für die Norm des Residuums als lement des Dualraums von H 1 0 () hergeleitet werden kann. In dieser Arbeit wird aber der obige Ausdruck später mit den Termen, die im nicht-konformen Fall hinzukommen, zusammengefasst..7 Inverse Abschätzungen Für die inversen Abschätzungen benötigen wir die Abschneidefunktionen ψ und ψ, sowie die auf eine bestimmte ante transformierten Polynome in einer Variablen vom Grad 1. Definiere also: ψ = 7 z N λ z ψ = 4 z N λ z Diese Funktionen haben die igenschaft, dass Sie auf dem Rand von beziehungsweise ω identisch null und im Inneren der jeweiligen Hilfsmengen echt positiv sind. Die onstanten sind so gewählt, dass gilt: max ψ (x) = max ψ (x) = 1 x x Sei Ê := { x R x = 0, 0 x 1 1 } die Referenzkante. Für die Definition der transformierten Polynome in einer Variablen vom Grad 1 sei F eine affin lineare Funktion, die die Referenzkante Ê auf eine vorgegebene ante transformiert. Definiere dann: R 1 () := { φ F 1 : φ span{1, x 1} } Für den späteren Beweis der ffizienz werden die folgenden Abschätzungen benötigt: Satz.9 (Inverse Abschätzungen). Sei T beliebig,, v span {1, x 1, x } und w R 1 (). Dann gilt: v C I,1 ψ 1 v (ψ v) C I, h 1 v w C I,3 ψ 1 w (ψ w) ω C I,4 h 1 w ψ w ω C I,5 h 1 w Die onstanten C I,1,..,C I,5 hängen dabei nur von C T ab. Beweis: Siehe [8], S

18 .8 Rotationsoperator und partielle Integrations-Formeln Im nächsten apitel wird die Helmholtz-Zerlegung vorgestellt. Diese ermöglicht es den Fehler u u T T auch im nicht-konformen Fall abzuschätzen. Dafür wird der Rotationsoperator für eine Funktion auf einem zweidimensionalen Gebiet benötigt. Sei v : R mit R wie in der inführung. Definiere dann: Mit: rot(v) := Q := ( v ) x v = Q v x 1 ( 0 ) Außerdem wird für die Helmholtz-Zerlegung der Raum H(div; ) benötigt: H(div; ) := { v L () div(v) L () } (.9) Dies ist im schwachen Sinn zu verstehen, das heißt für w L () gilt w = div(v) genau dann, wenn: w φ = ( 1) v φ φ C0 () (.10) Lemma.10. Sei ω eine beschränkte, offene Teilmenge von R mit Lipschitz-stetigem Rand (siehe [5], S.4). Für v H(div; ω) und ϕ H 1 (ω) gilt die folgende Green sche Identität: v ϕ + div(v) ϕ = v n ω ϕ ω ω ω Beweis: Siehe [5], S. 8. Sei Θ eine beliebige ante aus oder eine Menge ω wie in Lemma.10. Definiere dann den tangentialen Anteil eines Vektorfeldes v durch γ tθ ( v ) := v (Q n Θ ). Lemma.11. Sei ω wie in Lemma.10. s gelten für φ, ψ H 1 (ω) die folgenden partielle Integrations-Regeln: 18

19 ω φ rot(ψ) n ω = ω = ω φ rot(ψ) ψ γ tω ( φ) Beweis: Zur ersten Gleichung: Im distributionellen Sinn gilt div(rot(ψ)) = 0 ψ H 1 (ω). Also gilt rot(ψ) H(div; ω). Wende nun Lemma.10 mit v = rot(ψ) und ϕ = φ an. s folgt: rot(ψ) φ + div(rot(ψ) φ = rot(ψ) φ ω ω ω = rot(ψ) n ω φ ω Zur zweiten Gleichung: φ rot(ψ) = φ (Q ψ) = (Q T φ) ψ ω ω ω Mit Q T = Q folgt: = ω (Q φ) ψ = ω rot(φ) ψ Wende nun die erste Gleichung an. insetzen der Definition von rot(φ) und Umformen liefert: = ω ω ψ rot(φ) n ω = ω ψ φ (Q T n ω ) = ψ φ (Q n ω ) = ψ γ tω ( φ) ω 19

20 .9 Helmholtz-Zerlegung Satz.1 (Charakterisierung divergenzfreier Vektorfelder). Sei w H(div; ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) s gilt div(w) = 0. () s gibt eine Flussfunktion φ H 1 () mit w = rot(φ). Beweis: Siehe [5], Theorem 3.1. Für (1) () verwende die Green sche Identität aus Lemma.10 mit v = w und φ = 1. s folgt, dass Γ w n = 0 gilt. Da Γ hier als zusammenhängend angenommen wird, kann nun der Satz aus [5] angewendet werden. Schließlich folgt aus dem letzten Satz die Helmholtz-Zerlegung: Satz.13 (Helmholtz-Zerlegung). Sei w L () beliebig. Dann existieren q, φ H 1 () mit: w = q + rot(φ) Beweis: Siehe [5], Theorem Herleitung des Fehlerschätzers 3.1 Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers Bei der Abschätzung des Fehlers u u T T nach oben besteht der erste Schritt darin, den Fehler in zwei Teile zu zerlegen, von denen der rste aus dem konformen Fall bekannt ist. Hierzu wird die Ritz-Projektion benötigt. Sei T u T der klassisch auf den einzelnen Dreiecken definierte Gradient von u T. Die Ritz-Projektion v von u T auf H0 1 () ist definiert durch: v w = T u T w w H 1 0 () (3.1) Die xistenz und indeutigkeit von v folgt dabei aus dem Satz von Lax-Milgram, analog zu dem Beweis der xistenz und indeutigkeit der schwachen Lösung der 0

21 Poisson-Gleichung (1.). Wegen C 0 () H 1 0 () folgt aus (3.1): ( v T u T ) w = 0 w C 0 () (3.) Durch Vergleich mit der Definition der Divergenz (.10) sieht man, dass div( v T u T ) = 0 gilt. Insbesondere gilt also v T u T H(div; ). Damit sind die Voraussetzungen von Satz (.1) erfüllt und es gibt eine Funktion φ H 1 () mit: v T u T = rot(φ) (3.3) Mit Hilfe dieser Identität ist man in der Lage, zwei wichtige Zerlegungen des Fehlers u u T T herzuleiten: Lemma 3.1. Sei u H 1 0 () die schwache Lösung der Poisson-Gleichung (1.), u T CR 1 0(T ) die Lösung des nicht-konformen diskreten Problems (1.6), φ H 1 () sei durch (3.3) definiert und v sei die in (3.1) definierte Ritz-Projektion von u T. Dann gilt: 1. u u T T = B T (u u T, u v) +. u u T T = u v + rot(φ) ( u T u T ) rot(φ) Beweis: Zu 1.: u u T T = B T (u u T, u u T ) = B T (u u T, u v) B T (u u T, u T v) = B T (u u T, u v) ( u T u T ) ( T u T v) = B T (u u T, u v) + ( u T u T ) rot(φ) 1

22 Zu.: u u T T = T = T = T (u u T ) (u v (u T v)) (u v) (u v) (u v) (u T v) = + (u T v) (u T v) (u v) (u v) ( T u T v) + T rot(φ) Wegen u v H 1 0 () ist dies mit Gleichung (3.): = u v + rot(φ) Zunächst wird die rste der obigen Zerlegungen verwendet. Auf den ersten Term der rechten Seite können die rgebnisse aus apitel (.6) angewendet werden: B T (u u T, u v) =< R, u v > T r C A, h (u v) ω + 1 j C A,4 h (u v) ω (3.4) Wie am Anfang des apitels bemerkt, ist dieser Term aus dem konformen Fall bekannt. Die obige Ungleichung ist so weitreichend, dass die Hauptaufgabe nun darin besteht, den Term ( u T u T ) rot(φ) abzuschätzen. Die folgenden Abschätzungen werden anstelle von φ für ein allgemeines ψ H 1 () durchgeführt, da die Resultate später bei der Abschätzung des Fehlers nach unten benötigt werden. Betrachte also den Term ( u T u T ) rot(ψ) mit beliebigem ψ H 1 (). Mit den folgenden beiden Identitäten kann der obige Ausdruck vereinfacht und umgeformt werden:

23 Lemma 3.. Seien u und u T Dann gilt: wie oben definiert. ψ H 1 () und ψ T S 1,0 (T ) seien beliebig. 1. u rot(ψ) = 0. T u T rot(ψ T ) = 0 Beweis: Zu 1.: Mit Hilfe der ersten Gleichung aus Lemma.11 und wegen u Γ = 0 erhält man: u rot(ψ) = u rot(ψ) n = 0 Zu.: T u T rot(ψ T ) = T u T rot(ψ T ) Durch ein weiteres Anwenden der ersten Gleichung aus Lemma.11 erhält man: = T = T u T rot(ψ T ) n u T rot(ψ T ) n Desweiteren folgt mit rot(ψ T ) n = (Q ψ T ) n = ψ T (Q n ) = γ t ( ψ T ): = T u T γ t ( ψ T ) Durch Umordnen auf die einzelnen anten wird dies zu: = J (u T γ t ( ψ T )) Γ u T γ t ( ψ T ) 3

24 Da γ t ( ψ T ) keine Sprünge an den anten hat und auf allen anten aus konstant ist, erhält man: = = J (u T ) γ t ( ψ T ) γ t ( ψ T ) J (u T ) Γ γ t ( ψ T ) Γ γ t ( ψ T ) u T u T Schließlich folgt mit den igenschaften (1.4) und (1.5) der Crouzeix-Raviart lemente: = γ t ( ψ T ) 0 Γ γ t ( ψ T ) 0 = 0 4

25 Für den abzuschätzenden Term ergibt sich damit für beliebiges ψ T S 1,0 (T ): ( u T u T ) rot(ψ) = T u T rot(ψ) = T u T (rot(ψ) rot(ψ T )) = T u T rot(ψ ψ T ) = T u T rot(ψ ψ T ) Mit der zweiten Gleichung aus Lemma (.11) erhält man: = (ψ ψ T ) γ t ( u T ) T = T (ψ ψ T ) γ t ( u T ) Durch Umordnen auf die einzelnen anten ergibt dies: = J ((ψ ψ T )γ t ( u T )) Γ (ψ ψ T )γ t ( u T ) Da ψ ψ T keine antensprünge im L 1 -Sinn hat, gilt: = J (γ t ( u T ))(ψ ψ T ) (ψ ψ T )γ t ( u T ) Γ (3.5) Setze nun wieder ψ := φ, wobei φ durch (3.3) definiert ist. Außerdem wählt man ψ T := ĨT (φ) mit dem zweiten Quasi-Interpolationsoperator ĨT : H 1 () S 1,0 (T ) aus apitel.5. 5

26 Anwenden der Cauchy-Schwarz Ungleichung und Satz.7 ergeben dann: J (γ t ( u T ))(φ I T (φ)) J (γ t ( u T )) φ I T (φ) + Γ (φ I T (φ))γ t ( u T ) Γ γ t ( u T ) φ I T (φ) 1 J (γ t ( u T )) C A,4 h φ ω + 1 γ t ( u T ) C A,4 h φ Γ Nun können die Abschätzungen des Terms aus dem nicht-konformen Fall mit den Abschätzungen des Terms aus dem konformen Fall (3.4) zusammengefasst werden. Mit der ersten Gleichung aus Lemma 3.1 ergibt sich: ω u u T T = B T (u u T, u v) + ( u T u T ) rot(φ) r C A, h (u + 1 j v) ω C A,4 h (u v) ω T + 1 J (γ t ( u T )) C A,4 h φ ω + 1 γ t ( u T ) C A,4 h φ ω Γ ( max(c A,, C A,4 ) r h (u + 1 j v) ω h (u v) ω T + 1 J (γ t ( u T )) h φ ω + 1 γ t ( u T ) h φ Γ ω ) Anwenden der diskreten Cauchy-Schwarz Ungleichung liefert: { max(c A,, C A,4 ) r h + j h + T J (γ t ( u T )) h + Γ γ t ( u T ) h { (u v) ω + (u v) ω + φ ω + φ ω T Γ (3.6) } 1 } 1 6

27 Wegen der Regularität von T sind die Winkel der Dreiecke aus T gleichmäßig nach unten beschränkt. Deswegen gibt es eine onstante C T, die nur von C T abhängt, so dass die folgenden beiden Ungleichungen gelten: { (u v) ω + T (u v) ω } 1 C T (u v) (3.7) = C T u v { φ ω + } 1 φ ω C T φ (3.8) Γ Da Q eine orthogonale Matrix ist, gilt: insetzen von (3.9) in (3.8) liefert: φ = Q φ = rot(φ) (3.9) { φ ω + } 1 φ ω C T rot(φ) (3.10) Γ (3.6) kann nun mit den Ungleichungen (3.7) und (3.10) abgeschätzt werden zu: max(c A,, C A,4 ) C T { r h + j h + J (γ t ( u T )) h T + Γ γ t ( u T ) h } 1 { u v + rot(φ) } 1 Zusammen mit der zweiten Gleichung aus Lemma 3.1 ergibt sich insgesamt: 7

28 u u T T max(c A,, C A,4 ) C T u u T T { r h + j h T + J (γ t ( u T )) h + Γ γ t ( u T ) h } 1 Division durch u u T T ergibt schließlich: u u T T max(c A,, C A,4 ) C T { r h + j h T + J (γ t ( u T )) h + Γ γ t ( u T ) h } 1 (3.11) Also ist durch { T } 1 h r + h j + h J (γ t ( u T )) + h γ t ( u T ) ein zuverlässiger Fehlerschätzer definiert. Dieser wird Γ noch in lokale Fehlerschätzer η zerlegt: { η := h f + u T + 1 h J (n u T, + 1 h J (γ t ( u T )) + h γ t ( u T ),,Γ } 1 Damit ergibt sich der folgende Satz: Satz 3.3. Sei u die schwache Lösung der Poisson-Gleichung (1.) und u T die Lösung zur { nicht-konformen Diskretisierung (1.6). Der Fehlerschätzer η sei durch η T } 1 8

29 definiert. Dann gibt es eine onstante C die nur von der Regularitätskonstanten C T abhängt, so dass gilt: u u T T C η (3.1) Beweis: Setze C := C T max(c A,, C A,4 ). Dann entspricht die rechte Seite von (3.1) genau der rechten Seite von (3.11). Bemerkung: { Im konformen Fall ist durch η = h r + } 1 h j ein zuverlässiger und effizienter Fehlerschätzer gegeben (siehe [8], S.11ff). Das Wegfallen T der letzten beiden Summanden kann man sich dadurch veranschaulichen, dass diese für konforme u T null sind. 3. ffizienz des Fehlerschätzers Damit auf die inversen Abschätzungen aus Satz.9 zurückgegriffen werden kann, wird die Funktion f auf den einzelnen Dreiecken durch ihren Mittelwert ersetzt. Sei dazu: µ () := 1 f := 1 µ () f f T := T f χ Wobei χ die charakteristische Funktion auf ist. Für beliebiges T definiert man: w := (f + u T )ψ ψ ist dabei eine der Hilfsfunktionen aus apitel.7. In apitel.6 wurde gezeigt: 9

30 T (u u T ) v =< R, v >= rv + jv v H 1 0 () (3.13) Σ Setze nun v = w. Wegen supp(ψ ) = {x R ψ 0} = und ψ = 0 folgt aus (3.13): (u u T ) w = rw = (f + u T )w Addieren von (f f)w auf beiden Seiten ergibt: (u u T ) w + (f f)w = = = (f + u T )w + (f + u T )w (f + u T ) ψ (f f)w (3.14) Die rechte Seite kann mit Satz.9 abgeschätzt werden durch: (f + u T ) ψ = (f + u T )ψ 1 C I,1 f + u T Die Terme auf der linken Seite von (3.14) können abgeschätzt werden durch: (u u T ) w (u u T ) w = (u u T ) ((f + u T )ψ ) Anwenden von Satz.9 liefert: (u u T ) C I, h 1 f + u T 30

31 (f f)w f f (f + u T )ψ Wegen 0 ψ 1 kann dies abgeschätzt werden durch: f f f + u T Insgesamt erhält man: C I,1 f + u T (u u T ) C I, h 1 f + u T + f f f + u T Daraus folgt: h f + u T C I,1C I, (u u T ) + C I,1h f f (3.15) ine obere Schranke für den im Fehlerschätzer vorkommenden Term h f + u T erhält man nun mit der Ungleichung: Zusammen mit (3.15) ergibt sich: f + u T f + u T + f f h f + u T h f + u T + h f f C I,1C I, (u u T ) + (C I,1 + 1)h f f (3.16) Wähle nun eine ante und setze v = w = J (n u T )ψ in (3.13) ein. Wegen supp(ψ ) = ω und ψ = 0 ergibt dies: ω ω T (u u T ) w = rw + jw Umformen und insetzen der entsprechenden Funktionen liefert: 31

32 J (n u T ) ψ = T (u u T ) w (f + u T )w ω ω = T (u u T ) w (f + u T )w ω ω (f f )w ω (3.17) Die linke Seite lässt sich mit Satz.9 abschätzen zu: J (n u T ) ψ = J (n u T )ψ 1 1 C I,3 J (n u T ) Für die Terme auf der rechten Seite von (3.17) ergibt sich mit der Cauchy- Schwarz Ungleichung und Satz.9: T (u u T ) w T (u u T ) ω w ω ω T (u u T ) ω C I,4 h 1 J (n u T ) ω (f + u T )w = ω (f + u T )w ω f + u T w 1 f + u T C I,5 h J (n u T ) ω (f f )w = ω ω (f f )w f f w ω 3

33 1 f f C I,5 h J (n u T ) ω Insgesamt ergibt sich: 1 C I,3 Daraus folgt: J (n u T ) T (u u T ) ω C I,4 h 1 J (n u T ) + 1 f + u T C I,5 h J (n u T ) ω + 1 f f C I,5 h J (n u T ) ω h 1 J (n u T ) CI,3C I,4 T (u u T ) ω + CI,3C I,5 h f + u T ω + CI,3C I,5 h f f ω Wegen h h für ergibt sich zusammen mit (3.15): h 1 J (n u T ) CI,3C I,4 T (u u T ) ω + CI,3C I,5 h f + u T ω + CI,3C I,5 h f f ω CI,3C I,4 T (u u T ) ω + CI,3C I,5 (CI,1C I, (u u T ) ω + CI,1h f f ) + CI,3C I,5 h f f ω (3.18) = (C I,3C I,4 + C I,1C I, C I,3C I,5 ) T (u u T ) ω + (C I,1C I,3C I,5 + C I,3C I,5 ) ω h f f 33

34 Setze für den abschließenden Satz des apitels D 1 := C I,3 C I,4 + C I,1 C I,C I,3 C I,5 und D := C I,1 C I,3 C I,5 + C I,3 C I,5. Schließlich müssen noch die Terme mit den tangentialen Ableitungen abgeschätzt werden. Aus (3.5) entnimmt man durch die Wahl von ψ T = 0 die für ψ H 1 () gültige Identität: ( u T u T ) rot(ψ) = Ẽ JẼ(γ tẽ ( u T ))ψ Ẽ Γ γ tẽ ( u T )ψ Ẽ Ẽ (3.19) Sei nun zunächst und setze ψ = w := ψ J (γ t ( u T )). Da ψ = 0 gilt: γ tẽ ( u T ) w = 0 Ẽ Γ Ẽ JẼ(γ tẽ ( u T )) w = Ẽ Ẽ J (γ t ( u T )) ψ Mit Satz.9 kann die rechte Seite der letzten Gleichung abgeschätzt werden zu: J (γ t ( u T )) ψ = J (γ t ( u T ))ψ 1 1 C I,3 J (γ t ( u T )) Für die linke Seite von (3.19) ergibt sich wegen supp(ψ ) = ω und mit Satz.9: ( u T u T ) rot( w ) = ω ( u T u T ) rot( w ) u T u T ω rot( w ) ω = u T u T ω (ψ J (γ t ( u T ))) ω u T u T ω C I,4 h 1 J (γ t ( u T )) 34

35 Insgesamt folgt: 1 C I,3 J (γ t ( u T )) C I,4h 1 u T u T ω J (γ t ( u T )) Damit erhält man für den im Fehlerschätzer vorkommenden Term h 1 J (γ t ( u T )) : h 1 J (γ t ( u T )) C I,3C I,4 u T u T ω (3.0) Sei schließlich Γ und setze ψ = ŵ := ψ γ t ( u T ) in (3.19) ein. Analog zum letzten Fall gilt wegen ψ = 0 : JẼ(γ tẽ ( u T ))ŵ = 0 Ẽ Ẽ Ẽ Γ Ẽ γ tẽ ( u T )ŵ = γ t ( u T ) ψ Auch hier kann Satz.9 auf die rechte Seite der letzten Gleichung angewendet werden: γ t ( u T ) ψ = γ t ( u T )ψ 1 1 C I,3 γ t ( u T ) Wieder ergibt sich für die linke Seite von (3.19) wegen supp(ψ ) = ω und mit Satz.9: ( u T u T ) rot(ŵ ) = ω ( u T u T ) rot(ŵ ) u T u T ω rot(ŵ ) ω = u T u T ω (ψ γ t ( u T )) ω u T u T ω C I,4 h 1 γ t ( u T ) 35

36 Insgesamt folgt: 1 C I,3 γ t ( u T ) C I,4h 1 u T u T ω γ t ( u T ) Damit erhält man für den im Fehlerschätzer vorkommenden Term h 1 γ t ( u T ) : h 1 γ t ( u T ) C I,3C I,4 u T u T ω (3.1) Mit Hilfe dieser Resultate ist es nun möglich die ffizienz des Fehlerschätzers zu beweisen: Satz 3.4. Sei u die schwache Lösung der Poisson-Gleichung (1.) und u T die Lösung zur nicht-konformen Diskretisierung (1.6). Dann gibt es eine onstante C die nur von der Regularitätskonstanten C T abhängt, so dass gilt: η C { T (u u T ) ω + ω h f f } 1 Beweis: s ist: { η = h f + u T + 1 h J (n u T, + 1 h J (γ t ( u T )) + h γ t ( u T ),,Γ Anwenden der Ungleichungen (3.16), (3.18), (3.0) und (3.1) liefert: } 1 { ( C I,1C I, (u u T ) + (C I,1 + 1)h f f ) + 1, (D 1 T (u u T ) ω + D ω h f f + 1 C I,3C 4 I,4 T (u u T ) ω + CI,3C 4 I,4 T (u u T ) ω,,γ ) } 1 36

37 Abschätzen der Quadrate liefert: { ( ) CI,1C 4 I, (u u T ) + (C I,1 + 1) h f f + 1 (, (D 1 T (u u T ) ω + D( ) ) h f f ) ω + 1 C4 I,3CI,4 T (u u T ) ω + CI,3C 4 I,4 T (u u T ) ω,,γ } 1 f ω. Damit und mit weiteren Abschät- Für f L () gilt: f ω, zungen folgt: { C 4 I,1C I, T (u u T ) ω + (C I,1 + 1) h f f + D 1 T (u u T ) ω + D, ω h f f + 1 C4 I,3C I,4 T (u u T ) ω + C 4 I,3C I,4 T (u u T ) ω } 1 Zusammenfassen der Terme und weiteres Abschätzen liefert: { ( ) CI,1C 4 I, + D1 + CI,3C 4 I,4 + CI,3C 4 I,4 T (u u T ) ω + (C I,1 + 1) h f f + D ω h f f { ( ) CI,1C 4 I, + D1 + 3CI,3C 4 I,4 T (u u T ) ω } 1 + ((C I,1 + 1) + 4D ) ω h f f } 1 max(c 4 I,1C I, + D 1 + 3C 4 I,3C I,4, (C I,1 + 1) + 4D ) { T (u u T ) ω + ω h f f 37 } 1

38 Die Behauptung gilt also mit C := max(c 4 I,1 C I, + D 1 + 3C 4 I,3 C I,4, (C I,1 + 1) + 4D ). 4 Implementierung der nicht-konformen Finite-lemente-Methode Damit in Unterkapitel (4.) eine größere Zahl an Testproblemen zur Verfügung steht, wird zunächst das Modellproblem (1.1) an inhomogene Dirichlet- Randbedingungen angepasst. Die klassische Formulierung des Modellproblems soll also nun lauten: u = f u = g in auf Γ (4.1) Wobei f L () und g L (Γ) gelten soll. Sei nun u D H 1 () eine Funktion, die auf Γ mit g übereinstimmt. Die schwache Lösung u von (4.1) ist dann von der Form u = u D + u 0 mit u 0 H 1 0 (). insetzen und Umformen in (1.) liefert, dass nun u 0 H 1 0 () gesucht wird mit: u 0 v = fv u D v v H 1 0 () (4.) ine diskrete Lösung u T erhält man durch den Ansatz u T = u T,D + u T,0 mit u T,0 CR 1 0(T ). u T,D ist definiert durch: u T,D := # i=# +1 Damit ergibt sich das diskrete Problem zu: Bestimme u T,0 CR 1 0(T ) mit: g(m i )µ i T u T,0 v T = fv T T u T,D v T v T CR 1 0(T ) (4.3) 38

39 4.1 Hinweise zur Implementierung AF M ist eine Programmbibliothek, die eine adaptive, konforme Finite-lemente- Methode für allgemeine lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung implementiert. ine Bedienungsanleitung und weitere Informationen finden sich auf [1]. Für dieses apitel wurde AF M für das speziellere Testproblem (4.1) an die nicht-konforme Situation angepasst. Die Hauptfunktion der AF M-Bibliothek ist die Funktion af em. Der schematische Ablauf der Funktion afem ist wie folgt: Lese die Daten des Problems ein; rzeuge das erste Gitter; while Level maximales Level und relativer geschätzter Fehler > Fehlertoleranz do Verfeinere; rzeuge das diskrete Problem; Löse das diskrete Problem; Berechne die Fehlerindikatoren; if die exakte Lösung ist bekannt then Berechne den tatsächlichen Fehler end Zeichne das Gitter und die diskrete Lösung; end Die unterstrichenen Code-Abschnitte sind diejenigen, die für diese Arbeit modifiziert werden mussten. Die modifizierten Code-Abschnitte werden nun vorgestellt: rzeugung des diskreten Problems Mit Hilfe der nicht-konformen Basisfunktionen µ i wird aus (4.3) ein lineares Gleichungssystem mit Steifigkeitsmatrix A und rechter Seite b. Die jeweiligen inträge sind gegeben durch: A ij := µ i µ j T b i = fµ i u T,D µ i T i, j = 1,.., # Im Vergleich zum konformen Fall ändert sich nur die Wahl der Basisfunktionen. Die Approximation dieser inträge leistet die Funktion assembledp. Seien à und b eine Matrix beziehungsweise ein Vektor, die zur Speicherung der Approximationen von A und b verwendet werden. inhdp sei ein Vektor, der die Beiträge zu b approximiert, die aus den nicht-homogenen Dirichlet-Randbedingungen entstehen, also: 39

40 inhdp i T u T,D µ i Mit eninhdp wird eine Näherung des Quadrats der Norm von u T,D berechnet, also: eninhdp u T,D T Damit gliedert sich der schematische Programmablauf von assembledp wie folgt: for i = 1,.., # do foreach ω i do // Berechne die Diagonaleinträge von à und b: Berechne approximativ T emp µ i µ i ; Setze Ãii = Ãii + T emp; Berechne approximativ T emp fµ i ; Setze b i = b i + T emp; end foreach ω i do // Berechne die nicht-diagonal inträge von Ã: foreach j mit j i und i > j do Berechne approximativ T emp µ i µ j ; Setze Ãij = Ãij + T emp und Ãji = Ãji + T emp ; end foreach j Γ do Berechne approximativ T emp (g(m j )µ j ) µ i ; Setze inhdp i = inhdp i + T emp ; end end end for i = # + 1,.., # do // Berechne eninhdp: Sei T das Dreieck mit i ; Berechne approximativ T emp u T,D ; Setze eninhdp = eninhdp + T emp ; end Setze b = b inhdp; Mit einigen Vorüberlegungen lassen sich die benötigten Approximationen leicht berechnen. Als sehr nützlich erweist es sich dabei, einen Ausdruck für die nichtkonformen Basisfunktionen auf den einzelnen lementen herzuleiten. Sei ein Dreieck mit den ckpunkten a 0, a 1, a und λ ai, die konforme Basisfunktion zum Punkt a i auf dem Dreieck. Dann gilt: 40

41 λ ai,(x) = 1 det(a i+1 x, a i+ a i+1 ) Die Indizes werden dabei modulo 3 gerechnet (siehe [6], S.38). ˆm 0, ˆm 1, ˆm bezeichne nun die antenmittelpunkte von, wobei der antenmittelpunkt ˆm i dem lementeckpunkt a i gegenüberliegen soll. Sei nun µ ˆmi, die nicht-konforme Basisfunktion zum Punkt ˆm i auf dem Dreieck. Aus der Definition der µ i folgt, dass nun gilt: µ ˆmi,(x) = 1 det( ˆm i+1 x, ˆm i+ ˆm i+1 ) (4.4) bezeichnet dabei das durch die drei antenmittelpunkte ˆm i gegebene Dreieck. Aus (4.4) folgt: µ ˆmi,(x) = 1 det( ˆm i+1 x, ˆm i+ ˆm i+1 ) = 1 det( x, ˆm i+ ˆm i+1 ) = 1 det(x, ˆm i+1 ˆm i+ ) = 1 (x 1( ˆm i+1 ˆm i+ ) ) x ( ˆm i+1 ˆm i+ ) 1 ) = 1 ( ) ( ˆmi+1 ˆm i+ ) ( ˆm i+1 ˆm i+ ) 1 = 1 ( Q)( ˆm i+ ˆm i+1 ) Q bezeichnet dabei die Matrix, die in (.9) definiert wurde. Sei nun i {1,.., #} und T mit i ω. Die ˆm i seien so nummeriert, dass ˆm 0 i gilt. s folgt: µ i µ i = 1 (( Q)( ˆm ˆm 1 )) T 1 ( ( Q)( ˆm ˆm 1 )) = 4 ( ˆm ˆm 1 ) T Q T Q( ˆm ˆm 1 ) 41

42 = 4 ˆm ˆm 1 Zur Approximation von fµ i wird die folgende Quadraturformel verwendet: fµ i 3 (fµ i )( ˆm j ) j=0 = 3 f( ˆm 0)µ i ( ˆm 0 ) = 3 f( ˆm 0) Diese Quadraturformel ist von der Ordnung (siehe [7], S.38f). Sei nun j {1,.., #} so gewählt, dass j eine weitere ante von ist, die im mathematisch positivem Drehsinn auf i folgt. Dann ergibt sich: µ i µ j = 1 (( Q)( ˆm ˆm 1 )) T 1 ( ( Q)( ˆm 0 ˆm )) = 4 ( ˆm ˆm 1 ) T ( ˆm 0 ˆm ) Analog folgt, wenn die Reihenfolge von i und j umgekehrt ist: µ i µ j = 4 ( ˆm ˆm 1 ) T ( ˆm 1 ˆm 0 ) Für den Ausdruck (g(m j )µ j ) µ i gilt: (g(m j )µ j ) µ i = g(m j ) µ j µ i Nun kann bei Beachtung der Reihenfolge von i und j eine der vorherigen Formeln angewendet werden. Für den Ausdruck u T,D ergibt sich wegen i : 4

43 u T,D = ( # j=# +1 = (g(m i )µ i ) = g(m i ) µ i µ i g(m j )µ j ) Seien nun wieder die ˆm j so nummeriert, dass ˆm 0 i gilt. s folgt: u T,D = g(m i ) 4 m m Lösen des diskreten Problems Das Lösen des diskreten Problems wird von der Funktion solvedp geleistet. Zur Lösung des vorher aufgestellten linearen Gleichungssystem Ãx = b wird die SciLab-Funktion lusolve verwendet. Damit sind nun alle oeffizienten von u T bekannt und es gilt: # u T u T,D + x i µ i Außerdem berechnet solvedp eine Näherung enuh der nergienorm von u T, also: i=1 enuh u T T { } 1 zu appro- Diese ist notwendig, um den relativen geschätzten Fehler ximieren. η T u T T Zur Berechnung von enuh wird die folgende Formel verwendet: enuh = { } 1 eninhdp + x inhdp + x T Ãx Diese ergibt sich folgendermaßen: 43

44 u T T = B T (u T, u T ) # # = B T (u T,D + x i µ i, u T,D + x j µ j ) i=1 # = u T,D T + B T (u T,D, i=1 j=1 # x i µ i ) + B T ( i=1 # x i µ i, j=1 x j µ j ) Für die Terme B T ( # i=1 x i µ i, # j=1 x j µ j ) und B T (u T,D, # i=1 x i µ i ) ergibt sich: # # B T ( x i µ i, x j µ j ) = i=1 j=1 = # i,j=1 # i,j=1 = x T Ax x i x j B T (µ i, µ j ) x i x j A ij # B T (u T,D, i=1 x i µ i ) = # i=1 # i=1 x i B T (u T,D, µ i ) x i inhdp i x inhdp Insgesamt folgt also: u T T u T,D T + x inhdp + xt Ax eninhdp + x inhdp + x T Ãx 44

45 4.1.3 Berechnung der Fehlerindikatoren η bezeichne die approximierten Quadrate der Fehlerindikatoren. Der Programmablauf bei der Berechnung der Fehlerindikatoren ist wie folgt: foreach T do Berechne u h ; Setze η h f T + u T ; end foreach T do foreach do if ist eine innere ante mit Nachbar und hat einen höheren Index als then Berechne T emp 1 h J (n u T ) + 1 h J (γ t ( u T )) ; Setze η = η + T emp und η = η + T emp ; end if ist eine Randkante then Berechne T emp h γ t ( u T ) ; Setze η = η + T emp; end end end Die vorkommenden Größen werden wie folgt berechnet oder approximiert: u T = = 3 u T ( ˆm i ) µ ˆmi i=1 3 1 u T ( ˆm i ) ( Q)( ˆm i+ ˆm i+1 ) i=1 = 1 3 u T ( ˆm i )( Q)( ˆm i+ ˆm i+1 ) i=1 h f T + u T = h f T h f T ( a i ) i=1 1 h J (n u T ) = 1 h J (n u T ) 45

46 = 1 h (n ( u T u T )) 1 h J (γ t ( u T )) = 1 h (γ t ( u T ) γ t ( u T )) = 1 h (( u T u T ) Q n ) h γ t ( u T ) = h ( u T Q n ) Berechnung der tatsächlichen Fehler In dem Fall, dass die exakte Lösung u bekannt ist, ist es möglich, den tatsächlichen Fehler u u T T angenähert zu berechnen. ine Näherung von u ist gegeben durch: # u u T,D + u(m i )µ i Sei uvec ein Vektor, der definiert ist durch uvec i = u(m i ), i = 1,.., #. Mit dieser Näherung von u erhält man nun eine Näherung des Fehlers u u T T : i=1 u u T T = B T (u u T, u u T ) # # B T ( (u(m i ) x i )µ i, (u(m j ) x j )µ j ) i=1 j=1 # = (u(m i ) x i )(u(m j ) x j )B T (µ i, µ j ) i,j=1 # (u(m i ) x i )(u(m j ) x j )Ãij i,j=1 = (uvec x) T Ã(uvec x) 46

47 Für die Berechnung des relativen Fehlers u u T T u wird außerdem eine Näherung T von u T benötigt. Diese ergibt sich in Analogie zu der Näherung von u T T zu: u T { } 1 eninhdp + uvec inhdp + uvec T Ã uvec Die Berechnung dieser beiden Ausdrücke wird von der Funktion energy durchgeführt Zeichnen der diskreten Lösung Die Funktion plot_solution ist für das Zeichnen der diskreten Lösung zuständig. Diese nutzt die Möglichkeit, der Scilab-Funktion plot3d1 eine Menge von Polygonen zu übergeben. Hierbei müssen plot3d1 drei Arrays übergeben werden. Diese speichern die x-,y- und z-oordinaten der ckpunkte der durch die Funktion u T definierten Dreiecke. Diese drei 3 #T Arrays werden mit xf,yf und zf bezeichnet. Der schematische Programmablauf ist wie folgt: foreach T do Speichere die x- und y-oordinaten der drei ckpunkte von ; for i = 1,.., 3 do // Iteration über die ckpunkte von Sei a i der i-te ckpunkt von ; Setze T emp = 0; foreach j do Berechne T emp = T emp + u T (m j )µ j (a i ) end Füge T emp in die i-te Zeile von zf ein. end end µ j (a i ) kann dabei mit Formel (4.4) bestimmt werden Datenstrukturen Für die Implementierung ist es notwendig, dass man die Möglichkeit hat, von einem Dreieck auf die umliegenden anten oder von einer ante auf die benachbarten Dreiecke zurückzugreifen. Dies wird durch zwei Arrays bewerkstelligt, die von der Funktion assemble_midpoints erzeugt werden. Der Aufruf von assemble_midpoints erfolgt am Anfang der Funktion assembledp. Das Array elem_mdpts ist von der Größe #T 3. s speichert zu jedem Dreieck den antenindex ι 1 () aller umliegenden anten. Die Wahl der ersten ante ist dabei zufällig. Die zweite und dritte ante folgt im mathematisch positivem Drehsinn auf die rste. 47

48 Das Array list_mdpts ist von der Größe # 6. Die i-te Zeile von list_mdpts speichert die Informationen der ante i. list_mdpts(i, 1) speichert den Index des ersten Nachbarelements der ante i. Das erste Nachbarelement ist stets dasjenige mit dem höheren Index. list_mdpts(i, ) speichert, ob i die erste, zweite oder dritte ante des ersten Nachbarelements ist. list_mdpts(i, 3) und list_mdpts(i, 4) enthalten die selben Informationen für das zweite Nachbarelement. ine Null wird verwendet, falls i nur ein Nachbarelement hat. list_mdpts(i, 5) und list_mdpts(i, 6) speichern die oordinaten des zu i gehörenden antenmittelpunkts. 4. Numerische Beispiele In diesem Unterkapitel wird in 3 Testproblemen die ffizienz der hier vorgestellten nicht-konformen Finite-lemente-Methode untersucht. Bei den Testproblemen handelt es sich um eine Auswahl aus den Testproblemen der AF M- Bibliothek. Für weitere Testprobleme siehe [1] Testproblem 1 Wir betrachten das folgende Poisson-Problem: u = 1 u = g in auf Γ (4.5) Das Gebiet ist durch das Quadrat ( 1, 1) gegeben. Die Randdaten g werden so gewählt, dass die exakte Lösung u durch (1 x y )/4 gegeben ist. Das gröbste Gitter besteht aus 8 gleichschenkligen, rechtwinkeligen Dreiecken. Bei diesem Beispiel wird die nicht-adaptive, konforme Finite-lemente-Methode mit der nicht-adaptiven, nicht-konformen Finite-lemente-Methode verglichen. Die Gitter werden also gleichmäßig verfeinert. Sei nun L das Level der Verfeinerung, AD die Anzahl der Dreiecke und AF die Anzahl der Unbekannten. ɛ bezeichne die in apitel (4.1.4) beschriebene Näherung des relativen Fehlers u u T T u T. Die folgenden Werte haben sich ergeben: konform nicht-konform L 1 10 AD AF ɛ(%)

49 Wie man sieht benötigt die konforme Methode bei gleicher Genauigkeit mehr Freiheitsgrade. Die Abbildungen (1) und () zeigen die Gitter und die diskreten Lösungen. Abbildung 1: Gitter der konformen und nicht-konformen Methode zu Testproblem 1 Abbildung : onforme und nicht-konforme Lösung des ersten Testproblems 4.. Testproblem Wir betrachten das Modellproblem (4.1), wobei f und g so gewählt werden, dass die exakte Lösung durch tanh(κ( 1 4 x y )) gegeben ist. ist wieder durch das Quadrat ( 1, 1) gegeben. Die exakte Lösung weist entlang des reises um 0 mit dem Radius 1 eine Grenzschicht auf. Die Breite der Grenzschicht verhält sich wie 1 κ. Für dieses Testproblem wurde κ = 30 gesetzt. Das gröbste Gitter wurde identisch zu dem aus dem ersten Testproblem gewählt. Allerdings wird 49

50 für die konforme und die nicht-konforme Methode nun zusätzlich die adaptive Gitterverfeinerung durchgeführt, so dass insgesamt 4 unterschiedliche Verfahren getestet wurden. Bei adaptiver Verfeinerung wird bei diesem und dem folgenden Testproblem der ffektivitätsindex q angegeben. Dieser ist durch den Quotienten des entsprechenden Fehlerschätzers η beziehungsweise η und der in apitel (4.1.4) beschriebenen Näherung von u u T T gegeben. Die folgenden Werte haben sich ergeben: konform und nicht-konform konform und nicht-konform nicht-adaptiv und nichtadaptiv adaptiv und adaptiv L AD AF ɛ(%) q Bei diesem Testproblem hat sich die konforme Finite-lemente-Methode als effizienter herausgestellt. Sowohl bei der gleichmäßigen, wie auch bei der adaptiven Verfeinerung erreicht die konforme Methode mit weniger Freiheitsgraden einen geringeren relativen Fehler. Beim Vergleich von der adaptiven, nicht-konformen Methode mit der gleichmäßig verfeinerten, nicht-konformen Methode stellt sich die adaptive Vorgehensweise als deutlich effizienter heraus. s wird mit weniger Freiheitsgraden eine höhere Genauigkeit erzielt. Abbildung (3) zeigt die adaptiv verfeinerten Gitter. Die Abbildungen (4) und (5) stellen die berechneten Lösungen dar. Beide nicht-konformen Lösungen weisen deutliche Oszillationen an der Grenzschicht auf. Bei der adaptiv verfeinerten Lösung fallen diese kleiner aus, da die Grenzschicht sehr hoch aufgelöst wird. Bei der Betrachtung der Gitter fällt auf, dass die Verfeinerung beider Methoden sehr ähnlich ist. Die zusätzlichen Terme der nicht-konformen Methode scheinen hier keinen substanziellen Unterschied zu machen. Abbildung (6) zeigt die lokalen Fehlerschätzer η und die lokalen Fehlernormen (u u T ) für die adaptiv verfeinerte, nicht-konforme Methode. Hier fällt auf, dass die lokalen Fehler und die lokalen Fehlerschätzer sehr gut korrelieren. 50

51 (a) Adaptiv verfeinertes Gitter der konformen(b) Adaptiv verfeinertes Gitter der nichtkonformen Methode Methode Abbildung 3: Adaptiv verfeinerte Gitter des zweiten Testproblems Abbildung 4: onforme und nicht-konforme Lösung des zweiten Testproblems bei gleichmäßiger Verfeinerung 51

52 Abbildung 5: onforme und nicht-konforme Lösung des zweiten Testproblems bei adaptiver Verfeinerung Abbildung 6: Lokale Fehlerindikatoren und lokale Fehler der adaptiv verfeinerten, nicht-konformen Methode bei Testproblem 5

53 4..3 Testproblem 3 Wir betrachten das Problem u = 0 u = g in auf Γ (4.6) wobei g so gewählt wird, dass die exakte Lösung durch r 3 sin( 3φ) gegeben ist. ist bei diesem Testproblem das L-förmige Gebiet ( 1, 1) \ (0, 1) ( 1, 0). Das gröbste Gitter besteht nun aus 6 gleichschenkligen, rechtwinkeligen Dreiecken. s werden dieselben 4 Verfahren wie bei Testproblem durchgeführt. Die folgenden Werte haben sich dabei ergeben: konform und nicht-konform konform und nicht-konform nicht-adaptiv und nichtadaptiv adaptiv und adaptiv L AD AF ɛ(%) q Bei diesem Testproblem hat sich die konforme Finite-lemente-Methode, noch deutlicher als bei Testproblem, als die effizientere Methode herausgestellt. Dies kann zum Teil dadurch begründet werden, dass bei diesem Testproblem nicht konvex ist und nicht-konforme Methoden in diesem Fall Schwierigkeiten haben können (siehe [9], S.115). Bei dem Vergleich von der adaptiven, nicht-konformen Methode mit der gleichmäßig verfeinerten, nicht-konformen Methode stellt sich wieder das adaptive Verfahren als das ffizientere heraus. Die Abbildung (7) zeigt die adaptiv verfeinerten Gitter. Die Abbildungen (8) und (9) zeigen die berechneten Lösungen. Abbildung (10) zeigt die lokalen Fehlerschätzer η und die lokalen Fehlernormen (u u T ) für die adaptiv verfeinerte, nicht-konforme Methode. Bei der Betrachtung der Gitter fällt auf, dass die Verfeinerung in der Nähe der einspringenden cke zwar ähnlich erfolgt, dass das nicht-konforme Verfahren allerdings die Ränder, an denen inhomogene Dirichlet-Randbedingungen vorliegen, sehr stark verfeinert. Der Vergleich mit Abbildung (10) zeigt allerdings, dass die tatsächlichen Fehler am Rand sehr klein sind. Hier macht sich der im nicht-konformen Fehlerschätzer vorkommende Term h γ t ( u T ),Γ negativ bemerkbar. 53

54 (a) Adaptiv verfeinertes Gitter der konformen Methode (b) Adaptiv verfeinertes Gitter der nichtkonformen Methode Abbildung 7: Adaptiv verfeinerte Gitter des dritten Testproblems Abbildung 8: onforme und nicht-konforme Lösung des dritten Testproblems bei gleichmäßiger Verfeinerung 54

55 Abbildung 9: onforme und nicht-konforme Lösung des dritten Testproblems bei adaptiver Verfeinerung Abbildung 10: Lokale Fehlerindikatoren und lokale Fehler der adaptiv verfeinerten, nicht-konformen Methode bei Testproblem 3 55